2. Repräsentationen von Graphen in Computern

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1 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Kapitelinhalt 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Matrizen- und Listendarstellung von Graphen Berechnung der Anzahl der verschiedenen Kantenzüge zwischen zwei Knoten Eigenwertprobleme und lineare Differenzengleichungen Anwendung von Differenzengleichungen für Graphen Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 69

2 Adjazenzmatrix Definition 2.1. Gegeben sei ein Graph G = (V,E) mit V = {v 1,...,v n },n 1. Dann kann E in Form einer n n-matrix repräsentiert werden. Es sei { 1 falls {vi,v a ij = j } E 0 sonst A G = (a ij ) i,j {1,...,n} heißt die Adjazenzmatrix (adjacency matrix) von G. Bemerkung 2.1. A G ist symmetrisch und a ii = 0,1 i n. Analog kann die Adjazenzmatrix für die Darstellung gerichteter Graphen verwendet werden. Sie ist dann i.d.r. nicht symmetrisch. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 70

3 Adjazenzmatrix (2) v 3 G = v 2 v 4 A G = v 1 v 5 Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 71

4 Adjazenzmatrix (3) Es kann in Zeit O(1) überprüft werden, ob zwei Knoten v i und v j adjazent sind. deg(v i ) ist gleich der Zeilensumme der i-ten Zeile (bzw. der Spaltensumme der i-spalte). Aufwand: O( V ) Ermittlung der Nachbarn zu einem Knoten v i : Suche in der i-ten Zeile/Spalte notwendiger Speicherplatz: O( V 2 ) Platzverbrauch ineffizient für bestimmte Graphklassen, z.b. Bäume, planare Graphen (siehe Kapitel 6) Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 72

5 Beispiel: Adjazenzmatrix für gerichtete Graphen A = Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 73

6 Adjazenzmatrix für nicht schlichte Graphen Für nicht schlichte Graphen gibt a ij die Anzahl der Kanten zwischen v i und v j an. Wenn Schlingen vorliegen, sind die Diagonalelemente der entsprechenden Knoten ungleich 0. Das Element a ii gibt dann die Anzahl der Schlingen am Knoten v i an. Bei der Gradermittlung müssen die Diagonalelemente doppelt gezählt werden: n deg(v i ) = 2 a ii + k=1,k i a ik Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 74

7 Beispiel: Adjazenzmatrix für nicht schlichte Graphen A = Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 75

8 Adjazenzmatrix: gerichtet und nicht schlicht Prinzipiell können natürlich auch gerichtete Graphen nicht schlicht sein, d.h. an Knoten existieren Schlingen oder zwischen zwei Knoten a und b gibt es mehrere Kanten mit der gleichen Richtung (von a nach b). Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 76

9 Beispiel: gerichtet und nicht schlicht A = Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 77

10 Adjazenzliste Definition 2.2. Gegeben sei ein Graph G = (V,E) mit V = {v 1,...,v n },n 1. Dann kann E in Form einer Liste von n-listen A i repräsentiert werden. Für 1 i n seien v i1,v i2,...,v ni die mit v i V adjazenten Knoten. Die Liste heißt die Adjazenzliste von v i V. A i = (v i1,v i2,...,v ni ) Die Liste L G = (A 1,...,A n ) ist die Adjazenzlistendarstellung von G. Für einen gerichteten Graphen G = (V,A) enthält die Adjazenzliste A i die Knoten w V, für die (v i,w) A gilt. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 78

11 Adjazenzliste (2) v 1 v 2 v 5 v 3 v 2 v 1 v 3 v 4 v 2 v 4 L G = v 3 v 2 v 4 G = v 4 v 2 v 3 v 5 v 5 v 1 v 4 v 1 v 5 Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 79

12 Adjazenzliste (3) Um zu überprüfen, ob zwei Knoten v i und v j adjazent sind, muss die Adjazenzliste von v i durchsucht werden. Dies ist nicht in O(1) möglich, der genaue Aufwand hängt von der Implementierung der Adjazenzliste ab. Der Knotengrad entspricht der Länge der Adjazenzliste. Die Nachbarn zu einem Knoten liegen direkt in der Adjazenzliste vor. notwendiger Speicherplatz: O( V + E ) Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 80

13 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Anzahl der Kantenzüge zwischen zwei Knoten Beispiel: Anzahl Wege zwischen zwei Knoten (1) Wir betrachten als Beispiel den folgenden gerichteten Graphen G mit seiner Adjazenzmatrix: A = Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 81

14 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Anzahl der Kantenzüge zwischen zwei Knoten Beispiel: Anzahl Wege zwischen zwei Knoten (2) Wir bilden die Potenzen der Adjazenzmatrix A: A 2 = A 3 = Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 82

15 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Anzahl der Kantenzüge zwischen zwei Knoten A 4 = A k = für k 5 Das Element a i,j der Matrizen A k gibt hier die Anzahl der (einfachen) Wege der Länge k von i nach j an. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 83

16 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Anzahl der Kantenzüge zwischen zwei Knoten Anzahl der Kantenzüge zwischen zwei Knoten Satz 2.1. Es sei G = (V,E) ein Graph mit der Adjazenzmatrix A = (a ij ). Dann gibt das Element a (r) ij der Matrix A r die Anzahl der Kantenzüge der Länge r von v i nach v j an. Beweis: Induktion über r. r = 1 : Damit gilt A r = A. Die Adjazenzmatrix gibt genau die Kantenzüge der Länge 1 an. r r +1: Jeder Kantenzug der Länge r+1 zwischen zwei Knoten v i und v j besteht Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 84

17 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Anzahl der Kantenzüge zwischen zwei Knoten aus einem Kantenzug der Länge r zwischen v i und einem Knoten v k sowie der Kante {v k,v j }. Nach I.V. gibt A r die Anzahl der Kantenzüge der Länge r zwischen zwei Knoten an. Es gilt a (r+1) ij = V k=1 a (r) ik a kj Da a kj = 1 gdw. zwischen v i und v j eine Kante ist, beschreibt diese Formel die Anzahl der Möglichkeiten, einen Kantenzug der Länge r + 1 zwischen v i und v j aus einem Kantenzug der Länge r zwischen v i und einem Knoten v k sowie der Kante {v k,v j } zu bilden. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 85

18 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Anzahl der Kantenzüge zwischen zwei Knoten Korollar 2.2. Es sei G = (V,E) ein Graph mit der Adjazenzmatrix A = (a ij ). Dann gibt das Element b ij der Matrix B = A+A 2 + +A p die Anzahl der Kantenzüge mit einer Länge p von v i nach v j an. Korollar 2.3. Es sei G = (V,E) ein Graph mit der Adjazenzmatrix A = (a ij ) und es sei B = A+A 2 + +A V 1 Dann gilt: G ist genau dann zusammenhängend, wenn b ij > 0 für alle i j gilt. Beweis: Wenn G zusammenhängend ist, Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 86

19 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Anzahl der Kantenzüge zwischen zwei Knoten gibt es zwischen zwei beliebigen Knoten v i und v j mindestens einen Weg, damit auch mindestens einen einfachen Weg. Ein einfacher Weg hat eine Länge V 1. Damit liefert der einfache Weg (als Kantenzug) einen Beitrag zu b ij. Also folgt b ij > 0. Andererseits folgt aus b ij > 0, dass es mindestens einen Kantenzug und damit auch einen Weg von v i nach v j gibt. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 87

20 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Anzahl der Kantenzüge zwischen zwei Knoten Somit folgt aus b ij > 0 für alle i j, dass es zwischen je zwei Knoten von G einen Weg gibt. Damit ist G zusammenhängend. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 88

21 2. Repräsentationen von Graphen in Computern Anzahl der Kantenzüge zwischen zwei Knoten Bemerkungen Weil in Dags jeder Kantenzug ein gerichteter einfacher Weg ist, liefert A r dort sogar die Anzahl der einfachen Wege der Länge r. Auch können wir mit diesem Ansatz prinzipiell testen, ob ein gerichteter Graph kreisfrei ist (für p = V müssen die b ii alle ungleich 0 sein). Sowohl für die Kreisfreiheit als auch für den Zusammenhang sind diese Berechnungsansätze aber ineffizient. Im nächsten Kapitel werden wir effizientere Algorithmen für diese Probleme kennenlernen. Graphentheorie HS Bonn-Rhein-Sieg, WS 2014/15 89