Mengenlehre: Schnittmenge
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- Matthias Schmid
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1 Mengenlehre: Schnittmenge
2 Mengenlehre: Schnittmenge A, B seien Mengen. Der Durchschnitt von A und B (Bezeichnung: A B) ( ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.)
3 Mengenlehre: Schnittmenge A, B seien Mengen. Der Durchschnitt von A und B (Bezeichnung: A B) ( ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.) Menge A Menge B a b c a b c d e f
4 Schnittmenge Mengenlehre: Schnittmenge A, B seien Mengen. Der Durchschnitt von A und B (Bezeichnung: A B) ( ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.) Menge A Menge B a b c a b c d e f a c b
5 Mengenlehre: Schnittmenge A, B seien Mengen. Der Durchschnitt von A und B (Bezeichnung: A B) ( ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.) Menge A a b c d e f
6 Mengenlehre: Schnittmenge A, B seien Mengen. Der Durchschnitt von A und B (Bezeichnung: A B) ( ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.) Menge B a b c d e f
7 Mengenlehre: Schnittmenge A, B seien Mengen. Der Durchschnitt von A und B (Bezeichnung: A B) ( ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.) a b c d e f Schnittmenge
8 Schnittmenge von mehreren Mengen,
9 Schnittmenge von mehreren Mengen Gegeben ist eine Menge M von Mengen.,
10 Schnittmenge von mehreren Mengen Gegeben ist eine Menge M von Mengen. Die Schnittmenge,
11 Schnittmenge von mehreren Mengen Gegeben ist eine Menge M von Mengen. Die Schnittmenge die Menge von M ist,
12 Schnittmenge von mehreren Mengen Gegeben ist eine Menge M von Mengen. Die Schnittmenge die Menge M M M von M ist,
13 Schnittmenge von mehreren Mengen Gegeben ist eine Menge M von Mengen. Die Schnittmenge von M ist die Menge M M M der Elemente, die in jedem Element von M enthalten sind: e A C a b c f B A = {e,c},
14 Schnittmenge von mehreren Mengen Gegeben ist eine Menge M von Mengen. Die Schnittmenge von M ist die Menge M M M der Elemente, die in jedem Element von M enthalten sind: M := {a für alle M M gilt a M. } M M e A C a b c f B A = {e,c} B = {e,c,f },
15 Schnittmenge von mehreren Mengen Gegeben ist eine Menge M von Mengen. Die Schnittmenge von M ist die Menge M M M der Elemente, die in jedem Element von M enthalten sind: M := {a für alle M M gilt a M. } M M e A C a b c f B A = {e,c} B = {e,c,f } C = {a,b,c},
16 Schnittmenge von mehreren Mengen Gegeben ist eine Menge M von Mengen. Die Schnittmenge von M ist die Menge M M M der Elemente, die in jedem Element von M enthalten sind: M := {a für alle M M gilt a M. } M M e A C a b c f B A = {e,c} B = {e,c,f } C = {a,b,c} Falls M := {A,B,C},
17 Schnittmenge von mehreren Mengen Gegeben ist eine Menge M von Mengen. Die Schnittmenge von M ist die Menge M M M der Elemente, die in jedem Element von M enthalten sind: M := {a für alle M M gilt a M. } M M e A C a b c f B A = {e,c} B = {e,c,f } C = {a,b,c} Falls M := {A,B,C} = {{e,c}, {e,c,f }, {a,b,c}},
18 Schnittmenge von mehreren Mengen Gegeben ist eine Menge M von Mengen. Die Schnittmenge von M ist die Menge M M M der Elemente, die in jedem Element von M enthalten sind: M := {a für alle M M gilt a M. } M M e A C a b c f B A = {e,c} B = {e,c,f } C = {a,b,c} Falls M := {A,B,C} = {{e,c}, {e,c,f }, {a,b,c}}, ist M M M = {c}
19 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ).
20 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = U U
21 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} =
22 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe.
23 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe. Beweis. Z.z.:
24 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe. Beweis. Z.z.: (a) U U U.
25 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe. Beweis. Z.z.: (a) U U U. (b) u,v U U U
26 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe. Beweis. Z.z.: (a) U U U. (b) u,v U U U
27 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe. Beweis. Z.z.: (a) U U U. (b) u,v U U U uv U U U
28 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe. Beweis. Z.z.: (a) U U U. (b) u,v U U U (c) u U U U uv U U U
29 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe. Beweis. Z.z.: (a) U U U. (b) u,v U U U (c) u U U U uv U U U
30 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe. Beweis. Z.z.: (a) U U U. (b) u,v U U U uv U U U (c) u U U U u 1 U U U.
31 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe. Beweis. Z.z.: (a) U U U. (b) u,v U U U uv U U U (c) u U U U u 1 U U U. (a)
32 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe. Beweis. Z.z.: (a) U U U. (b) u,v U U U uv U U U (c) u U U U u 1 U U U. (a) U, weil e in allen Untergruppen liegt. U U
33 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe. Beweis. Z.z.: (a) U U U. (b) u,v U U U uv U U U (c) u U U U u 1 U U U. (a) U, weil e in allen Untergruppen liegt. U U (b): Angennomen u,v U U
34 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe. Beweis. Z.z.: (a) U U U. (b) u,v U U U uv U U U (c) u U U U u 1 U U U. (a) U, weil e in allen Untergruppen liegt. U U (b): Angennomen u,v U U uv U
35 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe. Beweis. Z.z.: (a) U U U. (b) u,v U U U uv U U U (c) u U U U u 1 U U U. (a) U, weil e in allen Untergruppen liegt. U U (b): Angennomen u, v U U uv U (Abgeschlossenheit von U bzg. ).
36 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe. Beweis. Z.z.: (a) U U U. (b) u,v U U U uv U U U (c) u U U U u 1 U U U. (a) U, weil e in allen Untergruppen liegt. U U (b): Angennomen u, v U U uv U (Abgeschlossenheit von U bzg. ). Also uv liegt in jedem Element von U,
37 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe. Beweis. Z.z.: (a) U U U. (b) u,v U U U uv U U U (c) u U U U u 1 U U U. (a) U, weil e in allen Untergruppen liegt. U U (b): Angennomen u, v U U uv U (Abgeschlossenheit von U bzg. ). Also uv liegt in jedem Element von U, also uv U U U.
38 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe. Beweis. Z.z.: (a) U U U. (b) u,v U U U uv U U U (c) u U U U u 1 U U U. (a) U, weil e in allen Untergruppen liegt. U U (b): Angennomen u, v U U uv U (Abgeschlossenheit von U bzg. ). Also uv liegt in jedem Element von U, also uv U U U. (c): Angenommen u U U,
39 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe. Beweis. Z.z.: (a) U U U. (b) u,v U U U uv U U U (c) u U U U u 1 U U U. (a) U, weil e in allen Untergruppen liegt. U U (b): Angennomen u, v U U uv U (Abgeschlossenheit von U bzg. ). Also uv liegt in jedem Element von U, also uv U U U. (c): Angenommen u U U, u 1 U (Abgeschlossenheit von U bzg. invertieren).
40 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe. Beweis. Z.z.: (a) U U U. (b) u,v U U U uv U U U (c) u U U U u 1 U U U. (a) U, weil e in allen Untergruppen liegt. U U (b): Angennomen u, v U U uv U (Abgeschlossenheit von U bzg. ). Also uv liegt in jedem Element von U, also uv U U U. (c): Angenommen u U U, u 1 U (Abgeschlossenheit von U bzg. invertieren). Also u 1 liegt in jedem Element von U,
41 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe. Beweis. Z.z.: (a) U U U. (b) u,v U U U uv U U U (c) u U U U u 1 U U U. (a) U, weil e in allen Untergruppen liegt. U U (b): Angennomen u, v U U uv U (Abgeschlossenheit von U bzg. ). Also uv liegt in jedem Element von U, also uv U U U. (c): Angenommen u U U, u 1 U (Abgeschlossenheit von U bzg. invertieren). Also u 1 liegt in jedem Element von U, = u 1 U U U.
42 Satz 6 U sei eine Menge der Unterguppen der Gruppe (G, ). Dann ist die Schnittmenge U U U auch eine Untergruppe. Bsp: 2Z 3Z = {n 2 teilt n und 3 teilt n} = {n 6 teilt n} ist eine Untergruppe. Beweis. Z.z.: (a) U U U. (b) u,v U U U uv U U U (c) u U U U u 1 U U U. (a) U, weil e in allen Untergruppen liegt. U U (b): Angennomen u, v U U uv U (Abgeschlossenheit von U bzg. ). Also uv liegt in jedem Element von U, also uv U U U. (c): Angenommen u U U, u 1 U (Abgeschlossenheit von U bzg. invertieren). Also u 1 liegt in jedem Element von U, = u 1 U U U.
43 Homo- und Isomorphismus
44 Homo- und Isomorphismus Def. 5
45 Homo- und Isomorphismus Def. 5 Seien (G, ) und (H, ) Gruppe. Die Abbildung φ : G H heißt ein Homomorphismus, falls a, b G gilt φ(a b) = φ(a) φ(b).
46 Homo- und Isomorphismus Def. 5 Seien (G, ) und (H, ) Gruppe. Die Abbildung φ : G H heißt ein Homomorphismus, falls a, b G gilt φ(a b) = φ(a) φ(b). Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus. Jargon: φ erhält Multiplikation.
47 Homo- und Isomorphismus Def. 5 Seien (G, ) und (H, ) Gruppe. Die Abbildung φ : G H heißt ein Homomorphismus, falls a, b G gilt φ(a b) = φ(a) φ(b). Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus. Jargon: φ erhält Multiplikation. Bsp: φ : 3Z G Z H, φ(k) = k 3 ist ein Isomorphismus.
48 Homo- und Isomorphismus Def. 5 Seien (G, ) und (H, ) Gruppe. Die Abbildung φ : G H heißt ein Homomorphismus, falls a, b G gilt φ(a b) = φ(a) φ(b). Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus. Jargon: φ erhält Multiplikation. Bsp: φ : 3Z G Z H, φ(k) = k 3 ist ein Isomorphismus. Tatsächlich,
49 Homo- und Isomorphismus Def. 5 Seien (G, ) und (H, ) Gruppe. Die Abbildung φ : G H heißt ein Homomorphismus, falls a, b G gilt φ(a b) = φ(a) φ(b). Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus. Jargon: φ erhält Multiplikation. Bsp: φ : 3Z G Z H, φ(k) = k 3 φ(k) + φ(m) = k 3 + m 3 = k+m 3 = φ(k + m). ist ein Isomorphismus. Tatsächlich,
50 Homo- und Isomorphismus Def. 5 Seien (G, ) und (H, ) Gruppe. Die Abbildung φ : G H heißt ein Homomorphismus, falls a, b G gilt φ(a b) = φ(a) φ(b). Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus. Jargon: φ erhält Multiplikation. Bsp: φ : 3Z G Z H, φ(k) = k 3 φ(k) + φ(m) = k 3 + m 3 = k+m 3 = φ(k + m). φ ist eine Bijektion. Bsp: ist ein Isomorphismus. Tatsächlich,
51 Homo- und Isomorphismus Def. 5 Seien (G, ) und (H, ) Gruppe. Die Abbildung φ : G H heißt ein Homomorphismus, falls a, b G gilt φ(a b) = φ(a) φ(b). Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus. Jargon: φ erhält Multiplikation. Bsp: φ : 3Z G Z H, φ(k) = k 3 φ(k) + φ(m) = k 3 + m 3 = k+m 3 = φ(k + m). φ ist eine Bijektion. Bsp: ψ : Z Z 2, Aus Vorlesung 3 ist ein Isomorphismus. Tatsächlich,
52 Homo- und Isomorphismus Def. 5 Seien (G, ) und (H, ) Gruppe. Die Abbildung φ : G H heißt ein Homomorphismus, falls a, b G gilt φ(a b) = φ(a) φ(b). Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus. Jargon: φ erhält Multiplikation. Bsp: φ : 3Z G Z H, φ(k) = k 3 φ(k) + φ(m) = k 3 + m 3 = k+m 3 = φ(k + m). φ ist eine Bijektion. Bsp: ψ : Z Z 2, ψ(k) = Aus Vorlesung 3 ist ein Isomorphismus. Tatsächlich, { e falls k gerade a falls k ungerade
53 Homo- und Isomorphismus Def. 5 Seien (G, ) und (H, ) Gruppe. Die Abbildung φ : G H heißt ein Homomorphismus, falls a, b G gilt φ(a b) = φ(a) φ(b). Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus. Jargon: φ erhält Multiplikation. Bsp: φ : 3Z G Z H, φ(k) = k 3 φ(k) + φ(m) = k 3 + m 3 = k+m 3 = φ(k + m). φ ist eine Bijektion. Bsp: ψ : Z Z 2 Aus Vorlesung 3, ψ(k) = ist ein Homomorphismus. Triviales Bsp: ist ein Isomorphismus. Tatsächlich, { e falls k gerade a falls k ungerade
54 Homo- und Isomorphismus Def. 5 Seien (G, ) und (H, ) Gruppe. Die Abbildung φ : G H heißt ein Homomorphismus, falls a, b G gilt φ(a b) = φ(a) φ(b). Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus. Jargon: φ erhält Multiplikation. Bsp: φ : 3Z G Z H, φ(k) = k 3 φ(k) + φ(m) = k 3 + m 3 = k+m 3 = φ(k + m). φ ist eine Bijektion. ist ein Isomorphismus. Tatsächlich, { e falls k gerade Bsp: ψ : Z Z 2 Aus Vorlesung 3, ψ(k) = a falls k ungerade ist ein Homomorphismus. Triviales Bsp: Für alle Gruppen (G, ) und (H, ) ist
55 Homo- und Isomorphismus Def. 5 Seien (G, ) und (H, ) Gruppe. Die Abbildung φ : G H heißt ein Homomorphismus, falls a, b G gilt φ(a b) = φ(a) φ(b). Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus. Jargon: φ erhält Multiplikation. Bsp: φ : 3Z G Z H, φ(k) = k 3 φ(k) + φ(m) = k 3 + m 3 = k+m 3 = φ(k + m). φ ist eine Bijektion. ist ein Isomorphismus. Tatsächlich, { e falls k gerade Bsp: ψ : Z Z 2 Aus Vorlesung 3, ψ(k) = a falls k ungerade ist ein Homomorphismus. Triviales Bsp: Für alle Gruppen (G, ) und (H, ) ist τ : G H, τ(a) = e ein Homomophismus.
56 Homo- und Isomorphismus Def. 5 Seien (G, ) und (H, ) Gruppe. Die Abbildung φ : G H heißt ein Homomorphismus, falls a, b G gilt φ(a b) = φ(a) φ(b). Isomorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus. Jargon: φ erhält Multiplikation. Bsp: φ : 3Z G Z H, φ(k) = k 3 φ(k) + φ(m) = k 3 + m 3 = k+m 3 = φ(k + m). φ ist eine Bijektion. Bsp: ψ : Z Z 2, ψ(k) = Aus Vorlesung 3 ist ein Isomorphismus. Tatsächlich, { e falls k gerade a falls k ungerade ist ein Homomorphismus. Triviales Bsp: Für alle Gruppen (G, ) und (H, ) ist τ : G H, τ(a) = e ein Homomophismus. Informal: für uns sind zwei Isomorphen Gruppen gleich
57 Satz
58 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H.
59 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus.
60 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H
61 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt
62 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus,
63 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus.
64 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) =
65 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) =
66 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H
67 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G )
68 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) φ(e G ) e H
69 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G.
70 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) =
71 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) =
72 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) =
73 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H,
74 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, =
75 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, = φ(g 1 ) = (φ(g)) 1.
76 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, = φ(g 1 ) = (φ(g)) 1. (c) Seien h, h H.
77 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, = φ(g 1 ) = (φ(g)) 1. (c) Seien h, h H. Nun φ 1 (h) φ 1 (h ) =
78 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, = φ(g 1 ) = (φ(g)) 1. (c) Seien h, h H. Nun φ 1 (h) φ 1 (h ) = φ 1 ( φ ( φ 1 (h) φ 1 (h ) ))
79 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, = φ(g 1 ) = (φ(g)) 1. (c) Seien h, h H. Nun φ 1 (h) φ 1 (h ) = φ 1 ( φ ( φ 1 (h) φ 1 (h ) )) = φ 1 ( φ ( φ 1 (h) ) φ ( φ 1 (h ) )) =
80 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, = φ(g 1 ) = (φ(g)) 1. (c) Seien h, h H. Nun φ 1 (h) φ 1 (h ) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) φ 1 (h ) )) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) ) φ ( φ 1 (h ) )). = φ 1 (h h )
81 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, = φ(g 1 ) = (φ(g)) 1. (c) Seien h, h H. Nun φ 1 (h) φ 1 (h ) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) φ 1 (h ) )) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) ) φ ( φ 1 (h ) )). = φ 1 (h h ) Bsp:
82 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, = φ(g 1 ) = (φ(g)) 1. (c) Seien h, h H. Nun φ 1 (h) φ 1 (h ) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) φ 1 (h ) )) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) ) φ ( φ 1 (h ) )). = φ 1 (h h ) Bsp: φ : R R >0,
83 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, = φ(g 1 ) = (φ(g)) 1. (c) Seien h, h H. Nun φ 1 (h) φ 1 (h ) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) φ 1 (h ) )) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) ) φ ( φ 1 (h ) )). = φ 1 (h h ) Bsp: φ : R R >0, φ(x) = e x.
84 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, = φ(g 1 ) = (φ(g)) 1. (c) Seien h, h H. Nun φ 1 (h) φ 1 (h ) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) φ 1 (h ) )) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) ) φ ( φ 1 (h ) )). = φ 1 (h h ) Bsp: φ : R R >0, φ(x) = e x. Dann ist e a+b = e a e b,
85 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, = φ(g 1 ) = (φ(g)) 1. (c) Seien h, h H. Nun φ 1 (h) φ 1 (h ) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) φ 1 (h ) )) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) ) φ ( φ 1 (h ) )). = φ 1 (h h ) Bsp: φ : R R >0, φ(x) = e x. Dann ist e a+b = e a e b, also ist die Exponentialabbildung ein Homomorphismus von (R,+)
86 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, = φ(g 1 ) = (φ(g)) 1. (c) Seien h, h H. Nun φ 1 (h) φ 1 (h ) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) φ 1 (h ) )) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) ) φ ( φ 1 (h ) )). = φ 1 (h h ) Bsp: φ : R R >0, φ(x) = e x. Dann ist e a+b = e a e b, also ist die Exponentialabbildung ein Homomorphismus von (R,+) nach (R >0, )
87 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, = φ(g 1 ) = (φ(g)) 1. (c) Seien h, h H. Nun φ 1 (h) φ 1 (h ) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) φ 1 (h ) )) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) ) φ ( φ 1 (h ) )). = φ 1 (h h ) Bsp: φ : R R >0, φ(x) = e x. Dann ist e a+b = e a e b, also ist die Exponentialabbildung ein Homomorphismus von (R,+) nach (R >0, ). Wir sehen: (a):
88 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, = φ(g 1 ) = (φ(g)) 1. (c) Seien h, h H. Nun φ 1 (h) φ 1 (h ) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) φ 1 (h ) )) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) ) φ ( φ 1 (h ) )). = φ 1 (h h ) Bsp: φ : R R >0, φ(x) = e x. Dann ist e a+b = e a e b, also ist die Exponentialabbildung ein Homomorphismus von (R,+) nach (R >0, ). Wir sehen: (a): e 0 = 1, (b):
89 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, = φ(g 1 ) = (φ(g)) 1. (c) Seien h, h H. Nun φ 1 (h) φ 1 (h ) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) φ 1 (h ) )) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) ) φ ( φ 1 (h ) )). = φ 1 (h h ) Bsp: φ : R R >0, φ(x) = e x. Dann ist e a+b = e a e b, also ist die Exponentialabbildung ein Homomorphismus von (R,+) nach (R >0, ). Wir sehen: (a): e 0 = 1, (b): e x = 1/e x.
90 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, = φ(g 1 ) = (φ(g)) 1. (c) Seien h, h H. Nun φ 1 (h) φ 1 (h ) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) φ 1 (h ) )) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) ) φ ( φ 1 (h ) )). = φ 1 (h h ) Bsp: φ : R R >0, φ(x) = e x. Dann ist e a+b = e a e b, also ist die Exponentialabbildung ein Homomorphismus von (R,+) nach (R >0, ). Wir sehen: (a): e 0 = 1, (b): e x = 1/e x. (c): e x ist bijektiv,
91 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, = φ(g 1 ) = (φ(g)) 1. (c) Seien h, h H. Nun φ 1 (h) φ 1 (h ) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) φ 1 (h ) )) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) ) φ ( φ 1 (h ) )). = φ 1 (h h ) Bsp: φ : R R >0, φ(x) = e x. Dann ist e a+b = e a e b, also ist die Exponentialabbildung ein Homomorphismus von (R,+) nach (R >0, ). Wir sehen: (a): e 0 = 1, (b): e x = 1/e x. (c): e x ist bijektiv, also ist ein Isomorphismus,
92 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, = φ(g 1 ) = (φ(g)) 1. (c) Seien h, h H. Nun φ 1 (h) φ 1 (h ) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) φ 1 (h ) )) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) ) φ ( φ 1 (h ) )). = φ 1 (h h ) Bsp: φ : R R >0, φ(x) = e x. Dann ist e a+b = e a e b, also ist die Exponentialabbildung ein Homomorphismus von (R,+) nach (R >0, ). Wir sehen: (a): e 0 = 1, (b): e x = 1/e x. (c): e x ist bijektiv, also ist ein Isomorphismus, die inverse Abbildung ist log.
93 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, = φ(g 1 ) = (φ(g)) 1. (c) Seien h, h H. Nun φ 1 (h) φ 1 (h ) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) φ 1 (h ) )) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) ) φ ( φ 1 (h ) )). = φ 1 (h h ) Bsp: φ : R R >0, φ(x) = e x. Dann ist e a+b = e a e b, also ist die Exponentialabbildung ein Homomorphismus von (R,+) nach (R >0, ). Wir sehen: (a): e 0 = 1, (b): e x = 1/e x. (c): e x ist bijektiv, also ist ein Isomorphismus, die inverse Abbildung ist log. Wir sehen: log(x y) = log(x) + log(y),
94 Satz 7 Seien G und H Gruppen mit neutralem Element e G bzw. e H. Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann gilt: (a) φ(e G ) = e H, (b) g G gilt φ(g 1 ) = (φ(g)) 1 (c) Ist φ Isomorphismus, so ist φ 1 : H G ebenfalls ein Isomomorphismus. Beweis: (a): φ(e G ) = φ(e G e G ) = φ(e G ) φ(e G ). = e H = (φ(e G )) 1 φ(e G ) = (φ(e G )) 1 φ(e G ) e H φ(e G ) = φ(e G ). (b) : Sei g G. Es ist φ(g 1 ) φ(g) = φ(g 1 g) = φ(e G ) (a) = e H, = φ(g 1 ) = (φ(g)) 1. (c) Seien h, h H. Nun φ 1 (h) φ 1 (h ) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) φ 1 (h ) )) = φ ( 1 φ ( φ 1 (h) ) φ ( φ 1 (h ) )). = φ 1 (h h ) Bsp: φ : R R >0, φ(x) = e x. Dann ist e a+b = e a e b, also ist die Exponentialabbildung ein Homomorphismus von (R,+) nach (R >0, ). Wir sehen: (a): e 0 = 1, (b): e x = 1/e x. (c): e x ist bijektiv, also ist ein Isomorphismus, die inverse Abbildung ist log. Wir sehen: log(x y) = log(x) + log(y), also log ist ein Isomorphismus.
95 f:a ---> B Def. 6 Sei f : A B, A A, B B. Bild f (A ) := Bild f A = = {b B a A, f (a ) = B}. Urbild f (B ) := {a A b B, f (a) = b } a b c d e Satz 8 A = { 4, 5, 6} Urbild(B ) = { 1,2,3} B = { a, c, d} Bild(A ) = { b,e}
96 f:a ---> B Def. 6 Sei f : A B, A A, B B. Bild f (A ) := Bild f A = = {b B a A, f (a ) = B}. Urbild f (B ) := {a A b B, f (a) = b } a b c d e Satz 8 Sei φ : G H ein Homomorphismus. A = { 4, 5, 6} Urbild(B ) = { 1,2,3} B = { a, c, d} Bild(A ) = { b,e}
97 f:a ---> B Def. 6 Sei f : A B, A A, B B. Bild f (A ) := Bild f A = = {b B a A, f (a ) = B}. Urbild f (B ) := {a A b B, f (a) = b } a b c d e A = { 4, 5, 6} B = { a, c, d} Urbild(B ) = { 1,2,3} Satz 8 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Seien G G, H H Untergruppen. Bild(A ) = { b,e}
98 f:a ---> B Def. 6 Sei f : A B, A A, B B. Bild f (A ) := Bild f A = = {b B a A, f (a ) = B}. Urbild f (B ) := {a A b B, f (a) = b } a b c d e A = { 4, 5, 6} B = { a, c, d} Urbild(B ) = { 1,2,3} Satz 8 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Seien G G, H H Untergruppen. Dann ist Bild φ (G ) und Urbild φ (H ) Untergruppen von jeweils H und G. Bild(A ) = { b,e}
99 f:a ---> B Def. 6 Sei f : A B, A A, B B. Bild f (A ) := Bild f A = = {b B a A, f (a ) = B}. Urbild f (B ) := {a A b B, f (a) = b } a b c d e A = { 4, 5, 6} B = { a, c, d} Urbild(B ) = { 1,2,3} Satz 8 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Seien G G, H H Untergruppen. Dann ist Bild φ (G ) und Urbild φ (H ) Untergruppen von jeweils H und G. In Worten: Homomorphismen führen Untergruppen in Untergruppen über. Bild(A ) = { b,e}
100 f:a ---> B Def. 6 Sei f : A B, A A, B B. Bild f (A ) := Bild f A = = {b B a A, f (a ) = B}. Urbild f (B ) := {a A b B, f (a) = b } a b c d e A = { 4, 5, 6} B = { a, c, d} Urbild(B ) = { 1,2,3} Satz 8 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Seien G G, H H Untergruppen. Dann ist Bild φ (G ) und Urbild φ (H ) Untergruppen von jeweils H und G. In Worten: Homomorphismen führen Untergruppen in Untergruppen über. Beweis: Bild(A ) = { b,e}
101 f:a ---> B Def. 6 Sei f : A B, A A, B B. Bild f (A ) := Bild f A = = {b B a A, f (a ) = B}. Urbild f (B ) := {a A b B, f (a) = b } a b c d e A = { 4, 5, 6} B = { a, c, d} Urbild(B ) = { 1,2,3} Satz 8 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Seien G G, H H Untergruppen. Dann ist Bild φ (G ) und Urbild φ (H ) Untergruppen von jeweils H und G. In Worten: Homomorphismen führen Untergruppen in Untergruppen über. Beweis: Z.z.: Bild φ (G ) und Urbild φ (H ) sind abgeschlossen bzgl. (i) Multiplikation, Bild(A ) = { b,e}
102 f:a ---> B Def. 6 Sei f : A B, A A, B B. Bild f (A ) := Bild f A = = {b B a A, f (a ) = B}. Urbild f (B ) := {a A b B, f (a) = b } a b c d e A = { 4, 5, 6} B = { a, c, d} Urbild(B ) = { 1,2,3} Satz 8 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Seien G G, H H Untergruppen. Dann ist Bild φ (G ) und Urbild φ (H ) Untergruppen von jeweils H und G. In Worten: Homomorphismen führen Untergruppen in Untergruppen über. Beweis: Z.z.: Bild φ (G ) und Urbild φ (H ) sind abgeschlossen bzgl. (i) Multiplikation, (ii) Invertieren Bild(A ) = { b,e}
103 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H
104 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G )
105 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G ) Def. von Bild =
106 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G ) φ(b ) = b. Def. von Bild = a,b G s.d. φ(a ) = a,
107 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b =
108 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b )
109 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b ) Def. 5 von Homomorp. =
110 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b Def. 5 von Homomorp. ) = φ(a b ) Bild φ (G ).
111 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b Def. 5 von Homomorp. ) = φ(a b ) Bild φ (G ). (ii) Ist a Urbild φ (H ),
112 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b Def. 5 von Homomorp. ) = φ(a b ) Bild φ (G ). (ii) Ist a Urbild φ (H ), so ist nach Satz 7 (φ(a)) 1 = φ(a 1 )
113 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b Def. 5 von Homomorp. ) = φ(a b ) Bild φ (G ). (ii) Ist a Urbild φ (H ), so ist nach Satz 7 (φ(a)) 1 = φ(a 1 ).
114 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b Def. 5 von Homomorp. ) = φ(a b ) Bild φ (G ). (ii) Ist a Urbild φ (H ), so ist nach Satz 7 (φ(a)) 1 = φ(a 1 ). Also, a 1 Urbild φ (H ). Ist a Bild φ (G ),
115 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b Def. 5 von Homomorp. ) = φ(a b ) Bild φ (G ). (ii) Ist a Urbild φ (H ), so ist nach Satz 7 (φ(a)) 1 = φ(a 1 ). Also, a 1 Urbild φ (H ). Ist a Bild φ (G ), so gibt es ein a G mit φ(a ) = a.
116 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b Def. 5 von Homomorp. ) = φ(a b ) Bild φ (G ). (ii) Ist a Urbild φ (H ), so ist nach Satz 7 (φ(a)) 1 = φ(a 1 ). Also, a 1 Urbild φ (H ). Ist a Bild φ (G ), so gibt es ein a G mit φ(a ) = a. { Abg. Bzgl. Inv.:
117 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b Def. 5 von Homomorp. ) = φ(a b ) Bild φ (G ). (ii) Ist a Urbild φ (H ), so ist nach Satz 7 (φ(a)) 1 = φ(a 1 ). Also, a 1 Urbild φ (H ). Ist a Bild φ (G ), so gibt es ein a G mit φ(a ) = a. { Abg. Bzgl. Inv.:
118 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b Def. 5 von Homomorp. ) = φ(a b ) Bild φ (G ). (ii) Ist a Urbild φ (H ), so ist nach Satz 7 (φ(a)) 1 = φ(a 1 ). Also, a 1 Urbild φ (H ). Ist a Bild φ (G ), so gibt es ein a G mit φ(a ) = a. { Abg. Bzgl. Inv.: = a 1 G
119 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b Def. 5 von Homomorp. ) = φ(a b ) Bild φ (G ). (ii) Ist a Urbild φ (H ), so ist nach Satz 7 (φ(a)) 1 = φ(a 1 ). Also, a 1 Urbild φ (H ). Ist a Bild φ (G ), so gibt es ein a G mit φ(a ) = a. { Abg. Bzgl. Inv.: = a 1 G
120 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b Def. 5 von Homomorp. ) = φ(a b ) Bild φ (G ). (ii) Ist a Urbild φ (H ), so ist nach Satz 7 (φ(a)) 1 = φ(a 1 ). Also, a 1 Urbild φ (H ). Ist a Bild φ (G ), so gibt es ein a G mit φ(a ) = a. { Abg. Bzgl. Inv.: = a 1 G
121 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b Def. 5 von Homomorp. ) = φ(a b ) Bild φ (G ). (ii) Ist a Urbild φ (H ), so ist nach Satz 7 (φ(a)) 1 = φ(a 1 ). Also, a 1 Urbild φ (H ). Ist a Bild φ (G ), so gibt es ein a G mit φ(a ) = a. { Abg. Bzgl. Inv.: = a 1 G Satz 7:
122 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b Def. 5 von Homomorp. ) = φ(a b ) Bild φ (G ). (ii) Ist a Urbild φ (H ), so ist nach Satz 7 (φ(a)) 1 = φ(a 1 ). Also, a 1 Urbild φ (H ). Ist a Bild φ (G ), so gibt es ein a G mit φ(a ) = a. { Abg. Bzgl. Inv.: = a 1 G Satz 7:
123 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b Def. 5 von Homomorp. ) = φ(a b ) Bild φ (G ). (ii) Ist a Urbild φ (H ), so ist nach Satz 7 (φ(a)) 1 = φ(a 1 ). Also, a 1 Urbild φ (H ). Ist a Bild φ (G ), so gibt es ein a G mit φ(a ) = a. { Abg. Bzgl. Inv.: = a 1 G Satz 7: = φ(a 1 ) = φ(a ) 1
124 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b Def. 5 von Homomorp. ) = φ(a b ) Bild φ (G ). (ii) Ist a Urbild φ (H ), so ist nach Satz 7 (φ(a)) 1 = φ(a 1 ). Also, a 1 Urbild φ (H ). Ist a Bild φ (G ), so gibt es ein a G mit φ(a ) = a. { Abg. Bzgl. Inv.: = a 1 G Satz 7: = φ(a 1 ) = φ(a ) 1
125 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b Def. 5 von Homomorp. ) = φ(a b ) Bild φ (G ). (ii) Ist a Urbild φ (H ), so ist nach Satz 7 (φ(a)) 1 = φ(a 1 ). Also, a 1 Urbild φ (H ). Ist a Bild φ (G ), so gibt es ein a G mit φ(a ) = a. { Abg. Bzgl. Inv.: = a 1 G Satz 7: = φ(a 1 ) = φ(a ) 1
126 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b Def. 5 von Homomorp. ) = φ(a b ) Bild φ (G ). (ii) Ist a Urbild φ (H ), so ist nach Satz 7 (φ(a)) 1 = φ(a 1 ). Also, a 1 Urbild φ (H ). Ist a Bild φ (G ), so gibt es ein a G mit φ(a ) = a. { Abg. Bzgl. Inv.: = a 1 G Satz 7: = φ(a 1 ) = φ(a ) 1 = φ(a 1 ) = a 1
127 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b Def. 5 von Homomorp. ) = φ(a b ) Bild φ (G ). (ii) Ist a Urbild φ (H ), so ist nach Satz 7 (φ(a)) 1 = φ(a 1 ). Also, a 1 Urbild φ (H ). Ist a Bild φ (G ), so gibt es ein a G mit φ(a ) = a. { Abg. Bzgl. Inv.: = a 1 G Satz 7: = φ(a 1 ) = φ(a ) 1 = φ(a 1 ) = a 1 Bild φ (G ).
128 (i) Seien a,b Urbild φ (H Def 5 ). Man betrachte φ(a) φ(b) = φ(a b). H Also φ(a b) H und deswegen a b Urbild φ (H ). a,b Bild φ (G Def. von Bild ) = a,b G s.d. φ(a ) = a, φ(b ) = b. Dann ist a b = φ(a ) φ(b Def. 5 von Homomorp. ) = φ(a b ) Bild φ (G ). (ii) Ist a Urbild φ (H ), so ist nach Satz 7 (φ(a)) 1 = φ(a 1 ). Also, a 1 Urbild φ (H ). Ist a Bild φ (G ), so gibt es ein a G mit φ(a ) = a. { Abg. Bzgl. Inv.: = a 1 G Satz 7: = φ(a 1 ) = φ(a ) 1 = φ(a 1 ) = a 1 Bild φ (G ).
129
130 Def. 7
131 Def. 7 Sei φ : G H ein Homomorphismus.
132 Def. 7 Sei φ : G H ein Homomorphismus.
133 Def. 7 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Kern φ ) Kernel von φ (Bez:
134 Def. 7 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Kern φ ) ist Urbild φ ({e H }) Kernel von φ (Bez:
135 Def. 7 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez: Kern φ ) ist Urbild φ ({e H }) := {a G φ(a) = e}
136 Def. 7 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez: Kern φ ) ist Urbild φ ({e H }) := {a G φ(a) = e} G. Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5:
137 Def. 7 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez: Kern φ ) ist Urbild φ ({e H }) := {a G φ(a) = e} G. Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5: φ : 3Z Z, φ(k) = k 3. G H ψ : Z Z 2 Aus Vorlesung 3, ψ(k) = (Für alle Gruppen (G, ) und (H, )) { e falls k gerade a falls k ungerade.
138 Def. 7 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez: Kern φ ) ist Urbild φ ({e H }) := {a G φ(a) = e} G. Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5: φ : 3Z Z, φ(k) = k 3. G H { e falls k gerade a falls k ungerade. ψ : Z Z 2 Aus Vorlesung 3, ψ(k) = (Für alle Gruppen (G, ) und (H, )) τ : G H, τ(a) = e H.
139 Def. 7 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez: Kern φ ) ist Urbild φ ({e H }) := {a G φ(a) = e} G. Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5: φ : 3Z Z, φ(k) = k 3. G H { e falls k gerade a falls k ungerade. ψ : Z Z 2 Aus Vorlesung 3, ψ(k) = (Für alle Gruppen (G, ) und (H, )) τ : G H, τ(a) = e H. Dann gilt:
140 Def. 7 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez: Kern φ ) ist Urbild φ ({e H }) := {a G φ(a) = e} G. Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5: φ : 3Z Z, φ(k) = k 3. G H { e falls k gerade a falls k ungerade. ψ : Z Z 2 Aus Vorlesung 3, ψ(k) = (Für alle Gruppen (G, ) und (H, )) τ : G H, τ(a) = e H. Dann gilt: Kern φ = {0}
141 Def. 7 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez: Kern φ ) ist Urbild φ ({e H }) := {a G φ(a) = e} G. Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5: φ : 3Z Z, φ(k) = k 3. G H { e falls k gerade a falls k ungerade. ψ : Z Z 2 Aus Vorlesung 3, ψ(k) = (Für alle Gruppen (G, ) und (H, )) τ : G H, τ(a) = e H. Dann gilt: Kern φ = {0},
142 Def. 7 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez: Kern φ ) ist Urbild φ ({e H }) := {a G φ(a) = e} G. Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5: φ : 3Z Z, φ(k) = k 3. G H { e falls k gerade a falls k ungerade. ψ : Z Z 2 Aus Vorlesung 3, ψ(k) = (Für alle Gruppen (G, ) und (H, )) τ : G H, τ(a) = e H. Dann gilt: Kern φ = {0}, Kern ψ =
143 Def. 7 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez: Kern φ ) ist Urbild φ ({e H }) := {a G φ(a) = e} G. Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5: φ : 3Z Z, φ(k) = k 3. G H { e falls k gerade a falls k ungerade. ψ : Z Z 2 Aus Vorlesung 3, ψ(k) = (Für alle Gruppen (G, ) und (H, )) τ : G H, τ(a) = e H. Dann gilt: Kern φ = {0}, Kern ψ = 2Z,
144 Def. 7 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez: Kern φ ) ist Urbild φ ({e H }) := {a G φ(a) = e} G. Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5: φ : 3Z Z, φ(k) = k 3. G H { e falls k gerade a falls k ungerade. ψ : Z Z 2 Aus Vorlesung 3, ψ(k) = (Für alle Gruppen (G, ) und (H, )) τ : G H, τ(a) = e H. Dann gilt: Kern φ = {0}, Kern ψ = 2Z, Kern τ = G.
145 Def. 7 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez: Kern φ ) ist Urbild φ ({e H }) := {a G φ(a) = e} G. Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5: φ : 3Z Z, φ(k) = k 3. G H { e falls k gerade a falls k ungerade. ψ : Z Z 2 Aus Vorlesung 3, ψ(k) = (Für alle Gruppen (G, ) und (H, )) τ : G H, τ(a) = e H. Dann gilt: Kern φ = {0}, Kern ψ = 2Z, Kern τ = G. Folgerung
146 Def. 7 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez: Kern φ ) ist Urbild φ ({e H }) := {a G φ(a) = e} G. Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5: φ : 3Z Z, φ(k) = k 3. G H { e falls k gerade a falls k ungerade. ψ : Z Z 2 Aus Vorlesung 3, ψ(k) = (Für alle Gruppen (G, ) und (H, )) τ : G H, τ(a) = e H. Dann gilt: Kern φ = {0}, Kern ψ = 2Z, Kern τ = G. Folgerung Sei φ : G H ein Homomorphismus.
147 Def. 7 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez: Kern φ ) ist Urbild φ ({e H }) := {a G φ(a) = e} G. Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5: φ : 3Z Z, φ(k) = k 3. G H { e falls k gerade a falls k ungerade. ψ : Z Z 2 Aus Vorlesung 3, ψ(k) = (Für alle Gruppen (G, ) und (H, )) τ : G H, τ(a) = e H. Dann gilt: Kern φ = {0}, Kern ψ = 2Z, Kern τ = G. Folgerung Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann sind Kern φ und Bild φ die Untergruppen von jeweils G and H.
148 Def. 7 Sei φ : G H ein Homomorphismus. Kernel von φ (Bez: Kern φ ) ist Urbild φ ({e H }) := {a G φ(a) = e} G. Bsple von Homomorphh. direkt nach Def. 5: φ : 3Z Z, φ(k) = k 3. G H { e falls k gerade a falls k ungerade. ψ : Z Z 2 Aus Vorlesung 3, ψ(k) = (Für alle Gruppen (G, ) und (H, )) τ : G H, τ(a) = e H. Dann gilt: Kern φ = {0}, Kern ψ = 2Z, Kern τ = G. Folgerung Sei φ : G H ein Homomorphismus. Dann sind Kern φ und Bild φ die Untergruppen von jeweils G and H. Beweis:
3.1 Gruppen, Untergruppen und Gruppen-Homomorphismen
Inhaltsverzeichnis Teil II: Gruppen 2 3.1 Gruppen, Untergruppen und Gruppen-Homomorphismen.................. 2 3.1.1 Gruppen.......................................... 2 3.1.2 Untergruppen.......................................
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