Bausteine für die Abschlussprüfung. H. & F. Wojtech. Mathematik II. Abschlussprüfungenn an den Realschulen in Bayern

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1 für die Abschlussprüfung H. & F. Wojtech Mathematik II Abschlussprüfungenn an den Realschulen in Bayern

2 Vorwort Dieses Arbeitsheft soll Dich beim Lernen auf die Abschlussprüfung unterstützen. Du wirst die wichtigsten Themen und Aufgabenstellungen finden, anhand von gut erklärten Beispielaufgaben kannst du dein Wissen auffrischen und zu guter Letzt selbst trainieren. Wichtige Informationen zur Prüfung Du hast für alle Aufgaben zusammen 150 Minuten Zeit. Als Hilfsmittel sind neben Schreib- und Zeichenmaterial eine, für, zugelassene Formelsammlung und ein graphikfähiger Taschenrechner. Die Prüfung selber ist besteht aus drei Blöcken. Der erste Teil beinhaltet zwei kürzere und eine längere Aufgabe, in denen Grundfertigkeiten, zum Beispiel das Zeichnen von Parabeln, abgefragt werden. Die beiden weiteren Aufgaben beginnen mit einer zweitintensiven Zeichnung, die sich jeweils auf die gesamte Aufgabe bezieht. Da du diese Zeichnung öfters brauchst, solltest du sehr sorgfältig und überschaubar arbeiten. Am besten nimmst du für die Zeichnung ein eigenes Blatt her. Alle drei Aufgaben bringen Dir meist zwischen 17 und 19 Punkte, insgesamt sind 53 Punkte zu erreichen, der Notenschlüssel ist linear verteilt: , , , ,5 9 8,5-0 TIPPS fürs Lernen Da sich die Aufgabentypen über die Jahre immer wieder wiederholen, solltest Du diese exakt trainieren. Eine gute Möglichkeit ist, das sogenannte Querlernen. Dabei bearbeitest du von jedem Prüfungsjahr immer nur die ersten beiden Aufgaben. Dadurch wirst du schnell das System und die Logik hinter den Aufgaben erkennen und die Gesamtprüfung wird Dir leichter fallen. Erst gegen Ende des Lernens, d.h. vor den Prüfungen solltest du gesamte Abschlussprüfungen an einem Stück bearbeiten! VIEL GLÜCK und vor allem VIEL ERFOLG

3 Inhaltsverzeichnis 1. Zeichnen einer Geraden 2. Erstellen einer Geradengleichung 3. Binomische Formeln 4. Parabelgleichungen 5. Zeichen von Parabeln und Scheitelbestimmung 6. Parabelgleichung aus a und 2 Punkten erstellen 7. Extremwertaufgaben von quadratischen Termen 8. Lösen von quadratischen Gleichungen 9. Schnittpunkte von Graphen 10. Tangenten an Parabeln 11. Schnittpunkt von Graphen mit den Achsen 12. Quadratische Ungleichung Geometrische Lösung 13. Flächenberechnung mit Vektoren 14. Flächen in Abhängigkeit von x 15. Parallelogramme 16. Strecken im Koordinatensystem 17. Für den Abszissenwert einsetzen 18. Vierstreckensatz 19. Zeichen von Schrägbildern von Pyramiden 20. Sinus, Kosinus, Tangens 21. Sinussatz 22. Kosinussatz Streckenberechnung 23. Kosinussatz Winkelberechnung 24. Flächenberechnung mit Winkelmaßen 25. Kreis 26. Berechnen von Flächenstücken 27. Streckenlängen und Winkel in Pyramiden 28. Rotationskörper 29. Lösungen zu den Übungen 30. Lösungen zu den Übungen 31. Abschlussprüfung : 1 6 Parabeln 32. Abschlussprüfung : 7 10 Quadratische Gleichungen 33. Abschlussprüfung : Flächenberechnungen 34. Abschlussprüfung Baustein: 19 Schrägbilder 35. Abschlussprüfung : Trigonometrie 36. Abschlussprüfung : Kreis 37. Abschlussprüfung : Rotationskörper

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5 Seite 1 Zeichnen einer Geraden Beispielaufgabe: Die Gerade g mit der Gleichung 0,75 2 soll in ein Koordinatensystem gezeichnet werden. Vergleich der Gleichung von g mit der Normalform einer Geradengleichung: Allgemein: Gerade g:, Steigung 0,75 ; y Achsenschnittpunkt: 2 Zeichnen der Geraden: y Achsenschnittpunkt: Auf der y Achse wird der Achsenschnittpunktt T eingetragen Steigungsdreieck: Von dem Punkt T aus baut man ein Steigungsdreieck auf 0,75 mit den Längen 4 und 3 a) g mit 0,25 1 b) h mit 2 3 c) k mit 1,25 2,5 d) s mit 0,5 1,5

6 Seite 2 Erstellen einer Geradengleichung Beispielaufgabe: Eine Gerade wird durch die Punkte 1,5 0,5 und 2,5 4,5 festgelegt. Zu erstellen ist die Gleichung der Geraden. Wiederholung: Geradengleichung I.) Steigung : Vektor bzw. = Spitze Fuß = 2,5 1,5 4,5 0,5 = 4 5, ODER:,,, (siehe,, Formelsammlung) II.) y Achsenschnittpunkt : in, einsetzen 0,5 1,25 1,5 0,5 1,875, 1,875,, a) : 7 4, 3 2 b) : 2,5 6, 2,5 2 c) : 4,5 3,5, 0,5 8,5

7 Seite 3 Binomische Formeln Die drei Binomischen Formeln sind für algebraische Umformungen sehr wichtig und treten immer wieder in Aufgaben auf! 1. Binomische Formel: ² ² 2 ² 2. Binomische Formel: ² ² 2 ² 3. Binomische Formel: ² ² Sonderformen: ² ² ² 2 ² ( 2. Bin. Formel ) ² ² ² 2 ² ( 1. Bin. Formel ) Anwendungsbeispiele: 5 10² 4 3² = 25² ² = 25² ² = 16² ² 1 5² = 4² ² = 4² ² = 29² 2 10 a) 1,5 4² 2,5 2² b) 0,5 5² 4 10² c) 3 3² 0,5 0,5²

8 Seite 4 Parabelgleichung Normalform: Scheitelpunktsform: ² ² Umformungen: Scheitelpunktform Normalform : 4 5² 7 Normalform 4² Ergänzung = 4 ² Bin. Formel berechnen! = 4² = 4² Scheitelpunktsform = 4 ² = 4 ² 93 ² ² = quadr. = 2 5 ² 93 = 4 5² 7 ODER: ² 93 ² 4 5² 7 1. Gib die Parabel in der Scheitelpunktsform an: a b. c. 0,5 2,5 3, Gib die Gleichung der Parabel in Normalform an a. 3 5 b. 0,5 1 3 c. 3 2² 7

9 Seite 5 Zeichnen von Parabeln - Scheitelbestimmung Beispielaufgabe: Gezeichnet werden sollen die Parabeln mit 0,5 2² 3 mit 1,5² Grundüberlegung : 0,,5 eine gestaucht, nach oben geöffnete Parabel : 1,5 eine gestreckte, nach unten geöffnete Parabel 2. Ermitteln der Scheitelkoordinaten ist in Scheitelform gegeben: ist in Normalformm gegeben: kann direkt abgelesen werden: 2 3 Scheitelpunkt bestimmen (s. Seite 4) 2, 1 5, Wertetabelle erstellen mit der Scheitelpunktskoordinate in der Mitte der Tabelle x p 1 1,5-1,5-2,5-3 -2,5-1,5 1,5 p 2-8,5-1 3,5 5 3,5-1 -8,5 Berechne die Scheitelpunkte, erstelle eine Wertetabelle und zeichne die Parabel a) mit 0,25² 0,5 1,75 b) mit 2² c) mit 0,5² 3 0,5

10 Seite 6 Parabelgleichung aus a und 2 Punkten Beispielaufgabe: Es soll die Gleichung einer Parabel mit der Formvariablen 0,5 bestimmt werden, die durch die Punkte 2 5 und 5 1,5 verläuft. Form der Parabelgleichung mit 0,5: 0,5² Aus der Aufgabenstellung ergibt sich, dass und. Daraus folgt: 2 5 : I.) 5 0,5 2² ,5 : II.) 1,5 0,5 5² 5 1,5 12,5 5 Wir fassen zusammen: I.) II.) 1,5 12,5 5 I. II.) 3,5 10,5 7 10, Form der Parabelgleichung mit, und, ² Wir erhalten, indem man in I oder II einsetzt: I.) ,5² 2 1 a) 1, 1 6 und 5 2 b) 1,5, 2 1 und 7 8,5 c) 0,25, 2 2,25 und 6 1,75

11 Seite 7 Extremwertbestimmung von quadratischen Termen Extremwerte von Flächentermen: Oft wird nach dem maximalen/minimalen Flächeninhalt gefragt. Bei genauer Betrachtung der Flächenterme erkennt man die quadratische Funktion. Es muss lediglich der Scheitelpunkt bestimmen werden! Der Wert entspricht dem gesuchten x Wert und gibt / an! 1,5² 7,5 4,5 Scheitelpunkt:, 2,5, 2,5 4,875 4,5,, 4,875 für 2,5 ist 4,875 Extremwerte von Termen für Streckenlängen: (s. Seite 16) 2² 6 32 Scheitelpunkt von 2² 6 32 ist,, 2 1,5 27,5 für 1,5 ist 27,5 Übungsaufgaben a) 0,5² 3 8,5 b) = 2,5² FE LE

12 Seite 8 Lösen von quadratischen Gleichungen Beispielaufgabe: Gelöst werden soll die quadratischen Gleichung 2² mit G = %. Lösungsformel: ² 0 / ² Lösen ² 0,, / ² 3,81 1,31 L = 1,31 ; 3,81 a) 0,5² b) 0,25² c) 3² 7 4 4

13 Seite 9 Schnittpunkte von Graphen Schnittpunkt zweier Graphen: Zwei Parabeln können sich entweder in zwei Punkten schneiden, an einem Punkt berühren oder keinen Schnittpunkt besitzen. Mit Hilfe der Lösungsformel können wir jeden dieser Fälle erkennen! / ² Der Term unter der Wurzel, auch Diskriminante genannt, bestimmt die Vielfalt der Lösungen! D = ² D > 0 2 Lösungen 2 Schnittpunkte D = 0 1 Lösung Berührpunkt D < 0 0 Lösungen kein Schnittpunkt (Lösungsformel nicht lösbar!) mit 0,5² 1,5 mit ² 4 Schnittpunkte: = 0,5² 1,5 = ² 4 1,5² 3 1,5 0 D = ² 4 3² 4 1,5 1,5 D = 0 Berührpunkt!!, a) : ² 6 5 und : ² b) : 0,5 3 und : 0,25² 2 7

14 Seite 10 Tangenten an Parabeln Eine Gerade kann eine Parabel entweder in zwei Punkten schneiden (Sekante), in einem Berühren (Tangente) oder keinen Schnittpunkt besitzen (Passante). Die Art der Lösung erhält man wie auf Seite 9 mit Hilfe der Diskriminante! Beispielaufgabe: Es soll gezeigt werden, dass die Gerade mit 2 7 eine Tangente an die Parabel mit 0,5² 2 1 ist. Zu bestimmen ist auch der Berührpunkt. Lösung durch Gleichstellung: 2 7 0,5² ,5² 4 8 Determinante: D = ² 4 4² 4 0,5 8 ist Tangente an Berechnung der Koordinaten des Berührpunktes:, a) mit 0,5 4 3 ; mit 2 1 b) mit 0,25² 1,5 1,75 ; mit 2 14

15 Seite 11 Schnittpunkte von Graphen mit den Achsen Beispielaufgabe: Gesucht sind die Schnittpunkte der Parabel mit 4 2 mit den Achsen des Koordinatensystems: 1. Schnittpunkt mit der x Achse 4 2 / ,586 und 3,414 0,586 und 3, Schnittpunkt mit der y Achse Berechne jeweils die Schnittpunkte mit den Achsen. a) b) 7,5 11,2 5,1 c) 7 4 9

16 Seite 12 Quadratische Ungleichung Geometrische Lösung Beispielaufgabe: Eine Dreiecksschar besitzt den Flächeninhalt 1,5² 7,5 4,5. Für welche Werte von x ist die Fläche positiv? 0 1. Algebraische Lösung A(x) 1,5² 7,5 4,5 0 mit Hilfe der Lösungsformel: L = 0,7 ; 4,3 2. Geometrische Lösung mit 1,5² 7,5 4,5 nach unten geöffnete Parabel, da 1,5 Aus dem Graphen folgt: L = 0,7 4,3 bzw. 0,7 ; 4,3 ( Intervallschreibweise ) + - x a) 2² b) 0, c) ² 2,5 3 8 d) ² 4 1,5 3

17 Seite 13 Flächenberechnung mit Vektoren Beispielaufgabe: Zu berechnen ist der Flächeninhalt eines Dreiecks mit 1 1,,5, 5 1 und 2 5. Erstellen der Vektoren, die das Dreieck von einem Punkt aus aufspannen und deren Reihenfolge so gewählt wird, dass man im Gegenuhrzeigersinn das Dreieck überstreift und,, 1 2 det ; ,,5 6, ,5 2,5 3 15, 75 a) mit 3 5,, 6 2,5 und 4 5,5 b) mit 6 7, 2 6 und 1 3 c) mit 3,2 4, 4,8 2,6 und 1,4 5,3

18 Seite 14 Flächen in Abhängigkeit von x Beispielaufgabe: Die Eckpunkte einer Dreiecksschar mit 1 2 und 9 4 liegen auf der Parabel mit der Gleichung 0,5² 5 18,5. Zu bestimmen ist der Flächeninhalt der Dreiecksschar in Abhängigkeit vom Abszissenwert der Punkte : A(x) 1 2, 9 4,,, ², und Minimaler Flächeninhalt:,², ,5² 5 16,5 8 0,5² 5 16, ² ² FE Als Zusatz kann noch der Eckpunkt des Dreiecks mit dem kleinsten Flächeninhalt bestimmt werden: 2² x Scheitelpunkt 5,25 11,875 Scheitelbestimmung Seite 4 2 5,25² 11,875 11,875 für 5,25 5,25 in die erste Parabel 0,5² 5 18,5 einsetzen: 5,25, Übungsaufgabe: mit ² 4 und 7 6, 1 5,

19 Seite 15 Parallelogramme Beispielaufgabe: Von dem Parallelogramm ABCD mit 2 0, 3 2 und 4 5 sind die Koordinaten des Eckpunktes D zu berechnen, sowie der Flächeninhalt des Parallelogramms. Berechnung des Punktes : I.) II.) I.) 2 1 II.) Flächenberechnung mit Vektoren: 2 0, 3 2, 4 5 und 1 3 und a) 1 5, 8 4, 1 1 ges.: C und die Fläche b) 4,5 3,5, 3 1,5, 0,5 7 ges.: Q und die Fläche

20 Seite 16 Strecken im Koordinatensystem Streckenlänge von Vektoren: ² ² Beispielaufgabe: 1 1, liegt auf mit ² 3² Binomische Formel!! ² 2 1 ² 6 9 2² 8 10 Länge des Vektors a) und haben die gleiche Abszisse. liegt auf : 1,5 1 und auf : ² 2 2 Ges.: Die Länge des Vektors. b) 3 1 liegt auf : 3 1, 4 2 Ges.: Die Länge des Vektors, minimale Entfernung.

21 Seite 17 Für den Abszissenwert einsetzen Beispielaufgabe: Die Punkte liegen auf der Parabel mit ² 6 7, die Punkte auf der Parabel mit ² 2 1. Die Abszisse der Punkte ist stets um 3 größer als die Abszisse von den Punkten. : : ² 6 7 ² 2 1. die Abszisse der Punkte ist stets um 3 größer als die Abszisse von den Punkten : Für ² 2 1 gilt somit: ² 2 1 Binomische Formel!! 3 ² ) und wandern auf der Geraden : 2 9 Die Abszisse von ist um 1 kleiner als die von. 2.) Die Punkte liegen auf der Parabel : 0,5² 0,5 2, die Punkte liegen auf der Parabel : ² 0,5 2. Die Abszisse der Punkte ist jeweils um 2 größer als die der Punkte

22 Seite 18 Vierstreckensatz ( Zentrische Streckung ) Werden zwei von Z ausgehendee Geraden von Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte auf der einer Geraden zueinander, wie die entsprechenden Abschnitte auf der anderen Gerade. die Parallelabschnitte zueinander, wie die von Z ausgehenden, entsprechenden Geradenabschnitte. Beispielaufgabe: Zu berechnen sind in der linken Zeichnung die Länge der Strecke und in der rechten Zeichnung die Maßzahl in Abhängigkeit von.. = 4,5 cm = 4,0 cm = 3,35 cm = 4,0 cm = 4,0 cm = x cm Berechnung von :,,,, 2,98 4, a) zur linken Zeichnung: 7, 6, 5, ges.: b) zur linken Zeichnung: 7, 6,5, 4,5, ges.: c) zur rechten Zeichnung: 6, 8, ges.:

23 Seite 19 Zeichnen von Schrägbildern von Pyramiden Entscheidend für die Berechnung von Streckenlängen oder Winkelmaßen in einem räumlichen Körper ist das korrekte Zeichnen des Schrägbildes. Nachfolgend sind 4 Beispiele von Pyramiden dargestellt, die als Grundflächenn ein Rechteck, eine Raute und zweimal ein gleichseitiges Dreieck mit verschiedenen Lage der Rißachse besitzen. Für die Zeichnung gilt jeweils ; Schrägbildachse Schrägbildachse Notieren Sie die Maße und zeichnen Sie die 4 Pyramiden ohne Vorlage.

24 Seite 20 Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck Kathete. Kathete Hypotenuse SINUS KOSINUS TANGENS. Gegenkathete Ankathete.. Ankathete Gegenkathete Hypotenuse Hypotenuse sin cos tan Berechne die fehlenden Werte. Fertige vor dem Rechnen eine Skizze des Dreiecks an. a) 90, 4, 2,8 ges.:,, b) 90, 65, 8 ges.:, c) 90, 49, 3,9 ges.:,

25 Seite 21 Sinussatz Strecken- und Winkelberechnung Mit Hilfe des Sinussatzes lassen sich im allgemeinen Dreieck Streckenlängen und Winkelmaße berechnen. Sinussatz: Das Verhältnis einer Seitenlänge eines allgemeinen Dreiecks zum Sinus des gegenüberliegenden Winkels (oder umgekehrt) ist stets gleich. sin sin sin Beispiel zur Berechnung einer Streckenlänge: Dreieck : 6,08,, 55,49, 46,85 sin sin sin sin 6,08 sin 46,85 5,38 sin 55,49 Beispiel zur Berechnung eines Winkels: Dreieck : 5,0, 8,0, 88,21 sin sin sin sin 5,0 sin 88,21 0,62 8,0 ε sin 0,62 38,66 a) 10,0, 8,06, 49,4, ges.: b) 6,4, 21,6, 48,18, ges.:

26 Seite 22 Kosinussatz trigonometrischer Pythagoras Mit Hilfe des Kosinussatz lassen sich im allgemeinen Dreieck Streckenlängen berechnen. Berechnung einer Streckenlänge: Kosinussatz: Die Streckenlänge ergibt sich aus der Wurzel aus der Summe der Seitenlängen im Quadrat minus dem doppelten Produkt beider Seitenlängen mit dem Kosinuswert des Zwischenwinkels. Beispielaufgabe: Dreieck : 5,20 3,, cos 2 cos 5,20 3,70 2 5,20 3,70 cos 65 4,95 4,95 a) 6,10, 3,15, 57 ges.: b) 8,12, 7,65, 103 ges.: c) 5,64, 5,13, 88 ges.:

27 Seite 23 Kosinussatz Winkelberechnung Mit Hilfe des Kosinussatzes lassen sich im allgemeinen Dreieck nicht nur Strecken (s. Seite 22) berechnen, sondern auch Winkelmaße bestimmen. Beispielaufgabe: Dreieck : 5,20 4,95 3,, , ²,²,²,, 0,42,, a) 6,41, 5,10, 4,58 ges.: b) 10,15, 8,70, 9,80 ges.: c) 7,63, 5,33, 6,13 ges.:

28 Seite 24 Flächenberechnung mit Winkelmaßen Der Flächeninhalt eines Dreiecks ergibt sich aus dem halben Produkt zweier Seitenlängenn mit dem Sinuswert des Zwischenwinkels 1 sin 2 Beispielaufgabe: sin 4,7 5,0 sin 40 7,55 ² Berechnen Sie jeweils den Flächeninhalt des Dreiecks. a) b) 46 70

29 Seite 25 Kreis Berechnungsformeln für die Kreisfläche und Kreisumfang: Kreisfläche ² Kreissektor ² Kreisumfang Kreisbogen 2 2 a. b. c. 4,5 48 7,4 96 8,6 118

30 Seite 26 Berechnung von Flächenstücken Beispielaufgabe: Es ist der Flächeninhalt der schraffierten gekennzeichneten Teilfigur des Rechtecks zu bestimmen. Festlegen des Systems der Flächenberechnung: I.) tan 0,5, 26, ,57 63,43 sin 6 sin 26,57 2,68 sin 63,43 6 2,68 7,19 ² II.) 2,68, ² 3,98 ² 7,19 ² 3,98 ², ² Bestimmen Sie den Flächeninhalt der schraffiert gezeichneten Figur innerhalb des Quadrats.

31 Seite 27 Streckenlängen und Winkel in Pyramiden Beispielaufgabe: Gegeben ist eine Pyramide mit dem gleichseitigen Dreieck als Grundfläche (Seitenlänge: 6 cm) und der Spitze, die 7 cm senkrecht über dem Punkt liegt. Dieser Pyramide ist ein Dreieck einbeschrieben (graue Fläche) ), wobei der Punkt auf der Strecke liegt und der Winkel das Maß 29 besitzt. 7 cm Zu berechnen ist. Lösungsweg: 6 cm Strecke befindet sich im Dreieck Es handelt sich um ein allgemeines Dreieck: 6 cm Sinus- oder Kosinussatz möglich Um bestimmen zu können, müssen zuerst und berechnet werden. Um und bestimmen zu können, muss zuerst berechnet werden. I.) über das Dreieck ( Pythagoras ) II.) III.) IV.) 6² 3², tan ,39 29, Berechnung der Streckenlänge mit Hilfe des Sinussatzes: sin sin, 1,35 ;, sin sin 5,20 sin 53,39 sin 97,61,

32 Seite 28 Rotationskörper Volumen und Oberfläche Prisma Pyramide Volumen: Mantel: Oberfläche: Volumen: Mantel: ä Seitenflächen: 2 Oberfläche: Zylinder Kegel u h s h Volumen: Mantel: Oberfläche: A G r ² Volumen: ² 2 Mantel: 2 Oberfläche: A G r u

33 Lösungen zu den Übungen

34 Lösungen Seite 29 Seite 2: Geradengleichung a) AB mit 1,5 6,5 b) PQ mit 0,8 4 c) RS mit 3 10 Seite 3: Binomische Forlmeln a) 1,75² 2 9,75 b) 41² 75 99,75 c) 8,75² 18,5 8,75 Seite 4: Parabelgleichung a) 2 3² 4 b) 1 2 c) 0,5 2,5² a) ² 6 14 b) 0,25² 0,5 2,75 c) 3² 12 5 Seite 5: a) 1 2 b) S 3 6 c) 3 4 Scheitelbestimmung Seite 9: Schnittpunkt von Graphen a) 6 5, 2 3 b) 2 4, 8 7 Seite 10: Tangenten a) 2 3 b) 7 0 Seite 11: Schnittpunkte mit den Achsen a) 2 0, 4,5 0, 0 18 b) nur 0 18, da D < 0 c) 0,88 0, 1,46 0, 0 9 Seite 12: Quadratische Ungleichungen a) L = 1,78 0,28 b) L = 1,46 5,46 c) L = 2,3 4,79 d) L = 0,42 3,58 Seite 6: Parabel aus 2 Punkten a) ² 8 13 b) 1,5² c) 0,25² 1,5 1,75 Seite 7: Extremwertaufgaben a) min 4 für 3 b) 12 LE für 4 Seite 8: Quadratische Gleichungen a) L = 0,69 ; 8,69 b) L = 1,49 ; 21,49 c) L = 3,17 ; 0,84 Seite 13: a) 28,50 FE b) 37,50 FE c) 8,42 FE Seite 14: Flächenberechnung mit Vekt. Fläche in Abhängigkeit von x 4 15,5 20,5 min 5,48 für 1,94 ; 1,94 4 Seite 15: Parallelogramme a) 6 8, 46 b) 2 5, 51,25

35 Lösungen Seite 30 Seite 16: Strecken im KoSy a) ² 3,5 3 b) 10² ,1 für 1,3 Seite 17: Abszissenwert einsetzen 1.) ) 2 ² 4,5 7 Seite 18: Vierstreckensatz a) 5,83 b) 2,15 c) 8 Seite 20: Sinus, Kosinus, Tangens a) 44,43, 45,57, 2,9 b) 3,7, 7,1 c) 2,9, 2,6 Seite 21: a) 70,39 Sinussatz b) 8,06 Seite 22: Kosinussatz a) 5,12 b) 12,35 c) 7,49 Seite 23: Kosinussatz - Winkel a) 82,75 b) 66,24 c) 52,91 d) Seite 24: Fläche durch Winkel a) 12,39 ² b) 5,54 ² Seite 25: Kreis a) 8,48 ², 3,77 b) 46,61, 2237,45 ³ c) 31,83 ², 66,6 Seite 26: Flächenstücke 2 18 ² 18² 9,96² 8,04 ²

36 Ausgewählte Abschlussprüfungen nach n sortiert

37 Abschlussprüfungen Seite 31 Parabeln Seite 1-6 AP 2009 B Die Parabel p1 mit der Gleichung ² 8 14 hat den Scheitel Die Parabel p2 besitzt den Scheitel 6 7 und verläuft durch den Punkt 9 4, 75. Sie hat eine Gleichung der Form mit a IR \{0}; b,c % Ermitteln Sie rechnerisch die Gleichung der Parabel p2 in der Scheitelform und bringen Sie die Gleichung in die Form ² mit a IR \{0}; b,c %. 0,25² 6² 7 0,25² 3 2 AP 2008 C Gegeben sind die Parabel p1 mit der Gleichung 0,3² 2,,1 1, 2 und die nach unten geöffnete Normalparabel p2 mit der Gleichung ² Zeigen Sie, dass die Parabel p1 den Scheitel 3,5 4,875 hat. Erstellen Sie sodann für die Parabel p1 eine Wertetabelle für x [ 0;7 ] mit x = 1 und zeichnen Sie die Parabeln p1 und p2 in ein Koordinatensystem. AP 2008 B Die Parabel p verläuft durch die Punkte 2 3 und 5 0,5. Sie hat eine Gleichung der Form ² 2 und % \{0} Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für a und c, dass die Parabel p die Gleichung 0,5² 2 3 hat und zeichnen Sie die Parabel p für x [ 3;7] in ein Koordinatensystem. AP 2008 A Die Parabel p verläuft durch die Punkte 2 3 und 6 3. Sie hat eine Gleichung der Form 0,5². Die Gerade hat die Gleichung 0,25 5, Zeigen Sie durch Berechnung der Werte für b und c, dass die Parabel p die Gleichung 0,5² 2 3 hat und zeichnen Sie die Parabel p sowie die Gerade g für x [ 3;7] in ein Koordinatensystem. AP 2007 P Eine nach unten geöffnete Normalparabel verläuft durch den Ursprung. Ihre Symmetrieachse s hat die Gleichung x = 1, Berechnen sie die Koordinaten des Scheitels S der Parabel p und sie sie anschließend, dass die Gleichung ² 3 die Funktionsgleichung von p ist. 1,5 2, 25

38 Abschlussprüfungen Seite 32 Quadratische Gleichungen Seite 7-10 AP 2008 C Überprüfen Sie rechnerisch, ob die Gerade eine Tangente an die Parabel : ² 8 6 ist. AP 2008 B1 1.4 Unter den Parallelogrammen ABnCDn besitzt das Parallelogramm AB0CD0 den Maximalen Flächeninhalt. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes D0. AP 2008 A1 3,5 10, Ermitteln Sie rechnerisch, für welche Belegungen von x die zugehörigen Vierecke einen Flächeninhalt von 38,5 FE haben. Runden Sie auf zwei Stellen nach dem Komma. AP 2007 B Das Volumen in Abhängigkeit von x beträgt: 16² Bestimmen Sie sodann den Wert von x, für den man das maximale Volumen erhält und geben Sie dieses an. AP 2007 A Das Volumen der Pyramide beträgt 40,0 cm³. Berechnen Sie den zugehörigen Wert für x ² 56 3 AP 2006 C Ermitteln Sie den Wert von x, für den die Länge der Strecke minimal wird. 1,5 4,875 IL 0,85; 2,65 Vmax 625 cm³ für x 3,75 x 2,4 8,28² 52, x 3,19 AP 2005 C Ermitteln sie die kleinste Länge der Höhe der Trapeze. ² 7,81 36 = 4,56 cm

39 Abschlussprüfungen Seite 33 Flächenberechnung Seite AP 2008 B Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Parallelogramme AB n CD n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte D n. 2 3, 5 0,5, 0,5² 2 3 3,5 10,5 35 AP 2008 A Berechnen Sie den Flächeninhalt A der Vierecke AB n CD n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte B n. 2 3, 6 3, 0,5 2 3, 0,25 5, AP 2003 C Stellen Sie den Flächeninhalt der Dreiecke AB n C in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte B n dar und berechnen sie den größtmöglichen Flächeninhalt A max. 2 1 ; 45 und 0, , AP 2001 B 1.5. Zeigen Sie rechnerisch, dass für den Flächeninhalt A(x) der Dreiecke PQ n R n in Abhängigkeit von der Abszisse x der Punkte Q n gilt: 0,5 2, , 0,25² 2 und 0,25² 2 1

40 Abschlussprüfungen Seite 34 Schrägbilder Seite 19 AP 2008 C2 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, deren Grundfläche das Drachenviereck ABCD mit den Diagonalen [AC] und [BD] ist. Die beiden Diagonalen schneiden sich im Punkt M mit = 2 cm. Die Spitze S der Pyramide ABCDS liegt senkrecht über dem Punkt M. Es gilt: =13 cm ; =10 cm; =14 cm. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Diagonale [AC] auf der Schrägbildachse liegen soll. Für die Zeichnung gilt: ; 45 Berechnen Sie sodann das Maß des Winkels SCA und die Länge der Pyramidenhöhe [MS]. = 38, 21 ; = 8,66 cm AP 2008 B2 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild der Pyramide ABCDS, deren Grundfläche die Raute ABCD mit den Diagonalen [AC] und [BD] ist. Der Schnittpunkt der beiden Diagonalen ist der Punkt M. Die Spitze S der Pyramide ABCD. S liegt senkrecht über dem Punkt A. Es gilt: = 9 cm; = 8 cm; = 7 cm. Zeichnen Sie das Schrägbild der Pyramide ABCDS, wobei die Diagonale [AC] auf der Schrägbildachse liegen soll. Für die Zeichnung gilt: ; 45 Berechnen Sie sodann die Länge der Strecke [SC] und das Maß des Winkels SCA. Ergebnisse: =11,40 cm; = 37,87 AP 2007 B2 Die nebenstehende Skizze zeigt ein Schrägbild des Quaders ABCDEFGH dessen Grundfläche das Rechteck ABCD ist. Es gilt = 5 cm; = 8 cm; = 10 cm. Der Punkt P auf der Kante [AE] mit = 7 cm und die Punkte B und G sind Eckpunkte des Dreiecks PBG. Zeichnen Sie das Schrägbild des Quaders ABCBDEFGH mit dem Dreieck PBG, wobei die Kante [AB] auf der Schrägbildachse liegen soll. Für die Zeichnung gilt: ; 45. Berechnen Sie dann die Längenn der Strecken [BP] und [PG] Ergebnisse : =5,83, : =11,75

41 Abschlussprüfungen Seite 35 Trigonometrie Seite AP 2009 B Gegeben ist ein Fünfeck ABCDE mit = 5 cm ; = 7 cm; = 5 cm ; CBAA = 110 ; BAE = Bestimmen Sie durch Rechnung den Abstand d des Punktes P von der Geraden DC. 2.4 Ermitteln sie rechnerisch die Länge der Strecke [DE] sowie das Maß des Winkels EDA. Ergebnisse: d = 6,58 cm; = 3,36 cm = 48,08 AP 2007 B Gegeben ist ein Viereck mit = 10,5 cm, = 7 cm, = 6 cm; CBA =98 ; CAD = Berechnen Sie die Länge der Diagonalen [AC] sowie das Maß des Winkels CAD Ermitteln Sie rechnerisch das Maß des Winkels BAC. AP 2007 P1 3. In einem ebenen, unzugänglichen Sumpfgebiet befinden sich die Messpunkte P und Q. Von einem zugänglichen Punkt A, der auf einer Geraden mit den Punkten P und Q liegt, wurde eine Strecke [AB] abgesteckt. In der nebenstehen Skizze sind die gemessenen Maße eingetragen. Berechnen Sie die Länge der Strecke [PQ] Ergebnisse = =13,4 cm; CAD = 63,4, BAC = 31,2 =34,5 cm, =324,7 cm, =290,2 cm AP 2006 P Nebenstehende Skizze zeigt den Plan eines viereckigen Sandkastens für den neuen Gemeindekindergarten. Es gelten folgende Maße: = 7,50m; = 7,00m; BAD=50 ; CBA=90 ; DCB= Zeigen Sie, dass für DBA=60,85 das Maß des Winkels DBA gilt: 2.3. Berechnen Sie den Flächeninhalt A des Sandkastens. = 6,14 cm, = 3,53 cm; B DC= 92,85 ; A = 30,93 m²

42 Abschlussprüfungen Seite 36 Kreis Seite AP 2007 A Gegeben ist ein Kreissektor mit = = 7 cm und der Bogenlänge = 18 cm Berechnen Sie das Maß des Mittelpunktswinkels BMA des Kreissektors. AP 2005 D2 147, Nebenstehende Skizze zeigt den Plan einer Leichtathletikanlage, auf der zeitgleich ein Speerwurf- und ein Hochsprungwettbewerb stattfinden können. Die Anlage besteht aus dem rechteckigen Rasenfeld ABCD und den zwei angrenzenden Halbkreisen, deren Flächen mit einem Kunststoffbelag ausgelegt sind. N ist der Mittelpunkt der Strecke [AD]. Es gelten folgende Maße: = 90,00 m; = 60,00 m M ist der Mittelpunkt des Speerwurfsektors, der von den Strecken [MF] und [MG] und dem Kreisbogen begrenzt wird. Es gilt 3,00 m; MGF = GFM = 75,00. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Speerwurfsektors. AP 2000 B = 104,32, A = 2849,07 m² 2.0. Durch ein Felsmassiv wurde ein Tunnel vorgetrieben, dessen Querschnitt ein Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Durchmesserr 10 m ist (vgl. nebenstehende Skizze). Die Strecke [AB] zeigt die Lage der Fahrbahn. Die Tunnelhöhe über der Fahrbahnmitte beträgt 7 m Berechnen Sie das Maß des Winkels AMB und den Flächeninhalt A 1 der in der Skizze von 2.0. schraffierten Fläche Auf dem Bogen wird im Punkt C eine Lampe befestigt, so dass der Bogen eine Länge von 6,5 m hat. Berechen Sie das Maß des Winkels CMA. 132,84 ; 19,81 ², 9,17; 74,48

43 Abschlussprüfungen Seite 37 Rotationskörper Seite AP 2009 A Die nebenstehende Skizze zeigt den Axialschnitt eines oben offenen Gefäßes. OM ist die Symmetrieachse. Es gilt: =10,0 cm; = 4,0 cm ; =1,8 cm ; MAF = Berechnen Sie den Durchmesser des Gefäßbodens Das waagrecht stehendee Gefäß ist bist zu einer Höhe von 6 cm mit Wasser gefüllt. Ermitteln Sie rechnerisch das Volumen des Wassers im Gefäß. Ergebnisse: = 2,0 cm; = 7,2 cm, = 8,0 cm, VWasser=427,5 cm³ AP 2008 P1 Auf Schraubenpackungen findet man die Angaben über den Schraubendurchmesser und die Schraubenlänge in Millimeter (z. B. 4 10). Die nebenstehende Skizze zeigt den Axialschnitt eines Schraubenrohlings. GH ist die Symmetrieachse. Es gilt: = 7,0 mm; = 4,,0 mm ; = 10,0 mm; BAF = 40. Berechnen Sie das Volumen V des Schraubenrohlings. = 2,9 mm; = 1,7 mm, V = 140,7 mm³ AP 2007 P1 Die nebenstehende Skizze zeigt den Axialschnitt eines kegelförmigen Eisbechers und einer Eiscremekugel. AM ist die Symmetrieachse und es gilt: = ; 4,0 cm, BAC = 40,0, ACM = 90 Die Eiscremekugel schmilzt vollständig. Das Volumen der geschmolzenen Eiscreme beträgt 42% des Volumen der Eiscremekugel. Überprüfen Sie durch Rechnung, ob die geschmolzene Eiscreme in den Eisbecher passen würde. = 11,0 mm; = 10,3 mm, = 3,8 mm VEisbecher = 155,8 mm³, VEiscreme= 112,6 cm³