1 Eingebettete Untermannigfaltigkeiten des R d

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1 $Id: unter.tex,v /04/14 13:19:35 hk Exp hk $ 1 Eingebettete Untermannigfaltigkeiten des R d In diesem einleitenden Paragraphen wollen wir Untermannigfaltigkeiten des R d studieren, diese sind die wichtigste Beispielsklasse der im nächsten Kapitel einzuführenden differenzierbaren Mannigfaltigkeiten. Eine eingebettete Untermannigfaltigkeit des R d ist eine Teilmenge, die lokal im wesentlichen wie ein in den R d eingebetteter R n aussieht. Etwas genauer soll dieses lokal im wesentlichen bedeuten das die betrachtete Teilmenge des R d in einem geeigneten Koordinatensystem zum R n wird und unter einem Koordinatensystem wird dabei wiederum ein sogenannter Diffeomorphismus verstanden. Ein Diffeomorphismus ist eine bijektive Abbildung ϕ : U V zwischen offenen Teilmengen U, V des R d bei der ϕ und die Umkehrabbildung ϕ 1 beide stetig differenzierbar sind. Etwas allgemeiner wollen wir auch eine Differenzierbarkeitsordnung vorgeben können, ist q N eine natürliche Zahl mit q 1 oder q = so nennen wir ϕ einen C q -Diffeomorphismus wenn ϕ und ϕ 1 beide sogar q-fach stetig differenzierbar sind. Um unnötige Notation zu vermeiden, werden wir für n d den R n als Teilmenge des R d auffassen, indem die fehlenden Komponenten hinten durch Nullen aufgefüllt werden, also R n = {(x 1,..., x n, 0,..., 0) : x 1,..., x n R} R d. Weiter setzen wir N := (N\{0}) { }, dies ist dann die Menge der möglichen Differenzierbarkeitsordnungen.. Unsere obige Anschauung soll nun folgendermaßen präzisiert werden: Definition 1.1 (Eingebettete Untermannigfaltigkeiten des R d ) Seien n, d N und q N mit n d und d 1 gegeben. Eine Teilmenge M R d heißt eine eingebettete, n-dimensionale C q -Untermannigfaltigkeit des R d, wenn es für jeden Punkt x M stets offene Mengen U, V R d mit x U, und einen C q - Diffeomorphismus ϕ : U V mit ϕ(u M) = V R n gibt. Wir können hier noch nicht von n als der Dimension von M sprechen, da wir erst die Eindeutigkeit von n in der eben gegebenen Definition einsehen müssten. Daher verwenden wir n-dimensional vorläufig als ein Adjektiv. Die Definition läßt auch den Fall M = zu, dies wird in der Literatur nicht einheitlich gehandhabt, und ist auch nur eine unbedeutende Geschmacksfrage. Wir werden nun einige einfache Beispiele diskutieren. Seien d, n N mit d 1 und sei A ein n-dimensionaler, affiner Teilraum des R d. Wir wollen zeigen, dass A eine eingebettete, n-dimensionale C -Untermannigfaltigkeit des R d ist. Sei also ein Punkt x A gegeben. Dann gibt es einen Untervektorraum U R d mit dim U = n und A = x + U. Weiter gibt es eine invertierbare lineare 1-1

2 Abbildung T GL d R mit T (U) = R n R d. Wir erhalten die C -Abbildung ϕ : R d R d ; u T (u x), und diese ist bijektiv mit der Umkehrabbildung ϕ 1 : R d R d ; u x + T 1 (u). Damit ist ϕ ein C -Diffeomorphismus, und es gilt ϕ(r d A) = ϕ(a) = R n. Erwartungsgemäß sind somit affine Teilräume des R d auch eingebettete Untermannigfaltigkeiten. Eine weitere Beispielklasse sind Graphen von C q -Funktionen. Seien hierzu n, m N mit n, m 1, q N, eine offene Menge U R n und eine C q -Abbildung f : U R m gegeben. Wir wollen einsehen das der Graph M := {(x, f(x)) x U} R n R m = R d mit d := n+m eine eingebettete C q -Untermannigfaltigkeit des R d ist. Hierzu betrachten wir die offene Teilmenge V := U R m R d und die C q -Abbildung ϕ : V V ; (x, y) (x, y f(x)). Diese ist bijektiv mit ϕ 1 (x, y) = (x, y + f(x)) für alle x U, y R m, also ist ϕ ein C q -Diffeomorphismus. Wegen M V und ϕ(m) = U {0} = V R n ist M damit eine eingebette C q -Untermannigfaltigkeit des R d. Als ein etwas komplizierteres Beispiel wollen wir die Sphären, also Oberflächen von Kugeln, im R d behandeln, und hierzu ist es bequem ein vorbereitendes Lemma über das Erkennen eingebetteter Untermannigfaltigkeiten vorauszuschicken. Zum Beweis des Lemma erinnern wir uns erst einmal an eine Eigenschaft von Diffeomorphismen. Angenommen wir haben zwei offene Mengen U, V R d und einen Diffeomorphismus ϕ : U V. Dann ist ϕ insbesondere stetig, und wie wir aus Analysis II wissen sind Urbilder offener Mengen unter stetigen Abbildungen wieder offen, d.h. ist W R d offen mit W V, so ist auch ϕ 1 (W ) offen im R d. Weiter ist auch ϕ 1 stetig, d.h. für jede offene Menge W R d mit W U ist auch das Bild ϕ(w ) offen im R d. Ein Diffeomorphismus bildet also offene Mengen auf offene Mengen ab. Lemma 1.1 (Kriterien für eingebettete Untermannigfaltigkeiten) Seien n, d N, q N mit n d und d 1 gegeben. Weiter sei M R d eine Teilmenge. (a) Sind M eine n-dimensionale, eingebettete C q -Untermannigfaltigkeit des R d und U R d offen so ist auch M U eine n-dimensionale, eingebettete C q -Untermannigfaltigkeit des R d. (b) Sind M eine n-dimensionale, eingebettete C q -Untermannigfaltigkeit des R d und U, V R d offen mit M U sowie ϕ : U V ein C q -Diffeomorphismus, so ist auch ϕ(m) eine n-dimensionale, eingebettete C q -Untermannigfaltigkeit des R d. 1-2

3 (c) Die folgenden Aussagen sind äquivalent: 1. Die Menge M ist eine n-dimensionale, eingebettete C q -Untermannigfaltigkeit des R d. 2. Für jeden Punkte x M gibt es offene Mengen U, V R d mit x U, einen C q -Diffeomorphismus ϕ : U V und eine n-dimensionale, eingebettete C q -Untermannigfaltigkeit N des R d mit ϕ(u M) = V N. 3. Für jedes x M existiert eine offene Menge U R d mit x U so, dass U M eine n-dimensionale eingebettete C q -Untermannigfaltigkeit des R d ist. Beweis: (a) Sei x M U. Dann existieren offene Mengen V, W R d mit x V und ein C q -Diffeomorphismus ϕ : V W mit ϕ(v M) = W R n. Damit sind auch die Mengen V := V U R d und W := ϕ(v ) R d offen mit x V und die Einschränkung ψ := ϕ V : V W ist ein C q -Diffeomorphismus mit ψ(m U V ) = ϕ(m V ) = W R n. Dies beweist das M U eine eingebette, n-dimensionale C q - Untermannigfaltigkeit des R d ist. (b) Sei y ϕ(m). Dann gibt es x M mit y = ϕ(x) und offene Mengen W, Q R d mit x W sowie einen C q -Diffeomorphismus ψ : W Q mit ψ(w M) = Q R n. Wir erhalten die im R d offenen Mengen W := ϕ(w U), Q := ψ(w U) mit y W und den C q -Diffeomorphismus θ := (ψ W U) (ϕ 1 W ) : W Q mit θ(w ϕ(m)) = θ(ϕ(w M)) = ψ(w M) = Q R n = Q R n. Damit ist ϕ(m) eine n-dimensionale eingebettete C q -Untermannigfaltigkeit des R d. (c) (1)= (2). Klar da der affine Teilraum N = R n des R d eine eingebettete C q - Untermannigfaltigkeit des R d ist. (2)= (3). Sei x M. Dann gibt es offene Mengen U, V R d mit x U, einen C q - Diffeomorphismus ϕ : U V und eine n-dimensionale, eingebettete C q -Untermannigfaltigkeit N des R d mit ϕ(u M) = V N. Nach (a) ist V N eine n-dimensionale, eingebettete C q -Untermannigfaltigkeit des R d und nach (b) ist auch U M = ϕ 1 (V N) eine n-dimensionale, eingebettete C q -Untermannigfaltigkeit des R d. (3)= (1). Sei x M. Dann existiert eine offene Menge U R d mit x U so, dass U M eine n-dimensionale eingebettete C q -Untermannigfaltigkeit des R d ist. Weiter existieren offene Mengen V, W R d mit x V und ein C q -Diffeomorphismus ϕ : V W mit ϕ(m U V ) = W R n. Wir erhalten die im R d offenen Mengen V := V U und W := ϕ(v ) mit x V sowie den C q -Diffeomorphismus ψ := ϕ V : V W mit ψ(m V ) = ϕ(m U V ) = W R n = W R n. Damit ist M eine eingebettete C q -Untermannigfaltigkeit des R d. Die Aussagen (a) und (b) des Lemmas sind zwei Erblichkeitseigenschaften die besagen das sich die Eigenschaft eine eingebettete Untermannigfaltigkeit zu sein auf offene 1-3

4 Teilmengen und auf diffeomorphe Bilder vererbt. Die Aussage (c) erleichtert dann den Nachweis dieser Eigenschaft, in (2) wird festgehalten das es schon reicht zu zeigen das M lokal wie eine schon bekannte Untermannigfaltigkeit aussieht und in (3) wird bewiesen das Untermannigfaltigkeit sein ein lokale Eigenschaft ist. Wie schon angekündigt wollen wir die Sphäre S n := { x R n+1 : x = 1 } im R n+1, wobei n N sei, behandeln. Dabei steht für die gewöhnliche euklidische Norm. Wir wollen zeigen, dass S n eine eingebettete, n-dimensionale C -Untermannigfaltigkeit des R n+1 ist. Hierzu beachte zunächst das die obere offene Halbsphäre wegen S n + := {x S n x n+1 > 0} S n = {(x, t) R n+1 = R n R x x 2 n + t 2 = 1} = {(x, t) R n+1 : x 2 + t 2 = 1} der Graph der C -Funktion f : B 1 (0) = {x R n : x < 1} R; x 1 x 2 ist, also ist S+ n nach unserem zweiten Beispiel von Untermannigfaltigkeiten eine n- dimensionale, eingebettete C -Untermannigfaltigkeit des R n. Sei jetzt x S n beliebig. Wegen x = 1 gibt es dann eine Orthonormalbasis u 1,..., u n, x des R n und wir erhalten eine orthogonale Matrix T O n+1 R mit T e i = u i für 1 i n und T e n+1 = x. Dann ist ϕ : R n+1 R n+1 insbesondere ein C -Diffeomorphismus. Weiter ist der offene Halbraum U := {y R n+1 x y > 0} eine offene Umgebung von x im R n+1 und da für jedes y R n+1 bezüglich der Orthonormalbasis u 1,..., u n, x stets y = n u n y u n + x y x j=1 gilt, ist ϕ(s n +) = U S n, d.h. U S n ist nach Lemma 1.(b) eine eingebettete, n- dimensionale C -Untermannigfaltigkeit des R n+1. Nach Lemma 1.(c) ist damit auch S n eine n-dimensionale, eingebettete C -Untermannigfaltigkeit des R n+1. Etwa allgemeiner sind auch beliebige Sphären im R n+1 stets eingebettete C -Untermannigfaltigkeiten. Seien nämlich z R n+1 und r > 0 gegeben. Dann ist ein C -Diffeomorphismus mit ϕ : R n+1 R n+1 ; x z + rx S r (z) := {x R n+1 : x z = r} = ϕ(s n ), also ist S r (z) nach Lemma 1.(b) eine n-dimensionale, eingebettete C -Untermannigfaltigkeit des R n

5 Damit haben wir bereits einige Beispiele von Untermannigfaltigkeiten kennengelernt und jetzt wollen wir einige der Randfälle für die Dimension n vollständig untersuchen. Gegeben seien d N und q N mit d 1. Wir wollen alle möglichen n-dimensionalen Untermannigfaltigkeiten des R d in den drei Fällen n = 0, n = d und n = 1 möglichst genau beschreiben. Für die ersten beiden Werte wird uns dies recht vollständig gelingen, der eindimensionale Fall stellt sich dann aber als etwas komplizierter heraus. Was sind nun die nulldimensionalen eingebetteten C q -Untermannigfaltigkeiten M des R d? Die definierende Eigenschaft dieser ist, dass es für jedes x M stets offene Mengen U, V R d mit x U und einen C q -Diffeomorphismus ϕ : U V mit ϕ(u M) = V R 0 = {0} gibt, insbesondere muss dann also U M = {x} sein. Ist M also eine eingebettete nulldimensionale C q -Untermannigfaltigkeit des R d. so ist M eine diskrete Teilmenge des R d. Ist M umgekehrt diskret, so ist M auch eine eingebette, nulldimensionale C q -Untermannigfaltigkeit des R d. Ist nämlich x M so existiert eine offene Menge U R d mit U M = {x}, also sind auch V := U x R d offen und ϕ : U V ; y y x ist ein C q -Diffeomorphismus mit ϕ(u M) = {0} = V R 0. Die nulldimensionalen eingebetteten C q -Untermannigfaltigkeiten des R d sind also genau die diskreten Teilmengen des R d. Für den nächsten Randfall n = d behaupten wir das die d-dimensionalen, eingebetteten C q -Untermannigfaltigkeiten des R d genau die offenen Teilmengen des R d sind. Die Implikation von rechts nach links ist dabei klar, wir können die Identität als C q - Diffeomorphismus verwenden. Sei umgekehrt M R d eine eingebettete, d-dimensionale C q -Untermannigfaltigkeit des R d. Sei x M. Dann gibt es offene Mengen U, V R d mit x U und einen C q -Diffeomorphismus ϕ : U V mit ϕ(u M) = V R d = V, also U M = U und dies bedeutet U M. Damit ist x ein innerer Punkt von M. Somit ist jeder Punkt von M ein innerer Punkt von M und M ist eine offene Teilmenge des R d. Komplizierter ist der Fall n = 1. Angenommen wir haben eine eindimensionale eingebettete C q -Untermannigfaltigkeit M des R d. Sei x M. Dann gibt es offene Mengen U, V R d mit x U und einen C q -Diffeomorphismus ϕ : U V mit ϕ(u M) = V R. Nun ist V R eine offene Teilmenge von R, also eine disjunkte Vereinigung von offenen Intervallen. Sei I R die Zusammenhangskomponente von V R mit ϕ(x) I, also dasjenige der V R bildenden Intervalle welches ϕ(x) enthält. Dann ist I wie gesagt ein offenes Intervall und wir haben die q-fach stetig differenzierbare Kurve γ : I R d ; t ϕ 1 (t, 0). Es gibt eine offene Teilmenge W V mit W R = I, also ist γ(i) = ϕ 1 (W ) M eine offene Teilmenge von M und wegen ϕ(x) I ist x γ(i). Damit haben wir die Untermannigfaltigkeit M lokal bei x als das Bild einer q-fach stetig differenzierbaren Kurve γ geschrieben. Die Kurve γ hat dabei noch einige weitere Eigenschaften. Zum einen ist γ injektiv und zum anderen behaupten wir das der Tangentenvektor γ (t) für jedes t I von Null verschieden ist. Sei hierzu t I gegeben. Da ϕ 1 : W V ein Diffeomorphismus ist, ist auch die Ableitung (ϕ 1 ) (t, 0) invertierbar, und mit der 1-5

6 Kettenregel folgt γ (t) = (ϕ 1 ) (t, 0)(e 1 ) 0. In einer Umgebung von x können wir M also als das Bild einer injektiven q-fach stetig differenzierbaren Kurve schreiben deren Ableitung nirgends verschwindet. Es ist nun naheliegend zu fragen ob auch die Umkehrung dieser Tatsache gilt, d.h. sind I R ein offenes Intervall, d N mit d 1, q N und γ : I R d eine q-fach stetig differenzierbare Kurve mit γ (t) 0 für alle t I, muss dann das Bild M := Bild(γ) eine eingebettete C q -Untermannigfaltigkeit des R d sein? γ γ Eine Acht -Kurve Dieselbe Kurve, injektiv durchlaufen In dieser Allgemeinheit ist dies nicht wahr, die Kurve γ könnte zum Beispiel wie oben links eine Selbstüberscheidung haben, also beispielsweise ein Bild in Form der Ziffer 8 haben. Es reicht auch nicht aus die Kurve γ als injektiv anzunehmen, die Ziffer 8 können wir wie oben rechts ebenso mit einer injektiven Kurve γ durchlaufen. Wir werden diese, und eine allgemeinere Situation, dann in der nächsten Sitzung etwas weiter untersuchen. 1-6

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