2. Berechnungsmächtigkeit von Zellularautomaten. Ziele Simulation von Schaltwerken Simulation von Turingmaschinen

Transkript

1 2. Berechnungsmächtigkeit von Zellularautomaten Ziele Simulation von Schaltwerken Simulation von Turingmaschinen

2 Beispiel WIREWORLD Elektronen laufen über Drähte von einem Gatter zum nächsten

3 2.3 Satz Es gibt einen Zellularautomaten (nämlich WIREWORLD) mit R = Z 2, N = M (2) 1, Q = 4 und geeignetem δ, mit dem man jeden endlichen Automaten (mit beliebig großer Zustandsmenge und beliebiger Überführungsfunktion) simulieren kann. Beachte hier keine Präzisierung des Begriffes Simulation ein Zellularautomat für alle endlichen Automaten sonst wäre es trivial... Kodierung des EA in der Anfangskonfiguration

4 2.4 Beweisidee endlichen Automaten aus WIREWORLD Gattern zusammensetzen Problem: Timing (insbesondere: Inverter!) Lösung: Gatter einbetten in normierte Module: Größe Laufzeit Eingang Ausgang: 48 Takte 1 Bit: Zeitintervall der Länge 24 mit einem Elektron 0 Bit: Zeitintervall der Länge 24 ohne ein Elektron

5 2.4 Beweisidee endlichen Automaten aus WIREWORLD Gattern zusammensetzen Problem: Timing (insbesondere: Inverter!) Lösung: Gatter einbetten in normierte Module: Größe Laufzeit Eingang Ausgang: 48 Takte 1 Bit: Zeitintervall der Länge 24 mit einem Elektron 0 Bit: Zeitintervall der Länge 24 ohne ein Elektron alternative Konstruktion ein logischer Draht zwei physikalische Drähte 1 Bit: Elektron auf dem einen phys. Draht 0 Bit: Elektron auf dem anderen phys. Draht Inverter Kreuzung physikalischer Drähte

6 Bemerkungen Mit WIREWORLD kann man sogar einen programmgesteuerten Universalrechner simulieren. Problem: Speicherplatz Größe nicht beschränkbar in der Anfangskonfiguration unendlich viel Draht Aber: Diese Anfangskonfiguration ist endlich beschreibbar!

7 Bemerkungen Mit WIREWORLD kann man sogar einen programmgesteuerten Universalrechner simulieren. Problem: Speicherplatz Größe nicht beschränkbar in der Anfangskonfiguration unendlich viel Draht Aber: Diese Anfangskonfiguration ist endlich beschreibbar! Alternativen BANKS und LIFE gleiches Prinzip, kompliziertere Details verbesserter ZA von Banks: Erzeugung zusätzlicher Drähte möglich endliche Anfangskonfiguration reicht

8 Berechnungsmächtigkeit von Zellularautomaten Simulation von Schaltwerken Simulation von Turingmaschinen

9 Definition (Turingmaschine, 1 Band, 1 Kopf)

10 Definition (Turingmaschine, 1 Band, 1 Kopf) Bestandteile endliche Zustandsmenge Q endliches Bandalphabet B Überführungsfunktion δ : Q B Q B { 1, 0, 1} Konfiguration einer TM c = (s, b, p) Q B Z Z

11 Definition (Schritt einer TM) Konfigurationsüberführungsfunktion durch δ : Q B Q B { 1, 0, 1} induziert : Q B Z Z Q B Z Z Für c = (s, b, p) ist (c) = (s, b, p ) mit s = δ(s, b(p))[1], { b(i) falls i p für alle i Z ist b (i) = δ(s, b(p))[2] falls i = p p = p + δ(s, b(p))[3].

12 Satz Zu jeder TM T = (Q T, B T, δ T ) existiert ein eindimensionaler ZA C = (Q C, δ C, H (1) 1 ), der T ohne Zeitverlust schrittweise simuliert.

13 Beweisskizze: Idee

14 Beweisskizze: Idee C

15 Beweisskizze: Idee C

16 Beweisskizze: Idee a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 C a 1 a 2 a 3 a 4 a 5

17 Beweisskizze: Idee s C a 1 a 2 a s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 3 a 4 a 5

18 Beweisskizze: Idee s C a 1 a 2 a s a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 3 a 4 a 5 setze Q C = (Q T { }) B T repräsentiere c T = (s, b, p) durch c C c C : Z Q { C (s, b(p)) falls i = p i (, b(i)) falls i p

19 Beweisskizze: lokale Überführungsfunktion Setze (unter anderem) δ C ((, a l ), (, a m ), (, a r )) = (, a m )

20 Beweisskizze: lokale Überführungsfunktion Setze (unter anderem) δ C ((, a l ), (, a m ), (, a r )) = (, a m ) { (s δ C ((s, a l ), (, a m ), (, a r )) =, a m ) falls δ T (s, a l ) = (s, a l, 1) (, a m ) sonst

21 Beweisskizze: lokale Überführungsfunktion Setze (unter anderem) δ C ((, a l ), (, a m ), (, a r )) = (, a m ) { (s δ C ((s, a l ), (, a m ), (, a r )) =, a m ) falls δ T (s, a l ) = (s, a l, 1) (, a m ) sonst { (s δ C ((, a l ), (s, a m ), (, a r )) =, a m) falls δ T (s, a m ) = (s, a m, 0) (, a m) sonst { (s δ C ((, a l ), (, a m ), (s, a r )) =, a m ) falls δ T (s, a r ) = (s, a r, 1) (, a m ) sonst

22 Übung: Verallgemeinerungen Das eben war der einfache Fall eines Bandes und eines Kopfes. Simuliere ohne Zeitverlust eine TM mit zwei Bändern (und je einem Kopf darauf) eine TM mit zwei Köpfen (auf einem Band) eine TM mit 19 Bändern und verschieden vielen Köpfen darauf

23 Zusammenfassung Es gibt Zellularautomaten, die bei geeigneter Anfangskonfiguration einen klassischen Universalrechner simulieren.

24 Zusammenfassung Es gibt Zellularautomaten, die bei geeigneter Anfangskonfiguration einen klassischen Universalrechner simulieren. Zellularautomaten können jede Funktion berechnen, die Turingmaschinen berechnen können.

25 Zusammenfassung Es gibt Zellularautomaten, die bei geeigneter Anfangskonfiguration einen klassischen Universalrechner simulieren. Zellularautomaten können jede Funktion berechnen, die Turingmaschinen berechnen können. Und umgekehrt?