Übungen mit dem Applet Fourier-Reihen

Transkript

1 Fourier-Reihe 1 Übuge mit dem Applet Fourier-Reihe 1 Mathematischer Hitergrud... Übuge mit dem Applet Eifluss der Azahl ud der Sprugstelle...3. Eifluss vo y-verschiebug ud Amplitude Eifluss der t-verschiebug (=x-verschiebug) Eifluss der Symmetrie bei Sius/Cosius ud Betrag/Phase Eifluss der Periodedauer...5

2 Fourier-Reihe 1 Mathematischer Hitergrud Jede stückweise mootoe ud stetige periodische Fuktio y(t) mit der Periode ka als Fourier-Reihe etwickelt werde, d.h. sie ka als Summe harmoischer Schwiguge mit diskrete Frequeze ω geschriebe werde, wobei ω =π/ die Frequez der Grudschwigug ud ω, 3ω usw. die Oberschwiguge darstelle. Uterschiedliche Darstelluge der Fourier-Reihe sid möglich. Hier werde zwei besoders verbreitete Möglichkeite betrachtet: Sius- ud Cosius-Darstellug: a y(t) = + (a = 1 cos(ω t) + b si(ω t)) N mit a = y(t) cos(ωt) dt b = y(t) si(ω t) dt Betrag- ud Phase-Darstellug: a y(t) = + A = 1 cos(ω t + ϕ ) N mit Amplitude A = a + b ud Phase ϕ b = arcta a Ziel des Applets ist es, ahad der Fourier-Reihe bzw. Fourier-Polyome (der Abbruch der Summe ach eier edliche Azahl vo erme ergibt eie Näherug) für ausgewählte Fuktioe y(t) wichtige Eigeschafte zu illustriere. y(t) ist immer blau, die Näherug bei Abbruch bei eiem feste Wert ist rot dargestellt.

3 Fourier-Reihe 3 Übuge mit dem Applet Dieses Kapitel macht Vorschläge, die helfe solle, die Ziele des Applets zu erlebe. Mit Reiter ka zwische verschiedee Forme vo y(t) gewählt werde, wobei besoders wichtig ist, ob y(t) stetig ist oder Sprugstelle besitzt: y(t) mit Sprugstelle Rechteck, Sägezah, Rechteckimpuls y(t) stetig (ohe Sprugstelle, ur Kick) Dreieck, Parabel, Sius ach Eiweg- oder Zweiweggleichrichtug Jede dieser Grudforme ka mit Schieber verädert werde: y(t) ka i die y-richtug ud i die t-richtug verschobe werde, die Amplitude ud die Periode ka verädert werde, sowie der maximale Wert, bis zu dem summiert wird. Beim Rechteckimpuls ka zusätzlich die Impulsdauer relativ zur Periode verädert werde. Die folgede Übuge solle Sie für die Auswirkug dieser Veräderuge sesibilisiere ud Ihe dabei helfe, sie zu verstehe..1 Eifluss der Azahl ud der Sprugstelle Wähle Sie zuächst ei y(t) mit Sprugstelle (z.b. Rechteck) ud =1. Sie erhalte eie Sius bzw. Cosius, mit derselbe Periode. Die Amplitude ist ei Kompromiss, so dass der Uterschied zwische blauer Kurve ud roter Näherug im Mittel so klei wie möglich ist (geauer: das Itegral über das Quadrat der Abweichug über eie Periode wird miimiert). Erhöhe Sie u mit dem Schieber die Azahl ud achte dabei auf folgede Pukte: a der Sprugstelle geht die rote Näherug immer geau durch die Sprugmitte mit zuehmedem wird die Abweichug zwische roter ud blauer Kurve immer kleier (die Näherug wird immer besser) allerdigs "überschwigt" die Näherug a der Sprugstelle immer um ca. 9% (Gibbs' sches Phäome) dieses Überschwige wird mit zuehmedem icht iedriger, der Überschwigbereich wird ur schmäler

4 Fourier-Reihe 4 die Größe der Koeffiziete (a, b, A ) im utere Bild immt wie 1/ ab dies köe Sie auch aus der Formel für die Fourier-Reihe obe im Bild erkee. Wähle Sie u ei y(t) ohe Sprugstelle (z.b. Dreieck) ud wiederhole Sie die obige Versuche. Da es keie Sprug gibt, etfällt das Überschwige, die Näherug passt sich mit zuehmedem deutlich scheller a y(t) a, die Koeffiziete ehme wie 1/ ab (die Kovergez ist besser). Wiederhole Sie diese Beobachtuge u für adere y(t) mit bzw. ohe Sprugstelle ud erkee Sie so, dass die obige Aussage allgemeigültig sid. Hiweis: Für y(t) ohe Kick ist die Kovergez och scheller.. Eifluss vo y-verschiebug ud Amplitude Eie Verschiebug vo y(t) i die y-richtug ädert ur de Koeffiziete a, er ist das Doppelte des Mittelwerts der y-werte über eie Periode. Ohe y-verschiebug verschwidet a für Rechteck, Dreieck, Sägezah ud Rechteckimpuls, da hier der Mittelwert ist. Eie Veräderug der Amplitude führt zu eier proportioale Äderug der Koeffiziete a ud b, bzw. A. Die Phase äder sich icht..3 Eifluss der t-verschiebug (=x-verschiebug) I der Sius- ud Cosiusdarstellug verwadel sich Sius- ud Cosiusterme i schwer durchschaubarer Art ud Weise ieiader. I der Betrag- ud Phase-Darstellug wird jedoch deutlich, dass die Beträge uverädert bleibe. Nur die Phase äder sich. Dies ist ei wesetlicher Vorteil der Betrag- ud Phase-Darstellug. Hiweis 1: Das meschliche Ohr ka die Phase icht uterscheide. es hört ur Äderuge der Beträge (Amplitude). demostriert dies mit dem Applet "Liste to Fourier Series". Hiweis : Die Formel im Applet gilt ur für de uverschobee Zustad.

5 Fourier-Reihe 5.4 Eifluss der Symmetrie bei Sius/Cosius ud Betrag/Phase Ist y(t) puktsymmetrisch zum Ursprug (ugerade), so ethält die Fourier-Reihe auch ur ugerade Fuktioe, also ur de Sius. Alle Cosius-erme a =. Dies gilt z.b. für das Rechteck ohe Verschiebug. Ist y(t) achsesymmetrisch zur y-achse (gerade), so ethält die Fourier-Reihe auch ur gerade Fuktioe, also ur de Cosius. Alle Sius-erme b =. Dies gilt z.b. für das Rechteck mit Verschiebug um /4 (i der Grudeistellug ist =4, d.h. Verschiebug um ±1). Überzeuge Sie sich vo der Symmetrie ud dem Verschwide der Sius-erme. Aalysiere Sie u die Symmetrie der adere Beispiele. Sid t-verschiebuge möglich, die gerade bzw. ugerade y(t) erzeuge? Beispiel: Der Siusimpuls ach dem 1-Weggleichrichter hat uverschobe keie Symmetrie (Sius- ud Cosius-erme). Durch eie Verschiebug um ±/4 wird er gerade die Siusterme verschwide. I der Betrag- ud Phase-Darstellug erhält ma bei gerade Fuktioe (ur Cosius- erme) als Beträge die Beträge der Cosius-erme. Die Phase ist we a > ud π we a < (da die Verschiebug des Cosius um π das Vorzeiche umdreht). Bei ugerade Fuktioe (ur Sius-erme) erhält ma als Beträge die Beträge der Sius- erme. Die Phase ist π/ we b > ud -π/ we b < (da die Verschiebug des Cosius um π/ de Sius ergibt)..5 Eifluss der Periodedauer Die Koeffiziete ud Phase sid uabhägig vo, allerdigs verädert sich die Grudfrequez ω =π/. Je größer, desto dichter liege die Liie beieiader. Im Grezfall geht ω aus de diskrete Liie wird ei kotiuierliches Spektrum. Die Fourier-Reihe wird zur Fourier-rasformatio. Durch die Zweiweggleichrichtug wird die Periode des Sius halbiert. Daher tauche i der Fourier-Reihe ur erme mit Frequeze ω, 4ω usw. auf. Bezoge auf die ursprügliche Periode hat sich die Grudfrequez verdoppelt.