Formelsammlung Geometrie

Transkript

1 Formelsammlung Geometrie irgit Vera Schmidt 9. Juni 009

2 Inhaltsverzeichnis 1 Notation 3 llgemeines 4.1 Symmetralen Spiegelung, Drehung, Streckung, Scherung llgemeine Sätze nalytisches Trigonometrische Funktionen Kreise Grundlagen Peripheriewinkelsatz Weitere Sätze im Kreis Potenzgeraden Dreiecke Grundlagen Kongruenz und Ähnlichkeit Satzgruppe von Pythagoras Sätze im Dreieck nalytisches Das Wichtigste auf einen lick eziehungen zwischen Längen und Winkeln Wichtige Ungleichungen im Dreieck Formeln zum Inkreismittelpunkt Formeln zum Umkreismittelpunkt Formeln zum Lotfußpunktdreieck Vierecke llgemeine Vierecke Sehnenvierecke Tangentenvierecke Sehnentangentenvierecke (izentrische Vierecke) Parallelogramme Polygone 47 7 Quellen 48

3 1 Notation d(p, g) bezeichnet den Normalabstand des Punktes P zur Geraden g. d(p, XY ) bezeichnet den Normalabstand des Punktes P zur Trägergeraden von XY. d(g, h) bezeichnet den Normalabstand der Geraden g und h, falls diese parallel sind, und hat andernfalls den Wert 0. [] bezeichnet die Fläche des Dreiecks. [ 1... n ] bezeichnet die Fläche des Polygons 1... n. 3

4 llgemeines.1 Symmetralen P g bbildung.1: Eigenschaften von Streckensymmetralen Satz.1 (Eigenschaften von Streckensymmetralen). Sei g die Streckensymmetrale von, also jene Normale auf die Strecke, die durch deren Halbierungspunkt geht. Dann enthält g genau jene Punkte, die von und gleich weit entfernt sind. Sei P ein Punkt auf g, dann folgt also P = P. Das Dreieck P ist folglich gleichschenkelig und g seine Höhe. G Y P w P w S F S X bbildung.: Eigenschaften von Winkelsymmetralen Satz. (Eigenschaften von Winkelsymmetralen). Sei w die (innere) Winkelsymmetrale von S, also jene Gerade durch S, die mit S und S den gleichen Winkel einschließt (und zwischen diesen beiden liegt). Dann ist jeder Punkt P auf w gleich weit von S und S entfernt (bezüglich des Normalabstandes), also d(p, S) = d(p, S). Sei P ein Punkt auf w, und seien F und G die Fußpunkte der Höhen von P auf die Trägergeraden von S und S. Dann ist das Viereck SF P G ein Deltoid mit rechten Winkeln in F und G. Sei P ein Punkt auf w, und seien X und Y die Schnittpunkte der Normalen auf w durch P mit den Trägergeraden von S und S. Dann ist das Dreieck SXY gleichschenkelig und w seine Höhe. 4

5 . Spiegelung, Drehung, Streckung, Scherung Satz.3 (Eigenschaften von Spiegelungen an einer Geraden). ei einer Spiegelung an einer Geraden bleiben Strecken und Winkel gleich. Geraden werden wieder zu Geraden, Kreise wieder zu Kreisen. Jede Figur ist kongruent zu ihrem ild unter einer Spiegelung an einer Geraden. Punkte auf der Spiegelungsgeraden selbst fallen mit ihrem eigenen Spiegelbild zusammen. Seien und die Spiegelungen der Punkte und bezüglich derselben Spiegelungsgeraden g. Dann schneiden die Verbindungen und einander auf g, und ist ein gleichschenkeliges Trapez. g (a) llgemeines eispiel (b) Trapez zweier Punkte und ihrer Spiegelungen bbildung.3: Eigenschaften von Spiegelungen an einer Geraden (a) llgemeines eispiel (b) Parallelogramm zweier Punkte und ihrer Spiegelungen bbildung.4: Eigenschaften von Spiegelungen an einem Punkt Satz.4 (Eigenschaften von Spiegelungen an einem Punkt). Eine Spiegelung an einem Punkt entspricht einer Rotation um 180 um diesen Punkt. Folglich bleiben Strecken und Winkel gleich, Geraden werden wieder zu Geraden, Kreise wieder zu Kreisen. Jede Figur ist kongruent zu ihrem ild unter einer Spiegelung an einem Punkt. Seien und die Spiegelbilder der Punkte und bezüglich desselben Spiegelungspunktes P. Dann ist parallel zu und parallel zu, also ist ein Parallelogramm. 5

6 (a) Drehung (b) Zentrische Streckung bbildung.5: Drehung und zentrische Streckung Satz.5 (Eigenschaften von Drehungen). ezüglich einer Drehung bleiben Winkel und Strecken erhalten, Geraden werden wieder zu Geraden, Kreise wieder zu Kreisen. Jede Figur ist kongruent zu ihrem ild unter einer Drehung um einen Punkt. Satz.6 (Eigenschaften von zentrischen Streckungen). ezüglich einer zentrischen Streckung bleiben Winkel erhalten, Geraden werden wieder zu Geraden, Kreise wieder zu Kreisen. Jede Figur ist ähnlich zu ihrem ild unter einer zentrischen Streckung. Die Verhältnisse von Strecken bleiben erhalten. Flächen verhalten sich zueinander wie das Quadrat des Verhältnisses der Seiten, Volumina wie die dritte Potenz dieses Verhältnisses. Werden also Seiten um einen Faktor s größer (bzw. kleiner), so werden Flächen um einen Faktor s größer (bzw. kleiner) und Volumina um einen Faktor s 3. Seien und die aus und durch dieselbe zentrische Streckung entstehenden Punkte, dann ist parallel zu bbildung.6: Gemeinsamer Schnittpunkt ähnlicher Figuren in paralleler Lage Satz.7 (Gemeinsamer Schnittpunkt ähnlicher Figuren). Sei 1... n eine Figur und sei 1... n eine dazu ähnliche Figur, deren Seiten parallel zu den entsprechenden Seiten der ersten Figur sind, also i i+1 i i+1 für 1 i < n 1 und 1 n 1 n. Dann entsteht die zweite Figur aus der ersten durch eine zentrische Streckung, und die Verbindungsgeraden einander entsprechender Punkte schneiden einander in einem Punkt, der gleichzeitig das Zentrum der Streckung ist. Konkret für n = 3: Seien und zwei ähnliche Dreiecke mit, und. Dann schneiden die Verbindungen, und einander in einem Punkt. 6

7 D D G F G F (a) Streckung an einer Geraden D = D E = E (b) Scherung bbildung.7: Streckung an einer Geraden und Scherung Satz.8 (Eigenschaften von Streckungen an einer Geraden). ezüglich einer Streckung in der Ebene an einer Geraden (Dehnung) bleiben Geraden und die Verhältnisse von Flächen erhalten. Punkte auf der Geraden, an der gestreckt wird, bleiben unter der Streckung unverändert. Seien und zwei Punkte auf unterschiedlichen Seiten der Geraden, an der gestreckt wird, und seien und die ilder, die bei dieser Streckung entstehen. Dann schneiden die Verbindungen und einander auf der Geraden, an der gestreckt wird. Satz.9 (Eigenschaften von Scherungen). ezüglich einer Scherung bleiben Geraden und Flächeninhalte erhalten..3 llgemeine Sätze f bbildung.8: Parallelwinkelsatz g h Satz.10 (Parallelwinkelsatz, Z-Satz ). Seien g und h zwei parallele Geraden und f eine weitere Gerade, die diese beiden schneidet. Dann schließt f mit beiden denselben Winkel ein. Die Umkehrung gilt ebenso: Schließt f mit zwei Geraden den gleichen Winkel ein (auf derselben Seite von f), dann sind diese beiden Geraden parallel. 7

8 P P M D Q (a) Gemeinsame Höhe (b) Gemeinsame Seite bbildung.9: Gemeinsame Höhe oder Seite Satz.11 (Gemeinsame Höhe). Wenn vier Punkte,, und D auf einer Geraden liegen, und sei P ein Punkt, der nicht auf dieser Geraden liegt. Dann gilt für die Flächeninhalte: [P ] : [DP ] = : D Satz.1 (Gemeinsame Seite). Seien P und Q zwei Dreiecke mit einer gemeinsamen Seite. Sei M der Schnittpunkt von P Q und. Dann gilt für die Flächeninhalte: [P ] : [Q] = MP : MQ (a) llgemein = (b) Häufiger Spezialfall = (c) Häufiger Spezialfall bbildung.10: Gemeinsamer Winkel Satz.13 (Gemeinsamer Winkel). Wenn die Winkel und gleich groß sind oder sich auf 180 ergänzen, dann gilt für die Flächeninhalte: [] [ = ] 8

9 uch die Umkehrung gilt: Wenn für die Flächeninhalte die obige eziehung gilt, dann sind die Winkel und gleich groß oder ergänzen sich auf 180. g h Z Y X bbildung.11: Satz von Pappos Satz.14 (Satz von Pappos). Seien g und h zwei Geraden und seien,, drei Punkte auf g und, und drei Punkte auf h. Seien weiters X der Schnittpunkt von mit, Y der Schnittpunkt von mit und Z der Schnittpunkt von mit. Dann liegen X, Y und Z auf einer Geraden. Y X Z P bbildung.1: Satz von Desargues Satz.15 (Satz von Desargues). Seien und zwei Dreiecke, sodass die Trägergeraden von, und einander in einem Punkt P schneiden. Sei weiters X der Schnittpunkt von und, Y der Schnittpunkt von und und Z der Schnittpunkt von und. Dann liegen X, Y und Z auf einer Geraden. Die Umkehrung gilt ebenfalls: Wenn X, Y und Z auf einer Geraden liegen, dann schneiden die Trägergeraden von, und einander in einem Punkt. 9

10 .4 nalytisches.4.1 Trigonometrische Funktionen Satz.16 (Gegenseitige Darstellung). tan x = sin x cos x sin x + cos x = 1 cot x = 1 tan x Satz.17 (Symmetrien). sin( x) = sin x cos( x) = cos x tan( x) = tan x Satz.18 (Periodizität). sin(x + π) = sin x cos(x + π) = cos x tan(x + π) = tan x Satz.19 (Phasenverschiebungen). ( sin x + π ) = cos x ( cos x + π ) = sin x Satz.1 (Doppelwinkelformeln). sin(x) = sin x cos x cos(x) = cos x sin x = 1 sin x = cos x 1 Satz. (Halbwinkelformeln). ( x ) sin ( x ) cos = ± 1 cos x = ± 1 + cos x Satz.3 (Quadrate). sin x = 1 (1 cos(x)) cos x = 1 (1 + cos(x)) tan x = 1 cos(x) 1 + cos(x) für x [0, π] für x [ π, π] Satz.0 (dditionstheoreme). sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y sin(x y) = sin x cos y cos x sin y cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y cos(x y) = cos x cos y + sin x sin y tan x + tan y tan(x + y) = 1 tan x tan y tan x tan y tan(x y) = 1 + tan x tan y sin(x + y) sin(x y) = cos y cos x cos(x + y) cos(x y) = cos y sin x Satz.4 (Summen). sin x + sin y = sin x + y sin x sin y = cos x + y cos x + cos y = cos x + y cos x cos y = sin x + y sin(x + y) tan x + tan y = cos x cos y sin(x y) tan x tan y = cos x cos y cos x y sin x y cos x y sin x y 10

11 Satz.5 (Produkte). sin x sin y = 1 (cos(x y) cos(x + y)) cos x cos y = 1 (cos(x y) + cos(x + y)) sin x cos y = 1 (sin(x y) + sin(x + y)) tan x + tan y x tan y tan x tan y = = tan cot x + cot y cot x cot y cot x + cot y cot x cot y cot x cot y = = tan x + tan y tan x tan y tan x cot y = tan x + cot y cot x + tan y = tan x cot y cot x tan y sin x sin y sin z = 1 (sin(x + y z) + sin(y + z x) + sin(z + x y) sin(x + y + z)) 4 cos x cos y cos z = 1 (cos(x + y z) + cos(y + z x) + cos(z + x y) + cos(x + y + z)) 4 sin x sin y cos z = 1 ( cos(x + y z) + cos(y + z x) + cos(z + x y) cos(x + y + z)) 4 sin x cos y cos z = 1 (sin(x + y z) sin(y + z x) + sin(z + x y) + sin(x + y + z)) 4 Satz.6 (bschätzung für den Sinus). sin x x π für 0 < x π Satz.7 (Wichtige Funktionswerte der trigonometrischen Funktionen). α in α (rad) sin α cos α tan α π 6 45 π 4 60 π π 1 0 ± 10 π π

12 3 Kreise 3.1 Grundlagen k 1 k 1 k (a) Nebeneinander liegend k (b) Ineinander liegend bbildung 3.1: erührende Kreise Satz 3.1 (erührende Kreise). Seien k 1 und k zwei Kreise, die einander in einem Punkt berühren. Dann ist der bstand der Mittelpunkte gleich der Summe der Radien, falls die Kreise nicht ineinander liegen, andernfalls die Differenz der Radien. M 1 M bbildung 3.: Schneidende Kreise Satz 3. (Schneidende Kreise). Seien k 1 und k zwei einander schneidende Kreise mit den Mittelpunkten M 1 und M, und seien und die beiden Schnittpunkte der Kreise. Dann gilt: Die Dreiecke M 1 und M sind gleichschenkelig. Die Dreiecke M 1 M und M 1 M sind kongruent. Das Viereck M 1 M ist ein Deltoid. steht normal auf M 1 M. Falls die beiden Kreise gleichen Radius haben, ist M 1 M eine Raute. 1

13 S bbildung 3.3: Gleich lange Tangenten Satz 3.3 (Eigenschaften von Tangenten, Eistütensatz, hinesenhütchensatz ). Seien und die erührpunkte der beiden Tangenten von einem Punkt P an den Kreis k, dann gilt P = P. 3. Peripheriewinkelsatz D α α t M α α 180 α E (a) Peripheriewinkelsatz, Zentriwinkelsatz, Sehnen- Tangentenwinkelsatz (b) Satz von Thales bbildung 3.4: Peripheriewinkelsatz, Zentriwinkelsatz, Sehnen-Tangentenwinkelsatz Satz 3.4 (Peripheriewinkelsatz). Sei k ein Kreis, eine Sehne und seien und D Punkte auf dem Kreis, die auf der gleichen Seite der Sehne liegen. Dann gilt = D. Sei E ein Punkt auf dem Kreis, der auf der anderen Seite der Sehne liegt. Dann gilt E = 180. uch die Umkehrungen gelten: Schließt ein Punkt F mit der Sehne den Winkel oder 180 ein, dann liegt F auf dem Umkreis von auf der gleichen bzw. entgegengesetzten Seiten von wie. Satz 3.5 (Zentriwinkelsatz). Sei k ein Kreis, eine Sehne, und ein Punkt auf dem längeren Kreisbogen über dieser Sehne. Dann gilt M =. 1 uch die Umkehrung gilt: Schließt mit der Sehne den Winkel M ein, dann liegt auf dem Kreis. 13

14 Satz 3.6 (Sehnen-Tangentenwinkelsatz). Sei k ein Kreis, eine Sehne und t die Tangente in an k. Dann ist der Winkel zwischen der Tangente t und der Sehne gleich groß wie der Peripheriewinkel über dieser Sehne. uch die Umkehrung gilt: Schließt eine Gerade durch mit einen Winkel ein, der gleich groß ist wie der Peripheriewinkel über dieser Sehne, dann ist diese Gerade eine Tangente. Satz 3.7 (Satz von Thales). Sei ein Durchmesser des Kreises k und sei ein Punkt auf dem Kreis. Dann gilt = 90. Der Satz von Thales ist ein Spezialfall des Peripheriewinkelsatzes (für den Fall, dass die Sehne ein Durchmesser ist). Entsprechend gelten auch hier die Umkehrungen. 3.3 Weitere Sätze im Kreis g k h P T D bbildung 3.5: Potenz eines Punktes Satz 3.8 (Potenz eines Punktes). Sei k ein Kreis und P ein Punkt, durch den zwei Geraden g und h gehen, die den Kreis schneiden. Seien und die Schnittpunkte der Geraden g mit dem Kreis k, und und D jene der Geraden h mit dem Kreis k. Dann gilt P P = P P D. Falls P außerhalb des Kreises liegt, sei weiters T der erührpunkt einer Tangente von P an den Kreis k. Dann gilt auch P P = P P D = P T. D Q X M Y P bbildung 3.6: Schmetterlingssatz 14

15 Satz 3.9 (Schmetterlingssatz). Sei P Q eine Sehne des Kreises k und sei M der Mittelpunkt dieser Sehne. Seien und D zwei weitere Sehnen, die beide durch M gehen. Die Sehnen D und schneiden P Q in den Punkten X und Y. Dann ist M auch der Mittelpunkt von XY. T 1 k k 1 T M 1 M T T 1 bbildung 3.7: Netzhautsatz Satz 3.10 (Netzhautsatz). Seien k 1 und k zwei einander nicht schneidende Kreise mit Mittelpunkten M 1 und M. Seien T 1 und T 1 die erührpunkte der Tangenten von M 1 an k, und seien T und T die erührpunkte der Tangenten von M an k 1. Die Verlängerungen der Strecken M 1 T 1 und M 1 T 1 schneiden k 1 in den Punkten und, und die Verlängerungen der Strecken M T und M T schneiden k in und. Dann gilt =. X bbildung 3.8: Kreis des pollonius Satz 3.11 (Kreis des pollonius). Gegeben seien eine Strecke und eine positive reelle Zahl λ 1. Dann ist die Menge der Punkte X, für die der Quotient der bstände zu und gleich λ ist (also X : X = λ), ein Kreis. λ Der Radius des polloniuskreises beträgt λ 1. ist die Inversion des Punktes am polloniuskreis. 15

16 3.4 Potenzgeraden Definition (Potenz eines Punktes). Die Potenz eines Punktes P bezüglich eines Kreises mit Mittelpunkt M und Radius r ist gegeben als MP r. Sie entspricht also dem Quadrat der Länge der Tangente von P an den Kreis. k 1 k k k 1 M 1 M M 1 M bbildung 3.9: Potenzgerade Satz 3.1 (Potenzgerade). Seien k 1 und k zwei nicht konzentrische Kreise. Dann ist die Menge aller Punkte, die bezüglich beider Kreise dieselbe Potenz haben, eine Gerade. Die Potenzgerade verläuft senkrecht zur Verbindungsstrecke der beiden Kreismittelpunkte. Wenn die Kreise einander schneiden, dann verläuft die Potenzgerade durch die beiden Schnittpunkte. erühren die Kreise einander, so ist die Potenzgerade die gemeinsame Tangente im erührpunkt. Satz 3.13 (Tangenten von Punkten auf der Potenzgeraden). Seien k 1 und k zwei Kreise, und sei P ein Punkt auf der Potenzgeraden dieser beiden Kreise. Dann sind die Tangenten von P an k 1 und k gleich lang. k 3 M 3 M 1 M k 1 k bbildung 3.10: Schnitt dreier Potenzgeraden Satz 3.14 (Schnitt dreier Potenzgeraden). Seien k 1, k und k 3 drei nicht konzentrische Kreise. Folglich besitzen je zwei dieser Kreise eine Potenzgerade. Diese drei Potenzgeraden schneiden einander in einem Punkt. 16

17 4 Dreiecke Falls nicht anders angegeben, gelten im gesamten Kapitel über Dreiecke folgende ezeichnungen im Dreieck : a = b = c = s = a + b + c α = β = γ = h a = d(, ) = Höhe auf h b = d(, ) = Höhe auf h c = d(, ) = Höhe auf I = Inkreismittelpunkt r = Inkreisradius U = Umkreismittelpunkt R = Umkreisradius H = Höhenschnittpunkt S = Schwerpunkt I = Mittelpunkt des nkreises über I = Mittelpunkt des nkreises über I = Mittelpunkt des nkreises über r = Radius des nkreises über r = Radius des nkreises über r = Radius des nkreises über 4.1 Grundlagen Satz 4.1 (Winkelsumme). Die Summe der drei Winkel eines Dreiecks ist immer gleich 180. Satz 4. (ußenwinkel). Jeder ußenwinkel eines Dreiecks ist gleich groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel. Satz 4.3 (Eigenschaften des Umkreises). Jedes Dreieck hat genau einen Umkreis, also einen Kreis, der durch alle drei Eckpunkte geht. Die drei Streckensymmetralen der Seiten von schneiden einander in einem Punkt. Dieser ist von den drei Ecken gleich weit entfernt und somit der Umkreismittelpunkt U. Der Umkreismittelpunkt liegt genau dann außerhalb des Dreieckes, wenn das Dreieck stumpfwinkelig ist. In einem rechtwinkeligen Dreieck fällt der Umkreismittelpunkt mit dem Halbierungspunkt der Hypotenuse zusammen. 17

18 M U M I M (a) Umkreismittelpunkt (b) Inkreismittelpunkt M M H S (c) Höhenschnittpunkt M (d) Schwerpunkt I I I (e) nkreismittelpunkt bbildung 4.1: Wichtige Punkte 18

19 Satz 4.4 (Eigenschaften des Inkreises). Jedes Dreieck hat genau einen Inkreis, also einen Kreis, der alle drei Seiten (von innen) berührt. Die drei Winkelsymmetralen der Winkel von schneiden einander in einem Punkt. Dieser ist von den drei Seiten gleich weit entfernt (bezüglich des Normalabstandes) und ist somit der Inkreismittelpunkt I. Der Inkreismittelpunkt liegt immer innerhalb des Dreiecks. Satz 4.5 (Eigenschaften des nkreises). Jedes Dreieck hat zu jeder Seite einen nkreis, also einen Kreis, der diese Seite von außen und die Verlängerungen der beiden anderen Seiten von innen berührt. Die Winkelsymmetrale des Winkels und die ußenwinkelsymmetralen der beiden anderen Winkel schneiden einander in einem Punkt. Dieser ist von den drei Seiten (oder deren Verlängerungen) gleich weit entfernt (bezüglich des Normalabstandes) und somit der nkreismittelpunkt I zur Seite. nalog erhält man die Mittelpunkte der beiden anderen nkreise. Die nkreismittelpunkte liegt immer außerhalb des Dreiecks. Satz 4.6 (Eigenschaften des Höhenschnittpunktes). In jedem Dreieck schneiden die Höhen einander in einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt H. Der Höhenschnittpunkt liegt außerhalb des Dreiecks genau dann, wenn das Dreieck stumpfwinkelig ist. In einem rechtwinkeligen Dreieck fällt der Höhenschnittpunkt mit dem der Hypotenuse gegenüberliegenden Eckpunkt zusammen. Satz 4.7 (Vertauschbarkeit von Eckpunkt und Höhenschnittpunkt). Wenn H der Höhenschnittpunkt eines Dreiecks ist, dann ist der Höhenschnittpunkt des Dreiecks H. Satz 4.8 (Eigenschaften des Schwerpunktes). Die drei Schwerlinien eines Dreiecks, also die Verbindungen der Seitenmittelpunkte mit den gegenüberliegenden Eckpunkten, schneiden einander in einem Punkt, dem Schwerpunkt S. Der Schwerpunkt S liegt immer innerhalb des Dreiecks. Der Schwerpunkt teilt alle drei Schwerlinien im Verhältnis : 1, wobei jeweils der Teil zwischen Schwerpunkt und Eckpunkt der längere Teil ist, also zum eispiel S = SM (wobei M der Mittelpunkt von ist). nalytisch lässt sich der Schwerpunkt berechnen als S = Satz 4.9 (Fläche eines Dreiecks). Die Fläche [] des Dreiecks berechnet sich als a ha Grundlinie mal Höhe (auf die gewählte Grundlinie) halbe, also [] = = b h b = c hc. lternativ dazu kann man die Fläche auch berechnen als Inkreisradius mal halbem Umfang, also [] = r a+b+c = r s. Satz 4.10 (Heronsche Flächenformel). Sei s der halbe Umfang des Dreiecks. Dann lässt sich die Fläche des Dreiecks berechnen als [] = s (s a) (s b) (s c). 19

20 U S H bbildung 4.: Eulersche Gerade Satz 4.11 (Eulersche Gerade). In jedem Dreieck liegen der Höhenschnittpunkt H, der Schwerpunkt S und der Umkreismittelpunkt U auf einer Geraden. S liegt dabei zwischen H und U, und weiters gilt HS : SU = : 1. U H M bbildung 4.3: Verhältnis des oberen Höhenabschnitts zur Umkreismittelpunkthöhe Satz 4.1 (Verhältnis des oberen Höhenabschnitts zur Umkreismittelpunkthöhe). Es gilt H : UM = : 1, wobei M der Mittelpunkt der Seite ist. (naloges gilt für die beiden anderen Seiten.) I X Y I bbildung 4.4: Verhältnis der erührpunkte von Inkreis und nkreis Satz 4.13 (Verhältnis der erührpunkte von Inkreis und nkreis). Sei X der erührpunkt des Inkreises mit der Seite und Y der erührpunkt des nkreises zur Seite mit dieser. Dann gilt X = Y (und natürlich auch X = Y ). (naloges gilt für die beiden anderen Seiten.) 0

21 4. Kongruenz und Ähnlichkeit bbildung 4.5: Zwei kongruente und ein zu diesen ähnliches Dreieck Satz 4.14 (Kongruenzsätze). Die Kongruenz zweier Dreiecke und ist äquivalent zu jeder der folgenden edingungen: lle drei Paare einander entsprechender Seiten sind gleich lang, also zum eispiel =, = und =. lle drei Paare entsprechender Winkel sind gleich groß und eine Seite ist gleich lang, also zum eispiel =, =, = und =. Zwei Paare entsprechender Winkel sind gleich groß und eine Seite ist gleich lang, also zum eispiel =, = und =. Zwei Paare einander entsprechender Seiten sind gleich lang und die von ihnen eingeschlossenen Winkel sind gleich groß, also zum eispiel =, = und =. Zwei Paare einander entsprechender Seiten sind gleich lang und die der längeren dieser Seiten gegenüberliegenden Winkel sind gleich groß, also zum eispiel =, =, und =. lle drei Paare einander entsprechender Seiten sind zueinander parallel, und eine Seite ist gleich lang, also zum eispiel,, und =. Satz 4.15 (Ähnlichkeitssätze). Die Ähnlichkeit zweier Dreiecke und ist äquivalent zu jeder der folgenden edingungen: Die Dreiecke sind kongruent. lle drei Paare entsprechender Winkel sind gleich groß, also zum eispiel =, = und =. Zwei Paare entsprechender Winkel sind gleich groß, also zum eispiel = und =. lle drei Verhältnisse einander entsprechender Seiten sind gleich groß, also : = : = :. lle drei Paare einander entsprechender Seiten sind zueinander parallel, also, und. 1

22 S g h bbildung 4.6: Strahlensatz Satz 4.16 (Strahlensatz). Sei S ein Punkt, von dem zwei Strahlen ausgehen, und seien g und h zwei parallele Geraden, die beide nicht durch S gehen. g schneide die beiden Strahlen in den Punkten und, h in den Punkten und. Dann gilt: S : S = S : S = : Umgekehrt gilt: Wenn 5 Punkte die obige edinung erfüllen, dann sind die Strecken und zueinander parallel. 4.3 Satzgruppe von Pythagoras Sei ein rechtwinkeliges Dreieck mit rechtem Winkel in. Sei c = die Länge der Hypotenuse und seien a und b die Längen der Katheten und. b h a p F c q bbildung 4.7: Satzgruppe von Pythagoras Satz 4.17 (Satz von Pythagoras). In diesem Dreieck gilt a + b = c. Die Umkehrung gilt ebenso: Wenn in einem Dreieck der Satz des Pythagoras gilt, dann ist das Dreieck rechtwinkelig. Satz 4.18 (Höhensatz). Sei F der Fußpunkt der Höhe auf, h die Länge dieser Höhe, p = F und q = F. Dann gilt h = p q. Die Umkehrung gilt ebenso: Gilt in einem Dreieck der Höhensatz, so ist das Dreieck rechtwinkelig. Satz 4.19 (Kathetensatz). Weiters gilt b = p c und a = q c.

23 4.4 Sätze im Dreieck F F bbildung 4.8: Südpolsatz Satz 4.0 (Südpolsatz). Sei ein Dreieck. Dann schneiden die Streckensymmetrale von und die Winkelsymmetrale von einander auf dem Umkreis des Dreiecks. uch die ußenwinkelsymmetrale von und die Streckensymmetrale von schneiden einander auf dem Umkreis. Die Umkehrung gilt ebenfalls: Seien F und F die Schnittpunkte der Streckensymmetrale von mit dem Umkreis von, dann halbieren F und F den Winkel bzw. ußenwinkel in. X (a) Winkelsymmetrale b a t c m X n (b) Satz von Stewart bbildung 4.9: Teilungsverhältnisse von Ecktransversalen Satz 4.1 (Teilungsverhältnis der Winkelsymmetrale). Sei ein Dreieck und X der Schnittpunkt der Winkelsymmetrale in mit der Seite. Dann gilt X : X = :. Sei X der Schnittpunkt der ußenwinkelsymmetrale in mit der Verlängerung der Seite, dann gilt dasselbe Verhältnis. Satz 4. (Satz von Stewart). Sei ein Dreieck, g eine Gerade durch und X der Schnittpunkt von g mit der Seite (wobei g die Seite zwischen und schneidet). Sei m = X, n = X, t = X, und wie gewohnt a =, b = und c = = m + n. Dann gilt c(t + mn) = ma + nb, oder umgeformt t = ma +nb m+n mn. Satz 4.3 (Satz von Steiner-Lehmus). Jedes Dreieck mit zwei gleich langen Winkelsymmetralen ist gleichschenkelig. 3

24 Y P X Z bbildung 4.10: Satz von eva, Satz von Euler-Gergonne Satz 4.4 (Satz von eva). Sei ein Dreieck, P ein Punkt im Inneren des Dreiecks, und seien X, Y und Z die Schnittpunke der Verlängerungen von P mit, von P mit und von P mit. Dann gilt: Z Z X X Y Y = 1 uch die Umkehrung gilt: Falls für drei Punkte X, Y und Z auf, und die obige Gleichung gilt, dann schneiden die Verbindungen X, Y und Z einander in einem Punkt. Der Satz von eva gilt auch für Punkte außerhalb des Dreiecks, allerdings muss man dabei gerichtete Teilverhältnisse verwenden wie beim Satz von Menelaos (Satz 4.8). Satz 4.5 (Satz von eva in Sinus-Darstellung). Sei ein Dreieck, P ein Punkt im Inneren des Dreiecks, und seien X, Y und Z die Schnittpunke der Verlängerungen von P mit, von P mit und von P mit. Dann gilt: sin X sin X sin Z sin Y sin Z sin Y = 1 uch die Umkehrung gilt: Falls für drei Punkte X, Y und Z auf, und die obige Gleichung gilt, dann schneiden die Verbindungen X, Y und Z einander in einem Punkt. Satz 4.6 (Satz von Euler-Gergonne). Sei ein Dreieck, P ein Punkt im Inneren des Dreiecks, und seien X, Y und Z die Schnittpunke der Verlängerungen von P mit, von P mit und von P mit. Sei weiters u = P : P X, v = P : P Y und w = P : P Z. Dann gilt: u v w = 1 4

25 Y T R X Z S bbildung 4.11: Satz von Routh Satz 4.7 (Satz von Routh). Sei ein Dreieck und seien X, Y und Z drei beliebige Punkte auf, und, sodass die Verbindungen X, Y und Z ein Dreieck RST im Inneren von einschließen. Sei x = X : X, y = Y : Y und z = Z : Z. Dann gilt für das Verhältnis der Flächen: [RST ] [] = (1 xyz) (xy + y + 1)(yz + y + 1)(zx + z + 1) Y X Z bbildung 4.1: Satz von Menelaos Satz 4.8 (Satz von Menelaos). Für diesen Satz benötigen wir zuerst den egriff des gerichteten Teilverhältnisses. Dieses ist betragsmäßig gleich dem normalen Teilverhältnis Z : Z, ist aber negativ genau dann, wenn Z und Z entgegengesetzt orientiert sind, was wiederum genau dann eintritt, wenn Z nicht zwischen und liegt. Sei ein Dreieck und g eine Gerade, die die Seiten, und (oder ihre Verlängerungen) in X, Y und Z schneidet. Dann gilt: Z Z X X Y Y = 1 uch die Umkehrung gilt: Wenn für drei Punkte X, Y und Z auf den Seiten eines Dreiecks die obige Gleichung gilt, dann sind X, Y und Z kollinear. 5

26 P X Y Z bbildung 4.13: Simsonsche Gerade Satz 4.9 (Simsonsche Gerade). Sei P ein Punkt auf dem Umkreis des Dreiecks und seien X, Y und Z die Fußpunkte der Höhen von P auf die Seiten des Dreiecks. Dann liegen X, Y und Z auf einer Geraden. uch die Umkehrung gilt: Wenn die Fußpunkte der Höhen von P auf die Dreiecksseiten auf einer Geraden liegen, dann liegt P auf dem Umkreis des Dreiecks. F H U bbildung 4.14: Feuerbach-Kreis Satz 4.30 (Feuerbach-Kreis, Neun-Punkte-Kreis, Euler-Kreis). Die Seitenmittelpunkte, die Höhenfußpunkte und die Mittelpunkte der oberen Höhenabschnitte (Verbindungen von H zu den Eckpunkten) liegen auf einem Kreis. Der Mittelpunkt F dieses Kreises liegt auf der Eulerschen Geraden und halbiert HU. Der Radius des Feuerbach-Kreises ist halb so groß wie der Umkreisradius. Der Inkreis berührt den Feuerbachkreis von innen in einem Punkt. (Dieser Punkt wird auch als Feuerbach-Punkt des Kreises bezeichnet.) ußerdem berührt der Feuerbachkreis alle drei nkreise von außen jeweils in einem Punkt. 6

27 H bbildung 4.15: Inkreis des Höhenfußpunktdreiecks und Spiegelung des Höhenfußpunktes Satz 4.31 (Inkreis des Höhenfußpunktdreiecks). Die Höhen in einem spitzwinkeligen Dreieck halbieren die Innenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks. Folglich ist der Höhenschnittpunkt eines Dreiecks gleichzeitig der Inkreismittelpunkt des Höhenfußpunktdreiecks. Satz 4.3 (Spiegelung des Höhenfußpunktes). Spiegelt man in einem spitzwinkeligen Dreieck den Höhenschnittpunkt an den Seiten, so liegen die ildpunkte auf dem Umkreis des Dreiecks. Y P X Z bbildung 4.16: Miquelscher Punkt Satz 4.33 (Miquelscher Punkt). Sei ein Dreieck und seien X, Y und Z drei beliebige Punkte auf, und. Dann schneiden die Umkreise von Y Z, ZX und XY einander in einem Punkt. 7

28 F bbildung 4.17: Fermat-Punkt Satz 4.34 (Fermat-Punkt). Sei ein Dreieck, in dem alle Winkel kleiner als 10 sind, und sei P ein Punkt im Inneren, sodass P + P + P minimal ist. Dann gilt P = P = P = 10. uch die Umkehrung gilt: Ist P ein Punkt im Inneren eines Dreiecks, dessen Winkel alle kleiner als 10 sind, dann ist P + P + P minimal. Der Fermat-Punkt ist eindeutig. P Q bbildung 4.18: Punkt auf dem Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks Satz 4.35 (Punkt auf dem Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks). Sei P ein Punkt auf dem Umkreis eines gleichseitigen Dreiecks, der nicht mit einem Eckpunkt zusammenfällt. P schneide die Seite in Q. Dann gilt P + P = P und = 1. P P P Q Y G X Z bbildung 4.19: Gergonne-Punkt Satz 4.36 (Gergonne-Punkt). Sei ein Dreieck und seien X, Y und Z die erührpunkte des Inkreises mit den Seiten, und. Dann schneiden die Verbindungen X, Y und Z einander in einem Punkt G. 8

29 Y N X Z bbildung 4.0: Nagel-Punkt Satz 4.37 (Nagel-Punkt). Sei ein Dreieck und seien X, Y und Z die erührpunkte der nkreise mit den Seiten, und. Dann schneiden die Verbindungen X, Y und Z einander in einem Punkt N. P bbildung 4.1: Kiepert-Dreieck Satz 4.38 (Kiepert-Dreieck). Über den Seiten des Dreiecks werden drei zueinander ähnliche gleichschenkelige Dreiecke, und errichtet, wobei die Punkte, und jeweils den asen in den gleichschenkeligen Dreiecken gegenüberliegen. Dann schneiden die Verbindungen, und einander in einem Punkt P. 9

30 P K bbildung 4.: Isogonal konjugierter Punkt Satz 4.39 (Isogonal konjugierter Punkt). Sei P ein Punkt im Inneren des Dreiecks. Spiegelt man die Trägergeraden von P, P und P an den Winkelsymmetralen der Winkel in, und, so schneiden diese Spiegelbilder einander in einem Punkt. S L bbildung 4.3: Lemoine-Punkt Definition (Symmediane). Das Spiegelbild einer Schwerlinie an der Winkelsymmetrale, die vom gleichen Eck ausgeht, nennt man Symmediane. Satz 4.40 (Lemoine-Punkt). Die drei Symmedianen eines Dreiecks schneiden einander in einem Punkt L. Dieser ist per definitionem der isogonal konjugierte Punkt zum Schwerpunkt. 30

31 4.5 nalytisches lle ezeichnungen seien weiterhin wie am nfang des Kapitels auf Seite 17 festgelegt, und sei weiters F = [] die Fläche von. Manche Formeln sind aus Platzgründen nur für eine der drei Seiten angegeben, gelten aber natürlich auch für die beiden anderen Das Wichtigste auf einen lick R r a sin α = a b < c < a + b b c < a < b + c c a < b < c + a α + β + γ = 180 b sin β = c sin γ = R c = a + b ab cos γ abc = 4Rrs ab + bc + ca = s + 4Rr + r a + b + c = s F = rs mit Gleichheit genau im gleichseitigen Dreieck IU = R Rr 4.5. eziehungen zwischen Längen und Winkeln Satz 4.41 (Winkelsumme). α + β + γ = 180 Satz 4.4 (Sinussatz). a sin α = b sin β = c sin γ = R Satz 4.43 (Erweiterter Sinussatz). a = R sin α b = R sin β c = R sin γ R = abc 4F Satz 4.44 (Tangentensatz). b + c b c a + c a c b + a b a β+γ tan = tan β γ α+γ tan = tan α γ β+α tan = tan β α Satz 4.45 (Projektionssatz). = cot α tan β γ = cot β tan α γ = cot γ tan β α a = b cos γ + c cos β b = c cos α + a cos γ c = a cos β + b cos α 31

32 Satz 4.46 (osinussatz). c = a + b ab cos γ cos γ = a + b c ab a = b + c bc cos γ cos α = b + c a bc b = c + a ca cos γ cos β = c + a b ca c + ab cos γ = a + b + c a + bc cos α = a + b + c b + ca cos β = a + b + c Satz 4.47 (Winkelbeziehungen). sin γ = sin(α + β) cos γ = cos(α + β) tan γ = tan(α + β) cot γ = cot(α + β) sin γ ( ) α + β = sin cos γ ( ) α + β = cos tan γ ( ) α + β = cot cot γ ( ) α + β = tan sin(β γ) = sin β cos γ sin α = sin α cos β sin γ cos(β γ) = cos β cos γ + cos α = sin β sin γ cos α ( ) β γ sin = ( ) β γ cos = sin β sin γ sin α sin β + sin γ cos α sin α + sin β + sin γ = 4 cos α cos β cos γ cos α + cos β + cos γ = sin α sin β sin γ tan α + tan β + tan γ = tan α tan β tan γ cot α cot β + cot β cot γ + cot γ cot α = 1 tan α tan β + tan β tan γ + tan γ tan α = 1 cot α + cot β + cot γ = cot α cot β cot γ = s r Satz 4.48 (eziehungen von Winkeln mit Längen). sin α + sin β + sin γ = s R cos α + cos β + cos γ = 1 + r R sin α + sin β + sin γ = abc R 3 sin α sin β sin γ = abc 8R 3 = rs R 3 = 1 (sin α + sin β + sin γ) 4 3

33 Satz 4.49 (Mollweidesche Formeln). b + c a c + a b a + b c = = = β γ cos sin α γ α cos sin β α β cos sin γ b c a c a b a b c = = = β γ sin cos α γ α sin cos β α β sin cos γ Satz 4.50 (Halbwinkelsätze). sin α = (s b)(s c) bc cos α = s(s a) bc tan α = (s b)(s c) s(s a) Satz 4.51 (Formeln mit dem halben Umfang). s a = b + c a s b = c + a b s c = a + b c (s b) + (s c) = a (s c) + (s a) = b (s a) + (s b) = c (s a) + (s b) + (s c) = s s = 4R cos α cos β cos γ s a = 4R cos α sin β sin γ 33

34 Satz 4.5 (Flächeninhalt). F = s (s a) (s b) (s c) = 1 4 (a + b + c) (b + c a) (c + a b) (a + b c) F = 1 4 (b c + c a + a b ) (a 4 + b 4 + c 4 ) F = 1 bc sin α = 1 ca sin β = 1 ab sin γ F = 1 ah a = 1 bh b = 1 ch c F = R sin α sin β sin γ F = abc 4R F = rs = r a (s a) = r b (s b) = r c (s c) F = rr a r b r c F = 4rR cos α cos β cos γ F = s tan α tan β tan γ Satz 4.53 (In- und nkreisradien). r = (s a) tan α = (s b) tan β = (s c) tan γ r = 4R sin α sin β sin γ = s tan α tan β tan γ r = R (cos α + cos β + cos γ 1) r = F s = abc 4Rs (s a) (s b) (s c) r = = 1 (b + c a) (c + a b) (a + b c) s a + b + c a b c r = cot β + cot γ = cot γ + cot α = cot α + cot β r a = s tan α = (s b) tan γ = (s c) tan β r a = 4R sin α cos β cos γ = (s a) tan α cot β cot γ r a = R ( cos α + cos β + cos γ + 1) r a = F s a = abc 4R (s a) s (s b) (s c) r a = = 1 (a + b + c) (c + a b) (a + b c) s a b + c a 34

35 Satz 4.54 (Höhen). ab + bc + ca = s + r + 4rR 1 r = 1 r a + 1 r b + 1 r c h a = b sin γ = c sin β = F a h b = c sin α = a sin γ = F b = R sin β sin γ = R sin γ sin α h c = a sin β = b sin α = F c a h a = cot β + cot γ b h b = cot γ + cot α c h c = cot α + cot β h a = a s(s a)(s b)(s c) h b = b s(s a)(s b)(s c) h c = c s(s a)(s b)(s c) = R sin α sin β F = 1 ah a = 1 bh b = 1 ch c 1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r = 1 r a + 1 r b + 1 r c h a + h b + h c = s + 4Rr + r R h a h b + h b h c + h c h a = rs R h a h b h c = r s R Satz 4.55 (Schwerlinien). Seien s a = M, s b = M und s c = M die Längen der Schwerlinien. s a = 1 b + c a = 1 a b + c + bc cos α = + bc cos α 4 s b = 1 c + a b = 1 b c + a + ca cos β = + ca cos β 4 s c = 1 a + b c = 1 c a + b + ab cos γ = + ab cos γ 4 s a + s b + s c = 3 ( a + b + c ) 4 35

36 Satz 4.56 (Winkelsymmetralen). Seien w a, w b und w c die Längen der von, und ausgehenden Winkelsymmetralen, also jeweils der bstand des Eckpunktes zum Schnittpunkt der Winkelsymmetralen mit der gegenüberliegenden Seite. ( ) w a = bc 1 a (b + c) ( w b = ca 1 w c = ab ( 1 b (c + a) c (a + b) = bc cos α b + c ) = ca cos β c + a ) = ab cos γ a + b 3 s < m a + m b + m c < s Satz 4.57 (eziehungen von Seitenlängen und Radien). = = = abc = 4Rrs ab + bc + ca = s + 4Rr + r a + b + c = s a + b + c = (s 4Rr r ) a 3 + b 3 + c 3 = s(s 6Rr 3r ) F a cos β γ F b cos γ α F c cos α β Satz 4.58 (bstände der besonderen Punkte im Dreieck). Sei r h der Umkreisradius des Höhenfußpunktdreiecks. IU = R Rr UH = 9R (a + b + c ) = R 4Rr h IH = r 4R cos α cos β cos γ SH = 4R 4 9 (a + b + c ) US = R 1 9 (a + b + c ) = 1 4 SH SI = r 1 1 (a + b + c) + 9 (a + b + c ) Satz 4.59 (Winkel HU). In einem Dreieck mit den obigen ezeichnungen gilt HU = α β. 36

37 4.5.3 Wichtige Ungleichungen im Dreieck Satz 4.60 (Dreiecksungleichung). a b < c< a + b b c < a< b + c c a < b< c + a Satz 4.61 (Dreiecksungleichung mit dem halben Umfang). s > a s > b s > c Satz 4.6 (Ungleichungen mit den Radien). R r s 3 3R mit Gleichheit genau im gleichseitigen Dreieck Satz 4.63 (Ungleichungen mit den Winkeln). 1 < sin α + sin β + sin γ 3 0 < sin α + sin β + sin γ < sin α sin β sin γ < cos α + cos β + cos γ 3 1 < cos α cos β cos γ 1 8 < cos α + cos β + cos γ < sin α sin β sin γ 0 < cos α cos β cos γ Satz 4.64 (Ungleichungen mit verschiedenen bständen). s r(16r 5r) r(15r 3r) r(14r r) 7Rr s 4R + 4Rr + 3r (R + r) + R (4R + r) 3 r(10r + 7r) 7r 7R 4 37

38 4.5.4 Formeln zum Inkreismittelpunkt Seien D, E und F die Schnittpunkte der Winkelsymmetralen in, und mit den gegenüberliegenden Seiten, seien w a = D, w b = E und w c = F die Längen der Winkelsymmetralen, und seien R, S, und T die Fußpunkte der Höhen des Inkreismittelpunktes I auf die Seiten, und. bc c+a E ab c+a I ab b+c D ca b+c s a s c S I s c R s b bc a+b F ca a+b s a T s b bbildung 4.4: Inkreismittelpunkt Satz 4.65 (Offensichtliches). RI = SI = T I = r T = s a T = s b R = s b R = s c S = s c S = s a Satz 4.67 (Winkel). I = I = α I = I = β I = I = γ I = 90 + α I = 90 + β I = 90 + γ Satz 4.66 (erührpunkte). SIT = 180 α = β + γ T IR = 180 β = γ + α RIS = 180 γ = α + β tan α = r s a tan β = r s b tan γ = r s c D = γ + α = 90 β γ E = α + β = 90 γ α F = β + γ = 90 α β D = α + β= 90 + β γ E = β + γ = 90 + γ α F = γ + α= 90 + α β 38

39 IE = IF = 90 α = β + γ IF = ID = 90 β = γ + α ID = IE = 90 γ = α + β Satz 4.68 (Längen). F = bc a + b F = ca a + b D = ca b + c D = ab b + c E = ab c + a E = bc c + a I = b + c s D = bc s cos α = r sin α I = b + c s E = ca s cos β = r sin β I = b + c s DI = a s D EI = b s E F I = c s F Satz 4.69 (Flächen). ab F = s cos γ = I DI = b + c a I EI = c + a b I F I = a + b c [I] = ra [I] = rb [I] = rc [] = rs r sin γ 39

40 4.5.5 Formeln zum Umkreismittelpunkt Seien D, E und F die Mittelpunkte Seiten, und. E U D F bbildung 4.5: Umkreismittelpunkt Satz 4.70 (Offensichtliches). U = U = U = R DU = R cos α EU = R cos β F U = R cos γ a = R sin α b = R sin β c = R sin γ Satz 4.71 (Winkel). U = α U = β U = γ UD = UD = α UE = UE = β UF = UF = γ DUE = α + β EUF = β + γ F UD = γ + α U = U = 90 α U = U = 90 β U = U = 90 γ Satz 4.7 (Flächen). [U] = R sin α = ar [U] = R sin β = ar [U] = R sin γ = ar cos α cos β cos γ 40

41 4.5.6 Formeln zum Lotfußpunktdreieck Sei ein Dreieck und P ein beliebiger Punkt. Seien weiters X, Y und Z die Fußpunkte der Höhen (Lote) von P auf, und. Y P X Z bbildung 4.6: Lotfußpunktdreieck Satz 4.73 (Seitenlängen des Lotfußpunktdreiecks). XY = Y Z = ZX = P R P R P R 41

42 5 Vierecke Satz 5.1 (Winkelsumme). Die Summe der vier Winkel eines Vierecks ist immer gleich 360. Satz 5. (Hierarchie spezieller Vierecke). Unter den speziellen Vierecken herrscht die in bbildung 5.1 abgebildete Hierarchie. Jede Verbindungslinie bedeutet, dass das untere Viereck ein Spezialfall des oberen ist. bbildung 5.1: Hierarchie spezieller Vierecke Satz 5.3 (Inkreis). Folgende spezielle Vierecke haben immer einen Inkreis: Deltoid Raute (Rhombus) Quadrat Folgende spezielle Vierecke haben nie einen Inkreis: Parallelogramm (außer Raute) Rechteck (außer Quadrat) 4

43 Satz 5.4 (Umkreis). Folgende spezielle Vierecke haben immer einen Umkreis: Gleichschenkeliges Trapez Rechteck Quadrat Folgende spezielle Vierecke haben nie einen Umkreis: Konkaves Viereck Trapez (außer gleichschenkeliges Trapez) Parallelogramm (außer Rechteck) Raute (außer Quadrat) Ein Deltoid hat genau dann einen Umkreis, wenn die beiden gleich großen Winkel genau 90 betragen. Satz 5.5 (Diagonalen). ei folgenden spezielle Vierecken halbieren die Diagonalen einander immer: Parallelogramm Raute Rechteck Quadrat ei folgenden spezielle Vierecken stehen die Diagonalen immer aufeinander normal: Deltoid Raute Quadrat 5.1 llgemeine Vierecke D d c M e f a b bbildung 5.: llgemeines Viereck Satz 5.6 (Halbierung von Diagonale und Fläche). Wenn eine Diagonale ein Viereck in zwei flächengleiche Hälften teilt, dann halbiert sie auch die andere Diagonale. uch die Umkehrung gilt: Halbiert eine Diagonale die andere, so halbiert sie auch die Fläche des Vierecks. Satz 5.7 (Fliegensatz). Sei D ein Viereck und M der Schnittpunkt der Diagonalen. Dann gilt für die Flächen [M] [DM] = [M] [DM]. 43

44 Satz 5.8 (Ungleichung von Ptolemäus). Seien a =, b =, c = D und d = D die Seitenlängen und e = und f = D die Längen der Diagonalen eines Vierecks D. Dann gilt a c + b d e f mit Gleichheit im Sehnenviereck. Satz 5.9 (retschneiders Formel). Sei D ein Viereck mit den Seitenlängen a =, b =, c = D und d = D, sei weiters s = a+b+c+d der halbe Umfang und seien α und γ die Winkel in zwei gegenüberliegenden Eckpunkten. Dann lässt sich die Fläche [D] folgendermaßen berechnen: ( ) α + γ [D] = (s a)(s b)(s c)(s d) abcd cos D G F H E bbildung 5.3: Varignon-Parallelogramm Satz 5.10 (Varignon-Parallelogramm). Sei D ein Viereck und seien E, F, G und H die Mittelpunkte seiner Seiten. Dann ist EF GH ein Parallelogramm. Der Flächeninhalt von EF GH ist halb so groß wie jener von D. 5. Sehnenvierecke Ein Sehnenviereck D ist ein nicht überschlagenes Viereck mit einem Umkreis. b M c f S d e a D D bbildung 5.4: Sehnenviereck 44

45 Satz 5.11 (Gegenüberliegende Winkel). In einem Sehnenviereck ergänzen sich gegenüberliegende Winkel immer auf 180. Umgekehrt gilt: Ergänzen sich gegenüberliegende Winkel in einem Viereck auf 180, dann handelt es sich um ein Sehnenviereck. Satz 5.1 (Umkreismittelpunkt). Die vier Streckensymmetralen der Seiten eines Sehnenvierecks schneiden einander im Umkreismittelpunkt. Umgekehrt gilt: Schneiden die vier Streckensymmetralen eines Vierecks einander in einem Punkt, so handelt es sich um ein Sehnenviereck. Satz 5.13 (Ähnliche Dreiecke). Sei S der Schnittpunkt der Diagonalen. Dann sind die Dreiecke S und DS zueinander ähnlich. nalog sind die Dreiecke S und DS zueinander ähnlich. Satz 5.14 (Diagonalenabschnitte). Sei S der Schnittpunkt der Diagonalen. Dann gilt S S = S DS. (Vergleiche Potenz eines Punktes, Satz 3.8.) Satz 5.15 (Satz von Ptolemäus). Seien a =, b =, c = D und d = D die Seitenlängen und e = und f = D die Längen der Diagonalen. Dann gilt a c+b d = e f. Satz 5.16 (Satz von rahmagupta). Seien a =, b =, c = D und d = D die Seitenlängen und s = a+b+c+d der halbe Umfang des Sehnenvierecks. Dann lässt sich die Fläche berechnen als [D] = (s a)(s b)(s c)(s d). 5.3 Tangentenvierecke Ein Tangentenviereck D ist ein Viereck mit einem Inkreis. I F E H M I N D G D D bbildung 5.5: Tangentenviereck Satz 5.17 (Summe gegenüberliegender Seiten). In einem Tangentenviereck D gilt + D = + D. Umgekehrt gilt auch, dass jedes konvexe Viereck mit dieser Eigenschaft ein Tangentenviereck ist. Satz 5.18 (Summe gegenüberliegender Sichtwinkel). Sei I der Inkreismittelpunkt des Tangentenvierecks D. Die Winkel, unter denen gegenüberliegende Seiten eines Tangentenvierecks vom Inkreismittelpunkt aus gesehen werden, ergänzen sich auf 180, also I + ID =

46 Satz 5.19 (Winkel in gegenüberliegenden erührpunkten). Seien E und G die erührpunkte von und D mit dem Inkreis. Dann ergänzen sich die Winkel EG und EG auf 180. Satz 5.0 (Gemeinsamer Schnittpunkt). Seien E, F, G und H die erührpunkte von,, D und D mit dem Inkreis. Dann schneiden sich die Diagonalen und D und die Verbindungen gegenüberliegender erührpunkte EG und F H in einem Punkt. Satz 5.1 (Newtonsche Gerade). Seien M und N die Mittelpunkte der Diagonalen und D, dann liegt der Inkreismittelpunkt I auf der Verbindung MN. 5.4 Sehnentangentenvierecke (izentrische Vierecke) Ein Sehnentangentenvierecke D ist ein Viereck mit einem Inkreis und einem Umkreis. F E H G D bbildung 5.6: Sehnentangentenviereck Satz 5. (erührungssehnen). Sei D ein Sehnentangentenviereck und seien E, F, G und H die erührpunkte des Inkreises mit,, D und D. Dann stehen EG und F H aufeinander normal. uch die Umkehrung gilt: Wenn diese beiden Strecken normal aufeinander stehen, ist D ein Sehnentangentenviereck. 5.5 Parallelogramme D e f b a bbildung 5.7: Parallelogrammidentität Satz 5.3 (Parallelogrammidentität). Sei D ein Parallelogramm, und sei wie gewohnt a = = D, b = = D, e = und f = D. Dann gilt e + f = (a + b ). 46

47 6 Polygone Satz 6.1 (Winkelsumme). Die Winkelsumme in jedem nicht überschlagenen Polygon mit n Ecken beträgt (n ) 180 = n X F E D Y Z bbildung 6.1: Pascalsche Gerade Satz 6. (Pascalsche Gerade). Sei DEF ein Sechseck, dessen Ecken auf einem Kegelschnitt (zum eispiel Kreis oder Ellipse) liegen. Dann liegen die Schnittpunkte der Verlängerungen gegenüberliegender Seiten auf einer Geraden. (nders formuliert: Sei X der Schnittpunkte der Verlängerungen von und DE, Y jener von mit EF und Z jener von D mit F. Dann liegen X, Y und Z auf einer Geraden.) Dieser Satz gilt auch, wenn die Punkte nicht in dieser Reihenfolge auf dem Kegelschnitt liegen, also zum eispiel bei einem überschlagenen Sechseck. F P E D bbildung 6.: Satz von rianchon Satz 6.3 (Satz von rianchon). Sei DEF ein Sechseck, das einem Kegelschnitt (zum eispiel Kreis oder Ellipse) umschrieben ist, das heißt, dessen Seiten Tangenten des Kegelschnittes sind. Dann schneiden die Diagonalen gegenüberliegender Eckpunkte, also D, E und F, einander in einem Punkt. 47

48 7 Quellen Wikipedia ( ÖMO-Vorbereitungskurs für Fortgeschrittene, Erich Windischbacher und Gerhard Windischbacher, Raach am Hochgebirge, Mai 00, Mai 003, Mai 004 Das Sehnen- & Tangentenviereck, Geometrie-usarbeitung von Sarah Schultze & Jakob Priwitzer ( Material/H07_Sehnen_Tangt.pdf) Yimin Ge: Fortgeschrittene Geometrie für Mathematikolympioniken, 007 ( 48