12 M-Gk1/5 Led Übungen zur 1. Klausur 3. September Kurvendiskussion. Im Folgenden sei die Funktion f(x) = 1 6 x3 1 2 x 1 3 gegeben!

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1 12 M-Gk1/5 Led Übungen zur 1. Klausur 3. September Kurvendiskussion. Im Folgenden sei die Funktion f(x) = 1 6 x3 1 2 x 1 3 gegeben! a) Untersuche den Graphen von f(x) auf Standardsymmetrien (Punktsymmetrie zum Ursprung oder Achsensymmetrie zur y-achse)! b) Ermittle sämtliche Extrempunkte und gib ihre Art (Hoch- oder Tiefpunkt) an! c) Weise nach, dass W(0/ 1 ) Wendepunkt des Graphen von f(x) ist! 3 2. Steckbriefaufgaben zu Parabeln. Löse die folgenden Aufgaben! Gesucht ist eine quadratische Funktion, deren Graph... a) durch A(0/0), B(1/0) und C(2/3) geht! b) durch A(1/3), B( 1/2) und C(3/2) geht! c) durch A(2/0) geht und in B(0/2) die Steigung 1 aufweist! d) in A(2/ 1) einen Tiefpunkt hat und Normalparabel ist! 3. Steckbriefaufgaben zu Kubischen Kurven. Löse die folgenden Aufgaben! Gesucht ist eine kubische Funktion, deren Graph... a) durch A(0/1), B(1/0), C( 1/4) und D(2/ 5) geht! b) durch A(0/ 1), B(1/1), C( 1/ 7) und D(2/17) geht! c) durch A(2/2) und B(3/9) geht und in C(1/1) einen Tiefpunkt hat! d) in A(1/4) einen Extrempunkt und in B(0/2) einen Wendepunkt hat! 4. Denkaufgaben. a) Warum gibt es keine Parabel mit den Nullstellen x = 2 und x = 4 sowie einer Maximalstelle bei x = 0? b) Warum gibt es keine kubische Funktion mit den Extremstellen x = 0 und x = 3 sowie einer Wendestelle bei x = 1?

2 12 M-Gk1/5 Led Lösungen zu den Übungen 4. September Kurvendiskussion. a) Eine mögliche Punktsymmetrie zum Ursprung liegt bei einer ganzrationalen Funktion immer dann vor, wenn in der Summendarstellung sämtliche Exponenten ungerade sind. Eine mögliche Achsensymmetrie zur y-achse liegt analog dazu immer dann vor, wenn sämtliche Exponenten geradzahlig sind. Die gegebene Funktion ist als Summe dargestellt, aber es kommen sowohl ungerade Exponenten ( 1 6 x3 und 1 2 x1 ) als auch gerade Exponenten ( 1 3 x0, nicht vergessen!!!) vor. Damit weist der Graph keine der Standardsymmetrien auf. b) An einer Extremstelle x gilt notwendig f (x) = 0. Damit lassen sich solche Stellen ermitteln. Es ist f (x) = 1 2 x2 1 und es gilt 2 f (x) = x2 1 2 = x2 = x 2 = 1 ±... x = ±1, d.h. x = 1 und x = 1 sind mögliche Extremstellen. Sie sind es sicher dann, wenn die Ableitung an diesen Stellen einen Vorzeichenwechsel hat oder wenn die zweite Ableitung dort von 0 verschieden ist. Es ist f (x) = x und es gilt f ( 1) = 1 < 0 sowie f (1) = 1 > 0. Damit ist x = 1 Maximalstelle (f (x) hat bei x = 1 einen Vorzeichenwechsel von positiven auf negative Werte, also hat der Graph von f(x) einen Monotoniewechsel von steigend auf fallend) und x = 1 ist Minimalstelle (Vorzeichenwechsel von negativ auf positiv, d.h. Monotonie wechselt von fallend auf steigend). Mit y = f( 1) = = 0 y = f(1) = = 2 3 ist ein Hochpunkt in HP( 1/0) und ein Tiefpunkt in TP(1/ 2 3 ). c) Ein Wendepunkt ist ein Punkt des Graphen, in dem sich das Krümmungsverhalten ändert. Notwendigerweise muss dort die Krümmung 0 sein, die durch die zweite Ableitung angegeben wird, und es liegt tatsächlich ein Wendepunkt vor, wenn sie dort einen Vorzeichenwechsel hat oder wenn die dritte Ableitung von 0 verschieden ist. Wegen f (x) = x ist f (x) = 1 und es gilt f (0) = 0 und f (0) = 1 0, d.h. x = 0 ist Wendestelle (Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung von negativen auf positive Werte und damit ein Wechsel der Krümmung von einer Rechts- auf eine Linkskurve). Mit y = f(0) = 1 ist W(0/ 1 ) tatsächlich auch ein 3 3 Punkt des Graphen. 2. Steckbriefaufgaben zu Parabeln. Der Ansatz für eine allgemeine quadratische Funktion ist p(x) = ax 2 + bx + c, ihre Ableitung ist p (x) = 2ax + b. Eine Normalparabel liegt vor, wenn a = 1 ist.

3 a) Angabe Hierfür nötige Daraus entstehende im A(0/0) p(0) = 0 a b 0 + c = 0 I B(1/0) p(1) = 0 a b 1 + c = 0 II C(2/3) p(2) = 3 a b 2 + c = 3 III Gleichung I vereinfacht ergibt c = 0, eingesetzt in die Gleichungen II und III führt auf das Gleichungssystem a + b = 0 4a + 2b = 3 b = a 4a + 2b = 3 = 4a + 2 ( a) = 3 4a 2a = 3 2a = 3 a = 3 2 (Einsetzungsverfahren: eine Gleichung, hier II, wird nach einer Variablen, hier b, aufgelöst und in die andere Gleichung, hier III, eingesetzt, dadurch entsteht eine neue Gleichung, die nicht mehr die eingesetzte Variable enthält, hier sogar nur noch a, und deswegen leichter aufgelöst werden kann) Wegen b = a ist nun b = 3 2 und somit p(x) = 3 2 x2 3 2 x b) A(1/3) p(1) = 3 a b 1 + c = 3 I B( 1/2) p( 1) = 2 a ( 1) 2 + b ( 1) + c = 2 II C(3/2) p(3) = 2 a b 3 + c = 2 III Gleichungssystem: I a + b + c = 3 II a b + c = 2 III 9a + 3b + c = 2 = I+II 2a + 2c = 5 II a b + c = 2 III+3 II 12a + 4c = 8 I 2a + 2c = 5 III 3a + c = 2 = I -2 III : 4a = 1 a = 1 4 (Additionsverfahren: wenn zwei Gleichungen gelten sollen, hier I und II, so gilt auch die Summe der beiden Gleichungen und auch die Differenz mit Vielfachen der Gleichungen, hier I -2 III. Dadurch sollen neue Gleichungen entstehen, die nicht mehr alle Variablen enthalten und deswegen leichter aufgelöst werden können. Bei drei Gleichungen in drei Variablen müssen zuerst zwei Gleichungen in zwei Variablen erzeugt werden, um dann eine Gleichung mit einer Variablen zu erhalten) Wegen 3a + c = 2 (III ) ist nun 3 ( 1) + c = 2 und somit c = = Ferner ist wegen a b + c = 2 (II) 1 4 b = 2 b = 2 b+ 5 2 = = b b = 1 2

4 c) Und damit ist p(x) = 1 4 x x rch A(2/0) geht und in B(0/2) die Steigung 1 aufweist! Text Bedingung Gleichung A(2/0) p(2) = 0 a b 2 + c = 0 B(0/2) p(0) = 2 a b 0 + c = 2 Steigung 1 p (0) = 1 2a 0 + b = 1 Also gilt direkt b = 1 und c = 2, eingesetzt in die erste Gleichung ergibt 4a = 0 und damit a = 1, also ist p(x) = x 2 + x + 2 d) in A(2/ 1) einen Tiefpunkt hat und Normalparabel ist! e) Text Bedingung Gleichung A(2/ 1) p(2) = 1 a b 2 + c = 1 Tiefpunkt p (2) = 0 2a 2 + b = 0 Normalparabel a = 1 a = 1 eingesetzt in 4a + b = 0 ergibt b = 4, beides eingesetzt in 4a + 2b + c = 1 ergibt c = 3, also ist p(x) = x 2 4x Steckbriefaufgaben zu Kubischen Kurven. Ansatz für eine kubische Funktion ist stets f(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d, ihre ersten beiden Ableitungen sind f (x) = 3ax 2 +2bx+c und f (x) = 6ax + 2b. a) A(0/1) f(0) = 1 a b c 0 + d = 1 I B(1/0) f(1) = 0 a b c 1 + d = 0 II C( 1/4) f( 1) = 4 a ( 1) 3 + b ( 1) 2 + c ( 1) + d = 4 III D(2/ 5) f(2) = 5 a b c 2 + d = 5 IV Gleichung I vereinfacht ist d = 1, eingesetzt in die anderen Gleichungen und Rüberbringen der Konstanten auf die rechte Seite liefert das System: III a + b c = 3 IV 8a + 4b + 2c = 6 II+III 2b = 2 2 III+IV 6a + 6b = 0 = III b = 1 IV a + b = 0

5 = II-IV c = 1 III b = 1 IV -III a = 1 (Additionsverfahren bis zum bitteren Ende ) Also ist f(x) = x 3 + x 2 x die gesuchte Funktion! b) Lösung ist a = 3, b = 2, c = 1 und d = 1, d.h. f(x) = 3x 3 2x 2 + x 1 ist die gesuchte Funktion. Das Vorgehen ist dasselbe wie in 3.(a), nur mit vier Gleichungen in vier Variablen. c) Die Bedingungen sind f(2) = 2 für den Punkt A(2/2), f(3) = 9 für B(3/9) und sowohl f(1) = 1 als auch f (1) = 0 für den Punkt C(1/1), der auch Tiefpunkt sein soll. Lösung ist a = 1, b = 3, c = 3 und d = 0, also ist f(x) = x 3 3x 2 + 3x die gesuchte Funktion! d) in A(1/4) einen Extrempunkt und in B(0/2) einen Wendepunkt hat! e) A(1/4) f(1) = 4 a b c 1 + d = 4 I Extrempunkt f (1) = 0 3a b 1 + c = 0 II B(0/2) f(0) = 2 a b c 0 + d = 2 III Wendepunkt f (0) = 0 6a 0 + 2b = 0 IV Aus Gleichung III folgt d = 2, aus Gleichung IV folgt b = 0. Eingesetzt in I und II führt auf das Gleichungssystem I a + c = 2 II 3a + c = 0 c = 2 a c = 3a = 2 a = 3a 2 + 2a = 0 2a = 2 a = 1 (Gleichsetzungsverfahren: beide Gleichungen werden nach einer Variablen, hier c aufgelöst, dann werden die rechten Seiten, hier 2 a und 3a, gleichgesetzt und es entsteht eine Gleichung in nur noch einer Variablen, die aufgelöst werden kann) Einsetzen von a = 1 die umgeformte Gleichung II liefert c = 3 ( 1) = 3 und damit ist f(x) = x 3 + 3x + 2 die gesuchte Funktion! 4. Denkaufgaben. a) Parabeln sind achsensymmetrisch zu ihrer Mittelachse. Mit den Nullstellen 2 und 4 liegt diese Achse bei x = 3, dort liegt dann der Scheitelpunkt, der einziger Extrempunkt des Graphen ist. Damit kann bei x = 0 keine Extremstelle mehr sein. b) Bei einer kubischen Funktion mit Extremstellen bei x = 0 und x = 3, liegt die einzige Wendestelle bei x = 3 2!