Thema: Mittelwert einer Häufigkeitsverteilung. Welche Informationen kann der Mittelwert geben?

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1 Thema: Mittelwert einer Häufigkeitsverteilung Beispiel: Im Mittel werden deutsche Männer 75,1 Jahre alt; sie essen im Mittel pro Jahr 71 kg Kartoffel(-produkte) und trinken im Mittel pro Tag 0.35 l Bier. Den Schülern ist die Berechnung des arithmetischen Mittel bekannt - zur Wiederholung: 10. Arbeitsblatt: Arithmetisches Mittel von Zahlen bzw. Häufigkeitsverteilungen Welche Informationen kann der Mittelwert geben?

2 Mittelwert und Streuung Ein Mensch, der von Statistik hört, denkt dabei nur an Mittelwert. Er glaubt nicht dran und ist dagegen, ein Beispiel soll es gleich belegen: Ein Jäger auf der Entenjagd hat einen ersten Schuss gewagt. Der Schuss, zu hastig aus dem Rohr, lag eine gute Handbreit' vor. Der zweite Schuss mit lautem Krach lag eine gute Handbreit' nach. Der Jäger spricht ganz unbeschwert voll Glauben an den Mittelwert: Statistisch ist die Ente tot! Doch wär er klug und nähme Schrot - dies sei gesagt ihn zu belehren - er würde seine Chancen mehren: Der Schuss geht ab, die Ente stürzt,weil Streuung ihr das Leben kürzt! (P.H. List)

3 Definition: Arithmetisches Mittel Gegeben ist ein quantitatives Merkmal mit den Merkmalsausprägungen x 1, x 2, x 3,..., x m. Sind h(x 1 ), h(x 2 ), h(x 3 ),..., h(x m ) die zugehörigen relativen Häufigkeiten, mit denen diese Merkmalsprägungen auftreten, dann ist das arithmetische Mittel der Häufigkeitsverteilung definiert durch: x = h( x1)! x1 + h( x2)! x2 + h( x3)! x h( x m )! x m Man bezeichnet X auch als gewichtetes Mittel der Ausprägungen x 1, x 2, x 3,..., x m.

4 Durchschnittsverdiener oder ab durch die Mitte... (I) ALT 10 x = x = x = x = x = Summe Durchschnitt : NEU 10 x = x = x = x = x = Summe Durchschnitt : (aus: Der Mathematikverführer, Christoph Drösser)

5 Durchschnittsverdiener oder ab durch die Mitte... (II) ALT 10 x = x = x = x = x = Summe Durchschnitt : NEU 10 x = x = x = x = x = Summe Durchschnitt : (aus: Der Mathematikverführer, Christoph Drösser)

6 Thema: Mittelwert bestimmen für eine klassierte Verteilung Arbeitsblatt: Mittelwert-Bestimmung für eine klassierte Verteilung

7 Thema: Geometrisches Mittel Beispiel: Bevölkerungsentwicklung (fiktiv) Lagemaße: Mittelwerte, Median Jahr Anzahl der Bewohner Zuwachsrate in % Um wie viel Prozent hat die Bevölkerung im Durchschnitt in jedem der vier Jahre zugenommen? Lösung : 110 : 4 = 27,5 %... plausibles Ergebnis?

8 Beispiel: Bevölkerungsentwicklung (fiktiv) Ein jährlicher Zuwachs von 27,5% führt für das Jahr 2006 zu 6864 zusätzlichen Bewohnern Problem: Wachstumsraten haben verschiedene Bezugspunkte Lösung: Der gesamte Wachstumsprozess wird durch 1,2 x 1,1 x 1,3 x 1,5 x = beschrieben D.h. wir suchen eine Zahl g, für die gilt: g x g x g x g = 1,2 x 1,1 x 1,3 x 1,5, somit g 4 = 1,2 x 1,1 x 1,3 x 1,5 g = Aus den vier Wachstumsfaktoren erhalten wir einen Wachstumsfaktor für alle vier Jahre. G ist das geometrische Mittel aus den vier gegebenen Zahlen.

9 Definition: Geometrisches Mittel Gegeben sind n positive Zahlen g 1, g 2,... g n, Dann heißt ˆ 1 2 x = g! g!...! g n das geometrische Mittel von g 1, g 2,... g n, 13. Arbeitsblatt: Aufgaben zum geometrischen Mittel

10 Thema: Harmonisches Mittel 14. Arbeitsblatt

11 Thema: Harmonisches Mittel Beispiel: Jogger, Durchschnittsgeschwindigkeit Ein Jogger läuft eine Strecke von A nach B und wieder zurück. Auf dem Hinweg hat er Rückenwind und läuft mit einer Geschwindigkeit von 12 km/h, auf dem Rückweg weht ihm der Wind ins Gesicht, und er läuft nur 8 km/h. Wie groß ist seine Durchschnittgeschwindigkeit?

12 Thema: Harmonisches Mittel Beispiel: Jogger, Durchschnittsgeschwindigkeit Lösung: Hat die Strecke zwischen A und B die Länge s Kilometer, dann braucht der Jogger auf dem Hinweg (mit 12km/h) entsprechend der Gleichung t = s/v die Zeit t 1 = s/12 Auf dem Rückweg braucht er (mit 8 km/h) länger, nämlich t 2 = s/8 Die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnet sich, indem man die Gesamtstrecke durch die Gesamtzeit teilt: v 2s = t + t 1 2 = 2s s s + v v 1 2 = 1 v v 2 = = = 48 5 = 9,6

13 Definition: Harmonisches Mittel Gegeben sind n positive Zahlen x 1, x 2,..., x n. Dann heißt x h = 1 x 1 + n 1 + x x n das harmonische Mittel von x 1, x 2,..., x n.

14 Exkurs: Vergleich der drei Mittelwerte harmonisches geometrisches arithmetisches Mittel Das geometrische Mittel folgt aus dem euklidischen Höhensatz Das harmonische Mittel aus dem euklidischen Kathetensatz

15 Exkurs: Geschichte der drei Mittelwerte Die drei klassischen Mittelwerte treten bereits in der Antike auf Pappos von Alexandria kennzeichnet 10 verschiedene Mittelwerte m von 2 Zahlen a und b (a < b) Auch die Ungleichung zwischen harmonischem, geometrischem und arithmetischem Mittel ist in der Antike bereits bekannt und geometrisch interpretiert Im 19. und 20. Jahrhundert spielen Mittelwerte in der Analysis eine spezielle Rolle, dort im Wesentlichen im Zusammenhang mit berühmten Ungleichungen (Hölder, Minkowski,...)

16 Thema: Median Lagemaße: Mittelwerte, Median Von den errechneten Mittelwerten zu dem Mittelwert der Lage Was versteht man unter dem Median einer Verteilung? Bei welchen Typen von Merkmalen kann man den Median bestimmen? Zurück zu unserem Beispiel: Durchschnittsverdiener oder ab durch die Mitte... Wir suchen den mittleren Repräsentanten der Firma Bauner

17 Thema: Median Beispiel: Durchschnittsverdiener oder ab durch die Mitte... ALT 10 x = x = x = x = x = Summe Durchschnitt : NEU 10 x = x = x = x = x = Summe Durchschnitt : Median (in beiden Fällen): Mittel aus Kollege 10 und 11: 2250 EUR

18 Thema: Vergleich Mittelwert - Median Der Median ist im Vergleich zum Mittelwert eine robuste Größe Der Median ist zu bevorzugen, wenn die Verteilung asymmetrisch ist nur wenige Messwerte vorliegen der Verdacht besteht, dass Ausreißer unter den Messwerten sind Rangmerkmale vorliegen 15. Arbeitsblatt: Median, Quartile und Boxplots 16. Arbeitsblatt: Boxplots

19 Einführung von Boxplots Die Ergebnisse eines Vergleichstests zweier Klassen wurden in Form von Punkten bekannt gegeben. Die folgende geordnete Liste gibt an, welche Punktzahlen erreicht wurden: Klasse 8a: Klasse 8b:

20 Einführung von Boxplots In Klasse 8a sind 30 Schülerinnen und Schüler, in Klasse 8b sind es 29. Eine Schülerin oder ein Schüler aus Klasse 8a hat die höchste Punktzahl erreicht; eine Schülerin oder ein Schüler aus Klasse kam auf die kleinste Punktzahl. Die Differenz zwischen größter und kleinster Punktzahl ist in beiden Klassen gleich b

21 Einführung von Boxplots Vergleich der Häufigkeitsdiagramme Klasse 8b

22 Einführung von Boxplots Die Lage der Quartile der Datenmenge

23 Einführung von Boxplots Boxplots lassen den unmittelbaren Vergleich zu!

24 Einführung von Boxplots Boxplots mit Ausreißer x

25 Quartile einer Datenmenge Quartil: 3,5 Median: 6,5 3. Quartil: 9, Quartil: 3,5 Median: 7 3. Quartil: 10, Quartil: 4 Median: 7,5 3. Quartil: Quartil: 4 Median: 8 3. Quartil: 12

26 Streuungsmaße... Thema: Spannweite, Quartile, empirische Varianz und Standardabweichung Was sind die Quartile einer Häufigkeitsverteilung? Wie stellt man eine Häufigkeitsverteilung in einem Boxplot dar? Welche Kennzahlen eignen sich auch zur Beschreibung des Streuverhaltens einer Verteilung? Wie berechnet man die empirische Varianz am einfachsten?

27 Streuungsmaße... Thema: Spannweite, Quartile, empirische Varianz und Standardabweichung 17. Arbeitsblatt: Streuung einer Häufigkeitsverteilung 18. Arbeitsblatt: Mittelwert und Streuung

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1 45, 39, 44, 48, 42, 39, 40, , 31, 46, 35, 31, 42, 51, , 42, 33, 46, 33, 44, 43 1) Ermittle jeweils das arithmetische Mittel. Ordne die Datenerhebungen nach der Größe der arithmetischen Mittel. Beginne mit dem Größten. 1 45, 39, 44, 48, 42, 39, 40, 31 2 35, 31, 46, 35, 31, 42, 51,

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