Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

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1 Mengen und Mengenoperationen (Teil II) Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 2. Juni 2014

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3 Definition Mengenfamilie Eine Menge, deren sämtliche Elemente selbst wiederum Mengen sind, heißt Mengenfamilie. treten oft in einer Form auf, bei der die einzelnen Elemente der Mengenfamilie durch einen geeigneten Index durchnummeriert sind. werden somit oft in der Form {A i i I } dargestellt.

4 Beispiele Es sei A 1 = {4}, A 2 = {2, 5}, A 3 = {8, 9}. Dann kann die Mengenfamilie M = {{4}, {2, 5}, {8, 9}} in der Form {A i i {1, 2, 3}} dargestellt werden. Für jedes n N sei A n := {k N k < n}. Dann ist M := {A n n N} eine Mengenfamilie. Wie sieht die Mengenfamilie M := {A n n N} aus?

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6 Auf sind spezielle Operationen definiert, die wiederum an die einfachen Mengenoperationen der letzten Folien erinnern. Zur Definition dieser Operationen werden die Quantoren und benötigt. Somit können die Rechenregeln nicht mehr vollständig auf aussagenlogische Tautologien zurückgeführt werden.

7 I Definition A sei eine Mengenfamilie. Die Menge A := {x B A : x B} heißt von A. Hat A die Form A = {A i i I } wird A auch in der Form i I A i notiert. Warum ist B in der Definition ein Großbuchstabe? Was soll das andeuten?

8 II Nochmals die Definition der : A := {x B A : x B} Das kann man in etwa so paraphrasieren: Die über A ( A) ist definiert (:=) als die Menge ({) der x mit der Eigenschaft ( ) es existiert eine Menge B aus A ( B A) für die gilt (:) x ist Element von B (x B). Was sind die Elemente der Ergebnismenge? Wie sieht die Ergebnismenge aus?

9 Beispiele Sei A = {A 1, A 2 } und A 1 = {1, 3, 4}, A 2 = {1, 2, 4, 9}. Die smenge von A = {1, 2, 3, 4, 9}. Abbildung : Schachteldarstellung Berechnen Sie i {1,2,3,4}A i mit A i = {x N i x i + 1}!

10 I Definition Sei A eine Mengenfamilie. Die Menge A := {x B A : x B} heißt von A. Hat A die Form A = {A i i I } wird A auch in der Form i I A i notiert. Warum ist B in der Definition ein Großbuchstabe? Was soll das andeuten?

11 II Nochmals die Definition des s: A := {x B A : x B} Das kann man in etwa so paraphrasieren: Der über A ( A) ist definiert (:=) als die Menge ({) der x mit der Eigenschaft ( ) für alle Mengen B aus A ( B A) gilt (:) x ist Element von B (x B). Was sind die Elemente der Ergebnismenge? Was ist die Eigenschaft der Elemente der Ergebnismenge?

12 Beispiele Sei A = {A 1, A 2 } und A 1 = {1, 3, 4}, A 2 = {1, 2, 4, 9}. Dann ist A = {1, 4}. Abbildung : Schachteldarstellung Berechnen Sie i {1,2,3}A i mit A i = {x N x i 2 }!

13 Eigenschaften {{{ }}} = {{ }} {, { }} = { } Sei A n = {0, 1, n}. Dann ist n NA n = N. Sei A n = {0, 1, n}. Dann ist n NA n = {0, 1}. Die Beispiele sollen verdeutlichen, dass im Falle von endlichen A = {A 1, A 2,..., A n } die A identisch mit der der Elemente A 1 A 2 A n ist. Dasselbe gilt für den. Die Bedeutung der Definitionen von und über liegt darin, dass es möglich ist, die Operatoren auf unendlichen Mengen anzuwenden.

14 en von Mengen Definition Sei M eine Menge. Eine Mengenfamilie P heißt eine oder Zerlegung von M genau dann, wenn gilt: 1 Jedes Element von P ist eine nichtleere Teilmenge von M. 2 P = M 3 Je zwei verschiedene Elemente von P sind disjunkt. Geben Sie eine mathematischere Definition von Punkt 1 an! Geben Sie eine mathematischere Definition von Punkt 3 an! Was ist die Intuition der smenge?

15 Beispiele Für jede nichtleere Menge M sind u.a. {M} und {{m} m M} stets en von M. {{1, 3, 4}, {2, 6}, {5}} ist eine von {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Es sei A n = {n, n + 1}. Dann ist Q := {A n n N} keine Zerlegung von N. P := {A 2n n N} dagegen ist eine Zerlegung von N:

16 Definition Eine Menge P := {M M A} heißt die von A. In der P(A) einer Menge A liegen also alle Teilmengen der Menge A. Für die einer Menge A wird oft auch das Symbol 2 A verwendet 1. Die einer Menge A enthält also immer: die leere Menge die Menge A selbst alle anderen möglichen Teilmengen dieser Menge 1 Eine Erklärung für diese Schreibweise kommt später.

17 n I P( ) = { } P({1}) ={, {1}} P({1, 2}) ={, {1}, {2}, {1, 2}} P({1, 2, 3}) ={, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}} P({ }) = {, { }} Wie viele Mengen enthält die einer Menge mit n Elementen?

18 n II Lemma über die Anzahl der Elemente einer Es sei A eine endliche Menge mit n Elementen. Dann hat P(A) genau 2 n Elemente. Beweis: Um das Lemma zu beweisen, benötigen wir das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.

19 Das Beweisprinzip der vollständigen Induktion Wenn man eine Eigenschaft ϕ, die für eine beliebige Anzahl von n N gilt, beweisen will, reicht es folgende Aussagen zu verifizieren: 1 Die Eigenschaft ϕ gilt für n = 0 (Induktionsanfang). 2 Falls die Eigenschaft ϕ auf eine beliebige natürliche Zahl k 0 zutrifft (Induktionsannahme), so auch auf k + 1 (Induktionsschritt).

20 Beispiel für vollständigen Induktion I Zu beweisen sei, dass für die Summe der ersten n natürlichen Zahlen n i=1 i gilt: n n(n + 1) i = 2 i=1 (1) 1 Induktionsanfang: n = 1; es gilt: 1 = 1(1+1) 2 = 2 2 = 1. 2 Induktionsschritt: (1) gilt für beliebiges n; beweise für n + 1 : n+1 i=1 = (n+1)(n+2) 2.

21 Beispiel für vollständigen Induktion II n+1 i = n + (n + 1) = (2) i=1 = n(n + 1) 2 + (n + 1) = (3) = n(n + 1) + 2(n + 1) 2 = (4) = (n + 1)(n + 2) 2 = n+1 i=1 (5)

22 Beispiel für vollständigen Induktion III Zu beweisen sei, dass für n > 0 der Ausdruck 7 n 1 stets durch 6 teilbar ist (ohne Rest). Es gilt somit 7 n 1 = 6k. 1 Induktionsanfang: n = 1; = 6; 6 ist teilbar durch 6. 2 Induktionsschritt: Beweise für n + 1 : 7 n+1 1 = (7 n 7) 1 (7 n 7) 1 = (7(7 n )) 1 7 n 1 ist durch 6 teilbar (IA); Es gilt somit: 7 n = 6k + 1; (7(7 n )) 1 = (7(6k + 1)) 1 (7(6k + 1)) 1 = 42k k = 42k k + 6 = 6(7k + 1) 6(7k + 1) ist immer durch 6 teilbar.

23 Vollständige Induktion I Warum können wir mittels des Induktionanfangs und des Induktionsschritt schließen, dass alle natürlichen Zahlen eine Eigenschaft ϕ haben? Wir wissen, dass man jede beliebige natürliche Zahl n ausgehend von der 0 durch eine endliche Zahl von Nachfolgerschritten erreichen kann: 0 1, 1 2,..., n 1 n, n n Wir müssen also die Annahme für 0 nachprüfen. Dann für 1. Dann für Dann für n

24 Vollständige Induktion II Das in der vorigen Folie dargestellte explizite Hochangeln von Zahl zu Zahl ist offenkundig überflüssig. Mit dem Beweis für die Richtigkeit einer Eigenschaft ϕ für n + 1 kann man zeigen, dass die gewählte Strategie immer klappt. Unter Annahme der Prämisse, dass die Eigenschaft ϕ für n bereits gilt, können wir dann ϕ für n + 1 zeigen. Warum kann man die Prämisse so einfach annehmen?

25 Vollständige Induktion III Dieses Vorgehen wird oftmals auch als sog. Leiterprinzip veranschaulicht: Leiterprinzip Wenn man die unterste Stufe einer Leiter erreichen kann und wenn der Sprossenabstand so eingerichtet ist, dass man von jeder beliebigen Sprosse eine weitere, höhergelegene Sprosse erreichen kann, dann ist klar, dass man jede Sprosse der Leiter erreichen kann.

26 n III Lemma über die Anzahl der Elemente einer Es sei A eine endliche Menge mit n Elementen. Dann hat P(A) genau 2 n Elemente. Beweis: Induktionsanfang: n = 0. In diesem Fall gilt A = und es folgt P(A) = { }. Somit gilt 1 = 2 0 = 2 n Induktionsschritt: Ist etwas komplizierter. Wichtig für den Beweis ist: Es gilt trivialerweise immer n für n N. Damit ist jede Menge mit n + 1 Elementen nicht leer.

27 n IV Induktionsschritt: Es sei A eine Menge mit n + 1 Elementen. Wir nehmen irgendein beliebiges Element a A aus A heraus und erhalten A 0 := A \ {a}. A 0 enthält somit genau n Elemente. Wir teilen A in zwei Mengen P 1 und P 2 auf: P 1 := {M A a M}. P 2 := {M A a M}. Es gilt für P 1 und P 2 : P 1 und P 2 sind disjunkt: P 1 P 2 = P 1 P 2 = P(A) P 1 = P(A 0 )

28 n V P 1 und P 2 sind disjunkt und ihre entspricht wiederum der von A. Somit entspricht die Größe von P(A) der Summe der beiden Mengen P 1 und P 2. A 0 enthält genau n Elemente. Somit gilt: P(A 0 ) = P 1 hat genau 2 n Elemente (Induktionsannahme). P 1 und P 2 enthalten beide die selbe Anzahl von Elementen. Somit gilt dass P(A) genau 2 k + 2 k = 2 2 k = 2 k+1 Elemente enthält.

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30 tl;dr sind Mengen, die selbst wiederum aus Mengen bestehen. Die einer Mengenfamilie M ist die Menge aller Elemente, die Element einer der Submengen von M sind. Der einer Mengenfamilie M ist die Menge aller Elemente, die Element aller Submengen von M sind. en einer Menge stellen dar, deren Elemente allesamt paarweise disjunkt sind. Die einer Menge ist eine Mengenfamilie, die alle Teilemengen der ursprünglichen Menge enthalten. Vollständige Induktion ist ein wichtiges Beweismittel um Eigenschaften zu beweisen die für beliebige Anzahlen von (natürlichen) Zahlen gelten sollen.