Übung Algorithmen I

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1 Übung Algorithmen I.6.5 Christoph Striecks (Mit Folien von Julian Arz, Timo Bingmann und Sebastian Schlag.)

2 Roadmap Hinweise zur Übungsklausur (Weitere) Traversierungen von Binärbäumen Die Anzahl binärer Suchbäume Rot-Schwarz-Bäume

3 Organisation Übungsklausur am Montag, dem 8.6.5, um 5.45, im Audimax Freiwillig, keine Prüfungsleistung, aber zur Selbstkontrolle Deckt den ersten Teil der Vorlesung und Übung (bis 7.5.5) ab (Nicht vergessen: Neues Übungsblatt ab heute)

4 (Weitere) Traversierungen von Binärbäumen

5 Traversierungen von Binärbäumen Beispiel: n = 5 Knoten b = 8 Blätter c = 7 innere Knoten h = Höhe

6 Traversierungen von Binärbäumen Beispiel: n = 5 Knoten b = 8 Blätter c = 7 innere Knoten h = Höhe (Level-order-Traversierung.)

7 Traversierungen von Binärbäumen Beispiel: n = 5 Knoten b = 8 Blätter c = 7 innere Knoten h = Höhe (Pre-order-Traversierung.)

8 Traversierungen von Binärbäumen Beispiel: n = 5 Knoten b = 8 Blätter c = 7 innere Knoten h = Höhe (In-order-Traversierung.)

9 Traversierungen von Binärbäumen Beispiel: n = 5 Knoten b = 8 Blätter c = 7 innere Knoten h = Höhe (Post-order-Traversierung.)

10 Die Anzahl binärer Suchbäume

11 Binäre Suchbäume Wiederholung In der Vorlesung: Daten nur an Blättern Hier in der Übung: Daten in allen Knoten Invariante: Für alle Knoten v: w left(v) : w v und w right(v) : w > v

12 Alle binäre Suchbäume mit n =,, : n = : n = : n = :

13 Alle binäre Suchbäume mit n = 4:

14 Die Anzahl binärer Suchbäume C n x < x > x Bekannte Startwerte: C 0 = 0, C =, C =, C = 5, C 4 = 4. Durch Partitionieren der sortieren Folge: C n = C 0 C n + C C n + + C n C + C n C 0, n > 0. Wende erzeugende Funktionen an: C(z) = n=0 C n heißen die Catalan-Zahlen. C z z n = C(z) zc(z) +. = C n = ( ) n. n + n

15 Balancierte binäre Suchbäume: Rot-Schwarz-Bäume

16 Binäre Suchbäume Wiederholung Invariante: Für alle Knoten v: w left(v) : w v und w right(v) : w > v Problem von binären Suchbäumen: können unbalanciert sein Lösung der Vorlesung: (a, b)-bäume Weitere Lösung hier in der Übung: Rot-Schwarz-Bäume

17 Warum balancierte Bäume? 4 5

18 Warum balancierte Bäume? Höhe: h O(n) Suchen: O(n) im Worst Case Löschen: O(n) im Worst Case Einfügen: O(n) im Worst Case 4 5 Geht das besser? Ja, Rot-Schwarz-Bäume garantieren Höhe von O(log n).

19 Rot-Schwarz-Bäume Rot-Schwarz-Bäume sind binäre Suchbäume mit folgenden Eigenschaften: Jeder Knoten ist entweder rot oder schwarz. ( Bit mehr an Information pro Knoten.) Die Wurzel ist schwarz. Jedes Blatt ist schwarz und enthält keine Werte. (Nur innere Knoten enthalten Werte.) Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. Für alle Knoten v: Alle Pfade von v zu einem Blatt enthalten die gleiche Anzahl schwarzer Knoten.

20 Rot-Schwarz-Bäume Rot-Schwarz-Bäume sind binäre Suchbäume mit folgenden Eigenschaften: Jeder Knoten ist entweder rot oder schwarz. ( Bit mehr an Information pro Knoten.) Die Wurzel ist schwarz. Jedes Blatt ist schwarz und enthält keine Werte. (Nur innere Knoten enthalten Werte.) Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. Für alle Knoten v: Alle Pfade von v zu einem Blatt enthalten die gleiche Anzahl schwarzer Knoten

21 Höhe von Rot-Schwarz-Bäumen Satz: Ein Rot-Schwarz-Baum mit n inneren Knoten hat die Höhe h log (n + ). Beweis. Betrachte Teilbaum t x an einem Knoten x Sei sh(x) die Anzahl der schwarzen Knoten auf dem Pfad von x zu einem Blatt ohne x selbst (Schwarzhöhe) Lemma: t x hat mindestens sh(x) innere Knoten. Beweis. Induktion über Höhe h von t x IA: h = 0 = sh(x) = 0 und 0 = 0 IS: Aussage gilt für Kinder x, x von x mit h(x) > 0 Wir bemerken: sh(x i ) sh(x) = t xi hat mind. sh(x) innere Knoten Also hat t x mindestens ( sh(x) ) + = sh(x) innere Knoten

22 Höhe von Rot-Schwarz-Bäumen Satz: Ein Rot-Schwarz-Baum mit n inneren Knoten hat die Höhe h log (n + ). Weiter im Beweis... Zur Erinnerung: 4. Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. Lemma. t x hat mindestens sh(x) innere Knoten. Nach Eigenschaft 4 eines Rot-Schwarz-Baumes sind auf allen Pfaden unterhalb der Wurzel mindestens die Hälfte der Knoten schwarz Einsetzen in vorheriges Ergebnis ergibt n h/ und damit h log (n + )

23 Höhe von Rot-Schwarz-Bäumen Anders ausgedrückt: Die Höhe eines Rot-Schwarz-Baums ist logarithmisch in der Anzahl der inneren Knoten, also h log (n + ). Suchen offensichtlich in O(log n) möglich. Einfügen, Löschen auch in O(log n), wenn Aufwand nur von der Höhe des Baums abhängt.

24 Einfügen in Rot-Schwarz-Bäumen Zur Erinnerung: 4. Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. 5. Für alle Knoten v: Alle Pfade von v zu einem Blatt enthalten die gleiche Zahl schwarzer Knoten. Einfügen: Einfügen wie in normalen binären Suchbäumen Einfügen kann Rot-Schwarz-Eigenschaften verletzen. Vorgehen: Roten Knoten in binären Suchbaum einfügen und danach Eigenschaften wieder herstellen Herstellen der Eigenschaften durch zwei grundlegende Operationen:. Umfärbung von Knoten. Rotation von Teilbäumen

25 Was ist eine Rotation? Lokale Operation, die die binäre Suchbaumeigenschaft erhält Umhängen einer konstanten Zahl an Pointern pro Teilbaum a Linksrotation b b Rechtsrotation a a > b (a, b] > b a (a, b]

26 Einfügen in Rot-Schwarz-Bäume Zur Erinnerung:. Die Wurzel ist schwarz. 4. Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. 5. Für alle Knoten v: Alle Pfade von v zu einem Blatt enthalten die gleiche Zahl schwarzer Knoten. Vorgehen: Roten Knoten in binären Suchbaum einfügen und danach Eigenschaften wieder herstellen Kein Vorgänger Neuer Knoten ist Wurzel N

27 Einfügen in Rot-Schwarz-Bäume Zur Erinnerung:. Die Wurzel ist schwarz. 4. Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. 5. Für alle Knoten v: Alle Pfade von v zu einem Blatt enthalten die gleiche Zahl schwarzer Knoten. Vorgehen: Roten Knoten in binären Suchbaum einfügen und danach Eigenschaften wieder herstellen Kein Vorgänger Neuer Knoten ist Wurzel Umfärben N Umfärben N

28 Einfügen in Rot-Schwarz-Bäume Zur Erinnerung:. Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. 4. Für alle Knoten v: Alle Pfade von v zu einem Blatt enthalten die gleiche Zahl schwarzer Knoten. Vorgehen: Roten Knoten in binären Suchbaum einfügen und danach Eigenschaften wieder herstellen Schwarzer Vorgänger oder N N

29 Einfügen in Rot-Schwarz-Bäume Zur Erinnerung:. Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. 4. Für alle Knoten v: Alle Pfade von v zu einem Blatt enthalten die gleiche Zahl schwarzer Knoten. Vorgehen: Roten Knoten in binären Suchbaum einfügen und danach Eigenschaften wieder herstellen Schwarzer Vorgänger Nichts zu tun oder N N

30 Einfügen in Rot-Schwarz-Bäume Zur Erinnerung:. Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. 4. Für alle Knoten v: Alle Pfade von v zu einem Blatt enthalten die gleiche Zahl schwarzer Knoten. Vorgehen: Roten Knoten in binären Suchbaum einfügen und danach Eigenschaften wieder herstellen Roter Vorgänger oder oder oder N N N N

31 Einfügen in Rot-Schwarz-Bäume Zur Erinnerung:. Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. 4. Für alle Knoten v: Alle Pfade von v zu einem Blatt enthalten die gleiche Zahl schwarzer Knoten. Vorgehen: Roten Knoten in binären Suchbaum einfügen und danach Eigenschaften wieder herstellen Roter Vorgänger 4 mögliche Strukturen, aber: durch Spiegelung und max. eine Rotation identisch N N N N

32 Einfügen in Rot-Schwarz-Bäume Zur Erinnerung:. Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. 4. Für alle Knoten v: Alle Pfade von v zu einem Blatt enthalten die gleiche Zahl schwarzer Knoten. Vorgehen: Roten Knoten in binären Suchbaum einfügen und danach Eigenschaften wieder herstellen Roter Vorgänger 4 mögliche Strukturen, aber: durch Spiegelung und max. eine Rotation identisch N

33 Einfügen in Rot-Schwarz-Bäume Zur Erinnerung: 4. Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. 5. Für alle Knoten v: Alle Pfade von v zu einem Blatt enthalten die gleiche Zahl schwarzer Knoten. N

34 Einfügen in Rot-Schwarz-Bäume Zur Erinnerung: 4. Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. 5. Für alle Knoten v: Alle Pfade von v zu einem Blatt enthalten die gleiche Zahl schwarzer Knoten. Umfärben N N

35 Einfügen in Rot-Schwarz-Bäume Zur Erinnerung: 4. Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. 5. Für alle Knoten v: Alle Pfade von v zu einem Blatt enthalten die gleiche Zahl schwarzer Knoten. Umfärben Rotieren N N N

36 Einfügen in Rot-Schwarz-Bäume Zur Erinnerung: 4. Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. 5. Für alle Knoten v: Alle Pfade von v zu einem Blatt enthalten die gleiche Zahl schwarzer Knoten. N

37 Einfügen in Rot-Schwarz-Bäume Zur Erinnerung: 4. Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. 5. Für alle Knoten v: Alle Pfade von v zu einem Blatt enthalten die gleiche Zahl schwarzer Knoten. Umfärben N N

38 Einfügen in Rot-Schwarz-Bäume Zur Erinnerung: 4. Ist ein Knoten rot, so sind beide Kinder schwarz. 5. Für alle Knoten v: Alle Pfade von v zu einem Blatt enthalten die gleiche Zahl schwarzer Knoten. Umfärben Rekursion N N N

39 Rot-Schwarz-Bäume Aufwandsabschätzung Speicher: Bit pro Knoten für die Farbe Parent-Pointer ist nötig Zeit: Konstanter Aufwand pro Knoten (Färben und Rotieren) Maximal O(log n) Rekursionstiefe Ziel erreicht: O(n) Platz und alle Operationen in O(log n).

40 Datenstrukturen in der Wirklichkeit

41 Datenstrukturen in der Wirklichkeit Java Collections java.util.linkedlist<t> java.util.arraylist<t> java.util.arraydeque<t> java.util.priorityqueue<t,c> java.util.treemap<k,v> java.util.treeset<k> java.util.hashtable<k,v> java.util.hashmap<k,v> java.util.hashset<k> C++ STL std::list<t> std::vector<t> std::deque<t> std::priority_queue<t,c> std::map<k,v> std::set<k> std::unordered_map<k,v> std::unordered_set<k>

42 Notizen zu (a, b)-bäumen B-Bäume sind fast ( m, m)-bäume mit m = B ein Festplatten-Block.

43 Insert-Geschwindigkeit (Integer, C++) Microsekunden pro Insert Red-Black Tree verkettete Hashtabelle (, 4)-Baum (6, )-Baum (, 64)-Baum (64, 8)-Baum Anzahl von Elementen

44 Locate-Geschwindigkeit (Integer, C++) Microsekunden pro Locate Red-Black Tree verkettete Hashtabelle (, 4)-Baum (6, )-Baum (, 64)-Baum (64, 8)-Baum Anzahl von Elementen

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