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1 Was bisher geschah Turing-Maschinen können Sprachen L X akzeptieren entscheiden Funktionen berechnen f : X X (partiell) Menge aller Turing-akzeptierbaren Sprachen genau die Menge aller Chomsky-Typ-0-Sprachen abgeschlossen unter,,,, R nicht abgeschlossen unter HP, PCP sind TM-akzeptierbar Komplement des HP ist nicht TM-akzeptierbar Menge aller entscheidbaren Sprachen echte Teilmenge der Menge aller TM-akzeptierbaren Sprachen abgeschlossen unter,,,, R, HP, PCP sind nicht entscheidbar 15

2 Entscheidbarkeit von Problemen (Entscheidungs-)Problem Sprache P X (Menge aller positiven Instanzen) Instanz des Problemes w X Frage: Gilt w P? Problem P heißt entscheidbar gdw.. Sprache P entscheidbar z.b. Suchen, Sortieren, Wortproblem für kontextfreie Grammatiken unentscheidbar gdw.. Sprache P nicht entscheidbar z.b. Halteprobleme, PCP, Parkettierungsproblem Entscheidbarkeit ist ein theoretische Eigenschaft von Problemen. Theoretisch entscheidbare Probleme könne praktisch unlösbar sein, weil alle Entscheidungsverfahren für dieses Problem zu aufwendig zur tatsächlichen Durchführung sind. Wie misst man den Aufwand zur Lösung eines Problems? Wann sind zwei Probleme gleich schwer? 16

3 Hamiltonkreis (HC) (ungerichteter) Graph G = (V, E) Frage: Gibt es in G einen Hamiltonkreis? Problem: HC = {(V, E) Hamiltonkreis in G} Instanz: spezieller Graph G = (V, E) DHC: dasselbe Problem für gerichtete Graphen 17

4 Traveling Salesman (TSP) (ungerichteter) Graph G = (V, E, l) mit Kantenmarkierung l : E N \ {0} Frage: Gibt es in G einen Hamiltonkreis der Länge (Summe der Kantenmarkierungen) n? Problem: TSP = {((V, E, l), n) Hamiltonkreis der Länge n} Instanz: 1. Graph G = (V, E, l) 2. Schranke n 18

5 Ressourcenverbrauch bei Berechnungen Ressorcenverbrauch einer Ausführung eines Algorithmus (Programmes): Laufzeit Anzahl der Schritte Speicherplatz maximale Anzahl der gleichzeitig belegten Speicherzellen als Funktion der Länge n des Eingabewortes (O-Notation) (abhängig von der Zahldarstellung, Codierung) Ressourcenverbrauch einer TM-Berechnung: Laufzeit Anzahl der Schritte (Konfigurationsübergänge) der Berechnung Speicherplatz Länge der längsten Konfiguration in der Berechnung als Funktion der Länge n des Eingabewortes 19

6 Aufwandsabschätzung Aufwand zur Lösung eines Problems: worst case (ungünstigster Fall): Maximum best case (günstigster Fall): Mininmum average case (Normalfall): Erwartungswert über alle Instanzen des Problems O-Notation: Abschätzung nach oben (worst case) logarithmisch O(log n) linear O(n) polynomiell O(n k ) für ein k N (hier Abstraktion vom Grad des Polynoms) exponentiell O(2 n ) 20

7 Reduktion Reduktion des Problems P auf Problem Q: Transformation der Sprache P X in die Sprache Q Y, d.h. berechenbare Funktion f : X Y mit w X : w P f (w) Q (Übersetzung jeder Instanz des Problems P in eine Instanz des Problems Q) Problem P heißt genau dann polynomiell reduzierbar auf Problem Q (P P Q), wenn eine Reduktion f von P auf Q mit polynomieller Laufzeit existiert. 21

8 Beispiel HC p DHC wegen für G = (V, E): f (G) = G = (V, E ) mit E = {u,v} E{(u, v), (v, u)} G hat HC gdw. G hat DHC HC ist also höchstens so schwer wie DHC DHC p HC wegen für G = (V, E): f (G) = G = (V, E ) mit jeder Knoten ersetzt durch Kette (Tafel) G hat DHC gdw. G hat HC DHC ist also höchstens so schwer wie HC HC und DHC sind gleich schwierig 22

9 Berechnung nichtdeterministischer TM Jede durch eine nichtdeterministische TM akzeptierte Sprache wird auch von einer deterministischen TM akzeptiert. Aber: Aufwand steigt Laufzeit Platzbedarf (informale) Funktionsweise nichtdeterministischer TM: Raten einer Antwort (eines endlichen Pfades im Berechnungsbaum) Test, ob geratene Antwort eine Lösung des Problems ist (Markierungen auf dem geratenen Pfad bislden akzeptierende Berechnung) Nichtdeterministische TM raten korrekte Lösungen, wenn diese existieren. 23

10 Beispiel SAT Verfahren zur Entscheidung, ob eine gegebene aussagenlogische Formel ϕ AL(P) erfüllbar ist: Suche nach einer erfüllenden Belegung Ausgabe: 1, falls eine erfüllende Belegung gefunden 0, falls keine erfüllende Belegung gefunden Berechnung durch eine nichtdeterministische TM M: Raten einer Belegung W : P {0, 1} Test, ob W (ϕ) = 1 Ausgabe W (ϕ) (1, falls W die Formel ϕ erfüllt, 0 sonst) Falls eine erfüllende Belegung W existiert, rät M diese. (ein Test) Berechnung durch eine deterministische TM: schrittweise Berechnung aller möglichen Belegungen W : P {0, 1} (2 P ), Test für jede berechnete Belegung W : P {0, 1}, ob W (ϕ) = 1 (2 P Tests), falls ja : Abbruch mit Ausgabe 1 nein : Test der nächsten Belegung 24

11 Prominente Komplexitätsklassen Komplexitätsklasse: Menge von Problemen etwa gleicher Schwierigkeit Komplexitätsklassen nach Laufzeit: P (PTIME) : Problem in polynomieller Laufzeit von einer deterministischen TM lösbar Probleme in P nennt man effizient lösbar. NP (NPTIME) : Problem in polynomieller Laufzeit von einer nichtdeterministischen TM lösbar EXPTIME : Problem in exponentieller Laufzeit von einer deterministischen TM lösbar NEXPTIME : Problem in exponentieller Laufzeit von einer nichtdeterministischen TM lösbar Komplexitätsklassen nach Speicherplatzbedarf: PSPACE (= NPSPACE): Problem durch DTM (TM) mit polynomiell beschränktem Band lösbar P NP PSPACE = NPSPACE EXPTIME NEXPTIME P-NP-Problem: Gilt P = NP? 25

12 Komplexitätsklasse NP Problem P ist NP, falls P in polynomieller Laufzeit von einer nichtdeterministischen TM lösbar ist (Lösungsvorschlag lässt sich von einer DTM in polynomieller Zeit verifizieren) NP-schwer, falls für jedes Problem Q NP gilt: Q p P (wenigstens so schwer wie alle anderen Probleme in NP) NP-vollständig, falls P NP und P NP-schwer CO-NP, falls P NP (Lösungsvorschlag lässt sich von einer DTM in polynomieller Zeit falsifizieren) 26

13 Probleme in NP Beispiele SAT Eingabe: aussagenlogische Formel ϕ Frage: Gilt Mod(ϕ)? HC Eingabe: Frage: Graph G Existiert in G ein Hamiltonkreis? Handelsreisender (Travelling Salesman Problem, TSP) Ziel: Rundreise der Länge n (minimaler Länge) Eingabe: gerichteter Graph mit markierten Kanten (Entfernungen) Frage: Existiert eine Reihenfolge der Städte für eine Rundreise der Länge n Äquivalenz regulärer Ausdrücke effiziente Lösung durch Raten + Testen 27

14 Probleme in PSPACE Beispiele QBF (quantifizierte Boolesche Formeln, z.b. a b(a b)) Planen Sokoban Lunar Lockout temporale und andere nichtklassische Logiken Model Checking, Programmverifikation gängige Meinung auf dem Gebiet der künstlichen Intelligenz: Jede Logik, deren Entscheidungsproblem einfacher als PSPACE ist, ist zur Wissensrepräsentation nicht ausdruckstark genug. 28

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