Kapitel 4: Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung

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1 Kapitel : Minimal spannende Bäume Gliederung der Vorlesung. Fallstudie Bipartite Graphen 2. Grundbegriffe. Elementare Graphalgorithmen und Anwendungen. Minimal spannende Bäume. Kürzeste Wege. Traveling Salesman Problem. Flüsse in Netzwerken und Anwendungen 8. Netzplantechnik /, Folie 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

2 Kapitel : Minimal spannende Bäume Gliederung des Kapitels a) Motivation b) Begriffe und Lösungsansatz c) Die Verfahren von Kruskal und Prim d) /, Folie 2 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

3 Kapitel : Minimal spannende Bäume Anmerkung das im Folgenden vorgestellte Verfahren von Boruvka hat gewisse Ähnlichkeiten mit dem Verfahren von Kruskal es werden sukzessive sichere Kanten aufgenommen, welche Zusammenhangskomponenten im Teilgraphen G = (V,E ) verbinden statt in jedem Schritt nur eine Zusammenhangskomponente mit einer neuen, sicheren Kante zu versorgen, werden im Verfahren von Boruvka alle Zusammenhangskomponenten parallel mit neuen, sicheren Kanten versorgt /, Folie 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

4 Kapitel : Minimal spannende Bäume Beispiel (/* Verfahren von Kruskal */) G 0 = (V,E 0 ) rot... Zusammenhangskomponenten G = (V,E ) rot... Zusammenhangskomponenten 0 /, Folie 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

5 Kapitel : Minimal spannende Bäume Beispiel (/* Verfahren von Boruvka */) G 0 = (V,E 0 ) rot... Zusammenhangskomponenten G = (V,E ) rot... 2 Zusammenhangskomponenten jede rote Kante ist eine sichere Kante für mindestens eine Zusammenhangskomponente im Graphen G 0 = (V,E 0 ) /, Folie 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

6 Kapitel : Minimal spannende Bäume Beispiel (/* Verfahren von Boruvka */) G = (V,E ) rot... 2 Zusammenhangskomponenten G 2 = (V,E 2 ) rot... Zusammenhangskomponente die neue rote Kante {2,} ist eine sichere Kante für die beiden Zusammenhangskomponenten im Graphen G = (V,E ) /, Folie 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

7 Kapitel : Minimal spannende Bäume Algorithmische Idee ) setze E = 2) solange E < n - bestimme alle Zusammenhangskomponenten V,...,V k des Teilgraphen G = (V,E ) bestimme für jedes i =,...,k eine leichte Kante e i = { u i,v i }, die nur eine Ecke in V i hat setze E = E { e,...,e k }... Anmerkung über die Korrektheit dieses Verfahrens müssen wir fast nicht reden, da sicher gestellt ist, dass die ausgewählten Kanten e i immer sichere Kanten sind... problematisch wird es nur, wenn zwei leichte Kanten e i und e j verschieden sind und die selben Zusammengehörigkeitskomponenten verbinden (/* d.h. beide haben eine Ecke in V i und eine Ecke in V j */) /, Folie 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

8 Kapitel : Minimal spannende Bäume Beispiel G = (V,E ) rot... 2 Zusammenhangskomponenten G 2 = (V,E 2 ) rot... Zusammenhangskomponente... aber zu viele Kanten die neuen roten Kanten {2,} und {,2} sind sichere Kanten für jeweils eine Zusammenhangskomponente im Graphen G = (V,E ) /, Folie 8 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

9 Kapitel : Minimal spannende Bäume Algorithmische Fragestellung gegeben: gesucht: ein ungerichteter, zusammenhängender Graph G = (V,E) es sei w(.) eine Gewichtsfunktion für G eine Kantenmenge E E, so dass G = (V,E ) ein minimaler spannender Baum für G ist... der Graph G habe genau n Knoten (/* der Einfachheit halber sei V = {,...,n } */) und m Kanten /, Folie 9 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

10 Kapitel : Minimal spannende Bäume Vorüberlegung es seien G = (V,E) der gegebene ungerichtete, zusammenhängende Graph und w(.) die zugehörige Gewichtsfunktion um die leichten Kanten aus einer Teilmenge E E auszuzeichnen, benutzen wir statt der üblichen -Relation die wie folgt definierte <* -Relation es seien e = {u,v} und e = {u v } Kanten in E dann setzen wir e <* e, falls a) oder b) gilt a) w(e) < w(e ) b) w(e) = w(e ) und min {u,v} < min {u,v } c) w(e) = w(e ) und min {u,v} = min {u,v } und max {u,v} < max {u,v }... da wir nur einfache Graphen betrachten, gibt es damit in jeder Teilmenge E genau eine leichte Kante /, Folie 0 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

11 Kapitel : Minimal spannende Bäume Realisierung des Verfahrens von Boruvka ) setze E = 2) solange E < n - ist bestimme die Zusammengehörigkeitskomponenten V,...V k des Teilgraphen for i =,...,k do bestimme die leichteste Kante e i = { u i,v i } mit u i V i und v i V i bzgl. der <* -Relation setze E = E... Schritt 2) wird O(log(n)) oft ausgeführt (/* in jedem Schritt wird die Anzahl der Zusammengehörigkeitskomponenten mindestens halbiert *)... es genügen O(n+m) viele Operationen je Schritt 2)... das Verfahren von Boruvka benötigt O((n+m)*log(n)) viele Rechenschritte /, Folie 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

12 Kapitel : Minimal spannende Bäume Beispiel (/* für den worst case */) /, Folie 2 20 Prof. Steffen Lange - HDa/FbI - Graphen und Optimierung

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