GRUNDKURS EXPERIMENTALPHYSIK

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1 Volesungsskipt GRUNDKURS EXPERIMENTALPHYSIK Pof. D. Fank Richte Skipt angefetigt von cand. phys. Stefan Welzel Technische Univesität Chemnitz Fakultät fü Natuwissenschaften Institut fü Physik

2 Vowot VORWORT Das voliegende Skipt basiet auf de Volesung in Expeimentalphysik fü Studenten des. und. Semestes des Diplomstudiengangs Physik. Die Volesung ist, anschließend an eine Einleitung, in vie goße Teilbeeiche gegliedet: Mechanik Themodynamik Elektizitätslehe Optik Zu besseen Oientieung finden sich am Rand folgende Symbole: Definitionen/Meksätze Beispiele SI Kommentae/Intepetationen/Diskussionen Definition von Einheiten nach dem SI-System (..) Gleichungsnummeieung Nebenechnung Wid im Rahmen de Eläuteungen auf eine Gleichung aus einem voangegangenen Kapitel Bezug genommen, so geschieht dies duch Voanstellen de jeweiligen Kapitelnumme vo die entspechende Gleichungsnumme (z.b. veweist die Angabe ( - 6) auf Gl. (6) in Kapitel ) Desweiteen weden im Text wichtige physikalische Gundbegiffe gesondet hevogehoben, die dann auch im Sachegiste aufgelistet sind. Weitee im Text vewendete Symbole sind: Schlussfolgeungen <..> Veweis auf andee Kapitel {..} Quellenangabe I

3 Inhaltsvezeichnis INHALTSVERZEICHNIS VORWORT...I INHALTSVERZEICHNIS...II A. EINLEITUNG.... Einleitung..... Was ist Physik..... Die Rolle des Expeimentes Physikalische Modelle und Theoien De Stammbaum de Physik Wichtige Gößen und Maßeinheiten... 5 B. MECHANIK Kinematik Otsvekto Geschwindigkeit Beschleunigung Bescheibung de Keisbewegung Übelageung von Bewegungen Dynamik Tägheit Käfte Kaft und Masse Die NEWTONschen Axiome Impulsehaltung Einfache Bewegungen Reibungskäfte Abeit und Enegie Mechanische Enegie Potentielle Enegie Feldkaft und potentielle Enegie De Enegiesatz de Mechanik Gavitation Dehimpuls und Dehmoment Das Gavitationsgesetz Potentielle Enegie und Gavitationspotential... 3 II

4 Inhaltsvezeichnis 5.4. Planetenbewegung Schwingungen I De Fedeschwinge Das Pendel Gedämpfte Schwingungen Systeme von Massenpunkten; Stöße De Schwepunkt Stöße: Gundlagen Elastische Stöße im Labosystem Stöße im Schwepunktsystem Inelastische Stöße Nichtzentale Stöße Bewegte Bezugssysteme Vobemekungen Bezugssysteme mit konstante Relativgeschwindigkeit u << c Linea beschleunigte Bezugssysteme Rotieende Bezugssysteme De stae Köpe; Rotation I Einleitung Käfte und Dehmoment an staen Köpen Tägheitsmoment Dynamik bei de Rotation Zusammenstellung wichtige fomale Analogien Rotation II Tägheitstenso Tägheitsellipsoid Symmetische Keisel Defomiebae Festköpe Dehnung und Kompession Scheung De gebogene Balken Inelastisches Vehalten Flüssigkeiten Einleitung Statische Duck Schweeduck Auftieb und Schwimmen Obeflächenspannung Fest-flüssig-Genzflächen III

5 Inhaltsvezeichnis 3. Gase Kompessibilität Schweeduck in Gasen Stömende Flüssigkeiten und Gase Vobemekungen Innee Reibung Beispiele fü laminae Stömungen Tubulente Stömungen, Ähnlichkeit, Stömungsgenzschicht Reibungsfeies Fluid: BERNOULLIsche Gleichung Stömungswidestand Schwingungen II D-Übelageung von Schwingungen Schwebungen Die FOURIER-Analyse Gekoppelte Schwinge Ezwungene Schwingungen Wellen Einleitung Wellengleichungen Aten von Wellen Wellenausbeitung in veschiedenen Medien Übelageung von Wellen; Guppengeschwindigkeit Wellenausbeitung Steuung Das HUYGENSsche Pinzip Das FERMATsche Pinzip Beugung DOPPLER-Effekt; MACHsche Wellen Intensität eine Welle Reflexion und Tansmission an eine Genzfläche Akustik Einleitung Töne und Klänge Stehende Wellen; Musikinstumente... 3 LITERATURLISTE... V QUELLENVERZEICHNIS...VI SACHREGISTER... VII IV

6 A. EINLEITUNG Einleitung

7 Einleitung. Einleitung.. Was ist Physik ϕυσιζ Uspung, Natuodnung, das Geschaffene lt. den giechischen Natuphilosophen, z.b. Aistoteles (384-3 v.d.z.) im Gegensatz zu Metaphysik (das, was im Aistoteleschen System nach de Physik behandelt wid, also die gesamte ideelle Welt) giechische Natuphilosophie: Beginn des natuwissenschaftlichen Denkens; Entmythologisieung de Natu Natu als (seh kompliziete) Mechanismus, den man im Pinzip vestehen kann; Gesetzmäßigkeiten statt unduchschaubaes Wiken von Götten und Dämonen weitee Etappen: klassische Physik ~ 90 modene Physik (Quantenphysik, Relativität) Veständnis de Natu Ekennen von Gesetzmäßigkeiten Natubeobachtung Schlussfolgeung (z.b. Gesetze de Planetenbewegung) Bloßes Beobachten eicht oft nicht aus, da die Natu zu kompliziet ist (Übelageung von Einflüssen), und man z.b. auch optischen Täuschungen zum Opfe fallen kann (gezieltes) Expeiment Fage an die Natu Ausschluss stöende Einflüsse, ggf. Vestäkung des gewünschten/inteessieenden Effektes Mit dem Expeiment eng veknüpft sind zwei weitee Komplexe: physikalische Gößen, Maßeinheiten, Messung, Messfehle (vgl. <..>) physikalische Modelle, Theoien, Rolle de Mathematik (vgl. <.3.>).. Die Rolle des Expeimentes Wesen des Expeimentes ist die Messung ( Vegleich zweie Gößen) Beispiel: Physikalische Göße Länge hat Maßeinheit Mete (m). Vegleich eine gegebenen Distanz mit diese Maßeinheit Distanz betägt,54 m Maßeinheiten sind duch Nomale ode Standads definiet; Messgeäte müssen egelmäßig mit diesen veglichen (geeicht, kalibiet) weden Die vewendeten Nomale hängen vom Entwicklungsstand von Wissenschaft und Technik ab.

8 Einleitung Beispiel: Mete 799: / des Edquadanten 875: Umete (Pt-I-Stab mit Stichen) x x x mm 960: übe die Wellenlänge eine bestimmten Stahlung, die Kypton-86-Atome aussenden 983: (wegen de inzwischen eeichten enomen Genauigkeit de Zeitmessung) m ist die Stecke, die das Licht im Vakuum in zuücklegt s x 8 0 x t 4 0 t Damit ist c keine Messgöße meh und betägt definitionsgemäß m s - Gundgößen und abgeleitete Gößen, z.b. Länge s Zeit t } Geschwindigkeit s v t Übe die Auswahl de Gundgößen sind bestimmte Maßsysteme definiet. Seit 960 in vielen Länden vebindlich: SI-System (le Système Intenational d Unitès) 7 Gundgößen mit de entspechenden SI-Basiseinheit SI Länge Mete m Zeit Sekunde s Masse Kilogamm kg elektische Stomstäke Ampee A Tempeatu Kelvin K Stoffmenge Mol mol Lichtstäke Candela cd Kommenta: Alle andeen Gößen sind aus den Gundgößen abgeleitet, ebenso ihe Maßeinheiten aus den Basiseinheiten. Alledings haben manche abgeleiteten Einheiten eigene Namen (N, J, W, V,...) Die Auswahl de Gundgößen efolgt nach Zweckmäßigkeit. Pinzipiell wüden dei Gundgößen, z.b. Länge, Zeit, Masse eichen 3

9 Einleitung Es gibt imme noch/imme wiede: SI-femde Maßeinheiten, z.b. To, atm, cal, yad, inch,... andee Maßsysteme ggf. andees Aussehen von Fomeln; z.b. titt beim CGS-System (cm-g-sec) das /4πε 0 in den Gleichungen de Elektodynamik Messgenauigkeit und -epoduziebakeit wie goß ist de maximal mögliche Fehle? liefet Wiedeholung de Messung zu andee Zeit und/ode andeen Bedingungen dasselbe Egebnis? Dies nicht so wichtig fü die Schauvesuche de Volesung, jedoch seh fü wissenschaftliche Abeit. siehe Paktikum.3. Physikalische Modelle und Theoien Expeimente meist so gestaltet, dass bestimmte Einflüsse deutlich messba sind, andee (stöende) Einflüsse dagegen untedückt weden. Beispiel: Fallgesetz: Köpe mit hohe Massendichte kein Wind u.a. am besten Vakuumtum Fall-Vehalten nu von Masse des Köpes abhängig, alle sonstigen Eigenschaften (Dichte, Fom,...) sind uneheblich Bild (Modell) de Punktmasse Physikalische Gesetze, die in de Regel duch Fomeln ausgedückt weden, sind den Veeinfachungen des Modells angepasst, d.h., Dinge, die in dem betachteten Zusammenhang keine Rolle spielen, kommen nicht meh vo. Einfachheit und Klaheit. Man muss abe imme wiede übepüfen, ob die Voaussetzungen des Modells im konketen Fall gelten Hypothesen sind meh ode wenige ( Abeitshypothese ) begündete Vemutungen dienen oft dem Entwuf von Expeimenten ( Wenn... so ist, dann müsste doch... ) sind die Vostufen von Gesetzmäßigkeiten Pinzipiell ist die Physik natülich imme offen fü unewatete expeimentelle Egebnisse, insofen ist keine Gesetzmäßigkeit absolut. Mit zunehmende Vevollständigung des Bildes von de Welt, de zunehmenden Menge von zusammenpassenden und sich gegenseitig stützenden Befunden, steigt natülich 4

10 Einleitung das Zutauen in die gefundenen Gesetzmäßigkeiten. Deshalb wid z.b. die Suche nach einem pepetuum mobile als Zeitveschwendung abgelehnt. Theoien sind die (übewiegend mathematische) Fomulieung gefundene ode hypothetische Gesetzmäßigkeiten. Sie beziehen sich auf ein bestimmtes physikalisches Modell, d.h., bestimmte Bedingungen (z.b. das Fehlen von Reibung beim Fallgesetz). wichtige Rolle de Mathematik und de Computetechnik Abeitsteilung Expeimentalphysik - Theoetische Physik wegen des enomen Wissensvolumens (Keple, Newton, Galilei waen nicht spezialisiet) Expeimente mit dem Compute Heausfinden de wesentlichen Gesetzmäßigkeiten/Theoiebildung anhand expeimentell übepüfte Konstellationen und Beechnung expeimentell paktisch unzugängliche Konstellationen.4. De Stammbaum de Physik Bedeutung de Mechanik: gundlegend fü vieles andee beispielhaft (z.b. bezüglich Modellbildung) ({}, S. 4).5. Wichtige Gößen und Maßeinheiten.5.. Länge: m Vosilbe lt. SI-System 0 3 m km kilo 0-3 m mm milli 0-6 m µm miko 0-9 m nm nano } feinstbeabeitete Obefläche 0 - m pm pico 0-5 m fm femto Atomken-Duchmesse Es gibt auch Theoien, die zunächst hypothetisch sind 5

11 Einleitung 0-0 m Å Angstöm Atom-Duchmesse Lichtjah Lj 9, m Pasec pc m.5.. Zeit: s Die Sekunde ist definiet als das fache de Peiodendaue eines bestimmten Übegangs zwischen Enegieniveaus des 33 Cs-Atoms s Alte des Univesums 0 7 s Alte de Ede 0 3 s Zeit seit de Entwicklung des esten Menschen 0-3 s ms 0-6 s µs 0-9 s ns Anegungsdaue eines Atoms 0 - s ps ultakuze Lasepuls; Ultakuzzeitphysik 0-5 s fs Peiodendaue eine Lichtwelle.5.3. Masse: kg Masse (zu Zeit noch) definiet übe den in Pais aufbewahten kg-pt-i-zylinde (fühe: dm 3 H O bei 4 C). Angestebt: Übegang zu Si-Einkistallkugel mit definiete Atomanzahl ( Anschluss an genaue messbae atomae Einheiten) exteme Beispiele: Masse eines Elektons: 0-30 kg Masse de Sonne: 0 30 kg Masse de Milchstaße: 0 4 kg.5.4. Tempeatu: K Ein Kelvin ist de 73,6te Teil de themodynamischen Tempeatu am Tipelpunkt des Wasses. (De Tipelpunkt des Wasses liegt bei 73,6 K 0,0 C.) 6

12 .5.5. Winkel Im Alltag, in de Geogaphie usw.: zweckmäßig: Bogenmaß Einleitung Vollkeis (Bogenminute) (Bogensekunde) Bogenlänge L Radius R Dann ist de Vollkeis πr R π. Steng genommen hat de Winkel im Bogenmaß auch eine Maßeinheit: SI-Einheit: de Radiant; [α] ad m m - SI De Vollkeis ist also π ad 6,8 ad; ad 57 De Physike spicht abe von Winkel 3/4π o.ä Raumwinkel De Raumwinkel ist definiet übe die eingeschlossene Fläche S auf de Kugelobefläche, geteilt duch das Quadat des Kugeladius. Ω S R De Vollwinkel ist dahe 4πR Ω 4π. R Kommenta: Die Fläche S ist ein beliebige (in sich geschlossene) Teil de Kugelobefläche. De Raumwinkels u.a. wichtig fü die Bescheibung von Stahlungsemission. SI-Einheit: de Steadiant; [Ω] s m m - SI 7

13 B. MECHANIK Mechanik

14 Mechanik - Kinematik. Kinematik... ist die Lehe von de Bewegung. Sie bescheibt Bewegungen, ohne nach den Usachen zu fagen... Otsvekto De Ot eines Massepunktes P zum Zeitpunkt t wid beschieben duch den Otsvekto (t) mit dem Uspung 0: De Uspung wid entspechend dem physikalischen Poblem zweckmäßig gewählt, z.b.: Abwufstelle beim Wuf, Rotations-Mittelpunkt bei Rotation. Wenn sich P elativ zu 0 bewegt, ist (t). Die Gesamtheit de Endpunkte von heißt Bahnkuve: Je nach dem physikalischen Poblem wid man in unteschiedliche Weise in Komponenten zelegen: im allgemeinen Fall entspechend den katesischen Koodinaten: x i + y j + z k i, j,k... Einheitsvektoen in x-, y-, und z- Richtung, () bei eine Rotationsbewegung wid man oft Polakoodinaten wählen (vgl. <.4.>)... Geschwindigkeit... ist die Ändeung des Otsvektos mit de Zeit: 9

15 Mechanik - Kinematik v(t, t ) (t ) (t) t t t () v ist die mittlee Geschwindigkeit im Intevall (t, t ). Beliebige Eskapaden innehalb dieses Intevalls (siehe Abbildung) bleiben unbemekt/unbeücksichtigt Die Momentangeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt ehält man duch Genzübegang t t : (t ) (t) d v(t) lim (t) (t & ) t t t t dt (3).3. Beschleunigung... ist die Ändeung de Geschwindigkeit mit de Zeit ( v ist Tangente an die Bahnkuve ): Man sieht, dass sich v im Allgemeinen sowohl im Betag als auch in de Richtung ändet Die Beschleunigung ist ein Vekto. Maßeinheit: [a] m s mittlee Beschleunigung im Intevall (t, t ): a(t, t v(t ) v(t ) t t ) v t SI (4) Analog zu Gl. (3) ehalten wi die (momentane) Beschleunigung zum Zeitpunkt t : v(t ) v(t) dv d a(t) lim (t) (t) & (t ) t t t t dt dt (5) Genzfälle de Beschleunigung (bzw. Komponenten im allgemeinen Fall): a) Tangentialbeschleunigung (tangential zu Bahnkuve) a ~ v wikt paallel (ode antipaallel) zu v ( v v ) es ändet sich nu v, nicht die Richtung 0

16 Mechanik - Kinematik b) Nomalbeschleunigung (nomal zu Bahnkuve) a ~ v wikt senkecht zu v ( v v ) es ändet sich nu die Richtung, nicht v Beispiel: Auf de Ede unteliegt jede nicht fixiete Köpe eine Beschleunigung. a 9,8 m s - g... Edbeschleunigung v nimmt zeitlinea zu: dv m 9,8 dt s t m v(t) 9,8 dt s v(t) Fallstecke s: 0 m 9,8 s t ds(t) dt s(t) s(t) v(t) t m v(t ) dt 9,8 t dt s 0 9,8 m t s t 0 t v(t) s(t) s 9,8 m s - 4,9 m ( 4,9) s 9,6 m s - 9,6 m ( 4 4,9) 3 s 8,4 m s - 44, m ( 9 4,9).4. Bescheibung de Keisbewegung Bei de Keisbewegung ist de Abstand konstant. Einfühung von Polakoodinaten zweckmäßig

17 Mechanik - Kinematik y x + y y sin ϕ x + y Tansfomationsgleichungen { x, y} {,ϕ} Veallgemeineung: Zylindekoodinaten (fü otationssymmetische Pobleme) { x, y,z} {, ϕ,z} Nun zu Keisbewegung (hie ist const. ): Winkelgeschwindigkeit ω dϕ(t) ω dt ϕ& (t) (6) Winkelbeschleunigung α dω(t) α dt d ϕ(t) dt ϕ& (t) (7) Zusammenhang mit Umlaufgeschwindigkeit, -beschleunigung: s ϕ s& v ϕ & ω && s a v& ω & α (8) Bis hiehe: Rotation in de Ebene. Im 3D betachtet man ω und α zweckmäßigeweise als Vektoen. Richtung duch Rotationsebene festgelegt Betäge: ω ω lt. Gl. (6) α α lt. Gl. (7)

18 Mechanik - Kinematik Rechte-Hand-Regel α kann bei gegebene Rotationsichtung nach oben ode unten zeigen: α ~ ω Beschleunigung α ~ ω Abbemsung Vektoscheibweise von Gl. (8) (dann stimmen Betag und Richtung): v ω a α (9).5. Übelageung von Bewegungen Die Zusammenhänge zwischen Ot, Geschwindigkeit und Beschleunigung gelten fü jede Komponente einzeln. Dies eleichtet vieles z.b. in katesischen Koodinaten: v a Beispiel: Waageechte Wuf v 0 x i + y j + z k & x& i + y& j + z& k v x i + v y j + v zk v & & & & x i + && y j + && z k a x i + a y j + a zk v x i () (0) Waageecht findet eine gleichfömige Bewegung statt (v x const.) und senkecht eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung (feie Fall, d.h. a g const.), die sich übelagen. 3

19 Mechanik - Kinematik Man kann natülich auch fü jeden Zeitpunkt Betag und Richtung de esultieenden Geschwindigkeit emitteln: v (t) v (t) + v (t) v + g t tanβ v v x y x y x 4

20 Mechanik Dynamik 3. Dynamik Jetzt fagen wi nach de Usache de Ändeung des Bewegungszustandes, also nach de Usache de Beschleunigung. 3.. Tägheit Ändeung des Bewegungszustandes heißt Ändeung de Geschwindigkeit. Schon Galilei (564-64) hat ekannt, dass eine geadlinig gleichfömige Bewegung, d.h. v const., von sich aus fotbesteht, also keine besondeen Usache be- daf. Ruhe ist ein Sondefall davon. Man bezeichnet dies als Tägheitspinzip. 3.. Käfte Eine Ändeung des Bewegungszustandes eines Köpes setzt eine Wechselwikung voaus Konzept de Käfte Ändeung des Bewegungszustandes } { am Köpe geift eine Kaft an Käfte können die veschiedenatigsten Usachen haben. Eigenschaften von Käften Käfte sind Vektoen, also bestimmt duch Betag und Richtung Bei meheen Käften übelagen sich alle Komponenten einzeln, z.b. fü katesische Koodinaten: F F F F ges x,ges y,ges z,ges i i i i F i F F F x,i y,i z,i () Auch hie gelten natülich wiede (vgl. Gl. ( - 0)) die Zusammenhänge fü jede Koodinate einzeln Ein Köpe ode Massepunkt mit F ges 0 heißt fei, d.h., e ändet seinen Bewegungszustand nicht. 5

21 Mechanik Dynamik In vielen Fällen hängt die Kaft vom Ot ab, d.h. F F(), also Betag und Richtung de Kaft sind eindeutig dem Ot zugeodnet. Eine solche jedem Raumpunkt zugeodnete Kaft wid als Kaftfeld bezeichnet. Beispiel: Gavitation/Ede Also: Jede Punkt in de Umgebung de Ede besitzt die Eigenschaft, auf eine bestimmte Masse eine ganz bestimmte Kaft F( ) auszuüben. Diese Eigenschaft hat de Punkt auch dann, wenn keine zweite Masse dot ist Kaft und Masse Unteschiedliche Köpe eagieen auf ein und dieselbe Kaft unteschiedlich. z.b.: Ziehen am Handwagen an einem PKW Abbemsen eines goßen Schiffes Die Eigenschaft, sich de Einwikung de Kaft zu widesetzen und den alten Bewegungszustand möglichst beizubehalten (Tägheit) wid duch die täge Masse beschieben. Es gilt: F m a ( m v m& & ) () Dies ist das NEWTONsche Aktionspinzip. Es kann in deielei Weise intepetiet weden: a) F m a (Gl. ()): Bestimmung von F ; Wenn ein Köpe de Masse m eine Beschleunigung a efäht, wie goß ist dann die wikende Kaft? (z.b.: Emittlung de Edschwekaft aus Fallexpeiment) 6

22 F b) m : a Mechanik Dynamik Chaakteisieung de Tägheit; Wie viel Kaft muss po Beschleunigung aufgewandt weden? c) & & a F : m Bestimmungsgleichung fü a. Damit kann letztlich bei gegebene Kaft F (t) fü eine bestimmte Masse m die Bahnkuve (t) duch Integation bestimmt weden. Lesat a) bzw. Gl. () fühen zu Definition de Maßeinheit fü die Kaft aus den SI-Gundgößen Masse, Länge und Zeit: Newton N m kg SI, (3) s Also: N ist die Kaft, die eine Masse von kg die Beschleunigung a m s veleiht. m Die Beschleunigung duch die Edschwekaft auf de Edobefläche betägt g 9,8. s kg besitzt auf de Edobefläche die Gewichtskaft F G 9,8 m kg 9,8 N kp s Die Gewichtskaft daf nicht mit de Masse vewechselt weden. Die Maßeinheit Kilopond ist übe g definiet. Dahe besse N vewenden 3.4. Die NEWTONschen Axiome Die Gundgesetzmäßigkeiten de Bewegung von Köpen unte dem Einfluss von Käften hat Newton (643-77) in folgenden Axiomen fomuliet:. (Tägheitspinzip): Jede Köpe vehat in Ruhe ode de gleichfömigen geadlinigen Bewegung, solange keine Kaft auf ihn einwikt.. (Aktionspinzip): Wenn eine Kaft F auf einen Köpe mit de Masse m wikt, beschleunigt sie ihn mit: F a & m (4) 3. (Reaktionspinzip): Bei zwei Köpen, die nu miteinande wechselwiken ist die Kaft F auf Köpe A entgegengesetzt de Kaft F auf Köpe B: F F Actio Reactio (5) 7

23 Mechanik Dynamik Newton hatte. andes fomuliet, und zwa unte Zuhilfenahme des Impulses: p m v De Impuls ist ein Vekto ~ v. Maßeinheit: [p] m kg s Newton schieb: Eine Kaft F ändet bei ihe Einwikung auf einen Köpe dessen Impuls entspechend. dp d F dt ( m v) dt (6) SI (7) Anwendung de bekannten Diffeentiations-Regeln liefet: F F dv dm m + v dt dt m a + 0 Nu fü konstantes m folgt Gl. (4) Als ob Newton die Relativitätstheoie geahnt hätte 3.5. Impulsehaltung Das. NEWTONsche Axiom besagt: Ein Teilchen, auf das keine Kaft wikt, ändet seinen Impuls nicht. Gegeben ist nun: System aus vielen Teilchen, keine Kaft von außen: keine von außen aufgepägten Impulsändeungen Welche Rolle spielen innee Wechselwikungen (zwischen den Teilchen)? Betachtung am Beispiel zweie Teilchen: Teilchen veusacht F auf Teilchen : p t F abe: Teilchen veusacht ebenfalls eine Kaft, F, auf Teilchen : p t F Wegen des 3. NEWTONschen Axioms ist: F F p p, also p + p pges 0 8

24 Mechanik Dynamik Fazit/Veallgemeineung auf viele Teilchen: In einem abgeschlossenem System, d.h. einem System ohne Wechselwikung mit äußeen Käften, ist de Gesamtimpuls konstant: p ges p i const. i (8) Die Bedingung abgeschlossenes System lässt Reibung ohne weitees zu 3.6. Einfache Bewegungen Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung In de Nähe de Edobefläche ist g einigemaßen konstant alle Wufbewegungen sind gleichmäßig beschleunigt (Lufteibung venachlässigt): a g const. (Edbeschleunigung) Beispiel: senkechte Wuf nach oben mit: v(0), g v 0 skalae Scheibweise : g dv dt v(t) g dt' v(t) t 0 v 0 gt x(t) v(t' ) dt' x(t) t 0 x g 0 + v 0t t m Unte g vestehen wi jetzt g 9,8. Das negative Vozeichen entspicht de Tatsache, s dass g in die negative Koodinatenichtung zeigt. 9

25 Mechanik Dynamik Wie hie nicht bewiesen weden soll, gelten fü beliebige Richtungsbeziehungen zwischen a const. und v 0 const. die analogen Vektobeziehungen: und v(t) v0 + a t a (t) + v0 t + 0 t (9) (0) Die gleichfömige Keisbewegung Wi hatten in <.4.> die Winkelgeschwindigkeit eingefüht: ω ϕ& ( - 6) Die Umlaufzeit T fü eine Umdehung, d.h. fü ϕ π, egibt sich wie folgt: dϕ ω dt π T T π () ω Damit folgt fü die Umdehungsfequenz ν (in /Zeiteinheit): ν T ω π () also ist ω π ν (3) Die Winkelgeschwindigkeit (sogenannte Keisfequenz ) ist also das π-fache de Umdehungsfequenz (weil po Umdehung ein Winkel von π übestichen wid). Welche Beschleunigung efäht eine otieende Masse? Wi betachten die Betäge:, v v, a a,, v v 0

26 Mechanik Dynamik dv a dt (4) Wegen de Ähnlichkeit de Deiecke ist: v v v v Dies in (4) eingesetzt egibt: v a a t ω ω t v dϕ ω dt ω ( - 8) a ω (5) Um eine Masse m auf eine Keisbahn zu halten, baucht man die Kaft: F m a, d.h. mit Gl. (5) F mω (6) Dies ist die Zentipetalkaft, die z.b. duch ein Seil aufgebacht weden muss, um einen Köpe auf eine Keisbahn zu halten. (vgl. <8.4.>) 3.7. Reibungskäfte Reibung zwischen festen Köpen Reibung hat negative und positive Seiten, wie jede bei Glatteis mekt a) Gleiteibung: empiisch findet man: FR µ F N µ... Reibkoeffizient (7) Kommenta: µ gilt fü bestimmte Mateialpaaung Deutung: mikoskopische Obeflächen-Rauheit unabhängig von Auflagefläche/-duck unabhängig von Geschwindigkeit } Näheung

27 Mechanik Dynamik b) Hafteibung: F H H µ F ( µ H > µ ) (8) H N µ... Hafteibungskoeffizient Deutung: Heausheben aus Anfangs-Vehakung Kommenta zu Reibung zwischen Festköpen: Reduzieung de Reibung duch Schmieung Vemeiden de Reibung (Kugellage) in de Realität beliebig kompliziet: Luftsauestoff chemische Reaktionen, Schmiemittel, Obeflächengestalt. Bezug zu Kontaktmechanik Reibung in Flüssigkeiten ode Gasen Ein Köpe, de sich duch ein zähes Medium bewegt, wid ebenfalls gebemst. (vgl. <4.>) Hie soll zunächst nu die Fomel gegeben weden. Fü eine Kugel gilt: (De Fakto 6π ist spezifisch fü die Kugel) F R 6π η v η... Viskosität (Zähigkeit) v... Geschwindigkeit (9) Wichtig: F R ~ v Sättigung de Geschwindigkeit bei konstante Kaft (z.b. feie Fall).

28 Mechanik Abeit und Enegie 4. Abeit und Enegie 4.. Mechanische Enegie Goldene Regel de Mechanik: Was man an Kaft gewinnt, muss man an Weg zusetzen (und umgekeht). Offensichtlich ändet es das Egebnis nicht, wenn sich Kaft und Weg änden, solange nu das Podukt aus Kaft und Weg konstant ist. Definition: mechanische Abeit W F Abeit ist ein Skala entscheidend ist die Kaftkomponente in Wegichtung: () F F cos γ F t F t... Tangentialkomponente Käfte Wegelement (F n ) leisten keine Abeit (sogenannte Zwangskäfte) Fü einen makoskopischen Weg ehält man statt () veallgemeinet: W F d Weg () Maßeinheit fü die Abeit ist das Joule: [W] J SI J Nm kg m m s 3

29 Mechanik Abeit und Enegie Beispiel: Beschleunigungsabeit F dv m (. NEWTONsches Axiom) dt Die Kaft ist de Tägheitskaft entgegengeichtet, die iheseits de Beschleunigung entgegengeichtet ist. W F d v dv W m v dt dt W v m m v v E kin d v dt mit E kin m v E kin... kinetische Enegie, Bewegungsenegie (3) Die beim Beschleunigen des Teilchens aufgewandte Abeit steckt als Ändeung de kinetischen Enegie in de bewegten Punktmasse. Beispiel: Hubabeit F m g (Minuszeichen, weil die aufzuwendende Kaft de Edschwekaft entgegengeichtet ist) W m g d h skala: W m g d 0 (Bei skalae Scheibweise fällt das Minuszeichen weg, weil d und g entgegengeichtet sind.) W m g h E pot E pot... Ändeung de potentiellen Enegie (von 0 auf h) (4) 4

30 Mechanik Abeit und Enegie 4.. Potentielle Enegie gegeben: Kaftfeld lt. <3..>, also F F() Wenn man die Punktmasse quasistatisch mit de Kaft F a gegen die Feldkaft F veschiebt, wid die folgende Abeit geleistet: dw F a d F d (5) Integation egibt fü den Weg : W(, ) F d Es zeigt sich, dass diese Abeit fü wichtige Kaftfelde unabhängig vom Weg ist: Solche Kaftfelde heißen konsevative Kaftfelde ode Potentialfelde. Beispiele dafü sind die Gavitations- sowie die elektostatischen Felde. (6) Beide gehöen zu den Zentalfelden: F f () F f () nu Radialkomponente (7) Alle Zentalfelde lt. Gl. (7) sind konsevativ, und zwa im Pinzip mit beliebigem f(). In de Realität existieen abe eben nu bestimmte. Wegunabhängigkeit heißt also: F d I I II F d F d + F d F d 0 II (8) (9) Definition: potentielle Enegie, E pot dw de pot F d (0) 5

31 Mechanik Abeit und Enegie bzw. in Integalfom: W F d E pot ( ) E pot ( ) () Vozeichenwahl: Bewegung gegen die Feldkaft, d.h. F d < 0 füht zu Epot > 0 bzw. W > 0. Bemekung: und E pot ( ) können dem Poblem angepasst fei gewählt weden Feldkaft und potentielle Enegie das totale Diffeential: gegeben: Funktion z f(x,y) Es gilt: dz ( dz) + ( dz) z z dz dx + dy x y (patielle Ableitungen) analog im 3D ist E pot E pot (x,y,z): de pot E p x E p dx + y E p dy + z dz () andeeseits ist lt. Gl. (0): de pot F x dx F y dy F dz z (0 ) Gleichsetzung von (0 ) und () liefet: F i + j + k E x y z F gad E E p p mit... Nabla-Opeato p (3) 6

32 Mechanik Abeit und Enegie 4.4. De Enegiesatz de Mechanik Multiplikation von Gl. (3) mit & v & : mit (): F & gad E pot & E i x d E pot dt pot E + j y pot E + k z pot i dx dt + j dy dt + k dz dt (4) andeeseits ist nach dem. NEWTONschen Axiom: F m & & & (3 - ) F & m & & (5) Es lässt sich leicht zeigen, dass: d dt E kin d m & dt m & & m & & (6) De Vegleich von (4), (5) und (6) liefet: d d d d E pot E kin bzw. E pot + E kin 0 (7) dt dt dt dt Die mechanische Enegie ( Summe aus E kin und E pot ) ist in einem konsevativen Kaftfeld (Potentialfeld) konstant. Zu Rolle de Reibung: Reibung vewandelt E kin in Wäme ( ungeodnete Teilchenbewegung) Veletzung des Enegieehaltungssatzes de Mechanik (Wenn man die Wämeenegie mit einbezieht, bleibt die Enegie natülich wiede ehalten.) Reibung stöt nicht die Impulsehaltung. 7

33 Mechanik Gavitation 5. Gavitation 5.. Dehimpuls und Dehmoment De Dehimpuls titt bei Dehbewegungen an die Stelle des Impulses. Wi betachten zunächst den Dehimpuls eines Teilchens (späte weden wi den Dehimpuls auch fü otieende stae Köpe betachten): Wi definieen als Dehimpuls bezüglich des Uspungs 0: L p (also: L p sin(, p) ) () Untesuchung de so definieten Göße: L steht auf de Ebene, in de die Dehung efolgt. Davonfliegen", keine Dehung um den Uspung sin(, p) 0 L 0 sin(, p) L p maximale Dehung Göße hängt plausibel mit de Intensität de Dehbewegung zusammen 8

34 Mechanik Gavitation Dehimpuls ist eine allgemeine Göße und nicht an die Existenz eine Rotation gebunden, z.b.: Auch hie existiet ein (konstante) Dehimpuls: L p Lok sin(p, ) 443 b L p Lok b const. Ändeung von L : mit: d d ( m & ) L dt dl dt dt m & & + m & F M M... Dehmoment () (3) Maßeinheit: [M] N m SI Das Dehmoment ist de Kaft beim Impuls analog Zu Einneung: dp dt F (3-7) Plausibilitätsekläung: M Kaft wiksame Kaftam Untesuchung de Göße: F 0, d.h. L const. keine Ändeung de Intensität de Dehung 9

35 Mechanik Gavitation F F max. maximale Ändeung Zentalfeld (z.b. Gavitation): F ~ M F 0 d L, d.h. 0 dt, d.h. L const. Im Zentalfeld ist L const., sofen keine äußeen Dehmomente angeifen. 5.. Das Gavitationsgesetz Newton 665/66, Apfel Wahscheinliche Logik de Heleitung: a) Beobachtung, dass alle Köpe gleich schnell fallen Beschleunigung, m & x Gavitationskaft ~ m des fallenden Köpes b) Reaktionspinzip gegenseitige Anziehung; Gesetz sollte bezüglich m und m symmetisch sein c) Abstandsabhängigkeit? Betachtung de Mondotation um die Ede: Fü den Mond muss die Gavitationskaft die notwendige Zentipetalbeschleunigung aufbingen; Zentipetalbeschleunigung lt. Gl. (3-5): a ω π 6 m 6, ,73 0 7, s (86400 s/tag) (Edadius 6370 km) 3 m s Auf de Edobefläche ist g 9,8 m s, also 3600 Mal göße: 9,8, Gavitationskaft fällt mit 30

36 Gavitationskaft F G m m γ γ... Popotionalitätskonstante (Gavitationskonstante) γ wid expeimentell bestimmt (Dehwaage) zu: γ (6,670 ± 0,0004) 0 - Nm kg Mechanik Gavitation (4) täge und schwee Masse: Masse veköpet die Tägheit (Widestand gegen Bewegungszustandsändeung) und sie ist Gegenstand de Gavitationskaft Dies zunächst zwei veschiedene Dinge Fallexpeimente: ms M F γ m M... Edmasse m S... schwee Masse m T... täge Masse T & x Alle Köpe haben (innehalb von 0 - ) gleiche Beschleunigung. Täge und schwee Masse sind innehalb diese Genzen gleich (eigentlich popotional zueinande, entspechende Festlegung von γ, s.o.) Inzwischen hat Einstein die Gleichheit von täge und schwee Masse postuliet und als Gundlage de allgemeinen Relativitätstheoie genommen. Obwohl Gavitation imme eine beideseitige Anziehung ist, ist es oft zweckmäßig, fü eine de Massen das Kaftfeld zu betachten: F G mit: G γ M γ M m m G G... Gavitationsfeldstäke Also: Zu gegebenem G -Feld egibt sich Gavitationskaft auf m einfach als m G. (5) 3

37 Mechanik Gavitation 5.3. Potentielle Enegie und Gavitationspotential Wi wählen in Gl. (4 - ) und bilden: W Fd γmm mm d γ (6) Dies ist gleich E pot () - E pot ( ), vgl. (4 - ). Wenn wi venünftigeweise E pot ( ) 0 setzen, folgt () E pot γ mm (7) fü die potentielle Enegie de Masse m im Schweefeld de Masse M. Gavitationspotential: Wi können analog zu G auch E pot in eine m- unabhängige Göße umwandeln, das Gavitationspotential Φ Es ist definiet: F G Φ also: Φ() E pot m M γ (8) Dastellung: 5.4. Planetenbewegung Die KEPLERschen Gesetze (609/) lauten:.) Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deen einem Bennpunkt die Sonne steht..) De Fahstahl übesteicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. 3.) Die Quadate de Umlaufzeiten de Planeten vehalten sich wie die ditten Potenzen de goßen Halbachsen. 3

38 Mechanik Gavitation zu.) Ein Beweis soll hie nicht gegeben weden (geht mit Enegiesatz). Außedem ist die Exzentität de Planetenbahnen unsees Sonnensystems geing, die Bahnen sind in seh gute Näheung Keise. Massenvehältnisse: Ede/Sonne ~ Jupite/Sonne ~ Sonne uht paktisch (schweste Planet) 000 zu.) Dies folgt aus de Dehimpulsehaltung: v d da L mv m m dt dt d Fläche MABC da also: Schnell Bewegung in Sonnennähe, langsame in de Fene zu 3.) (veeinfachte Beweis fü venachlässigbae Exzentität) Auch fü die Planeten gilt (analog dem Fall Ede Mond, vgl. <5..>): Zentipetalkaft... mm mω γ... Gavitationskaft mit π ω folgt: T T 3 4π γ M const. 33

39 Mechanik Schwingungen I 6. Schwingungen I 6.. De Fedeschwinge Eine Fede setzt ihe Vefomung eine Fedekaft entgegen, die de Vefomung popotional ist. mit: F F D x D... Fedekonstante Maßeinheit: [D] m N () SI Eine an de Fede befestigte Masse wid nach dem Loslassen beschleunigt: F F mit (): m a m & x (3- ) - D x m & x bzw. D x + m & x 0 :m D d x + x 0 m dt () Dies ist die Bewegungsgleichung des Fedeschwinges, eine lineae Diffeentialgleichung. Odnung. Gl. () bescheibt den dynamischen Vogang de Bewegung de Masse. Sie gilt zu jedem Zeitpunkt t, in allen Stadien, z. B. denen maximale Geschwindigkeit de Masse ( ) ode maximale Vefomung de Fede ( ), abe auch allen Zwischenstadien: Mathematische Lösung fü Gl. ()? & x ~ x Es kommen sin- ode cos- Funktion in Fage. 34

40 Mechanik Schwingungen I Ansatz: x(t) x& (t) & x&(t ) x 0 cosω0t ω sin x 0 0 ω0 x 0ω0 cos ω0t t (3) (3) in (): D x 0 cos ω0t x 0ω0 cosω0t 0 m D D ω 0, d.h. ω 0 m m Also egibt sich als Lösung fü Gl. () mit: x(t) x 0 cos ω0t ω 0 D m π πν T ν... Fequenz T... Schwingungsdaue (4) ω lt. Gl. (4) ist plausibel: staffe Fede/kleine Masse schnelle Bewegung weiche Fede/goße Masse langsame Bewegung Gl. (3) ist auch bezüglich de Anfangsbedingungen x(0) x 0 gut gewählt. Die Funktion x x 0 sinωt efüllt die Diffeentialgleichung () ebenfalls, entspicht abe nicht de Anfangsbedingung. Sie wäe ichtig, wenn wi bei x 0 mit einem Schubs staten Fü Schubs + Auslenkung bauchen wi die allgemeine Lösung x(t) x 0 [c sinω 0 t + c cosω 0 t] (Lineakombination de beiden unabhängigen Lösungen), die lt. Mathematik hie eigentlich gilt. kinetische Enegie: E kin m v m x& (4-3) mit Gl. (4) x& (t) x 0ω0 sin ω0t m/ D E kin x 0 sin ω0t m/ mit: D E kin x 0 sin ω0 ω 0 D m t (5) 35

41 Mechanik Schwingungen I potentielle Enegie: vgl. Gl. (4 - ) x W F 0 F dx E pot (x) E pot (0) (4- ) (W ist die beim Vefomen de Fede, also gegen die Fedekaft geleistete Abeit. E pot (0) wid zweckmäßige Weise gleich Null gesetzt.) Gl. () in (4 - ): (x) x E pot ( D x' ) 0 D x dx' (6) Gl. (4) in (6): mit: D E pot (x) x 0 cos ω0t ω 0 D m (7) Wi haben also ein ständiges Hin- und Hefluten von E kin E pot. Die Gesamtenegie ist natülich konstant: D ges x 0 E ( ω t + cos ω t) sin (6) Schwingungen in Systemen mit Kaft ~ Auslenkung (Gl. ()), die also sinode cos-velauf haben, heißen hamonische Schwingungen. 36

42 Mechanik Schwingungen I Sie haben goße Bedeutung, weil bei ihnen ja E pot ~ Auslenkung ist und sich jedes Potentialminimum als Paabel annähen lässt. Jede Schwingung um igendein Potentialminimum kann also in gewissem Maße duch eine hamonische Schwingung angenähet weden. Ein Beispiel fü eine näheungsweise hamonische Schwingung ist das Pendel. 6.. Das Pendel Gewichtskaft: G + G G spannt den Faden wikt ückteibend Man ekennt leicht, dass G ( ϕ) G sin ϕ (9) mit G m g folgt G ( ϕ) m g sin ϕ (0) Diese Kaft beschleunigt die ausgelenkte Masse: G ( ϕ) m && s( ϕ) m l ϕ& ( ϕ) () (0) und () egibt: m / l ϕ & m/ g sin ϕ g ϕ& & + sin ϕ 0 l () () ist nicht meh exakt lösba. Wi beschänken uns auf kleine Winkel, dann ist: ϕ sin ϕ und () wid zu: g ϕ& & + ϕ l 0 (3) Gl. (3) entspicht völlig Gl. (), das Pendel fü kleine ϕ (sogenanntes mathematisches Pendel) vollfüht eine hamonische Schwingung mit de Keisfequenz: ω 0 g l πν π T (4) 37

43 Mechanik Schwingungen I Kommenta: Duch Messung von T und l ist g bestimmba ω 0 f(m) l langes Pendel goßes T T π g 6.3. Gedämpfte Schwingungen Bishe haben wi ungedämpfte Schwingungen betachtet. In de Realität Reibung: Auße de Fedekaft wikt auch noch eine Reibungskaft, d.h. wi müssen das NEWTONsche Gundgesetz (Gl. (3 - )) ansetzen als: F ges F F + F R mx & (5) Die Reibungskaft F R setzen wi wiede v-popotional an lt. Gl. (3-9): D x k x& m& x An Stelle von Gl. () titt also: D k x + x& + & x 0 m m (6) Exkus: Dastellung von Schwingungen mittels komplexe Zahlen P x + iy x + iy [cosϕ + isin ϕ] Betachtet wid eine Rotation in de komplexen Ebene Physikalisch elevant ist natülich nu de Realteil x(t), also die Pojektion auf die x-achse. Waum macht man das so kompliziet? In de komplexen Ebene ist jede Schwingung ist ein otieende Vekto (Zeige), die Übelageung mehee Schwingungen ist einfach die Addition mehee Vektoen (Zeige) zu jedem Zeitpunkt). Haben die übelageten Schwingungen gleiches ω 0, egibt sich ein Summenvekto, de mit diesem ω 0 otiet. Wenn man die Addition in de komplexen Ebene vollzogen hat, muss man auf den Realteil zuückgehen. Man scheibt: iϕ cos ϕ + isin ϕ e (7) 38

44 Mechanik Schwingungen I Lösung von Gl. (6) auf diese Weise: Wi setzen als Lösung fü Gl. (6) an: λt x x 0 e λt &, x λx 0 e && x λ x 0 e λt Dies in Gl. (6) eingesetzt: λt D k x 0 e + λ + λ 0 m m 0 t q + pλ + λ 0 Wi müssen nu die quadatische Gleichung lösen und ehalten: (8) λ, k ± m k m D m (9) Wi betachten den Fall elativ geinge Dämpfung (d.h., es soll übehaupt noch eine Schwingung stattfinden). Dann ist de Radikand negativ: k m D m < 0 Umfomung entspechend dem physikalisch allein sinnvollen ω > 0 egibt: λ, k m ± m m D k δ ± ω (0) λ λ δ + iω ( δ+ iω) t x 0 e δ iω ( δiω) t x 0 e xˆ xˆ (a) (b) Beide Gleichungen fühen, wenn wi den Realteil bilden, auf dasselbe, nämlich δt x x 0e cosωt (a) Andes als Gl. (4) klingt die Schwingung mit e -δt ab, wobei lt. Gl. (0) gilt: δ k m (b) D.h. schnelles Abklingen fü goßes k, also goßes F R, sowie kleines m p p Lösungsfomel: λ, ± q 4 39

45 Mechanik Schwingungen I Fene ist ω D δ, m (c) d.h., die Fequenz ω ist gegenübe de Fequenz ω 0 D eduziet. m Im Genzfall veschwindet die Wuzel in Gl. (0), d. h.: k m D m 0 Daduch veeinfacht sich die Lösung zu: λ λ δ Es lässt sich zeigen, dass die allgemeine Lösung dann lautet: x x δt 0 ( + δ t) e Dies ist de sogenannte apeiodische Genzfall, d.h. das schnelle Einschwenken in die Nulllage. (3) Fü noch stäkee Dämpfung folgt entspechend: k m D m > 0 Hie kann man von Schwingung nicht meh spechen. Die Auslenkung geht ebenfalls asymptotisch gegen Null, abe langsame als lt. Gl. (3). Dies ist de sogenannte Kiechfall 40

46 Mechanik Systeme von Massenpunkten; Stöße 7. Systeme von Massenpunkten; Stöße 7.. De Schwepunkt Wi definieen den Schwepunkt s eines Systems: mit: s i i m i m i i M i m i i M m i... Gesamtmasse i () Veanschaulichung: s ( + ) 3 aus () folgt: M s M & s m i d i dt p m & p s i i i i i () De Gesamtimpuls des Systems ist das Podukt aus Gesamtmasse und Schwepunktgeschwindigkeit. nochmalige Diffeentiation von () egibt: M & & s p& s F s m & i i i i F i (3) De Schwepunkt bewegt sich so, als wenn dot die Summe alle Einzelkäfte an de Gesamtmasse angeifen wüde. Also: Keine äußee Kaft, d.h. F F 0 s i i gleichfömig, ode (Sondefall) uht. Schwepunkt bewegt sich Mit andeen Woten: Gesamtimpuls im abgeschlossenen System const. 4

47 Mechanik Systeme von Massenpunkten; Stöße ode: äußee Käfte F i, dann egänzen sich diese in ihe Wikung so, als ob F s F i am Schwepunkt angeifen wüde. i Beispiel: Gewofene Hantel: Letztees gilt auch dann, wenn innee Käfte aufteten: Beispiel: Explodieende Ganate: Die inneen Käfte zwischen den Buchstücken egänzen sich jeweils zu Null (Actio Reactio), de Schwepunkt folgt seine eigenen Tägheit sowie de Edbeschleunigung und bewegt sich weite auf de Wufpaabel. 7.. Stöße: Gundlagen Stöße gegenseitige Ablenkung von sich bewegenden Teilchen hie: Expeimente meist mit haten Kugeln Bedeutung de Stöße jedoch besondes wichtig fü die Atomphysik, wo die Ablenkung entspechend dem Kaftfeld bzw. dem Wechselwikungs-Potential allmählich efolgt. Beispiel: Coulombablenkung eines e - an einem Atomken 4

48 Mechanik Systeme von Massenpunkten; Stöße dann: Betachtung de asymptotischen Gößen p, E kin weit vo bzw. weit nach de Wechselwikung Im abgeschlossenen System gilt beim Stoß von Patnen: m p + p p + p m m v + v m v + v (vo) (nach) + Q Impulssatz (4) Enegiesatz (5) Q ist die gegebenenfalls andeweitig vebauchte E kin (z.b. Vefomungsenegie) Q 0 Q > 0 elastische Stoß, E kin bleibt ehalten, inelastische Stoß, E kin, ges wid duch Stoß eduziet Elastische Stöße im Labosystem Labosystem das Bezugssystem, in dem wi uns befinden (also eigentlich das naheliegende) Wi betachten zunächst zentale Stöße ( D-Poblem) Zu Bescheibung dient die Impulsehaltung (Gl. (4)) und die Enegieehaltung (Gl. (5) mit Q 0) Wi betachten den Sondefall, dass de gestoßene Köpe vo dem Stoß uht: m v m / v m v / m v / Umodnung von (4 ) und (5 ): + m v (4 ) m / + v (5 ) / v / v m (v v ) m / m (v v / ) m (v v / )(v v / + m ) (4 ) (5 ) (5'') : (4'') / v + v / bzw. / v / v v v (6 ) (6 ) d.h., wenn man alles einbezieht, was dazu gehöt. 43

49 Mechanik Systeme von Massenpunkten; Stöße (6) in (4 ): m v m v + m (v + v) m / v v m + m / m / (7) (6 ) in (4 ): m v / / (v v) m v m + m v m + m / v (8) Sondefälle: () m m v / 0 ; / v v () m m, also stoßende Köpe doppelt so schwe / / 4 v v ; v v 3 3 stoßende Köpe läuft gestoßenem (langsame) hintehe (3) m m /, also stoßende Köpe halb so schwe / / v v ; v v 3 3 stoßende Köpe läuft ückwäts (3 ) m << m, also Stoß gegen die Wand / v v ; v / 0 Totzdem bleibt de Gesamtimpuls unveändet m v, d.h., m bewegt sich schon in v -Richtung, abe eben seh langsam. Dennoch egibt sich wegen des goßen m de ichtige Impuls. Enegieübetag auf m : Ist fü m m maximal, d.h. vollständig, fü alle andeen Fälle geinge. Genaue mit (8): (Teminologie: E kin,... kinetische Enegie von m nach dem Stoß) E kin, m v / m (m (m m 4m m v 3 (m + m ) ) + m ) v E kin, E kin, 4m m (m + m ) (9) 44

50 Mechanik Systeme von Massenpunkten; Stöße Vehältnis de Massen entscheidend (m n m und n m liefen gleiches Egebnis) Übetagung beliebig klein: bzw. 89 % bzw % 00 Wichtig fü Teilchenphysik (Abbemsung), z.b. Neutonenmodeieung 7.4. Stöße im Schwepunktsystem Schwepunktsystem System, in dem de Schwepunkt uht. Günstig, wenn die gestoßene Masse vo dem Stoß nicht uht. Gl. () wa: M v s p s p i i () Wenn de Schwepunkt also uht ( v s 0 Beispiel: elastische Stoß zweie Teilchen ) muss p i 0 i sein. vohe: + p 0 p nachhe: + p 0 Also: Poblem im Schwepunktsystem einfach zu behandeln p p p p p Man muss natülich alle Bewegungen wiede ins Labosystem zuücktansfomieen. Da sich abe in abgeschlossenen Systemen de Schwepunkt geadlinig gleichfömig bewegt, ist das einfach Inelastische Stöße Ein Teil de E kin wid aufgezeht (Wäme, Vefomung,...) keine E kin - Ehaltung meh Dennoch wid die Abbemsung begenzt, da de Impuls ehalten bleiben muss. 45

51 Was ist das Maximum de Umwandlung von E kin in Q? Mechanik Systeme von Massenpunkten; Stöße Schwepunktsystem: Im Schwepunktsystem ist die Summe alle Impulse 0 (s.o.). Dies kann auch efüllt weden, indem alle Teilchen im Schwepunktsystem zu Ruhe kommen. vohe: + p 0 p nachhe: + p 0 p De Gesamtimpuls ist nach wie vo de des Schwepunktes, also M v s p lt. Gl. () s Die maximal mögliche Abbemsung, ohne den Impulssatz zu veletzen, ist das völlige Zu-Ruhe-Kommen im Schwepunktsystem. Mit andeen Woten: Alle beteiligten Teilchen bleiben aneinande kleben und bewegen sich mit eine gemeinsamen Geschwindigkeit, de des Schwepunktes Nichtzentale Stöße... bingen physikalisch nichts gundsätzlich Neues, man muss das Poblem lediglich mehdimensional (es ist D) lösen. Beispiel Stoß in x-richtung: α ist geometisch deteminiet: sin α d + (,... Kugeladien) β stellt sich so ein, dass p ges,y weitehin gleich Null ist, d.h. p,y p, y 0 Ansonsten muss de Gesamtimpulses ehalten bleiben ( p p + p ) sowie gegebenenfalls (elastisch - inelastisch) die kinetische Enegie. 46

52 Mechanik Bewegte Bezugssysteme 8. Bewegte Bezugssysteme 8.. Vobemekungen Die gundlegenden Gesetze de Mechanik haben wi bishe ohne Bezug auf ein spezielles Bezugssystem definiet. Gundgesetze sollen ja auch unabhängig vom Bezugssystem gelten Wi betachten im Folgenden: Bezugssysteme mit konstante Relativgeschwindigkeit u << c Linea beschleunigte Bezugssysteme Rotieende Bezugssysteme Die Relativitätstheoie ist nicht Gegenstand dieses Kapitels. 8.. Bezugssysteme mit konstante Relativgeschwindigkeit u << c Beispiel: Mach-3-Düsenjäge 3600 km h - km s - } Edsatellit 8 km s - < 0-4 c u << c bedeutet also in de Regel keine enste Einschänkung betachtet weden nun die Systeme S und S : Otsvekto in S : Otsvekto in S: 0 + u t + Tansfomation mit konstantem u Galilei-Tansfomation Geschwindigkeit in S : v Geschwindigkeit in S: v d 0 d(u t) + + & dt dt 0 + u + & () 47

53 Mechanik Bewegte Bezugssysteme bzw. v p v + u p + u m () Also einfache additive Zusatztem, de Impulsehaltung nicht beeintächtigt. d dv Beschleunigung in S : a dt dt Beschleunigung in S: a d dv dt dt dv du + dt dt dv + 0 dt also a F dv a dt m a m a F (3) (4) Alle Galilei-tansfomieten Systeme sind in de Bescheibung de physikalischen Gesetze äquivalent. Die Gesetze de klassischen Mechanik sind Galileiinvaiant. Die Gesamtheit de Galilei-tansfomieten Systeme heißt Inetialsysteme Linea beschleunigte Bezugssysteme System S bewege sich nun beschleunigt mit a s elativ zum S: Otsvekto in S : Otsvekto in S: a s + t + u t + 0 (5) wi fagen nach den Beschleunigungen in beiden Systemen: Beschleunigung in S : a & & Beschleunigung in S: a & & d 0 d ( u t) d a s + + t + & dt dt dt a + a + s bzw. a a a s + a a (6) a s 48

54 multipliziet mit m: Mechanik Bewegte Bezugssysteme m a m a m a s Kaft in S : F F + Ft mit: F t ma s... Tägheitskaft (7) Die Tägheitskaft spüt man nu im beschleunigt bewegten System. Fü sie ist dot keine mateielle Usache (wie z. B. Fede, Gavitation, Tiebwek) zu ekennen, sie üht nu von a s he. Man muss sie abe beücksichtigen, damit im beschleunigten Bezugssystem (wo dieses Beschleunigung nicht existiet) "die Mechanik wiede stimmt". Ohne diese Scheinkäfte wäe dies nicht de Fall. Beschleunigte Bezugssysteme sind keine Inetialsysteme. Beispiel: statendes Flugzeug: uhende Beobachte Tiebwek "schiebt" Beobachte in Kabine keine Usache fü die Kaft 8.4. Rotieende Bezugssysteme Beobachte B (uhend): Auf m wikt ständig die Fedekaft F F, die die Masse auf die Keisbahn zwingt, indem sie eine ständige Ändeung de Richtung von v hevouft (Zentipetalkaft, -beschleunigung (vgl. <3.6.>)). Beobachte A (mitbewegt): Fü ihn uht die Masse Sie wid duch eine fü ihn unekläliche Kaft nach außen gezogen, welche duch die Fedekaft kompensiet weden muss, weil sonst die Masse an die Außenwand geschleudet wüde. Diese unekläliche Kaft, die nu im otieenden Bezugssystem wikt, ist die Zentifugalkaft. Sie ist betagsmäßig gleich de Zentipetalkaft (lt. Gl. (3-5)), abe nach außen geichtet (~ ). F ZF mω (8) 49

55 Mechanik Bewegte Bezugssysteme Im allgemeinen Fall, d. h. nicht ω, ehält man: F ZF m ω (8 ) ( ω) Zentipetalkaft bewikt eine Beschleunigung im Labosystem, Zentifugalkaft kompensiet im otieenden System (wo es keine Bewegung gibt) die Fedekaft. Beispiel: Gezeitenkäfte Edotation um sich selbst ist hie uneheblich, da sie die Nomalgestalt de Ede (Abplattung, usw.) bestimmt. Ede und Mond otieen um den gemeinsamen Schwepunkt S, de noch innehalb de Ede liegt: Fü M kompensieen sich Anziehung duch den Mond und Zentifugalkaft genau. Bei A ist Anziehungskaft kleine und Zentipetalkaft göße Wassebeg Bei B ist Anziehungskaft göße und Zentipetalkaft kleine Wassebeg Wenn Anziehung des Mondes alleinige Usache wäe, düfte bei A kein Flutbeg aufteten Wi kehen zu otieenden Masse zuück und knipsen jetzt die Fede duch: uhende Beobachte : Masse fliegt geadlinig gleichfömig weite (A, B, C,...) 50

56 Mechanik Bewegte Bezugssysteme bewegte Beobachte: Masse fliegt adial nach außen (A A, B B ), da ja nun die Gegenkaft de Fede fehlt - zunächst genauee Betachtung: Masse fliegt nicht geadlinig, sonden die Bahnkuve ist im otieenden Bezugssystem gekümmt (C C, D D,...) Im otieenden Bezugssystem muss man die Kümmung de Bahnkuve auf eine Kaft zuückfühen, damit die Mechanik wiede stimmt Coioliskaft F c m ( v ω) (9) v... Geschwindigkeit im bewegten System Bei einem Schuss zu Dehachse ist die Coioliskaft also Null. 5

57 Mechanik De stae Köpe; Rotation I 9. De stae Köpe; Rotation I 9.. Einleitung bishe: (Systeme von) Punktmassen jetzt: Betachtung ausgedehnte Köpe, übe die die Masse gleichmäßig veteilt ist (keine Atome). Köpe soll sich unte äußee Kaft nicht vefomen stae Köpe Dichte ρ: ρ m V () Maßeinheit: 3 kg [ ρ] m SI Gesamtmasse M: M ρ M i ρ Vol i V i dv () Otsvekto des Schwepunktes S s : analog zu Gl. (7 - ) scheiben wi: s s M M Masse dm ρ( ) Vol dv (3) 5

58 9.. Käfte und Dehmoment an staen Köpen Mechanik De stae Köpe; Rotation I Wiedeholung zum System mehee Punktmassen (vgl. <7..>): Kaft F geife an Schwepunkt S eines staen Köpes de Masse M an: Bewegung des Köpes gemäß: F M a (3- ) Kaft F geife nicht am Schwepunkt S an: F 3 F F + F 0 F 3 F 3 F F + F + F3 (4) Käftepaa Kaft, die an Schwepunkt angeift Tanslation, kein Dehmoment Käftepaa Paa zweie entgegengesetzt gleiche Käfte, die an zwei veschiedenen Punkten (hie: S, P) angeifen Dehmoment, und zwa: M sp F (M hie bezogen auf S) (5) Nicht-Schwepunkt-Kaft bewikt Tanslation und Rotation Reines Käftepaa bewikt nu Rotation. Damit ein Köpe in Ruhe bleibt, müssen sowohl F ges 0 als auch M ges 0 sein. Dann gibt es wede Tanslation noch Rotation Tägheitsmoment gegeben: um bestimmte Achse otieende Köpe gesucht: E kin de Rotation 53

59 Mechanik De stae Köpe; Rotation I kinetische Enegie eines Volumenelementes V i im (senkechten) Abstand i von de Achse ist E kin mi v Tangentialgeschwindigkeit von m i i m i vi ρ V i i ω i Winkelgeschwindigkeit m v gilt natülich weitehin. Wi fomen nu zweckmäßig um und ehalten E kin E kin ρi Vi ω i ω ρi Vi i i bzw. in Integalfom: ω E kin ρ dv Volumen (6) Die Göße J ρ dv Volumen (7) heißt Tägheitsmoment. Mit J egibt sich E kin dann als E kin J ω (8) Analogien: { v} {ω} { m} {J} Rotieende Köpe lässt sich schwe in Dehung vesetzen (d.h. ist täge) bzw. hat dehend viel Enegie, wenn J goß ist, d.h. die gegebene Masse außen sitzt. Beispiel: Beechnung von J fü homogenen Zylinde (ρ const.) mit de Länge L: dv ds d dz ds dϕ 54

60 Mechanik De stae Köpe; Rotation I aus (7) folgt damit: J R π 0 0 R 4 L ρ J ρ π L 4 mit: M ρ V ρ πr L 0 d dϕ dz bzw. J J MR MV π L (9) (9 ) Also: Bei gegebene Masse bzw. (ρ const) Volumen kann übe R bzw. L das J beliebig zwischen 0 und eingestellt weden (Daht bis ausgedehnte Platte ) STEINERsche Satz: gegeben: J um Achse, die duch den Schwepunkt geht ( J s ) gesucht: J um Achse, die um die Stecke a von S entfent ist ( J a ) J a J s + M a (0) Plausibilitätsekläung: Rotation um a-achse Bewegung des Schwepunktes um diese + Rotation des Köpes um die Schwepunktachse 9.4. Dynamik bei de Rotation Bewegungsgleichung Fü die Tanslation wa (vgl. <3.3.>): F dp dt bzw. F m a m v& m & (3-6) (3- ) 55

61 Analog egibt sich fü die Rotation: M dl dt Mechanik De stae Köpe; Rotation I (5-3) bzw. fü J const. unte Vewendung von α, ω, ϕ (vgl. <.4.>): M J α J ω & J ϕ& () In völlige Analogie zu Tanslation gibt es nun die veschiedenen Bewegungstypen, z.b. gleichmäßig beschleunigte Dehbewegung mit konstantem M und α (was zu linea ansteigendem ω füht), usw Dehschwingungen (D)...ist dem Fedeschwinge völlig analog (vgl. <6..>) Vefomung eines Tosionsstabes füht zu entgegenwikendem Dehmoment M T * D ϕ () mit: D *... Richtmoment, [D*] N m Maßeinheit: [D * ] N m ( Fedekonstante) SI () in () liefet als Bewegungsgleichung: J ϕ & D * ϕ (3) völlig analog zu Gl. (6 - ) fü den Fedeschwinge Als Lösung folgt, wiede analog (diesmal zu Gl. (6-4)): mit: ϕ( t) ϕ 0 cos ω0t ω 0 D * J πν π T (4) Also: steife Stab/kleines J schnelle Schwingung nachgiebige Stab/goßes J langsame Schwingung Diese Tosionsschwingung ist hamonisch. Auch die gedämpfte Schwingung ist völlig analog. 56