Mathematischer Silberblick

Transkript

1 Mathematischer Silberblick Binokulare Geometrie im Raum Ysette Weiss, Johannes-Gutenberg-Universität Mainz Rainer Kaenders, Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn August Einleitung Menschen haben zwei Augen, die jeweils unterschiedliche Wahrnehmung haben. Mit Hilfe dieser beiden unterschiedlichen Wahrnehmungen erzeugt unser Gehirn ein räumliches Bild. Bei Tauben oder Hühnern haben die jeweiligen Augen auch unterschiedliche Wahrnehmungen, nur sind diese hier unverbunden. Daher erzeugen diese Vögel eine räumliche Vorstellung, indem sie ihre Köpfe ruckartig hin- und herbewegen und aus diesen unterschiedlichen aber zusammenhängenden Bildern eine räumliche Vorstellung entwickeln. Binokulares Sehen erfordert zwei perspektivische Bilder aus unterschiedlichen Perspektiven, bei denen die Position der beobachtenden Augen jeweils einige Zentimeter auseinander liegt. Diesen Effekt möchten wir nun dem Auge vorgaukeln. Sicher kennt Ihr das alle aus dem 3D-Kino. Wir erzeugen in einem Bild zwei Bilder für jedes Auge eines in Rot und eines in Türkis. Mit Hilfe der 3D-Brille sieht dann jedes unserer beiden Augen jeweils nur eines der bilden Bilder. Während wir im Kino gewohnt sind, nur solche Bilder vorgesetzt zu bekommen, werden wir sie hier selbst erzeugen. Dazu benötigen wir nicht mehr als einen roten und einen türkisen Stift, ein Lineal sowie eine 3D-Brille. Wir möchten gemeinsam lernen, wie man solche Bilder, so genannte Anaglyphen entstehen lassen kann. Das Wort Anaglyph stammt aus dem Griechischen und bedeutet ανά aná auf, aufeinander und γλύϕω glýphō meißeln, gravieren, auch darstellen. Das Anaglyphenverfahren wurde 1853 von Wilhelm Rollmann in Leipzig 1 entwickelt. Anaglyphen wurden verwendet um damit in mathematischen Lehrbüchern dreidimensionale Sachverhalte zu illustrieren. 2 2 Projektion eines Punktes Die räumlichen Figuren sind besser zu erkennen, wenn Sie komplexer sind. Trotzdem beginnen wir unsere Betrachtungen mit einem Punkt und einer Strecke im 1 Wilhelm Rollmann: Zwei neue stereoskopische Methoden. In: Annalen der Physik (und Chemie). Ausgabe 90. Halle, Leipzig, S. 186 f. (siehe auch Google Books) 2 Ein sehr schönes Beispiel hierfür ist das Buch, das auch uns hier inspiriert hat: Pal, Imre. Darstellende Geometrie in Raumbildern. Fachbuchverlag Leipzig,

2 Abbildung 1: Darstellung eines räumlichen Dreiecks in zwei Ebenen Raum. In Abbildung 1 sehen wir die Projektion eines Dreiecks auf eine horizontale und auf eine vertikale Ebene: einen Bildschirm oder einen Tisch. Wir werden hier zunächst Darstellungen wählen, bei der die Projektionsfläche hinter dem Gegenstand liegt. Das Bild entsteht dann über einem Blatt Papier oder vor einer Leinwand. Dies können wir in folgender allgemeiner Situation zusammenfassen: Wir haben eine Ebene E und über dieser im Abstand a das Augenpaar des Beobachters so, dass die Gerade durch die Pupillen parallel zur Ebene verläuft. Wir nehmen an, dass das Augenpaar fest an einem Ort veharrt. Abbildung 2: Ein kleiner Stab auf und über der Ebene 2

3 Abbildung 3: Illustration des Basisprinzips Bezeichnen wir die Pupillenpunkte mit A und B und deren Lotfußpunkte auf E mit A B, so ist bei erwachsenen Menschen im Mittel AB = A B = 7cm. Wir nehmen an, dass sich die Pupillengerade in einer Entfernung a von der Ebene befindet. Sei P ein Punkt im Raum mit Lotfußpunkt P auf E mit h := P P und es sei h < a. Seien weiter P A, P B die Schnittpunkte der Geraden AP und BP mit der Ebene E. Aufgabe. Zunächst wollen wir einen virtuellen kleinen Stab von ungefähr der Höhe eines Daumens über dem Papier schweben lassen. 1. Fertige mit den Buntstiften eine Zeichnung an, bei der ein kleiner Stab mit der Dicke eines Buntstiftstrichs über dem Papier erscheint. 2. Konstruiere einen solchen Stab, der seitlich vor dem Augenpaar steht. Wie weit müssen für eine korrekte Darstellung die Striche gezogen werden? 3. Konstruiere einen solchen Stab, der ein wenig über dem Papier schwebt. Die Zeichnung und unsere Beobachtungen legen nahe, dass die Geraden P A P B, AB und A B im Raum je parallel zueinander sind. Aufgabe. Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind: (i) P A P B, AB und A B sind im Raum je parallel zueinander, (ii) P P A : P P B = AP : P B, (iii) P P A : P P B = A P : P B. Diese Aussagen sind äquivalent, doch keine von ihnen haben wir bislang bewiesen. Nun müssen wir noch eine dieser Bedingungen nachweisen um dann damit die Gültigkeit der anderen beiden zu erhalten. Wir werden dies auf zwei Weisen tun. Die elegante Weise besteht darin, Aussage (i) gleich direkt geometrisch nachzuweisen. Hilfreich hierfür ist der folgende Satz. Satz 1 (Satz vom Zelt). Seien drei paarweise voneinander verschiedene Ebenen gegeben, von denen sich je zwei in einer Gerade schneiden. Wenn von den drei Schnittgeraden zwei parallel sind, dann ist auch die dritte Schnittgerade parallel zu diesen beiden. Beweis: Seien E 1, E 2 und E 3 die drei Ebenen und seien g ij = E i E j für 1 i < j 3 die drei Schnittgeraden. Wir nehmen nun an, dass g 12 = E 1 E 2 und g 13 = E 1 E 3 in E 1 parallel verlaufen. Falls nun g 23 = E 2 E 3 nicht parallel zu 3

4 Abbildung 4: Ähnlichkeitsbetrachtung für das Dreieck AA P A einer der beiden anderen Schnittgeraden verläuft, so liegt sie doch in jedem Fall mit beiden je in einer Ebene. Also muss g 23 eine der beiden anderen schneiden. O.B.d.A. nehmen wir an, dass g 23 die Gerade g 12 im Punkt P schneidet. Damit gilt {P } = E 1 E 2 E 3 und der Punkt P liegt in allen drei Ebenen und somit auf allen drei Schnittgeraden, was allerdings der Parallelität von g 12 und g 13 widerspricht. Aufgabe. Benutze den Satz vom Zelt um zu zeigen, dass P A P B, AB und A B im Raum je parallel zueinander sind. Eine andere Methode, eine der Aussagen von Satz 1 zu beweisen, besteht darin die Seitenverhältnisse über die Ähnlichkeit von Dreiecken nachzuweisen. Dazu betrachten wir das Dreieck AA P A (siehe Abbildung 4). Aus der Ähnlichkeit der Dreiecke lesen wir ab: AP : P P A = A P : P P A = (a h) : h. Die analoge Betrachtung können wir für das Dreieck BB P B anstellen und erhalten: BP : P P B = B P : P P B = (a h) : h. Damit setzen wir gleich AP : P P A = A P : P P A = BP : P P B = B P : P P B, woraus die Aussagen (ii) und (iii) unmittelbar folgen. Aufgabe. Gib eine Formel für d := P A P B an, die nur von a und h abhängt und beweise Deine Vermutung. Aus dieser Aufgabe lernen wir folgende Gesetzmäßigkeit. Satz 2. Sei h mit 0 < h < a fest gegeben. Die Bildpunkte P A und P B aller Punkte P auf der Höhe h über der Ebene haben dieselbe Entfernung d := h 7 a h cm voneinander. Insbesondere hängt d nur von h und a und nicht davon ab, wie weit P sich von A B befindet. Jetzt, wo wir wissen, dass nur die Höhe eines Punktes die Entfernung seiner Bildpunkte bestimmt, können wir auch die Höhe aus dieser Entfernung der Bildpunkte bestimmen. Wollen wir etwa einen Punkt P darstellen, der 1 cm über der Ebene erscheint, so sollten die Bildpunkte P A, P B den Abstand voneinander haben. Für a = 45cm ergibt sich folglich: 7 cm 1, 6 mm. 44 h 7 cm a h 4

5 Abbildung 5: Die Konstruktion eines virtuellen Punktes aus der Ebene heraus Aufgabe. Wir berechnen hier die Entfernung d in speziellen Fällen. 1. Berechnen die Entfernung zwischen zwei solchen Bildpunkten d = P a P B für die Situation im Hörsaal bei etwa a = 5 m. 2. Wie weit liegen die P A und P B auseinander, falls h = a 2 ist? Geben Sie einen Beweis mit der Formel und einen rein geometrischen Beweis. Betrachten wir nun die Situation senkrecht von oben, so erhalten wir die in Abbildung 5 dargestellte Situation. Befinden sich unsere Augen also auf Höhe a über den Punkten A und B und schauen wir mit der 3D-Brille auf den roten Punkt P B und den türkisen Punkt P A, so sehen wir einen virtuellen Punkt P senkrecht über P auf Höhe h = ad 7+d cm. Satz 3. Bei fester Höhe h sind die Abbildungen, die P auf P A bzw. P auf P B abbilden zentrische Streckungen von A bzw. B aus mit dem Streckfaktor a h. Aufgabe. Machen Sie sich diese Regel anhand ähnlicher Dreiecke und dann anhand einer räumlichen zentrischen Streckung klar. 3 Punkte und Figuren hochheben Eine einfache Technik, die uns erlauben wird, viele schöne räumliche Bilder zu erzeugen, ist die Möglichkeit, einen Punkt P in der Ebene auf einen Punkt P senkrecht über P in eine vorgegebene Höhe h hochzuheben. Zunächst schauen wir uns einen Punkt P in der Ebene an. Insbesondere ist dies auch ein Punkt im Raum, den unsere Augen unterschiedlich wahrnehmen. Allerdings brauchen wir ihnen keine zwei unterschiedlichen Bilder vorzugaukeln, da die Realität hier schon für zwei verschieden Bilder sorgt. Wenn wir nun einen virtuellen Punkt P genau über P konstruieren wollen, sehen wir in Abbildung 5, wie dies geht. Haben wir nun eine Figur in der Ebene, so können wir sie auf zwei Weisen hochheben. Einmal können wir die Eckpunkte hochheben und dann entsprechende Punkte verbinden. Das führen wir hier am Beispiel des Quadrates aus. Eine andere Methode besteht darin, den Satz 3 zu benutzen. 5

6 Beispiel 1. Hochheben einen Quradrates. Betrachten wir nun folgende Situation einen Quadrates P Q R S in der Ebene, wobei die Pupillenpunkte A, B sich wie zuvor über A B befinden. Nun zeichnen wir folgende Hilfslinien ein: die Verbindunggeraden A P, A Q, A R, A S, die Verbindunggeraden B P, B Q, B R, B S. Wählen wir nun einen Punkt P auf A P, so dass P zwischen A und P liegt, dann ist der Rest festgelegt, wenn wir die Parallelen zu P Q und S P durch den Punkt P zeichnen, dann erhalten wir entsprechende Punkte Q, S und schließlich auf analoge Weise R. Genauso verfahren wir mit der zentrischen Streckung von B aus. Nun können wir auch das Quadrat zweimal hocheben, sodass wir dir Ober- und die Unterseite eines Quaders erhalten. Wir verbinden dann die entsprechenden Eckpunkte. Aufgabe. Konstruieren Sie unter Zuhilfenahme der Formeln über die Höhe eines Punktes einen schwebenden Quader und einen schwebenden Würfel. Beispiel 2. Hochheben eines Kreises. Um einen Kreis hochzuheben, benutzen wir gleich den Satz 3 und strecken den Kreis in der Ebene von den Fußpunkten A und B mit dem Streckfaktor a h zu Kreisen k a und k B ; die zentrische Streckung der Ebene von einem Punkt aus bildet einen Kreis auf einen Kreis ab. Wenn wir den Kreis in der Ebene durch n Punkte in n gleich lange Bögen aufteilen, so erhalten wir hierdurch auch eine Aufteilung der Bildkreise in n gleich lange Bögen. Verbinden wir nun für ein feste ganze Zahl m jeweils den k- ten Punkt auf dem Kreis in der Ebene mit den (k +m)-ten Punkt der jeweiligen Bildkreise, erhalten wir für m = 0 einen Zylinder und für m 0 ein Hyperbolid. Aufgabe. Beweise, dass k A und k B jeweils Kreise gleichen Durchmessers sind, deren Mittelpunkte M A und M B den Abstand d voneinander haben, wobei wieder d = h a h7cm. Hebe einen Kreis zweimal hoch und zeichne einen schwebenden Zylinder. 4 Borromäische Ringe und das Ikosaeder Betrachten wir drei goldene Rechtecke, deren Seitenverhältnisse im goldenen Schnitt stehen. Die Ränder von Kreditkarten oder Jugendherbergsausweisen haben diese Form. Nun schieben wir jeweils eines der Rechtecke mit der kurzen Seite senkrecht durch die lange Symmetrieachse eines der anderen Rechtecke. So stellen wir uns alle drei goldenen Rechtecke im Raum ineinander gefügt vor. Diese Rechtecke sind nun miteinander verknotet und können nicht auseinandergezogen werden. Entfernt man allerdings eines dieser Rechtecke, sind die anderen beiden frei. Eine solche Verschlingung heißt Borromäische Ringe. Im Kreuzgang des Bonner Münsters kann man die Abbildung solcher Ringe finden. Sie sind im Christentum ein Symbol für Dreifaltigkeit. Verbinden wir nun bei den so arrangierten Kreiditkarten benachbarte Eckpunkte, dann erhalten wir ein regelmäßiges Ikosaeder ein Zwanzigflach aus gleichseitigen Dreiecken. Dieses Beispiel mit einem Anaglyph darzustellen haben wir uns selbst als Herausforderung vorgenommen. In Abbildung 7 ist das Resultat zu bewundern. Hier ist der Augenabstand klein gewählt, damit es auf eine Leinwand projiziert werden kann. 6

7 Abbildung 6: Ein Quadrat wird zweimal angehoben und zu einem Quader verbunden. 7

8 Aufgabe. Beweisen Sie, dass ein regelmäßiges Ikosaeder auf die oben beschriebene Weise konstruiert werden kann. 5 Eigene Kreation Nun ist es an der Zeit, dass Ihr selber tätig werdet. Hier einige Ideen, die Euch inspirieren können. Einige Ergebnisse können in der Vorlesung am Ende des Tages präsentiert werden. Bei Zeichnungen, die für die Projektion auf eine Leinwand gedacht sind, sollten zwei Dinge beachtet werden. Der Augenabstand, sprich der Abstand der Punkte A und B auf der Leinwand muss auch 7 cm sein. Daher sollte in der Zeichnung der Abstand weniger als ein Zentimeter messen, so dass er bei der Projektion an die Leinwand auf die Größenordnung von ca. 7 cm vergrößert wird. Der Abstand von den Augen zu der Projektionsbene a ist im Hörsaal für die Betrachter groß. Das bedeutet, dass d = entsprechend klein ist. Hier einige Anregungen für mögliche Projekte: Quader Diese Konstruktion wurde schon beschrieben. h 7 cm a h Würfel Hier gilt es, die Höhe entsprechend zu berechnen. Könnt Ihr einen Würfel schräg in den Raum legen? Tetraeder Ein gleichseitiges Dreieck in die Ebene legen und hochheben. Der Mittelpunkt wird dann noch höher gehoben und die Eckpunkte verbunden. Haus Zeichne einen Grundriss und hebe diesen an allen Ecken gleich an. Im Inneren des Grundrisses können einige weitere Punkte noch höher angehoben werden, um damit ein Dach zu konstruieren. Initialen Kannst Du Deine Initialen räumlich darstellen? Oktaeder Ein Oktaeder besteht aus zwei Pyramiden auf quadratischem Grund. Hyperboloid Diese Figuren haben wir oben schon besprochen. Kleeblattschlinge Hier kann man mit drei zueinander senkrechten windschiefen Strecken beginnen. Borromäische Ringe Wurden oben besprochen. Ikosaeder Ausgehend von der Konstruktion der Borromäischen Ringe kann man auch ein Ikosaeder virtuell im Raum konstruieren. Dodekaeder Ein Dodekaeder besteht aus Paaren von parallelen regelmäßigen Fünfecken, die zueinander um 2π 10 zueinander verdreht sind.... 8

9 Abbildung 7: Drei goldene Rechtecke als Borromäische Ringe 9