Solche Abbildungen nennt man ZENTRISCHE STRECKUNGEN. DEFINITION:
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- Birgit Ritter
- vor 7 Jahren
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1 ZENTRICHE TRECKUNG DER TORCHENCHNABEL ol Farstift Zeicenstift ol, Farstift und Zeicenstift lieen immer auf einer Geraden! Früer at man den torcenscnabel (antorap) benutzt um Bilder maßstäblic zu verrößern, verkleinern und punktspieeln zu können. Heute werden derartie Abbildunen von Grafikprorammen berecnet. olce Abbildunen nennt man ZENTRICHE TRECKUNGEN. DEFINITION: Eine ZENTRICHE TRECKUNG mit treckzentrum und treckfaktor k (Kurzscreibweise Z(;k)) ist eine Abbildun die jedem unkt einen Bildpunkt zuordnet, derart dass: 1. auf der Geraden durc und liet,. = k, k fest. Für k>0 lieen und auf derselben eite von. Für k<0 lieen und auf versciedenen eiten von.
2 BEIIELE: Bilde ab für = 6cmund k =. 3 5 Bilde ab für = 3cm und k =. DIE DALTON Bestimme zeicnerisc das treckzentrum der folenden Zeicnun. Bestimme dann näerunsweise die treckfaktoren k Averell, k William und k Joe bezülic Jack. Averell: 14,8cm William: 11,7cm Jack: 8,7cm Joe: 5,7cm Averell William Jack Joe 14,8cm kaverell = 1,7 8,7cm 11,7cm kwilliam = 1,3 8,7cm 5,7cm kjoe = 0,7 8,7cm BEMERKUNG: Bei eebener Abbildun einer zentriscer treckun erält man: - das treckzentrum indem man eine Gerade durc sic entsprecende unkte let. Mact man dies zweimal ist der cnittpunkt dieser Geraden das esucte treckzentrum. - den treckfaktor k indem man den Quotienten aus = k bildet. Das Vorzeicen eribt sic durc die Lae der unkte und zu.
3 KONTRUKTION EINER ZENTRICHEN TRECKUNG 5 Um den unkt A an mit treckfaktor k = zentrisc strecken zu können müssen wir die trecke A in leice Teile aufteilen. A' befindet sic dann 5 dieser Teile entfernt von in Rictun A. Eine solce Aufteilun erreict man durc einen Hilfsstral mit Eineiten. A' A Hilfsstral mit Eineiten FOLGERUNG: Eine zentrisce treckun wird durc Anabe des treckzentrums und des treckfaktors k, oder durc Anabe des treckzentrums und einem unkt und dessen Bildpunkt bestimmt. EIGENCHAFTEN DER ZENTRICHEN TRECKUNG: Ein unkt der im treckzentrum liet wird auf sic selbst abebildet. Einen solcen unkte nennt man Fixpunkt. TRECKEN AUF TRAHLEN DURCH : Bei einer zentriscen treckun mit treckfaktor k werden trecken auf tralen durc das treckzentrum auf die k -face Läne estreckt. A B A' B' Beweis: A' = ka B' = kb A'B' = B' A' = k ( B A) = kab GERADEN: 1.) Geraden werden wieder auf Geraden abebildet, diese Eienscaft einer Abbildun nennt man Geradentreue. pieelunen an ebenen pieeln sind z.b. eradentreu. Die pieelun an einem Holspieel ineen nict. Es ilt soar, dass die Bilderade bei einer zentriscen treckun parallel zur ursprünlicen liet.
4 Weiter folt: Erfüllen zwei unkte die Bedinun : = Q:Q' so sind die Geraden durc, Q und, Q' parallel..) Geraden durc das treckzentrum werden auf sic selbst abebildet. (Fixeraden) 3.) arallele Geraden werden auf parallele Geraden abebildet. (arallelentreue) WINKEL: Winkel werden durc zentrisce treckun auf leic weite Winkel abebildet. (Winkelrößentreue) Beweis: Bilde die Geraden und durc die cenkel des Winkels ab, dies eribt ' und '. Da tufenwinkel an arallelen leic weit sind folt die Beauptun. ' ' 1. TRAHLENATZ WIE HOCH IT DER MAIBAUM? Ein Maibaum wirft einen 19,0m lanen catten. Wenn sic der 1,80 m roße Hausmeister unten an den Baum stellt wirft er einen m lanen catten. Wie oc ist dann der Maibaum? 19,0m H =, m 1,80m 19,0m H = 1,80m= 17,8m. m Der Maibaum ist 17,8m oc. 1,80m Höe des Maibaums 19,0m m
5 1.TRAHLENATZ cneiden zwei parallele Geraden zwei von einem unkt auseende tralen, dann veralten sic die Abscnitte auf dem einen wie die Entsprecenden auf dem anderen tral. c Q a Q' d b (1) a+ b c + d = und () b d = Beweis: Betracte als Bild der Geraden durc zentrisce treckun Z(;k). Dann ilt: Zu (1): Zu (): a + b k = = a a+ b c+ d = damit ist (1) bewiesen. Q' c + d k = = Q c a+ b c+ d a b c d b d b d = + = + 1+ = 1+ = a c damit ist () bewiesen. WIE ERKENNT MAN AM TORCHENCHNABEL WELCHE VERGRÖERUNG EINGETELLT IT? 1 1 F Z Z 6 F 3 k = = = = also k = 1 F Z Z k = = = = also k = F F 4 1
6 Der erste tralensatz ilt auc für zwei arallelen die nict auf der leicen eite von lieen. u p q v p u = q v UMKEHRUNG DE 1. TRAHLENATZ Werden zwei von einem unkt auseende tralen von zwei Geraden, escnitten und veralten sic die Abscnitte auf entsprecenden tralen wie folt: (i) = und b d (ii) =, a + b c + d so sind die Geraden und parallel. c a d b
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