Suchbäume mit inneren Knoten verschiedener Knotengrade.

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1 Was bisher geschah rekursive Datenstrukturen: lineare Datenstrukturen: Liste, Stack, Queue hierarchische Datenstrukturen: Bäume allgemeine Bäume Binäre Bäume Unäre Bäume = Listen Tiefe eines Knotens in t: Abstand (Kantenzahl) zur Wurzel Tiefe tiefe(t) des Baumes t: maximale Knotentiefe in t Größe size(t) des Baumes t: Anzahl aller Knoten in t Binäre Suchbäume: Binäre Bäume mit aufsteigend sortierter Inorder-Folge aller Schlüssel (Schlüsselwerte aus einer total geordneten Menge) Laufzeit für Suche, Einfügen, Löschen: O(tiefe(t)) AVL-Bäume (eingeschränkte Balanceeigenschaft): Binäre Bäume mit aufsteigend sortierter Inorder-Folge aller Schlüssel (Schlüsselwerte aus einer total geordneten Menge) Laufzeit für Suche, Einfügen, Löschen: O(log n) 153

2 Mehrweg-Suchbäume Suchbäume mit inneren Knoten verschiedener Knotengrade. Knoten können mehrere Schlüssel enthalten Knoten mit n 2 Schlüsseln (k 1,..., k n ) hat n + 1 Kinder (t 0,..., t n ). Suchbaumeigenschaft (für Mehrweg-Bäume): Jeder Schlüssel ist Separator zwischen Schlüsseln in den Kindern, d.h. für jeden Knoten u = Node(n, k, t) im Baum t gilt: Für alle im Teilbaum t0 vorkommenden Schlüssel v gilt v < k 1. Für alle i {1,..., n 1} gilt: für alle im Teilbaum t i vorkommenden Schlüssel v gilt k i < v < k i+1. Für alle im Teilbaum tn vorkommenden Schlüssel v gilt k n < v. 154

3 Datenstruktur Mehrweg-Suchbaum rekursive Datenstruktur Mehrweg-Suchbaum (MST): leerer Mehrweg-Suchbaum (Blatt), innerer Knoten: Node (n, k, t) mit Anzahl n 2 der Schlüssel Folge (k1,..., k n ) der Schlüssel Folge (t 0,..., t n ) der Kinder (MST) 155

4 Inorder-Durchquerung von Mehrweg-Suchbäumen inorder(t) für MST t: falls t = : inorder( ) [] falls t = Node(n, k, t): l inorder(t 0 ) für alle i 1,..., n: l l [k i ] inorder(t i ) Ausgabe inorder(node(n, k, t)) = l In jedem Mehrweg-Suchbaum bilden die Schlüssel in inorder-reihenfolge eine aufsteigend sortierte Folge. 156

5 Suche in Mehrweg-Suchbäumen contains(t, e) für MST t und Wert e: falls t = : contains(t, e) f falls t = Node(n, k, t): finde Schlüssel oder Teilbaum-Index m: m 0 solange km e: m m + 1 falls km = e: Ende mit contains(t, e) = t sonst contains(t m, e) (rekursiv) Laufzeit: O(tiefe(t)) 157

6 Beispiel B-Bäume zur Verwaltung großer Datenmengen Anwendungen bei Datenbanken Mehrweg-Suchbäume mit Kinderzahl jedes Knotens zwischen m und 2m (für zuvor festgelegtes m) Ausnahme: Wurzel (darf weniger Kinder haben) Alle Blätter haben denselben Abstand zur Wurzel. praktisch meist: Knotengrad m sehr groß Tiefe des Baumes sehr klein Optimierung: binäre Suche zum Finden der Schlüssel oder Teilbaum-Indizes m innerhalb eines Knotens 158

7 Spezialfall (2,4)-Bäume (2,4)-Baum: Mehrweg-Suchbaum mit Knoten mit 2, 3 oder 4 Kindern (B-Baum für m = 2) rekursive Datenstruktur ST24 Element = Node2 (ST24 Element, Element, ST24 Element ) Node3 (ST24 Element, Element ST24 Element, Element, ST24 Element ) Node4 (ST24 Element, Element ST24 Element, Element, ST24 Element, Element, ST24 Element ) 159

8 Einfügen in (2,4)-Bäume Suche der Einfüge-Position (Blatt) Fälle: 1. Einfügen in einen Knoten mit 2 oder 3 Kindern (2,4)-Baum-Eigenschaft nach Einfügen nicht verletzt 2. Einfügen in einen Knoten mit 4 Kindern (2,4)-Baum-Eigenschaft nach Einfügen evtl. verletzt, Verschiebung von Schlüsseln oder Teilung von Knoten notwendig 3. Einfügen als neuen Schlüssel im erreichten Knoten Idee: Beim Suchen der Einfüge-Position (Richtung: Wurzel Blatt) vorsorglich alle 4-Knoten auf dem Pfad teilen. Einfügen des Elementes ist dann ohne zusätzliche Korrektur möglich. 160

9 Teilung von 4-Knoten 4-Knoten: Node4(t 0, x, t 1, y, t 2, z, t 3 ) in der Wurzel: Node4(t 0, x, t 1, y, t 2, z, t 3 ) Node2(Node2(t 0, x, t 1 ), y, Node2(t 2, z, t 3 )) als Kind eines 2-Knotens: Node2(Node4(t 0, x, t 1, y, t 2, z, t 3 ), v, t 4 ) Node3(Node2(t 0, x, t 1 ), y, Node2(t 2, z, t 3 ), v, t 4 ) als Kind eines 3-Knotens: Node3(Node4(t 0, x, t 1, y, t 2, z, t 3 ), v, t 4, w, t 5 ) Node4(Node2(t 0, x, t 1 ), y, Node2(t 2, z, t 3 ), v, t 4, w, t 5 ) 161

10 Löschen aus (2,4)-Bäumen Löschen aus inneren Knoten: Ersetzen durch Inorder-Nachfolger (ggf. rekursiv)) Löschen aus Blättern: Zu löschender Knoten ist Kind eines Knotens mit 3 oder 4 Kindern (2,4)-Baum-Eigenschaft nach Löschen nicht verletzt Zu löschender Knoten ist Kind eines Knotens mit 2 Kindern (2,4)-Baum-Eigenschaft nach Löschen verletzt, Zusammenfügen notwendig Idee: Beim Suchen der Löschposition (Richtung: Wurzel Blatt) vorsorglich geeignete Schlüsselverschiebungen (von Nachbarknoten) und Verschmelzungen. 162

11 Rot-Schwarz-Bäume Idee: Darstellung von (2, 4)-Bäumen als binäre Bäume Darstellung aller Schlüssel eines Knotens als Binärbaum (rote Kanten) Eigenschaften: nie zwei rote Kanten nacheinander Schwarz-Tiefe: log n Tiefe: 2 log n Suche wie in binären Bäumen Einfügen und Löschen von 2-4-Bäumen übersetzt evtl. Rotationen (roter Kanten) notwendig Node(x, Node(y, t 1, t 2 ), t 3 ) Node(y, t 1, Node(x, t 2, t 3 )) 163

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