Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung

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1 Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 9. Übung - Übungsblatt 8 Florian Wittmann Übungen zu GLoLoP

2 Inhalt 1 Aufgabe 8-1: 2 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül 3 Aufgabe 8-3: Vier-Farben-Satz Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 2 / 22

3 Aufgabe 8-1: Inhalt 1 Aufgabe 8-1: Begriffe Teilaufgabe a) Teilaufgabe b) 2 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül 3 Aufgabe 8-3: Vier-Farben-Satz Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 3 / 22

4 Aufgabe 8-1: Begriffe Begriffe K A A ist ableitbar von K K A A ist nicht ableitbar von K Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 4 / 22

5 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Gegeben sei der : a) Prüfen Sie, welche der folgenden Zeichenketten ableitbar sind und welche nicht. (i) (ii) (iii) + + (iv) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 5 / 22

6 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (i) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 6 / 22

7 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (i) (R1) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 6 / 22

8 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (i) (R1) (R4) + + Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 6 / 22

9 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (i) (R1) (R4) + + (R4) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 6 / 22

10 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (i) (R1) (R4) + + (R4) Keine weitere Regel anwendbar Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 6 / 22

11 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (i) (R1) (R4) + + (R4) Keine weitere Regel anwendbar K + i) ist nicht ableitbar von K +. Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 6 / 22

12 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (ii) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 7 / 22

13 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (ii) (R2) + Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 7 / 22

14 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (ii) (R2) + (R4) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 7 / 22

15 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (ii) (R2) + (R4) (R4) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 7 / 22

16 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (ii) (R2) + (R4) (R4) (R4) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 7 / 22

17 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (ii) (R2) + (R4) (R4) (R4) (R3) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 7 / 22

18 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (ii) (R2) + (R4) (R4) (R4) (R3) K + ii) ist ableitbar von K +. Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 7 / 22

19 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (iii) + + Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 8 / 22

20 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (iii) + + (R1) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 8 / 22

21 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (iii) + + (R1) (R3) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 8 / 22

22 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (iii) + + (R1) (R3) (R3) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 8 / 22

23 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (iii) + + (R1) (R3) (R3) (R3) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 8 / 22

24 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (iii) + + (R1) (R3) (R3) (R3) (R4) + + Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 8 / 22

25 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (iii) + + (R1) (R3) (R3) (R3) (R4) + + (R3) + + Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 8 / 22

26 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (iii) + + (R1) (R3) (R3) (R3) (R4) + + (R3) + + K + iii) + + ist ableitbar von K +. Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 8 / 22

27 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (iv) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 9 / 22

28 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (iv) (R3) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 9 / 22

29 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (iv) (R3) (R4) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 9 / 22

30 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (iv) (R3) (R4) (R3) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 9 / 22

31 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (iv) (R3) (R4) (R3) (R4) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 9 / 22

32 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (iv) (R3) (R4) (R3) (R4) (R3) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 9 / 22

33 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (iv) (R3) (R4) (R3) (R4) (R3) (R4) + Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 9 / 22

34 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (iv) (R3) (R4) (R3) (R4) (R3) (R4) + (R3) + Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 9 / 22

35 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (iv) (R3) (R4) (R3) (R4) (R3) (R4) + (R3) + (R2) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 9 / 22

36 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe a) Teilaufgabe (iv) (R3) (R4) (R3) (R4) (R3) (R4) + (R3) + (R2) K + iv) ist ableitbar von K +. Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 9 / 22

37 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe b) Gegeben sei der : b) Prüfen Sie, ob die folgenden Regeln im zulässig sind. (i) a a+ (ii) + + Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 10 / 22

38 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe b) Gegeben sei der : b) Prüfen Sie, ob die folgenden Regeln im zulässig sind. (i) a a+ Nein. (ii) + + Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 10 / 22

39 Aufgabe 8-1: Teilaufgabe b) Gegeben sei der : b) Prüfen Sie, ob die folgenden Regeln im zulässig sind. (i) a a+ Nein. (ii) + + Ja: (R4) + + (R3) + + Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 10 / 22

40 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Inhalt 1 Aufgabe 8-1: 2 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Frege Kalkül Beispiel Teilaufgabe a) Teilaufgabe b) Begriffe 3 Aufgabe 8-3: Vier-Farben-Satz Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 11 / 22

41 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Frege Kalkül Frege Kalkül (A1) p (q p) (A2) (p (q r)) ((p q) (p r)) (A3) ( p q) (q p) (A4) p p (A5) p p (R1) A,,A B B (R2) A = A[B] C wff A{C/B} Wohlgeformte Formel (wff) p A A A B A B Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 12 / 22

42 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Beispiel (A1) p (q p) (A2) (p (q r)) ((p q) (p r)) (A3) ( p q) (q p) (A4) p p (A5) p p (R1) A,,A B B (R2) A = A[B] C wff A{C/B} Beispiel: Ableitung in K F p p Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 13 / 22

43 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Beispiel (A1) p (q p) (A2) (p (q r)) ((p q) (p r)) (A3) ( p q) (q p) (A4) p p (A5) p p (R1) A,,A B B (R2) A = A[B] C wff A{C/B} Beispiel: Ableitung in K F p p 1 (p (q r)) ((p q) (p r)) A2 Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 13 / 22

44 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Beispiel (A1) p (q p) (A2) (p (q r)) ((p q) (p r)) (A3) ( p q) (q p) (A4) p p (A5) p p (R1) A,,A B B (R2) A = A[B] C wff A{C/B} Beispiel: Ableitung in K F p p 1 (p (q r)) ((p q) (p r)) A2 2 (p (q p)) ((p q) (p p)) R2: 1{p/r} Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 13 / 22

45 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Beispiel (A1) p (q p) (A2) (p (q r)) ((p q) (p r)) (A3) ( p q) (q p) (A4) p p (A5) p p (R1) A,,A B B (R2) A = A[B] C wff A{C/B} Beispiel: Ableitung in K F p p 1 (p (q r)) ((p q) (p r)) A2 2 (p (q p)) ((p q) (p p)) R2: 1{p/r} 3 p (q p) A1 Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 13 / 22

46 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Beispiel (A1) p (q p) (A2) (p (q r)) ((p q) (p r)) (A3) ( p q) (q p) (A4) p p (A5) p p (R1) A,,A B B (R2) A = A[B] C wff A{C/B} Beispiel: Ableitung in K F p p 1 (p (q r)) ((p q) (p r)) A2 2 (p (q p)) ((p q) (p p)) R2: 1{p/r} 3 p (q p) A1 4 (p q) (p p) R1: 3,2 Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 13 / 22

47 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Beispiel (A1) p (q p) (A2) (p (q r)) ((p q) (p r)) (A3) ( p q) (q p) (A4) p p (A5) p p (R1) A,,A B B (R2) A = A[B] C wff A{C/B} Beispiel: Ableitung in K F p p 1 (p (q r)) ((p q) (p r)) A2 2 (p (q p)) ((p q) (p p)) R2: 1{p/r} 3 p (q p) A1 4 (p q) (p p) R1: 3,2 5 (p (q p)) (p p) R2: 4{q p/q} Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 13 / 22

48 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Beispiel (A1) p (q p) (A2) (p (q r)) ((p q) (p r)) (A3) ( p q) (q p) (A4) p p (A5) p p (R1) A,,A B B (R2) A = A[B] C wff A{C/B} Beispiel: Ableitung in K F p p 1 (p (q r)) ((p q) (p r)) A2 2 (p (q p)) ((p q) (p p)) R2: 1{p/r} 3 p (q p) A1 4 (p q) (p p) R1: 3,2 5 (p (q p)) (p p) R2: 4{q p/q} 6 p p R1: 3,5 Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 13 / 22

49 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Teilaufgabe a) (A1) p (q p) (A2) (p (q r)) ((p q) (p r)) (A3) ( p q) (q p) (A4) p p (A5) p p (R1) A,,A B B (R2) A = A[B] C wff A{C/B} Aufgabe 8-2a: Ableitung in K F ( A ( B A)) ((B A) (B A)) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 14 / 22

50 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Teilaufgabe a) (A1) p (q p) (A2) (p (q r)) ((p q) (p r)) (A3) ( p q) (q p) (A4) p p (A5) p p (R1) A,,A B B (R2) A = A[B] C wff A{C/B} Aufgabe 8-2a: Ableitung in K F ( A ( B A)) ((B A) (B A)) 1 p (q p) A1 Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 14 / 22

51 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Teilaufgabe a) (A1) p (q p) (A2) (p (q r)) ((p q) (p r)) (A3) ( p q) (q p) (A4) p p (A5) p p (R1) A,,A B B (R2) A = A[B] C wff A{C/B} Aufgabe 8-2a: Ableitung in K F ( A ( B A)) ((B A) (B A)) 1 p (q p) A1 2 (p p) (q (p p)) R2: 1{p p/p} Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 14 / 22

52 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Teilaufgabe a) (A1) p (q p) (A2) (p (q r)) ((p q) (p r)) (A3) ( p q) (q p) (A4) p p (A5) p p (R1) A,,A B B (R2) A = A[B] C wff A{C/B} Aufgabe 8-2a: Ableitung in K F ( A ( B A)) ((B A) (B A)) 1 p (q p) A1 2 (p p) (q (p p)) R2: 1{p p/p} 3 p p siehe Seite vorher Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 14 / 22

53 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Teilaufgabe a) (A1) p (q p) (A2) (p (q r)) ((p q) (p r)) (A3) ( p q) (q p) (A4) p p (A5) p p (R1) A,,A B B (R2) A = A[B] C wff A{C/B} Aufgabe 8-2a: Ableitung in K F ( A ( B A)) ((B A) (B A)) 1 p (q p) A1 2 (p p) (q (p p)) R2: 1{p p/p} 3 p p siehe Seite vorher 4 q (p p) R1: 3, 2 Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 14 / 22

54 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Teilaufgabe a) (A1) p (q p) (A2) (p (q r)) ((p q) (p r)) (A3) ( p q) (q p) (A4) p p (A5) p p (R1) A,,A B B (R2) A = A[B] C wff A{C/B} Aufgabe 8-2a: Ableitung in K F ( A ( B A)) ((B A) (B A)) 1 p (q p) A1 2 (p p) (q (p p)) R2: 1{p p/p} 3 p p siehe Seite vorher 4 q (p p) R1: 3, 2 5 ( A ( B A)) R2: 4{ A ( B A)/q, ((B A) (B A)) B A/p} Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 14 / 22

55 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Teilaufgabe b) (A1) p (q p) (A2) (p (q r)) ((p q) (p r)) (A3) ( p q) (q p) (A4) p p (A5) p p (R1) A,,A B B (R2) A = A[B] C wff A{C/B} Aufgabe 8-2b: Ableitung in K F ((A B) C) ((D E) ((A B) C)) Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 15 / 22

56 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Teilaufgabe b) (A1) p (q p) (A2) (p (q r)) ((p q) (p r)) (A3) ( p q) (q p) (A4) p p (A5) p p (R1) A,,A B B (R2) A = A[B] C wff A{C/B} Aufgabe 8-2b: Ableitung in K F ((A B) C) ((D E) ((A B) C)) 1 p (q p) A1 Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 15 / 22

57 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Teilaufgabe b) (A1) p (q p) (A2) (p (q r)) ((p q) (p r)) (A3) ( p q) (q p) (A4) p p (A5) p p (R1) A,,A B B (R2) A = A[B] C wff A{C/B} Aufgabe 8-2b: Ableitung in K F ((A B) C) ((D E) ((A B) C)) 1 p (q p) A1 2 ((A B) C) R2: 1{((A B) C)/p, ((D E) ((A B) C)) (D E)/q} Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 15 / 22

58 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Begriffe Begriffe Für ein Kalkül K gilt die Konsistenz Wenn gilt: Wenn K A dann ist A allgemeingültig.... Vollständigkeit Wenn gilt: Wenn A allgemeingültig ist, dann gilt K A. Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 16 / 22

59 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül Begriffe Begriffe Deduktionstheorem für Freges Kalkül K F Ist in K F A 1,..., A n B beweisbar, so auch A 1,..., A n 1 A n B Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 17 / 22

60 Aufgabe 8-3: Vier-Farben-Satz Inhalt 1 Aufgabe 8-1: 2 Aufgabe 8-2: Frege Kalkül 3 Aufgabe 8-3: Vier-Farben-Satz Aufgabenstellung Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 18 / 22

61 Aufgabe 8-3: Vier-Farben-Satz Aufgabenstellung Vier-Farben-Satz Der Vier-Farben-Satz besagt, dass vier Farben ausreichen, um jede planare Karte so einzufärben, dass keine zwei angrenzenden Felder die gleiche Farbe bekommen. (Ein gemeinsamer Punkt gilt nicht als Grenze). Schreiben Sie ein Prolog-Programm, welches eine Einfärbung für folgende Karte bestimmt: Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 19 / 22

62 Aufgabe 8-3: Vier-Farben-Satz Aufgabenstellung Vier-Farben-Satz 1 %Definition der Farben: 2 color(blau). 3 color(gelb). 4 color(rot). 5 color(gruen). 6 7 %Definieren eines Operators: 8 :-op(50, xfy, -). 9 %Dem Operator eine Bedeutung geben: 10 X-Y :- color(x), color(y), X \= Y. Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 20 / 22

63 Aufgabe 8-3: Vier-Farben-Satz Aufgabenstellung Vier-Farben-Satz 12 %Angabe aller verbundenen Felder: 13 vierfarben([r1, R2, R3, R4, R5, R6, R7]) :- 14 R1-R2, R1-R4, R1-R5, 15 R2-R3, R2-R5, R2-R6, 16 R3-R6, R3-R7, R3-R4, 17 R4-R5, R4-R7, 18 R5-R6, R5-R7, 19 R6-R7. Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 21 / 22

64 Anhang Ende Folien Die Folien und weiteres Übungsmaterial ist im Internet abrufbar unter: Danke für die Aufmerksamkeit! Florian Wittmann (Übungen zu GLoLoP) Grundlagen der Logik und Logik-Programmierung 22 / 22