Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik. Übungsaufgaben. Ellen Baake, Mareike Esser Sommersemester 2014

Transkript

1 Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik Übungsaufgaben

2 Inhaltsverzeichnis Übungsblatt 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 1 1 Aufgabe 1.1 AWP ẏ = cy 2, Lösung bestimmen, Gültigkeit Aufgabe 1.2 Lösung einer DGL 2. Ordnung nachweisen Aufgabe 1.3 Ausbreitung einer Krankheit Aufgabe 1.4 Lösung x(t) = x 0 ( t t 0 ) a gegeben, bestimme AWP Übungsblatt 2 System Gewöhnliche Differentialgleichungen 2 1 Aufgabe 2.1 AWP ẋ = xy, ẏ = y Aufgabe 2.2 Solution in the plane Aufgabe 2.3 Konkurrenzmodell Aufgabe 2.4 Lösungskurve in der Phasenebene Übungsblatt 3 Jakobimatrizen 3 1 Aufgabe 3.1 ODE System aufstellen, Jacobimatrix, Stabilität Aufgabe 3.2 Jakobimatrix: Spalten vertauscht Stabilität? Aufgabe 3.3 Eigensystem bestimmen Übungsblatt 4 SIRS Modell 4 1 Aufgabe 4.1 SIRS Modell, Reproduktionszahl Aufgabe 4.2 SIRS Modell, qualitatives Verhalten Übungsblatt 5 Gleichgewichte und asymptotisches Verhalten 5 1 Aufgabe 5.1 Vektorfeld - Malaria Modell Aufgabe 5.2 Lösung eines einfachen Infektionsmodells Aufgabe 5.3 Freisetzung steriler Insekten Übungsblatt 6 Hodgkin-Huxley 6 1 Aufgabe 6.1 Lineare, nicht homogene DGL erster Ordnung Aufgabe 6.2 Überprüfe die Lösung eines AWP mit exponentiellem inhogenem Term. 6 2 Aufgabe 6.3 Original Fitzhugh Modell Übungsblatt 7 Luria-Delbrück Experiment 7 1 Aufgabe 7.1 Erwartungswert und Varianz: neue Annahmen zur Mutation Aufgabe 7.2 Luria-Delbrück: Varianz Aufgabe 7.3 Endliche Stichprobe Übungsblatt 8 Markov Ketten 8 1 Aufgabe 8.1 Kontinuierliche Markov Kette mit zwei Zuständen Aufgabe 8.2 Todesprozess Übungsblatt 9 Markov Ketten 9 1 Aufgabe 9.1 Matrixexponential Aufgabe 9.2 Matrixexponential Aufgabe 9.3 Kimura-2-Parameter Modell

3 Übungsblatt 10 Parametrisierung von Kurven 10 1 Aufgabe 10.1 Parametrisierung von Kurven Aufgabe 10.2 Matrixexponential einer Dreiecksmatrix Aufgabe 10.3 Skalarprodukt Aufgabe 10.4 Die Verknüpfungszahl Übungsblatt 11 Parametrisierung und Bogenlänge 11 1 Aufgabe 11.1 Bogenlänge Aufgabe 11.2 Bogenlänge Aufgabe 11.3 Parametrisierung Übungsblatt 12 Wright-Fisher und Moran Modell 12 1 Aufgabe 12.1 Multitypen Wright-Fisher Modell Aufgabe 12.2 Genhäufigkeiten unter genetischem Drift Aufgabe 12.3 Vererbung unter Selektion Übungsblatt 13 Wright-Fisher und Moran Modell 13 1 Aufgabe 13.1 Koaleszenzprozess, Aufgabe 13.2 Genetische Drift mit Mutation,

4 Mathematische Biologie - Übungsblatt 1 Gewöhnliche Differentialgleichungen Abgabe Ihrer Hausübungslösung: (in der Vorlesung) Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik Präsenzübung Aufgabe 1.1 AWP ẏ = cy 2, Lösung bestimmen, Gültigkeit Lösen Sie das Anfangswertproblem ẏ = cy 2, y(t 0 ) = y 0 > 0, c > 0 mit der Methode der Variablentrennung (die Ihnen im Tutorium gerne erklärt wird). Ist Ihre Lösung für alle t > t 0 gültig? Aufgabe 1.2 Lösung einer DGL 2. Ordnung nachweisen Die Funktion g : R R sei zweimal differenzierbar und erfülle die Eigenschaft g (x) 0 für alle x R. Zusätzlich sei die Funktion f : R R definiert durch f(x) = cos(kg(x)), wobei k R. Zeigen Sie, dass f f g g + (kg ) 2 f =

5 Hausübung Aufgabe 1.3 Ausbreitung einer Krankheit Wir wollen die Ausbreitung einer ansteckenden Krankheit beschreiben, die mit Rate α übertragen wird, wenn ein Infizierter einen Nichtinfizierten trifft, und von der Infizierte mit Rate µ genesen. Sei p der Anteil der Infizierten in einer Population; dann ist 1 p der Anteil der Nichtinfizierten. Da Neuinfektionen Kontakte zwischen Infizierten und Nichtinfizierten voraussetzen, ist der Zuwachs an Infizierten einerseits proportional zu p, andererseits zu 1 p; die Proportionalitätskonstante ist α. Der Verlust an Infizierten ist dagegen nur proportional zu p mit Proportionalitätskonstante µ. Insgesamt ändert sich p mit Geschwindigkeit Teilaufgabe Phasenliniendiagramm, ṗ = αp(1 p) µp Zeichnen Sie das Phasenliniendiagramm für α < µ und α > µ. Was folgt für das qualitative Verhalten (Gleichgewichtspunkte, Stabilität)? Skizzieren Sie Lösungen. Teilaufgabe Diskussion Gesundheitszustand, Diskutieren Sie: Was bedeuten die beiden Fälle für den Gesundheitszustand der Population bzw. die Ausbreitung der Krankheit? ( ) a t Aufgabe 1.4 Lösung x(t) = x 0 t 0 gegeben, bestimme AWP, Welches Anfangswertproblem löst die Funktion? ( ) t a x(t) = x 0, a > 0? t 0 [Hinweis: Hier ist die Differentialgleichung zeitabhängig, d.h. auf der rechten Seite taucht die Variable t explizit auf.] [!] 1 2

6 Mathematische Biologie - Übungsblatt 2 System Gewöhnliche Differentialgleichungen Abgabe Ihrer Hausübungslösung: (in der Vorlesung) Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik Präsenzübung Aufgabe 2.1 AWP ẋ = xy, ẏ = y 2 Verwenden Sie die Methode der Variablenseparation, um das folgende Anfangswertproblem zu lösen: ẋ = xy, x(1) = e (1) ẏ = y 2, y(1) = 1 (2) Aufgabe 2.2 Solution in the plane Consider the following solution of a differential equation in the plane: Teilaufgabe Skizziere Koordinaten im Zeitverlauf Skizzieren Sie (möglichst genau) den zugehörigen Zeitverlauf x(t), y(t) als Funktion der Zeit. Die Abstände zwischen den 11 Zeitpunkten sollen gleich sein. 2 1

7 Hausübung Aufgabe 2.3 Konkurrenzmodell Das Differentialgleichungssystem ẋ = x(1 2x y) ẏ = y(2 y x) soll die Konkurrenz zweier Populationen beschreiben. Teilaufgabe Erklärung, ODE für Symbiose, Erklären Sie, warum dies ein Konkurrenzmodell ist. Stellen Sie dann ein Differentialgleichungssystem auf, das die Symbiose zweier Populationen beschreibt. Teilaufgabe Geometrische Analyse und biologische Interpretation, 2 Punkte Betrachten Sie nun ihr Symbiosemodell. Berechnen und zeichnen Sie die Nullisoklinen und die Gleichgewichtspunkte. Zeichnen Sie die Richtungsvektoren ein und schließen Sie daraus auf die Stabilitätseigenschaften der Gleichgewichtspunkte. Skizzieren Sie einige Lösungen in der Phasenebene. Suchen Sie sich einen Startwert aus, für den Sie auch den Zeitverlauf skizzieren. Interpretieren Sie Ihr Ergebnis anschließend biologisch. Aufgabe 2.4 Lösungskurve in der Phasenebene Gegeben sei folgende Lösungskurve eines Differentialgleichungssystems in der Phasenebene Teilaufgabe Nullisoklinen und mögliches DGL-System, Zeichnen Sie in das Bild mögliche Nullisoklinen ein und stellen Sie ein dazugehöriges mögliches Differentialgleichungssystem auf. 2 2

8 Mathematische Biologie - Übungsblatt 3 Jakobimatrizen Abgabe Ihrer Hausübungslösung: (in der Vorlesung) Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik Präsenzübung Aufgabe 3.1 ODE System aufstellen, Jacobimatrix, Stabilität Denken Sie sich ein neues Differentialgleichungssystem aus (gemeint ist eines, das Sie noch nicht kennen), das einen stabilen Gleichgewichtspunkt im positiven Quadranten besitzt. Berechnen Sie für diesen Punkt die Jacobi-Matrix, also die Matrix der ersten Ableitungen, sowie ihre Eigenwerte. Bestätigt das Resultat die Stabilität? Falls nicht, suchen Sie ein System, für das man die Stabilität mit Hilfe der Jacobi-Matrix zeigen kann. 3 1

9 Hausübung Aufgabe 3.2 Jakobimatrix: Spalten vertauscht Stabilität?, Angenommen es sei ein System gekoppelter Differentialgleichungen ẋ = g(x, y), ẏ = h(x, y) gegeben mit einem anziehenden Gleichgewicht (x, y ). Sie möchten die Stabilität mit Hilfe der Jacobimatrix im Gleichgewicht untersuchen. Die Matrix ist gegeben durch J = ( x g(x, y ) x h(x, y ) y g(x, y ) ) y h(x, y ) Sie haben versehentlich die Spalten von J vertauscht, d.h. Sie arbeiten stattdessen mit J = ( y g(x, y ) y h(x, y ) x g(x, y ) ) x h(x, y. ) Welches Resultat werden Sie für die Stabilität in (x, y ) erhalten? [Hinweis: Dies war ein beliebter Fehler in den letzten MathBio Klausuren.] [!] Aufgabe 3.3 Eigensystem bestimmen, 2 Punkte Bestimmen Sie die Eigenwerte und (rechten) Eigenvektoren der folgenden Matrizen: ( ) α β A = α β and B = ( )

10 Mathematische Biologie - Übungsblatt 4 SIRS Modell Abgabe Ihrer Hausübungslösung: (in der Vorlesung) Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik Because there is a public holiday this week (Labor Day) the tutorial is skipped. Hausübung Aufgabe 4.1 SIRS Modell, Reproduktionszahl, 2 Punkte Betrachte das sogenannte SIRS model: Ṡ = αsi + γr I = αsi µi Ṙ = µi γr mit S + I + R = N und Parametern α, γ, µ > 0. I bezeichnet die Anzahl infizierter Individuen, S die Anzahl gesunder Individuen die anfällig, d.h. nicht immun sind, und R ist die Anzahl der gesunden Individuen die immun gegen die Krankheit sind. 1. Welche Situation beschreibt das Modell? Was ist die Bedeutung der Parameter α, γ, and µ? 2. Berechne die Reproduktionszahl (R 0 ). Was ist die Bedeutung dieser Größe? Aufgabe 4.2 SIRS Modell, qualitatives Verhalten, 3 Punkte Betrachte erneut das SIRS Modell aus Aufgabe 4.1. Unter der Annahme, dass die Populationsgröße konstant ist gilt R = N S I und das Modell vereinfacht sich zu Ṡ = αsi + γ(n S I) I = αsi µi. Berechne und zeichne die Nullisoklinen und Gleichgewichtspunkte, das qualitative Verhalten des Vektorfelds und skizziere eine Lösung in der Ebene (positiver Quadrant). [Hinweis: Eine Fallunterscheidung ist nötig.] [!] Was kann man über Stabilität aussagen, wenn man nur vom Vektorfeld alleine ausgehen kann? 4 1

11 Mathematische Biologie - Übungsblatt 5 Gleichgewichte und asymptotisches Verhalten Abgabe Ihrer Hausübungslösung: (in der Vorlesung) Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik Präsenzübung Aufgabe 5.1 Vektorfeld - Malaria Modell Betrachte das Malaria Modell, dass Sie aus der Vorlesung kennen, für r < r und r > r. Zeichne das qualitative Vektorfeld für beide Fälle und ziehen die Schlussfolgerungen über die Stabilität der Gleichgewichte. 5 1

12 Hausübung Aufgabe 5.2 Lösung eines einfachen Infektionsmodells, Betrachte erneut das einfache Infektionsmodell aus Aufgabe 1.3. Für jeden Anfangswert p(0) = p 0 0, ist die Lösung gegeben durch p(t) = p 0 1+αtp, 0 µ = α, (µ α)p 0 e (µ α)t(, µ+α(p 0 1) ) αp 0 µ α Überprüfe das asymptotische Verhalten, dass in Aufgabe 1.3 bereits (für nichtnegative Anfangswerte) gefunden wurde. Zeige außerdem, dass p(t) gegen 0 konvergiert für α µ und gegen 1 µ/α für α > µ, gegeben p 0 > 0 Aufgabe 5.3 Freisetzung steriler Insekten Die Methode der Freisetzung steriler Insekten zur Pestkontrolle entlässt eine Anzahl steriler Männchen in eine Population. Sei x sowohl die Anzahl fruchtbarer Weibchen wie fruchtbarer Männchen. Seien sterile Männchen in die Population entsendet, sodass immer eine konstante Anzahl y steriler Männchen vorhanden ist. Die Anzahl fruchbarer Weibchen kann dann modelliert werden durch ( ax ) ẋ = x + y b x cx(x + y) = f(x) mit Parametern a > b > 0 und c > 0. Teilaufgabe Erklären Sie das Modell. Was ist die Bedeutung der Parameter? Teilaufgabe Bestimme Gleichgewichte und Stabilität. Teilaufgabe Wie groß muss y gewählt werden, damit die Pest bei einem gegebenen Anfangswert x 0 ausgerottet wird? 5 2

13 Mathematische Biologie - Übungsblatt 6 Hodgkin-Huxley Abgabe Ihrer Hausübungslösung: (in der Vorlesung) Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik Präsenzübung Aufgabe 6.1 Lineare, nicht homogene DGL erster Ordnung Überprüfe, dass folgendes Anfangswertproblem ẋ(t) = f(t) x(t) + g(t), x(0) = x 0 folgende Lösung besitzt ( ) wobei h(t) = exp t 0 f(τ)dτ ( t ) g(u) x(t) = h(t) x h(u) du 6 1

14 Hausübung Aufgabe 6.2 Überprüfe die Lösung eines AWP mit exponentiellem inhogenem Term, Überprüfe, dass das Anfangswertproblem n ȧ = ϱa + α i e σit, a(0) = 0 i=1 mit Konstanten α i, σ i und ϱ, σ i ϱ für alle i, folgende Lösung besitzt: Anschließend untersuche, was aus a(t) = n i=1 α i σ i ϱ (e ϱt e σ it ). α i σ i ϱ (e ϱt e σ it ) wird, falls σ i = ϱ. [Hinweis: Verwende die Regel von l Hospital s] [!] Aufgabe 6.3 Original Fitzhugh Modell Das original Modell von Fitzhugh unterscheidet sich ein wenig von der Form aus der Vorlesung, nämlich dx dt c dy dt ( = c y + x 1 ) 3 x3 I, = a x by. Hier x ist das Membranpotenzial (analog zu v aus der Vorlesung) und y ist eine Relaxationsvariable sowie der Öffnungszustand des Kaliumkanals. I ist die Energiezufuhr (aktuell als konstant angenommen) und a, b und x sind positive Parameter mit b < c, b < 1, b < c 2. Teilaufgabe Punkte Berechne die Jakobimatrix im Gleichgewicht (x, y ). (Nehme x, y als Parameter an ohne sie explizit zu berechnen.) Zeige, dass das Gleichgewicht stabil ist, falls Teilaufgabe b ( c c 1 (x ) 2) ( > 0, 1 b 1 (x ) 2) > 0. Zeige, dass das Gleichgewicht unstabil ist, falls γ < x < γ, wobei γ = Teilaufgabe b c 2 Zeige, dass (aufgrund der Bedingung in 9.2.2) x zwischen dem Maximum und dem Minimum der x-nullisokline liegen muss. 6 2

15 Mathematische Biologie - Übungsblatt 7 Luria-Delbrück Experiment Abgabe Ihrer Hausübungslösung: (in der Vorlesung) Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik Präsenzübung Aufgabe 7.1 Erwartungswert und Varianz: neue Annahmen zur Mutation Berechne E(Z) und V(Z) um Luria-Delbrück-Modell, falls 1. mutierte Zellen sich nur noch in jeder zweiten Generation teilen. 2. mutierte Zellen sich gar nicht mehr teilen. Hausübung Aufgabe 7.2 Luria-Delbrück: Varianz, Überprüfen Sie die Aussage der Vorlesung: Für das Luria-Delbrück Experiment gilt V(Z) = T t=1 V(Y (t)) = (2 T 1)Np(1 p). [Hinweis: Geometrische Reihe] [!] Aufgabe 7.3 Endliche Stichprobe, 3 Punkte Beim Luria-Delbrück-Modell wurden in der Vorlesung Erwartungswert und Varianz der Zahl der Mutationsereignisse und der Zahl der mutierten Zellen betrachtet. Erwartungswert imd Varianz sind theoretische Größen, die man beobachten würde, wenn man das Experiment unendlich oft wiederholt. Im Experiment wurden jedoch nur endliche Stichproben betrachtet. Beschäftigen wir uns nun also mit dem Effekt endlicher Stichproben: Wir haben C Parralelkulturen. 1. Berechnen Sie unter der Hypothese spontaner Mutationen die Wahrscheinlichkeit, dass das erste Mutationsereignis (über alle C Kulturen gesehen) in Generation t auftritt. 2. Stellen Sie die Verteilung dieser Zeitpunkte graphisch dar für p = 10 7 und C = 10, 100, 1000, Diskutieren Sie das Ergebnis im Hinblick auf die Auswertung der Luria-Delbrück-Experiments. 7 1

16 Mathematische Biologie - Übungsblatt 8 Markov Ketten Abgabe Ihrer Hausübungslösung: (in der Vorlesung) Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik Hausübung Aufgabe 8.1 Kontinuierliche Markov Kette mit zwei Zuständen, 2 Punkte µ Betrachten Sie die Markov-Kette in stetiger Zeit, die durch den Übergangsgraphen 1 2 gegeben ist. λ Geben Sie die Ratenmatrix Q an und berechnen Sie die zugehörige Makov-Halbgruppe Aufgabe 8.2 Todesprozess Betrachten Sie den folgenden Todesprozess: Eine Population startet mit N Individuen. Jedes Individuum stirbt, unabhängig von allen anderen, mit Rate µ. X(t) sei die Anzahl von Individuen, die zum Zeitpunkt t am leben sind. Teilaufgabe Wie lautet die Kolmogorov Forwärtsgleichung für diesen Prozess, oder genauer für die Wahrscheinleichkeiten p n (t) := P (X(t) = n), 0 n N inklusive der Anfangswerte. Teilaufgabe Zeige, dass p n (t) = ( ) N (e µt ) n (1 e µt ) N n, 0 n N. (3) n Sie können dies via Rekusion mit Start in n = N tun, aber es ist einfach hier ein probabilistisches Argument zu nutzen, dass keine große Rechnung erfordert. 8 1

17 Mathematische Biologie - Übungsblatt 9 Markov Ketten Abgabe Ihrer Hausübungslösung: (in der Vorlesung) Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik Präsenzübung Aufgabe 9.1 Matrixexponential Welche der folgenden Matrizen lässt sich als Exponential einer anderen Matrix schreiben? a) ( ) b) ( ) c) ( ) Hausübung Aufgabe 9.2 Matrixexponential Wir betrachten das Matrixexponential e M einer Matrix M. Teilaufgabe Wie sieht es aus, falls M eine Diagonalmatrix ist? Unter welchen Bedingungen gilt für zwei Matrizen A und B, dass e A+B = a A e B und warum ist diese Bedinungen nötig? Teilaufgabe Berechnen Sie e M für die Matrix M = ( )

18 Aufgabe 9.3 Kimura-2-Parameter Modell Betrachten Sie das Kimura-2-Parameter-Modell der Sequenzevolution (in stetiger Zeit). Es ist durch folgenden Übergangsgraphen auf E = {A,G,C,T} definiert: (d.h. alle Transitionen geschehen mit Rate α, alle Transversionen geschehen mit Rate β, α > β). Teilaufgabe Geben Sie den Markov-Generator an. Teilaufgabe Berechnen Sie die stationäre Verteilung π. [Hinweis: Sie können entweder das sich ergebende lineare Gleichungssystem direkt lösen, oder sich ein allgemeines Argument für die stationäre Verteilung eines beliebigen symmetrischen Markov-Generators einfallen lassen.] [!] Teilaufgabe Wie Sie wissen, lässt sich die stationäre Verteilung als (stationäre) Nukleotidzusammensetzung einer (sehr langen) Sequenz interpretieren. Finden Sie Ihr π vor diesem Hintergrund realistisch? Wenn nicht, warum nicht? 9 2

19 Mathematische Biologie - Übungsblatt 10 Parametrisierung von Kurven Abgabe Ihrer Hausübungslösung: zwei Wochen Zeit! (in der Vorlesung) Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik Präsenzübung Aufgabe 10.1 Parametrisierung von Kurven Eine parametrisierte Kurve im R n ist eine Abbildung γ : [τ 0, τ 1 ] R n (man kann sich das als Bewegung vorstellen: für jeden Zeitpunkt τ [τ 0, τ 1 ] gibt man an, an welchem Ort im Raum man sich befindet). Finden Sie zwei verschiedene Parametrisierungen γ(τ) der Parabel y = x 2. Hausübung Aufgabe 10.2 Matrixexponential einer Dreiecksmatrix Das Matrixexponential einer oberen Dreiecksmatrix ist eine obere Dreiecksmatrix. Teilaufgabe Beweisen Sie diese Aussage. Teilaufgabe Geben Sie ein Plausibilitätsargument für P (t) = e tq, wenn Q ein Markov Generator in Form einer oberen Dreiecksmatrix ist. 10 1

20 Aufgabe 10.3 Skalarprodukt Zur Erinnerung: Das Skalarprodukt v, w zweier Vektoren v = (v 1,..., v n ) T und w = (w 1,..., w n ) T R n ist definiert als v, w = n v i w i. Teilaufgabe i=1 Wie hängt die Länge eines Vektors v (also die euklidische Norm v 2 ) mit dem Skalarprodukt v, v zusammen? Teilaufgabe Welchen Wert hat v, w, wenn v und w senkrecht aufeinander stehen (also orthogonal zueinander sind)? Teilaufgabe Betrachten Sie die orthogonale Projektion von w auf v: w v u Wie lautet der projizierte Vektor u, wenn v und w gegeben sind? Aufgabe 10.4 Die Verknüpfungszahl, Ermitteln Sie die Verknüpfungszahl des folgenden Objekts: Erläutern Sie dabei, wie man sie erhält. 10 2

21 Mathematische Biologie - Übungsblatt 11 Parametrisierung und Bogenlänge Abgabe Ihrer Hausübungslösung: (in der Vorlesung) Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik Präsenzübung Aufgabe 11.1 Bogenlänge Die Bogenlänge einer parametrisierten Kurve γ(τ) (siehe auch Anwesenheitsaufgabe 10.1) ist die Funktion wobei v := s(τ) := τ τ 0 γ(u) du, v v2 n die Länge des Vektors v angibt. Berechnen Sie die Bogenlänge s(τ) für den Kreis in der Parametrisierung γ(τ) = (sin τ, cos τ), τ [0, 2π]. Hausübung Aufgabe 11.2 Bogenlänge Teilaufgabe Zeichnen Sie die logarithmische Spirale γ(τ) = (e τ cos τ, e τ sin τ) mit Start bei τ 0 = 0. Teilaufgabe Berechnen Sie ihre Bogenlänge s(τ). 11 1

22 Aufgabe 11.3 Parametrisierung Teilaufgabe Punkte Finden Sie eine Parametrisierung γ(τ) der Schraubenlinie ( Helix ) Seitenansicht: Aufsicht (aus z-richtung): 1 y 1{ x z x y 1 (Start ist mit γ(0) = (1, 0, 0), und eine Windung entspricht einer Einheit in z-richtung.) Teilaufgabe Berechnen Sie den Tangentenvektor sowie den Tangenteneinheitsvektor an diese Kurve als Funktion von τ. 11 2

23 Mathematische Biologie - Übungsblatt 12 Wright-Fisher und Moran Modell Abgabe Ihrer Hausübungslösung: (in der Vorlesung) Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik Präsenzübung Aufgabe 12.1 Multitypen Wright-Fisher Modell Bisher haben wir genetische Drift nur für zwei Typen (z.b. A, a) betrachtet. Betrachten Sie nun ein Wright-Fisher-Modell mit K Typen. X n (i) sei die Zahl der Individuen vom Typ i in Generation n, i = 1,..., K, mit Σ K i=1 X(i) n = N. Die Bildung der nächsten Generation läuft dann nach dem bekannten Schema ab: Jedes der N Individuen zieht (mit Zurücklegen) einen Elter aus der vorigen Generation und erbt dessen Typ. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit an, dass die nächste Generation j 1 Individuen vom Typ 1,..., j K Individuen vom Typ K hat, wenn die Elterngeneration j 1 Individuen vom Typ 1,..., j K Individuen vom Typ K hat (Σ i j i = Σ ij i = N), also die Wahrscheinlichkeit P(X n+1 = j X n = j) mit X n = (X n (1),..., X n (K) ), j = (j 1,..., j K ), und entsprechend für j. Hausübung Aufgabe 12.2 Genhäufigkeiten unter genetischem Drift Teilaufgabe Punkte Genetische Drift in einer Population der Größe 1 entspricht wiederholter Selbstbefruchtung. Man denke sich eine Population, die aus einhäusigen heterozygoten Pflanzen des Genotyps Aa hervorgegangen ist und durch Selbstbefruchtung fortbesteht, indem in jeder Generation von jeder Elternpflanze ein Nachkomme zufällig ausgewählt wird. Der Vektor p (n) = ([AA] (n), [Aa] (n), [aa] (n) ) gebe die Häufigkeiten der Genotypen in der n-ten (diskreten!) Generation an. Was ist die Übergangsmatrix P für die Zahl der A-Allele (0, 1 oder 2) in jeder einzelnen Pflanze? Man verwende P, um p (1), p (2) und p (3) auszurechnen. Schließen Sie auf den allgemeinen Ausdruck für p (n). 12 1

24 Teilaufgabe Punkte Berechnen Sie die erwartete Zeit, bis eine gegebene Linie (also eine Population der Größe 1 ) homozygot ist. [Hinweis: Bedenken Sie, dass der Nachkomme eines heterozygoten Individuums mit Wahrscheinlichkeit 1/2 homozygot ist. Welcher Verteilung folgt die Zahl der Generationen bis zum homozygoten Zustand?] [!] Aufgabe 12.3 Vererbung unter Selektion Teilaufgabe Punkte Betrachten Sie ein Moran-Modell mit Selektion: Typ A reproduziert sich mit Rate 1 + s (s > 0 ist der Selektionsvorteil ), Typ a mit Rate 1; ersetzt wird jeweils ein zufällig ausgewähltes Individuum aus der Population (das nicht der eigene Elter ist). Wie sehen dann λ i und µ i für den Prozess X(t) = A aus? Geben sie den Markov-Generator an. Teilaufgabe Punkte Wie würden Sie ein Wright-Fisher-Modell mit Selektion formulieren? [Denkansatz: Für jedes Kind wird zufällig ein Elter ausgewählt, aber ein Elter vom Typ A hat eine um einen Faktor σ höhere Wahrscheinlichkeit, ausgewählt zu werden, als Typ a.] [!] 12 2

25 Mathematische Biologie - Übungsblatt 13 Wright-Fisher und Moran Modell Keine Abgabe, nur Präsenzübung Technische Fakultät, AG Biomathematik und Theoretische Bioinformatik Präsenzübung Aufgabe 13.1 Koaleszenzprozess, Teilaufgabe Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von n Leuten (und bei 365 Tagen im Jahr) keine zwei am selben Tag Geburtstag haben? Teilaufgabe Ziehen Sie zufällig 2 Individuen aus einer Population der Größe N, die sich nach dem Wright-Fisher Modell fortpflanzen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit stammen die beiden Individuen vom selben Elternindividuum ab? Teilaufgabe Betrachten Sie ein Wright-Fisher Sampling in diskreter Zeit (also getrennte Generationen, jedes Kind sucht sich mit Zurücklegen ein Elternindividuum aus der vorigen Generation aus). Geben Sie für eine haploide Population der Größe N die Wahrscheinlichkeit an, dass zwei Kinder auf zwei verschiedene Elternindividuen zurückgehen (siehe Teilaufgabe ), sowie die Wahrscheinlichkeit P(k), dass k Kinder k verschiedene Eltern haben ( verschieden meint hier immer nicht dasselbe Individuum, unabhängig vom Genotyp). Betrachten Sie nun den Prozess über mehrere Generationen hinweg zurück in der Zeit. Geben Sie die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass k Kinder über n Generationen hinweg jeweils k verschiedene Eltern haben, und in Generation n+1 ein Koaleszenzereignis stattfindet, dass also in Generation n+1 mindestens zwei Individuen auf denselben Elter treffen. Aufgabe 13.2 Genetische Drift mit Mutation, Betrachten Sie nun genetische Drift mit Mutation in diskreter Zeit. Wie üblich hat die Population die (haploide) Größe N, Kinder suchen zufällig ihre Eltern aus, die Nachkommen sind nun aber mit Wahrscheinlichkeit µ mutiert. Für 2 Allele und Mutationswahrscheinlichkeit µ von A nach a bzw. umgekehrt: Wie lautet P(X n+1 = j X n = i), wenn X n die Zahl der A-Individuen in Generation n ist? 13 1

26 Aufgabe 13.3 Moran Modell mit Selektion, Betrachten Sie nochmal das Moran Modell mit Selektion aus Aufgabe Berechnen Sie nun die Absorptionswahrscheinlichkeiten (in 0 und N), indem Sie den Rechtseigenvektor zum Eigenwert 0 bestimmen. Denken Sie daran, dabei die Nebenbedingungen zu berücksichtigen. 13 2