Aufgabe 1 Zeige: Wenn die Summe von 1996 Quadratzahlen durch 8 teilbar ist, dann sind mindestens vier dieser Quadratzahlen gerade.

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1 Landeswettbeweb athematik aden-wüttembeg 996 Runde ufgabe Zeige: Wenn die Summe von 996 Quadatzahlen duch 8 teilba ist, dann sind mindestens vie diese Quadatzahlen geade. Vobemekung Eine Quadatzahl ist genau dann geade, wenn die asis geade ist. Sie ist genau dann ungeade, wenn die asis ungeade ist.. Lösung Zunächst betachten wi die Reste de Quadatzahlen modulo 8. Dabei stellen wi fest: (4 n) 0 mod 8, denn (4 n) = 6 n = 8 ( n ), ( n + ) mod 8, denn ( n+ l) = 4 n + 4 n + = 4 n (n + ) +. Eine de beiden aktoen n bzw. n + ist geade, damit ist 4n (n + ) duch 8 teilba (4 n + ) 4 mod 8, denn (4n + ) = 6n + 6n + 4 = 8 (n + n) + 4. Jede ungeade Quadatzahl egibt bei Division duch 8 den Rest. Die Summe von u ungeaden Quadatzahlen ist deshalb konguent u mod 8. Die Summe von beliebig vielen geaden Quadatzahlen egibt bei Division duch 8 den Rest 0 ode 4. In de Summe S von 996 Quadatzahlen seien nun g geade und u ungeade. ü S gilt: S u mod 8 ode S u + 4 mod 8. Da S nach Voaussetzung duch 8 teilba ist, gilt u 0 mod 8 ode u mod 8. n N dastel- Die nzahl de ungeaden Zahlen lässt sich also in de om u = 4 n ode u = 8 n 4, len. Die Summe S enthält demnach 996, 99, 988,... ungeade Quadatzahlen. Nehmen wi an, dass die Summe aus 996 ungeaden Quadatzahlen besteht, so gilt S mod 8 im Widespuch zu Voaussetzung. Es gibt also höchstens 99 ungeade und damit mindestens 4 geade Summanden in de Summe S.. Lösung In de folgenden Lösung weden de Reihe nach die älle ausgeschlossen, dass keine, genau eine, zwei ode dei de Quadatzahlen geade sind. Nach ufgabenstellung gilt a + a + a a996 = 8 n, wobei alle Zahlen ai und n natüliche Zahlen sind. LW 996 Runde Seite von 8

2 Landeswettbeweb athematik aden-wüttembeg nnahme : lle a i sind ungeade. it a i = m i + lässt sich die Summe dann in folgende om dastellen: ( ) ( ) ( ) i 996 m + + m m + = 8 n m + 4m + + 4m + 4m m + 4m + = 8 n ( ) ( ( ) ( ) 996 ( 996 ) ) 4 m + m + m + m m + m = 8 n 4 m m + + m m m m = 8 n ( ) ( ) ( ) m m + + m m m m = n Die Summanden de linken Seite sind mit usnahme von 499 alle geade, da entwede die natüliche Zahl m i ode ih Nachfolge m i + geade ist. Die Summe auf de linken Seite ist also ungeade, das Podukt auf de echten Seite abe eine geade Zahl. Damit ist nachgewiesen, dass nicht alle 996 Quadatzahlen ungeade sein können. nnahme : Unte den 996 Quadatzahlen gibt es genau eine geade. Die Summe aus 995 ungeaden und eine geaden Zahl ist ungeade. Die Summe aus den 996 Quadatzahlen ist deshalb nicht duch 8 teilba. nnahme 3: Es gibt zwei geade Quadatzahlen. Die Zahlen weden so benannt, dass a und a die geaden Zahlen und die estlichen ungeade Zahlen sind. Entspechend den beiden vohegehenden ällen ehalten wi: ( ) ( ) ( ) 4 m + m + m + m m + m = 8 n 4 m + m + m + m m + m = 8 n 4 m + m + m + m m + m = 8 n. Die Summe auf de linken Seite ist zwa duch abe nicht duch 4 teilba. Da 8 n duch 4 teilba ist, ist die Gleichung auch in diesem alle nicht fü natüliche Zahlen efüllba. nnahme 4: Es gibt dei geade Quadatzahlen. Die Summe aus den 993 ungeaden Quadatzahlen und den dei geaden Quadatzahlen ist ungeade und kann deshalb nicht duch 8 teilba sein. us den vie alluntescheidungen folgt, dass es mindestens vie geade Quadatzahlen geben muss, wenn die Summe von 996 Quadatzahlen duch 8 teilba ist. LW 996 Runde Seite von 8

3 Landeswettbeweb athematik aden-wüttembeg ufgabe Zwei Keise k und k, deen ittelpunkte den bstand 5 cm haben, schneiden sich in und. Eine Geade g schneidet den Keis k auße in noch in X und den Keis k auße in noch in Y. Wie lang kann die Stecke XY höchstens sein?. Lösung Die ittelpunkte de beiden Keise weden mit und bezeichnet. Die Othogonalen duch diese beiden ittelpunkte schneiden die Geade (XY) in den Punkten und. Diese beiden Othogonalen sind also zueinande paallel. Ih bstand betägt. Jede andee Stecke, deen Endpunkte auf den beiden Othogonalen liegen, ist also mindestens solang wie ; insbesondee gilt. Die Geaden ( ) bzw. ( ) sind jeweils Symmetieachse des Keises k bzw. k. Deshalb ist de ittelpunkt de Stecke X und de ittelpunkt de Stecke Y. ü die weiteen Übelegungen sind zwei älle zu untescheiden, die duch die beiden folgenden ilde gegeben sind. (Die enennungen de beiden Keise seien so gewählt, dass gilt. De Punkt liegt zwischen den Punkten X und Y. De Punkt X liegt zwischen und Y. X Y X Y ü die Länge de Stecke XY gilt: XY = X + Y ü die Länge de Stecke XY gilt: XY = Y X = + = = ( + ) = ( ) = =.. Wenn die Geade (XY) paallel zu Vebindungsgeaden de Keismittelpunkte ist, dann sind die Stecken und gleich lang. ü diese Lage hat die Stecke XY die Länge 0 cm. Sind die Geaden nicht paallel, so ist die Länge de Stecke XY kleine als 0 cm. LW 996 Runde Seite 3 von 8

4 Landeswettbeweb athematik aden-wüttembeg. Lösung Die Keise k und k schneiden sich in den Punkten und. De Schnittpunkt de Stecke mit de Geaden ( ) wid mit R bezeichnet. Die Geade ( ) bzw. ( ) schneidet den Keis k bzw. k im Punkt P bzw. Q. Die Punkte, R und sind die ittelpunkte de Stecken P, und Q. Es gibt deshalb eine zentische Steckung mit Zentum und Steckfakto, duch die die Stecke auf die Stecke PQ abgebildet wid. Die Stecke PQ ist deshalb paallel zu und doppelt so lang wie diese. X k P R Es wid nun gezeigt, dass die beiden Keise aus jede andeen Geade duch eine küzee Stecke XY ausschneiden. Die Stecke kann also höchstens doppelt so lang wie de bstand de beiden Keismittelpunkte sein. Nach dem Randwinkelsatz gilt w(xy) = w(pq) und w(xy) = w(pq). Die beiden Deiecke QP und YX stimmen also paaweise in zwei Winkelgößen übeein und sind deshalb ähnlich. Da in ähnlichen Deiecken die Vehältnisse de Seitenlängen konstant sind, ist die Länge de Stecke XY dann am gößten, wenn die Länge de Seite X (bzw. Y) am gößten ist. Da diese Seite nach ufgabenstellung eine Sehne des Keises k ist, ist ihe Länge genau dann maximal, wenn die Seite X ein Duchmesse ist, wenn also X mit P zusammenfällt. Nach dem oben gezeigten ist dann die Länge de Seite XY gleich de Länge von PQ und damit 0 cm. Im nebenstehenden ild liegt nicht zwischen den Punkten X und Y. Nach dem Randwinkelsatz gilt wiede w(xy) = w(pq) und w(x) = w(p). Damit sind auch die Nebenwinkel PQ und XY gleich goß. In den beiden Deiecken QP und YX stimmen also zwei Winkelpaae in ihem aß übeein. Die beiden Deiecke sind ähnlich. Die weitee gumentation stimmt mit dem esten Teil diese Lösung übeein. P Y X Q Q k Y nmekung: In beiden Lösungen wude de all nicht gesondet untesucht, bei dem auf de othogonalen zu duch liegt. In diesem all ist die geade (PQ) die Tangente an den Keis k. Die Punkte und P fallen zusammen. Die oben nachgewiesenen Eigenschaften gelten auch in diesem Sondefall. LW 996 Runde Seite 4 von 8

5 Landeswettbeweb athematik aden-wüttembeg ufgabe 3 Die beiden Keise mit den ittelpunkten und haben den Radius. Sie beühen sich gegenseitig und jeweils zwei Seiten des Quadats CD. Die Geaden (E) und (E) sind Keistangenten. D C Ist de Radius des Inkeises von Deieck E kleine, gleich ode göße als? E Die ntwot ist zu begünden. ehauptung: De Radius des Inkeises von Deieck E stimmt mit dem Radius de beiden gegebenen Keise übeein.. Lösung Von aus wid die Tangente an den Keis k gelegt. Diese Tangente schneidet die Quadatseite CD in P. Spiegelt man das Deieck PD mit seinem Inkeis am ittelpunkt de Stecke P, so entsteht de ild- keis k. Es wid nun gezeigt, dass diese ildkeis de Inkeis des Deieckes E aus de ufgabenstellung ist. Dazu muss gezeigt weden, dass die Tangente von an den Keis k, d.h. die Seite E den Keis k beüht. Dazu genügt es zu zeigen, dass de ittelpunkt des Keises k auf de ittelsenkechten de Quadatseite liegt. Dann geht nämlich bei de Spiegelung an diese ittelsenkechten de Keis in sich selbst übe. Die gemeinsame Tangente von an die Keise k und geht in eine gemeinsame Tangente an den ildkeis von k bei diese Spiegelung, also k, und an k übe. uf de Tangente an k liegt nach ufgabenstellung de Punkt E. Die Tangentenabschnitte von, P und D an den Keis k sind paaweise gleich lang. ußedem ist die Quadatseite nach ufgabenstellung viemal so lang wie de Keisadius. Es gelten deshalb die in de Zeichnung angegebenen Längen. Die Vieecke SR und PQS sind echtwinklige Dachen. Zu eechnung de Steckenlänge x beechnen wi den lächeninhalt des Deiecks PD auf zwei veschiedene Weisen. Zum einen gilt: = 4 ( + x), d.h. = + x. ndeeseits lässt sich de lächeninhalt auch als lächensumme de Teilfiguen dastellen. = x+ x, d.h. = 4 + x us dem Vegleich de beiden Dastellungen ehalten wi + x = 4 + x x = x =. De bstand de beiden paallelen Geaden (D) und (DP) betägt 3. De ittelpunkt des Keises k hat von (DP) den bstand und deshalb von (D) den bstand. Damit ist gezeigt, dass diese ittelpunkt auf de ittelsenkechten von liegt. k k D k k P C D' D Q x P C R 3 k 3 S x LW 996 Runde Seite 5 von 8

6 Landeswettbeweb athematik aden-wüttembeg. Lösung Wegen de Symmetie des Quadates und de vogegebenen Lage de beiden Keise k und k ist das Deieck E gleichschenklig mit de asis. Die Symmetieachse h de usgangsfigu geht duch E und ist die Winkelhalbieende des Winkels E. uf de Symmetieachse h wid ein Punkt 3 so festgelegt, dass sein bstand von de Seite mit dem Radius de beiden gegebenen Keise übeeinstimmt. Es wid nun nachgewiesen, dass de Keis um 3 mit Radius de Inkeis des Deiecks E ist. Dazu muss nachgewiesen weden, dass 3 auf den Winkelhalbieenden dieses Deiecks liegt. Nach Konstuktion liegt 3 auf de Winkelhalbieende des Winkels E. Es genügt also de Nachweis, dass eine weitee Winkelhalbieende duch 3 geht. D G E Da de ittelpunkt des Keises k ist, liegt auf de Winkelhalbieende des Winkels ED. Es gilt deshalb: w(e ) = w( D) = α. () Die Deiecke 3 und G 3 sind nach Konstuktion echtwinklig und haben jeweils die Kathetenlängen und ; sie sind nach dem Konguenzsatz sws konguent. Die Seiten 3 und 3 sind also gleich lang. ußedem egänzen sich die Winkel 3 und G3zu 90. Somit ist das Deieck 3 gleichschenklig echtwinklig. Daaus folgt: w( 3 ) = 45. () ü die Winkel Eund folgt aus () und () und de enennung in de igu: 3 3 w( 3 ) = α + β = 45 und α + β + γ = 90, also α + γ = 45. us den letzten beiden Zeilen folgt, dass β und γ gleich sind. Damit ist gezeigt, dass 3 auf de Winkelhalbieenden des Winkels E liegt. Da nach estlegung von 3 de Keis mit Radius die Seite im Punkt beüht, hat de Inkeis des Deiecks E den Radius. α α β γ 3 C 3. Lösung Wi egänzen die igu duch die ittelpaallele H von D und C. Sie ist die gemeinsame Tangente de beiden Keise im Punkt G. Die Othogonale zu (H) duch G geht duch den Keismittelpunkt und schneidet die Quadatseite in Q. De Keis um beüht die Stecke E im Punkt P. Da die Geaden (Q), (P) und (GE) Tangenten an den Keis sind, sind die Vieecke E Q und PEG echtwinklige Dachen. Die Stecken und E sind die Symmetieachsen diese Dachen und damit die Winkelhalbieenden de Winkel bei. Da de Winkel QG ein gesteckte Winkel ist, bilden die beiden Winkelhalbieenden und E bei einen echten Winkel. Es den geometischen Eigenschaften de igu folgt: P = Q = 3 und EP = EG. Nach dem Höhensatz gilt im echtwinkligen Deieck E P PE =, nach den oben angegebenen eziehungen also : EP = EG = 3. Q 3 D H G E P C 8 Das gleichschenklige Deieck E hat also die Höhe E = G EG = 3 = und die Schenkellänge E = P + PE = 3 + =. 3 3 LW 996 Runde Seite 6 von 8

7 Landeswettbeweb athematik aden-wüttembeg 0 3 De Umfang des Deiecks E ist damit U = + 4= und sein lächeninhalt = =. Zwischen dem Umfang, dem lächeninhalt und dem Inkeisadius ρ eines Deiecks besteht die eziehung = U ρ Duch Einsetzen ehalten wi ρ =. De Radius ρ des Inkeises von E stimmt also mit dem Radius de beiden gegebenen Keise übeein. 4. Lösung (Kuzfassung) D C Die Winkelhalbieenden des Deiecks E schneiden sich im Punkt 3. In den echtwinkligen Deiecken Q und 3 gilt tan α = = 3 3 bzw. tanβ=. ußedem ist α + β = 90, d.h. α + β = 45. Nach R den dditionssätzen fü die Tangensfunktion gilt: tan 45 tanα R tanβ= tan(45 α ) = = = =, + tan45 tanα + also R =. 3 3 Q 3 α α β β 3 R E LW 996 Runde Seite 7 von 8

8 Landeswettbeweb athematik aden-wüttembeg ufgabe 4 Das abgebildete Rechteck ist aus sieben Teilen zusammengesetzt: Deiecke, Rauten, Dachen, Quadat. lle auftetenden Winkel betagen 45 ode ein Vielfaches davon. Weise nach, dass man diese sieben Teile nicht zu einem Quadat zusammensetzten kann. Lösung Nach ufgabenstellung sind alle auftetenden Winkelmaße 45 ode ein Vielfaches davon. Daaus folgt, dass alle dei Deiecke gleichschenklig-echtwinklig sind. Wählen wi die Seitenlänge des Quadats als Längeneinheit, so egeben sich die in de nebenstehenden bbildung angegebenen Seitenlängen. Die aße fü die beiden Rauten egeben sich unmittelba. Die Seitenlängen de dei Deiecke folgen aus de nwendung des Satzes von Pythagoas. Die kuze Seitenlänge des Dachens ist die Diffeenz aus de Kathetenlänge des goßen gleichschenkligechtwinkligen Deiecks und de Seitenlänge de Raute. ls Seitenlängen de Quadate teten also in de gewählten Längeneinheit nu die aßzahlen,, und auf. ü den lächeninhalt des gegebenen Rechteckes in de zugehöigen lächeneinheit gilt = ( + ). - - ü die Seitenlänge a des flächengleichen Quadates gilt a = +. Es wid nun gezeigt, dass die Steckenlänge a nicht mit Hilfe de oben genannten aßzahlen de Teilfiguen dagestellt weden kann.. Nachweis Wenn die sieben Teile lückenlos und übeschneidungsfei zu einem flächengleichen Quadat gelegt weden könnten, müsste die Seitenlänge a als Kombination de oben angegebenen Seitenlängen de einzelnen Teile, also in de om n+ m, m N 0, dastellba sein. Wegen a = + > + = und ( ) < a< +. a = + < + = + = + gilt Eine Dastellung in de gewünschten om ist also nicht möglich. Die sieben Teile können nicht zu einem flächengleichen Quadat gelegt weden.. Nachweis Wenn wi annehmen, dass die Quadatseite + sich mit Hilfe de aßzahlen,, und dastellen lässt, dann muss es ganze Zahlen n und m so geben, dass + = n+ m gilt. Duch Quadieen ehalten wi + = n + m + nm. Ein Vegleich de ationalen und de iationalen Teile auf beiden Seiten de Gleichung füht zu den edingungen = n + m und = nm. ü ganze Zahlen ist die zweite edingung nu fü n = m = ode n = m = efüllt. eide öglichkeiten fühen abe beim Einsetzen in die este edingung zu einem Widespuch. Somit gibt es keine ganzen Zahlen n und m, die die edingung + = n+ m efüllen. LW 996 Runde Seite 8 von 8