5.4 Die Prädikatenlogik 1.Stufe als Semantikformalismus

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1 5.4 Die Prädikatenlogik 1.Stufe als Semantikformalismus

2 5.4.1 Einführung

3 Einführung Verwendet wird die Sprache der Prädikatenlogik erster Stufe mit Identität (ohne Funktionskonstanten) mit dem folgenden Inventar: logische Konstanten Junktoren (w,f,,,, ) Quantoren Identitätszeichen (=) Individuenvariablen x, y, z, nicht logische Konstanten Individuenkonstanten n stellige Relationskonstanten (n 0)

4 Sprachtyp (Sprache) L = R, K, s R K Menge der Relationszeichen Menge der (Individuen)konstanten K R = s( Q) = n, n 0 (ganzzahlig), Q R Var Menge aller Variablen Tm = Var K Terme

5 Wortformen Die einfachste Form der semantischen Analyse natürlich-sprachlicher Ausdrücke sieht so aus, dass zunächst lexikalische Ausdrücke (Wortformen) kategorisiert werden, indem ihnen nicht-logische Konstanten zugeordnet werden. Individuenkonstanten: Hans, Peter, Chemnitz, Italien 0-stellige Relationskonstanten (Satzkonstanten): (es) regnet 1-stellige Relationskonstanten (Prädikatkonstanten): student, verheiratet, arbeitet 2-stellige Relationskonstanten: Vater von, kennt, hinter, ähnlich, größer als 3-stellige Relationskonstanten: gibt, zwischen 4-stellige Relationskonstanten: näher bei, ähnlicher als

6 Formeln Satzbedeutungen t 1 = t 2 t 1, t 2 Terme Q t, t, t ) t, t 2, Terme Q R, s( Q) = n ( 1 2 n 1 t n w, f, α,( α β ),( α β ),( α β ),( α β ) xα, xα Variable Formeln

7 Beispiele Hans ist Peter ähnlicher als Anna Maria. aehnlicher_als(hans, Peter, Anna, Maria) Jeder Student arbeitet. x( student( x) arbeitet( x)) Hans und Peter sind Studenten. student(hans) student(peter) Hans und Peter sind Freunde. freund(hans, Peter) freund(peter, Hans)

8 Beispiele Jeder Student hat ein Problem. x( student( x) y(problem( y) hat( x, y))) Alle Studenten haben ein Problem. y( problem( y) x(student( x) hat( x, y))) Nur Peter ist intelligent. intelligent(peter) x ( x Peter intelligent( x))

9 5.4.2 Semantik und Modellstrukturen

10 Struktur L R, K, s = Sprache M = A, I nichtleere Menge (Individuenbereich) Funktion mit Definitionsbereich R K I( Q) n A, Q R, s( Q) = n Q M = I(Q) I( c) A, c K c M = I(c)

11 Belegung h : Var A Belegung der Individuenvariablen in einer Menge A

12 Wert eines Terms [ t ] M, h = h( t), I( t), t Var t K M, h M, h [ t ] = t

13 Wahrheitswert einer Formel [ ] [ ] h M, α Wahrheitswert einer Formel α in der Struktur M unter der Belegung h in A [ ] [ ] 1, = h M w [ ] [ ] 0, = h M f [ ] [ ] = = = sonst t t t t h M h M h M 0 1, 2, 1, 2 1 [ ] [ ] > < = sonst Q I t t t t t Q t h M n h M h M h M n 0 ) (,,, 1 ),,, (,, 2, 1, 2 1

14 Wahrheitswert einer Formel ( ) M, h M, h [ α ] = f [ α ] ( ) M, h ( ) M, h M, h [ α β ] = f M, h [ α ],[ β ] M, h [ α β ] = f M, h [ α ],[ β ] M, h M, h [ α β ] = f [ α ],[ β ] ( ) M, h ( ) M, h M, h M, h [ α β ] = f [ α ],[ β ] Dabei sind f, f, f, f, f die üblichen aussagenlogischen Funktionen über den Wahrheitswerten 1 und 0.

15 Wahrheitswert einer Formel x M, h M, h [ xα ] = 1 a A:[ [ α ] a = 1 x M, h M, h [ xα ] = 1 a A:[ [ α ] a = 1

16 Formel und Struktur M = α [ ] [ ] M, h h α = 1 α gilt in M unter h M = β M = β[ h] h Gültigkeit von β in M

17 Beispiel L = { Q },, { Q,2 } das zweistellige Relationszeichen Q ist das einzige nicht-logische Zeichen von L M = N, I { 2 I( Q) = < m, n > N : m n} h( x) = 0, x Formel: xq( y, x) erhält in M unter h den Wert 1 M = xq( y, x)[ h] a N : M = Q( y, x) a N : < h x a a N :0 a ( y), h x a x [ h ] a N : < 0, a > I( Q) a ( x) > I( Q)

18 Beispiel Nur Peter ist intelligent. Der Wahrheitswert hängt hier nicht von der Belegungsfunktion h ab. Dies gilt für alle Aussagen, d.h. Formeln, deren Variablen sämtlich von Quantoren gebunden sind.

19 Modell Σ M Formelmenge Struktur M = Σ σ Σ : M = σ M Modell von Σ

20 Folgerung Σ = α Formelmenge Formel M : M = Σ M = α Struktur Formel gilt in diesem Modell Modell der Formelmenge

21 Ableitung Inferenz Σ α Σ α Folgerung Ableitung mit Inferenzregeln korrekt vollständig

22 Semantische Analyse mit den Mitteln der Prädikatenlogik erster Stufe Natürlich-sprachliche Eingabe Prädikatenlogische Repräsentation Übersetzung Inferenz Deduktion Modelltheoretische Interpretation Ableitung Folgerung Korrektheit und Vollständigkeit

23 5.4.3 Probleme

24 Schwachstellen Das Problem der Übersetzung natürlichsprachlicher Sätze in Formeln ist völlig offen. λ Kalkül Die Syntax der Prädikatenlogik ist nicht reich und flexibel genug für Bedeutungsstrukturen natürlicher Sprache. Typenlogik Substitutionsprinzip In einer Formel dürfen denotatgleiche Ausdrücke füreinander ersetzt werden, ohne dass sich das Denotat des Gesamtausdrucks ändert. Bei der Anwendung auf natürliche Sprache treten Schwierigkeiten auf.

25 Beispiel Dieser Wagen fährt schnell. Dieser Wagen rostet schnell. faehrt(wagen) schnell(wagen) rostet(wagen) schnell(wagen) Peter ist leidenschaftlicher Informatiker. informatiker(peter) leidenschaftlich(peter) Offenbar haben schnell und leidenschaftlich nicht den Status von Prädikaten, die auf Individuen angewandt werden. Ihre semantische Funktion besteht vielmehr darin, dass sie die Bedeutung eines anderen Prädikates modifizieren. Für Ausdrücke dieses Typs ist in der Prädikatenlogik kein Platz. Alle nicht-logischen Ausdrücke müssen als Individuenkonstanten oder als n-stellige Relationskonstanten kategorisiert werden.

26 Beispiel Dieser Wagen rostet ziemlich schnell. Peter ist ein sehr guter Informatiker. Hier haben die Wörter sehr und ziemlich offenbar die Funktion, Prädikatsmodifikatoren zu modifizieren. Eine generelle und systematische Methode zur Lösung dieser Probleme bietet die Typenlogik an.

27 Beispiel Die Bundeskanzlerin hat die Richtlinienkompetenz. Die Bundeskanzlerin ist Angela Merkel. Angela Merkel hat die Richtlinienkompetenz. Die Bundeskanzlerin hat immer die Richtlinienkompetenz. Die Bundeskanzlerin ist Angela Merkel. Angela Merkel hat immer die Richtlinienkompetenz.???

28 5.5 Der Semantikformalismus von MONTAGUE Typenlogik

29 5.5.1 Mathematische Grundlagen

30 Typenlogik In der Typenlogik betrachten wir neben der Individuenmenge A und den Wahrheitswerten {0,1} nur einstellige Funktionen. Diese Einschränkung ist ohne Verlust an Ausdruckskraft möglich, da, wie im folgenden gezeigt wird, jede n-stellige Relation als n-stellige Funktion in die Menge {0,1} aufgefasst werden kann und jeder n-stelligen Funktion eine einstellige Funktion entspricht.

31 Relation Funktion Menge aller Funktionen von B nach C: C B { G : G B C} = : n R A F : n { 0,1} R A F R ( a 1,, a n ) = 1 < a1,, an > R 0 sonst F R : A n F { 0,1} R { < a, a > : F( a,, a ) 1} F A = 1, n 1 n = n

32 Relation Funktion n R A F : n R A { 0,1} F R ( a 1,, a n ) = 1 < a1,, an > R 0 sonst F : A n { 0,1} n RF A RF = { < a1,, an > : F( a1,, an) = 1} Offensichtlich sind diese Zuordnungen invers zueinander. R = R R R F = F ( F ) A n ( R ) F A F n { 0,1} Damit haben wir eine eineindeutige Zuordnung zwischen den n-stelligen Relationen und den n-stelligen Funktionen mit Wertebereich {0,1} geschaffen.

33 Funktionen Mehrstellige Funktionen lassen sich in natürlicher Weise als einstellige Funktionen auffassen. Wir demonstrieren dies am Beispiel einer zweistelligen Funktion F von A x B in C. F : A B C F': A C B F '( a) = F a F a : B C F a ( b) = F( a, b) a A ( F'( a))( b) = Fa ( b) = F( a, b) C Aus F erhält man somit die einstellige Funktion F.

34 Funktionen G B : A C G'': A B C G ''( a, b) = ( G( a))( b) es gilt: F = (F')'' G = (G'')' Die '-Abbildung ist damit eine Bijektion von ( A B) C B auf ( C ) A Jeder zweistelligen Funktion entspricht somit eineindeutig eine einstellige Funktion. Anschaulich wendet man nacheinander die Argumente a und b an.

35 Funktionen F B A A ) ' ( ) A B A F n ( 0 n ( ) 0 (Induktion)

36 Beispiel R A A F : A A { 0,1} R { } ( A A) F R 0, 1 ' R ({ 0, } A ) A F 1

37 Typenlogik Idee Im folgenden gehen wir von einer nichtleeren Menge A von Individuen aus und betrachten neben den Elementen von A und den Wahrheitswerten 0 und 1 alle einstelligen Funktionen, die in den folgenden Mengen liegen. Wir klassifizieren diese Objekte anhand ihres Typs.

38 5.5.2 Definition der Typen

39 Elementare Typen e als Typ der Individuen A (z.b. Eigennamen) t als Typ der Wahrheitswerte 0 und 1 (Typ von Sätzen, die einen Wahrheitswert den haben)

40 Komplexe Typen Aus den beiden elementaren Typen ergibt sich rekursiv die Menge der komplexen Typen: σ - Typ der Elemente aus B τ - Typ der Elemente aus C < σ, τ > - Typ der Elemente aus C B (Funktionen von B nach C)

41 Beispiel < e, t > Typ der Funktionen von A nach {0,1} Deutung als Prädikatkonstanten (Student, verheiratet, arbeitet) bzw. als Eigenschaften von Individuen

42 Beispiel < e, < e, t >> ( ) A A Typ der Elemente von {,1} 0 (zweistellige Relationen in A) Deutung als zweistellige Relationskonstanten (kennt, größer als) Ein < e,< e,t >> wie kennt nimmt zunächst ein e (z.b. Maria) und ergibt das einstellige Prädikat kennt (Maria) (Typ < e,t >), das sich dann mit einem weiteren Individuum zu einem Wahrheitswert (Typ t) verbindet.

43 Beispiel < t, t > Typ der Funktionen von {0,1} nach {0,1} Deutung als Satzmodifikator (gestern, immer)

44 Beispiel < e, < t, t >> ( 0,1 ) A Typ der Elemente von { } { 0,1 } Deutung als Präpositionen: eine Präposition wie in nimmt einen Ausdruck vom Typ e (z.b. Hamburg) und ergibt einen Satzmodifikator (in(hamburg))

45 Beispiel << e, t >, t > Deutung als Prädikatenprädikate (z.b. jeder_student)

46 Beispiel << e, t >, << e, t >, t > Deutung als zweistellige Relation zwischen Prädikaten: (z.b. jeder, (mindestens)ein, kein, mindestens drei, genau sieben, die meisten). Man spricht auch von verallgemeinerten Quantoren.

47 Beispiel << e, t >, < e, t >> Deutung als Adjektive( als Prädikatsmodifikatoren)

48 Beispiel <<< e, t >, < e, t >>, << e, t >, < e, t >>> Deutung als Gradmodifikatoren (sehr, ziemlich); sie nehmen einen Prädikatsmodifikator (z.b. gut) und bilden mit ihm einen neuen (sehr(gut)).

49 Bezeichnungen T Menge aller Typen Var = σ { σ σ x, y, } Menge aller Variablen des Typs σ Var { Var T} = σ σ : σ { σ σ c, c, } 1 K = Menge aller Konstanten des Typs (möglicherweise leer) σ

50 5.5.3 Terme

51 Terme wir definieren nun (getypte) Terme dabei ist zu beachten, dass Formeln als Terme des Typs t aufgefasst werden Formeln werden durch α, β, angedeutet

52 Terme Jede Variable und jede Konstante vom Typ σ ist ein Term des Typs σ. t 1 t 2 Term des Typs Term des Typs < σ, τ > σ t 1 ( t 2 ) Term des Typs τ neu t 1, t 2 Termedes Typs σ t 1 = t2 Term des Typs t (Formel) neu w, f, α,( α β ),( α β ),( α β ),( α β ) Formeln α Formel x Varσ xα, xα - Formeln neu

53 Bemerkung Tm = σ { σ σ t, t, } 1 Menge aller Terme des Typs σ neu im Vergleich zur Prädikatenlogik 1.Stufe sind der 2., 3. und 5. Bestandteil dieser Definition Die Identitätsrelation kann nicht nur Individuenterme, sondern beliebige Ausdrücke identischen Typs verknüpfen. Zum Beispiel lässt sich die Äquivalenzbeziehung zwischen zwei Sätzen A und B (Typ t) einfach durch A = B wiedergeben. Die Quantoren können Variablen beliebigen Typs binden.

54 Beispiel t 1 t 2 Term des Typs Term des Typs < σ, τ > σ t 1 ( t 2 ) Term des Typs τ

55 Beispiel

56 Beispiel

57 Beispiel

58 Beispiel

59 Beispiel Der Typ << e,t >,<< e,t >,t >> charakterisiert zweistellige Relationen zwischen Prädikaten. Damit sind Wortformen, wie jeder, mindestens ein, kein und sogar mindestens drei, genau sieben, die meisten, beschreibbar.

60 Beispiel Peter hat nur nützliche Eigenschaften. F( F(Peter) nützliche_eigenschaft( F)) Peter K e F Var< e, t> nützliche_eigenschaft K << e, t>, t>

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