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1 Siegfried Völkel u.a. Mathematik für Techniker 7., neu bearbeitete und erweiterte uflage

2 16 1 Rechenoperationen Prinzip der Mengenbildung Wenn eine ussageform für die Objekte eines Grundbereichs vorliegt, so bilden alle Objekte, die diese ussageform erfüllen (lösen), eine Menge. Die ussageform drückt eine gemeinsame Eigenschaft aller Elemente der Menge aus. Wenn die ussageform mit H (x) bezeichnet wird (d. h. ein Gebilde, das die Variable x enthält, gelesen: H von x ), so kann man schreiben: eispiele M = {x: H (x)}, gelesen: M ist die Menge aller (Elemente) x, für die H (x) gilt (Fortsetzung) Die Lösungsmenge ist (siehe eispiel 1.5 ). Man kann schreiben = {u: u ist Hauptstadt eines deutschen undeslandes} (Fortsetzung) Die Lösungsmenge ist L (siehe eispiel 1.2 ). Es ist L = {± 4} = { x: x 2 = 16 }, falls der Grundbereich die Menge der reellen Zahlen ist. Wenn der Grundbereich auf die Menge der natürlichen Zahlen eingeschränkt wird, ändert sich die Lösungsmenge: L n = {4}. Mengen lassen sich demnach auf zwei rten darstellen: durch ngabe der Elemente oder ngabe der die Menge definierenden ussageform. Eine Menge heißt llmenge, wenn sie alle Objekte des Grundbereichs enthält. Im bschnitt 1.1 dieses uches wird sie mit U bezeichnet. eispiel 1.24 Grundbereich: Gesamtheit aller reellen Zahlen. Es gilt {x: x + x = 2x} = U, denn die Gleichung wird durch jede reelle Zahl gelöst. Kontrollfragen 1.1 Wie ist nach Cantor der egriff der Menge erklärt? 1.2 Was ist eine ussage, und woran ist sie erkennbar? 1.3 Was ist eine Variable? 1.4 Was ist eine ussageform, und wie lässt sich mit ihrer Hilfe das Prinzip der Mengenbildung erklären? ufgaben: 1.1 und Relationen zwischen Mengen Definition 1.1 Zwei Mengen und heißen gleich genau dann, wenn sie dieselben Elemente haben. Schreibweise: =, gelesen: (ist) gleich. heißt Teilmenge von genau dann, wenn jedes Element von auch Element von ist. Schreibweise:, gelesen: (ist) Teilmenge von. Die Teilmengenrelation wird auch Inklusion genannt.

3 1.1 Grundbegriffe der Mengenlehre und Logik 17 Mengen kann man durch Punktmengen in der Ebene veranschaulichen. lle Punkte, die von einer geschlossenen Kurve begrenzt werden, sollen Elemente der Menge sein. In den ildern 1.1 und 1.2 sind und = dargestellt. Die Rechteckfläche soll den Grundbereich (die llmenge) U darstellen. Folgerungen: 1. Wenn ist, so ist. wird auch Untermenge von, und entsprechend Obermenge von, genannt. 2. Die Gleichheit = ist ein Sonderfall von. Es ist = genau dann, wenn und ist, d. h., wenn jedes Element von auch Element von und jedes Element von auch Element von ist. 3. Wenn ist und mindestens ein Element enthält, das nicht Element von ist, so heißt echte Teilmenge von :. 4. Für die leere Menge, eine beliebige Menge und die llmenge gilt: /0 ; U (1.1) Zwei Mengen und, für die weder die Teilmengen- noch die Gleichheitsrelation gilt, können gemeinsame Elemente haben, aber dann enthält jede Menge mindestens ein Element, das nicht Element der anderen Menge ist (ild 1.3). Falls und keine gemeinsamen Elemente haben, heißen sie disjunkte (elementfremde) Mengen (ild 1.4). P 1 P2 P3 = P 1 P 2 ild 1.1 ild 1.2 ild 1.3 ild 1.4 eispiele 1.25 Grundbereich: U = {1; 2;... ; 20} (Menge der ganzen Zahlen von 1 bis 20). Wenn = {x: x ist teilbar durch 6} = {6; 12; 18} und = {x: x ist teilbar durch 3} = {3; 6; 9; 12; 15; 18}, so ist ( ist sogar echte Teilmenge von : ) Grundbereich: Menge aller Vierecke. Wenn die Menge aller Quadrate ist und die Menge aller gleichseitigen Rechtecke, also = {x: x ist ein Quadrat}, = {x: x ist gleichseitiges Rechteck}, so ist = Welche Relationen bestehen zwischen P = {3; 5; 7}, Q = {5; 7; 10}, R = {5; 7; 9; 10} und S = {4; 6}? Lösung: P und Q enthalten gemeinsame Elemente, es besteht aber keine Teilmengenrelation; für P und R gilt das Gleiche; P und S sind disjunkt. Es ist Q R; Q und S und gleichfalls R und S sind disjunkt. Zusammenhang mit logischen Operationen In bschnitt wurde festgestellt, dass zwischen Mengenlehre und Logik ein enger Zusammenhang besteht. Das gilt auch für die in diesem bschnitt eingeführten Relationen:

4 18 1 Rechenoperationen (1) : Für alle Elemente des Grundbereichs gilt (vgl. ild 1.1) wenn x erfüllt ist, so muss auch x erfüllt sein (z.. Punkt P 1 ), aber wenn x erfüllt ist, so kann x erfüllt sein, muss aber nicht (z.. liegen P 1 und P 2 beide in, aber P 2 liegt nicht in ). In der Logik gibt es für zwei ussagen (oder auch ussageformen) p, q die Verknüpfung p q. Sie heißt Implikation und wird gelesen wenn p, so (muss) q (bei Vertauschen von p und q wenn q, so kann p ). Die edingung p heißt hinreichend für q, q heißt notwendig für p. Zwischen Teilmengenrelation und Implikation besteht demnach der Zusammenhang: gilt genau dann, wenn x x (x folgt aus x ). Die edingung x ist hinreichend für x, aber nicht notwendig; andererseits ist x notwendig für x, aber nicht hinreichend. Für die Punktmengen in ild 1.1 bedeutet das: Damit ein Punkt in liegt, ist es hinreichend, dass er in liegt (P 1 ), aber nicht notwendig (auch P 2 liegt in ). Damit ein Punkt in liegt, ist es notwendig, dass er in liegt (denn wenn er nicht in liegt, kann er auch nicht in liegen: P 3 ); die edingung ist aber nicht hinreichend (P 2 liegt zwar in, aber nicht in ). (2) = : Für alle Elemente des Grundbereichs gilt (vgl. ild 1.2) wenn x, so muss x und auch wenn x, so muss x. In der Logik gibt es eine entsprechende Verknüpfung. Sie heißt Äquivalenz (Gleichwertigkeit): p q, gelesen genau dann q, wenn p. Da p q sowohl p q als auch q p bedeutet, heißt jede der edingungen p, q ist notwendig und hinreichend für die andere. Die Äquivalenz wird auch gelesen dann und nur dann q, wenn p. Zwischen Gleichheitsrelation und Äquivalenz besteht demnach der Zusammenhang: = gilt genau dann, wenn x x. Da äquivalente ussageformen gleiche Mengen erklären, wird besonders die letzte Lesart genutzt, wenn ein neuer egriff definiert wird. eispiele 1.28 Für die Mengen in eispiel 1.25 gilt wegen x ist teilbar durch 6 x ist teilbar durch 3. Wenn eine Zahl durch 6 teilbar ist, so muss sie auch durch 3 teilbar sein, d. h., die Teilbarkeit durch 6 ist hinreichende edingung für die Teilbarkeit durch 3 (aber keine notwendige). ndererseits gilt: Wenn eine Zahl durch 3 teilbar ist, so kann sie durch 6 teilbar sein, d. h., Teilbarkeit durch 3 ist notwendige edingung für die Teilbarkeit durch 6 (aber keine hinreichende) Grundbereich: Menge aller Vierecke. Welche der beiden edingungen x ist Rechteck, x ist Quadrat ist notwendige edingung für die andere? Lösung: Für R = {x: x ist Rechteck} und Q = {x: x ist Quadrat} gilt Q R. Folglich gilt für die ussageformen x ist Quadrat x ist Rechteck. Da die notwendige edingung rechts vom Implikationszeichen steht, ist x ist Rechteck eine notwendige (aber nicht hinreichende) edingung für x ist Quadrat Die edingungen x ist Rhombus und x ist gleichseitiges Viereck sind miteinander zu vergleichen. Lösung: Es ist {x: x ist Rhombus} = {x: x ist gleichseitiges Viereck}, folglich x ist Rhombus x ist gleichseitiges Viereck, d. h., ein Viereck ist ein Rhombus genau dann, wenn es gleichseitig ist. Jede der beiden edingungen ist notwendig und hinreichend für die andere. Das eispiel zeigt, wie mithilfe einer Äquivalenz ein egriff (der egriff Rhombus ) definiert werden kann.

5 1.1 Grundbegriffe der Mengenlehre und Logik 19 Kontrollfragen 1.5 Wie ist die Teilmengenrelation definiert? 1.6 Welche edingung muss erfüllt sein, damit eine Menge eine echte Teilmenge einer anderen ist? 1.7 Mithilfe welcher Wörter ist eine Implikation p q zu formulieren? Wie ist sie nach Vertauschen von p und q zu lesen? Welche rt von edingung sind p bzw. q? 1.8 Mithilfe welcher Wörter ist eine Äquivalenz zu formulieren? Welche rt von edingung sind p und q? ufgaben: 1.3 und Operationen mit Mengen ei einer Mengenoperation wird aus zwei Mengen eine neue gebildet. Die wichtigsten Operationen sind Durchschnitt, Vereinigung und Differenz. Definition 1.2 Gegeben seien zwei Mengen und. Der Durchschnitt (gelesen: geschnitten mit ) enthält alle Elemente, die gemeinsame Elemente von und sind (ild 1.5). Die Vereinigung (gelesen: vereinigt mit ) enthält alle Elemente, die Element von mindestens einer der Mengen, sind (ild 1.6). Die Differenz \ (gelesen: ohne ) enthält alle Elemente von, die nicht Element von sind (ild 1.7). Entsprechend enthält \ alle Elemente von, die nicht Element von sind (ild 1.8). \ \ ild 1.5 ild 1.6 ild 1.7 ild 1.8 eispiel 1.31 Mit = {a; b; c; d} und = {c; d; e ; f } sind Durchschnitt, Vereinigung und Differenzmengen zu bilden. Lösung: = {c; d} = {a; b; c; d; e ; f } \ = {a; b} \ = {e ; f }

6 20 1 Rechenoperationen llgemein gilt (vgl. ilder 1.5 bis 1.8): (1.2) \ ; \ (1.3) \ = \ ( ) ; \ = \ ( ) (1.4) eispiele 1.32 Es seien = {c; d} und = {a; b; c; d; e}, d. h.,. Dann ist = {c; d} = ; = {a; b; c; d; e} = und nach Gln. (1.4) \ = \ ( ) = {c; d} \ {c; d} = /0 \ = \ ( ) = {a; b; c; d; e} \ {c; d} = {a; b; e} 1.33 Es seine = {2; 4} und = {10; 12; 14}, d. h., und sind disjunkt. Dann ist = /0; = {2; 4; 10; 12; 14} \ = {2; 4} \ /0 = {2; 4} = \ = {10; 12; 14} \ /0 = {10; 12; 14} = us diesen eispielen folgt durch Verallgemeinerung: 1. Wenn eine Menge Teilmenge einer Menge ist, so ist der Durchschnitt gleich der Teilmenge, die Vereinigung gleich der Obermenge, und die Differenz \ ist leer: =, =, \ = /0 2. Wenn zwei Mengen, disjunkt sind, so ist der Durchschnitt leer ( = /0). Für die Differenzmengen gilt: \ = ; \ =. Eigenschaften des Durchschnitts und der Vereinigung von Mengen sind: Kommutativität ssoziativität = ; = (1.5) ( C ) = ( ) C ; ( C ) = ( ) C (1.6) Distributivität ( C ) = ( ) ( C ) ; ( C ) = ( ) ( C ) (1.7)

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