Wahrscheinlichkeitstheorie

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1 Wahrschenlchet Grundbegrffe Wahrschenlchetsbegrffe (Axomatsche Defnton) Rechenoperatonen mt Wahrschenlcheten Statstsche Unabhängget Numersche Berechnung von Wahrschenlcheten Klasssche Bemessung nach Laplace Emprsche oder Statstsche Wahrschenlchet Subjetve Bemessung von Wahrschenlcheten Bblografe Bleymüller / Gehlert / Gülcher Verlag Vahlen Statst für Wrtschaftswssenschaftler Bleymüller / Gehlert Verlag Vahlen Statstsche Formeln, Tabellen und Programme PowerPontPräsentatonen (Prof. Mohr/ Dr. Rcabal) Vorlesungssrpt für Statst I (Dr. Pu Chen) Vorlesungssrpt für Statst II (Prof. Mohr, Prvate Hanseunverstät Rostoc) 2

2 Zufallsexpermente De Bass der Wahrschenlchetsrechung blden Zufallsexpermente, de tatsächlch oder nur gedanlch durchgeführt werden. Se bestzen de Egenschaft, dass hre Ergebnsse ncht vorausgesagt werden önnen. Bespele: Werfen enes Würfels oder ene Münze Zehen ener Karte oder Lottozahl Drehen enes Rouletterades Überprüfung der Qualtät ener Warenleferung (gut - schlecht) 3 Eregnsmenge En Zufallsexperment wrd ferner durch ene Versuchsanordnung und durch de Menge aller möglchen Ausgänge deses Experments beschreben. De enzelnen ncht weter zerlegbaren und sch gegensetg ausschleßenden Ergebnsse des Experments heßen Elementareregnsse w. De Menge sämtlcher Elementareregnsse heßt de zugehörge Eregnsmenge bzw. Eregnsraum Ω. Bespel: Werfen mt enem Würfel Elementareregnsse: w, w 2 2,, w 6 6 Eregnsraum: Ω {, 2, 3, 4, 5, 6} 4

3 Eregns Ene Telmenge der Ergebnsmenge heßt Eregns E. Deses setzt sch aus Elementareregnssen zusammen. Bespel: Werfen mt enem Würfel Elementareregnsse: w, w 2 2,, w 6 6 Eregnsraum: Ω {, 2, 3, 4, 5, 6} E gerade Augenzahl {2, 4, 6} E 2 Augenzahl größer 4 {4, 6} Spezelle Eregnsse: Unmöglches Eregns: Scheres Eregns: ø Ω 5 Vernüpfungen von Eregnssen Symbol (Mengenschrebwese). Verengung von Eregnssen A B 2. Durchschntt von Eregnssen A B Bedeutung (Eregnsalül) mndestens enes der beden Eregnsse A oder B trtt en w A w B Sowohl Eregns A als auch Eregns B trtt en w A w B Darstellung m Venn-Dagramm A A B B Ω Ω 3. Komplementäreregns (Gegeneregns) Ᾱ ; A c ; A Ᾱ trtt en, wenn A ncht entrtt w Ᾱ w A A Ᾱ Ω 6

4 Vernüpfungen von Eregnssen Symbol (Mengenschrebwese) 4. Dfferenz von Eregnssen A \ B A B c 5. Dsjunte Eregnsse A B ø 6. Teleregnsse A B Bedeutung (Eregnsalül) A, jedoch ncht B trtt en w A w B A und B schleßen sch gegensetg aus w A w B w B w A Eregns A zeht Eregns B nach sch w A w B Darstellung m Venn-Dagramm Ω A A A B B B Ω Ω Ᾱ 7 Bespel: Vernüpfungen von Eregnssen Werfen mt enem Würfel mt E {2, 4, 6} und E 2 {5, 6} E E 2 {2, 4, 5, 6} E E 2 {6} Ē {, 3, 5} ungerade Augenzahl E \E 2 {2, 4} E 2 \E {5} E und E 3 {5} snd dsjunt E 3 E 2 8

5 Rechenregel für Eregnsse* A A c ø A A c Ω A Ω A A Ω Ω A ø ø A ø A A \ B A B c (A c ) c A Konmutatvgesetze: A B B A A B B A Assozatvgesetze: (A B) C A (B C) A B C (A B) C A (B C) A B C Idempotenzgesetze: A A A A A A De Morgansche Gesetze: (A B) c A c B c (A B) c A c B c * (sehe Mengenlehre) 9 zwetes De Morgansche Gesetz Graphsche Darstellung (A B) c A c B c 0

6 Eregnssysteme In der Statst st es wchtg, das Zusammenspel von Eregnssen zu betrachten. Snnvollerwese verwendet man dazu Eregnssysteme. De Eregnsse E, E 2,, E bldet ene Partton (Zerlegung) der Eregnsmenge Ω, wenn se paarwese dsjunt snd und hre Verengung Ω ergbt. E E j für, j,, ; j E 2 E 4 E 6 E E 2 E Ω E E 3 E 5 Eregnsalgebra Ene Eregnsalgebra ℇ st ene Menge von Eregnssen, so dass für jewels endlch vele Eregnsse auch deren Komplemente, Durchschntte und Verengungen dazugehören. Ene Eregnsalgebra zechnet sch dadurch aus, dass se en geschlossenes System hnschtlch der obgen Operatonen darstellt. Man blebt mmer nnerhalb des Mengensystems. Man ann ene Eregnsalgebra formal we folgt beschreben: Ω ℇ E ℇ E c ℇ E, E 2,, E ℇ E E 2 E ℇ oder analog E, E 2,, E ℇ E E 2 E ℇ 2

7 Eregns-Sgma-Algebra Ene Eregns-Sgma-Algebra legt vor, wenn de Egenschaften ener Eregnsalgebra auch für abzählbar (unendlch) vele Eregnsse gültg snd. Man ann ene Eregns-Sgma-Algebra formal we folgt beschreben: Ω ℇ E ℇ E c ℇ E, E 2 ℇ E E 2 ℇ oder analog E, E 2 ℇ E E 2 ℇ Frage: Warum gehört auch zur ℇ? ( ℇ ) 3 Bespel: Eregnsalgebra De lenste Eregnsalgebra von Ω st das Mengensystem {, Ω }. De größte Eregnsalgebra von Ω st de zugehörende Potenzmenge (Menge aller Telmengen von Ω). Dabe bestehet de Potenzmenge aus dem Mengensystem aller Telmengen von Ω. Z. B. für Ω {w, w 2, w 3 }: Anzahl Elementareregnsse j Möglche Eregnsse 0 {w }, {w 2 }, {w 3 } 2 {w, w 2 }, {w, w 3 }, {w 2, w 3 } 3 Ω{w, w 2, w 3 } 4

8 Wahrschenlcheten Zufallsexpermente lassen sch ncht exat voraussagen. Aber unter bestmmten Bedngungen lassen sch für de Ausgänge des Experments Wahrschenlcheten angeben. Zunächst werden de Bedngungen behandelt, damt man snnvoll mt Wahrschenlcheten arbeten ann. Im zweten Tel wrd dargestellt, we man numersch dese Wahrschenlcheten berechnen ann. 5 Axomatsche Defnton von Wahrschenlchet Kolmogoroff hat en Axomensystem mt dre Axomen für ene Eregns-Sgma-Algebra defnert, de erfüllt sen müssen, damt man wderspruchfre mt den zugehörgen Wahrschenlcheten arbeten ann:. 0 W(E) für E ℇ (jedem Eregns E wrd ene nchtnegatve Wahrschenlchet zugeordnet; sog. Nchtnegatvtätsaxom) 2. W(Ω) (Das schere Eregns erhält de maxmale Wahrschenlchet ; sog. Normerungsaxom) 3. Seen E, E2, ℇ ene Folge paarwese dsjunter abzählbar veler Eregnsse. Dann glt: W(E E 2 ) W(E ) + W(E 2 ) + (De Wahrschenlchet für de Verengung dsjunter Eregnsse st glech der Summe hrer Enzelwahrschenlcheten; sog. Addtonsaxom) 6

9 Sätze zur Wahrschenlchetsrechnung Aus. und 2. folgt: 0 W(E) für alle E ℇ Satz von der Gegenwahrschenlchet: W(Ᾱ)-W(A) Satz der Monotone: A B W(A) W(B) Allgemener Addtonssatz Für 2 Eregnsse: W(A B) W(A) + W(B) - W(A B) Für 3 Eregnsse: W(A B C) W(A) + W(B) +W(C) - W(A B) - W(A C) -W(B C) + W(A B C) Für n Eregnsse analog A A 2 Ω W(A A 2 ) W(A )+W(A 2 ) - W(A A 2 ) (Sonst würde A A 2 doppelt gezählt werden.) 7 Bespel: Sätze für de Wahrschenlchetsrechnung Werfen mt zwe Münzen (Zahl und Wappen2) Ω {,2, 2, 22} (Alle Kombnatonen haben de Wahrschenlchet ¼) B: Summe der Realsatonen st gerade A : Der erste Wurf zegt de Augenzahl (, 2); A blden ene Zerlegung von Ω W(B) W({, 22}) /2; W(A ) W({, 2}) /2; W(A 2 ) W({2, 22}) /2 W( B) W(B) 2 2 W(A B) W(A ) + W(B) - W(A B) + W({})

10 Zerlegungssatz Blden A, A 2,, A ene Zerlegung von Ω, so glt für en belebges Eregns B: A 2 A B A 3 A 4 A 5 A 6 Ω Aus der Graph seht man: B A ; B A2; L ; B A Es glt: snd dsjunt. W(B) W(A B) + W(A2 B) + L+ W(A B) W(A B) 9 Bespel: Zerlegungssatz Bespel: Werfen mt zwe Münzen (Zahl und Wappen2) 2 Ω (Alle Kombnatonen haben de Wahrschenlchet ¼) 2 22 B: Summe der Realsatonen st gerade A : Der erste Wurf zegt de Augenzahl (, 2) W(B)/2, W(A )/2; W(A 2 )/2 A blden ene Zerlegung von Ω W(B) W(A B) W(A B) + W(A2 B) W({}) + W({22})

11 Bedngte Wahrschenlchet Seen A und B zwe Eregnsse und se B A das Eregns B unter der Bedngung, dass das Eregns A entrtt (engetreten st). De zugehörge bedngte Wahrschenlchet se W(B A). Dann glt: W(B A) W(A B) falls W(A) > 0 W(A) Man beachtet, dass de bedngte Wahrschenlchet völlg analog zu den bedngte Häufgeten n der desrptve Statst formulert snd. Im Spezalfall W(A) 0 setzt man W(B A) 0. 2 Bespel: Bedngte Wahrschenlchet (Werfen mt enem Würfel) U: ungerade Augenzahl mt W(U) /2 w : Augenzahl (, 2,, 6) mt W(w ) /6 für, 2,, 6 We groß st de Wahrschenlchet de Augenzahl w zu realseren, unter der Bedngung, dass das Eregns U entrtt (engetreten st)? W( w U) 3 W( w 3 U) 3 W( w 5 U) W( w 2 U) 0 W( w 4 U) 0 W( w 6 U)

12 Multplatonssatz Der sog. Multplatonssatz folgt unmttelbar aus der Defnton der bedngten Wahrschenlchet: W(A B) W(A) W(B A) W(B) W(A B) W(B A) W(A B) W(A B) W(A B) W(A) W(B A) W(A) W(A B) W(A B) W(B) W(A B) W(B) 23 Wahrschenlchets-Baumdagramm Bedngte Wahrschenlcheten treten n mehrstufgen Zufallsexpermenten auf, de sch n enem Wahrschenlchets-Baumdagramm veranschaulchen lassen. Dabe schrebt man an de Äste des Baumes de Wahrschenlcheten auf de entsprechende Stufe. Somt lässt sch damt auch der Multplatonssatz graphsch darstellen. 24

13 r s g 4 3 Start Bespel: Baumdagramm für Wahrschenlcheten In ener Urne befnden sch 4 rote, 3 schwarze und grüne Kugel. Es werden (nachenander) 2 Kugel ohne Zurüclegen und mt Beachtung der Rehenfolge gezogen. /8 3/8 4/ g 4 2 s 3 3 r 0 3/7 4/7 /7 2/7 4/7 /7 3/7 3/7 g 0 s 3/56 r 4/56 g 3/56 s 6/56 r 2/56 g s r 4/56 2/56 2/56 W(Z s Z2 r) W(Z s) W(Z r Z s) 25 Satz von der totalen Wahrschenlchet Blden de Eregnsse A, A 2,..., A ene Zerlegung von Ω, so glt für jedes Eregns B: Ω A 2 A B A 4 A 6 A 3 A 5 W(B) W(A B) W(B A ) W(A) Aus der Graph seht man: B A; B A2; L ; B A snd dsjunt: B U W(B) (B A ) W(B) W( W(B A ) U W(B A )) W(B A ) + L+ W(B A ) W(B A ) W(A ) 26

14 Bespel: Satz von der totalen Wahrschenlchet In ener Urne befnden sch 4 rote, 3 schwarze und grüne Kugel. Es werden (nachenander) 2 Kugel ohne Zurüclegen und mt Beachtung der Rehenfolge gezogen. Berechnen Se de Wahrschenlchet dafür, dass de zwete Kugel schwarz wrd. Seen: B: De zwete Kugel st schwarz. A : De erste Kugel st grün, A 2 : De erste Kugel st schwarz und A 3 : De erste Kugel st rot B B A + B A2 + B A3 W(B) W(B A ) + W(B A2) + W(B A3) W(B A) W(A ) + W(B A2) W(A2) + W(B A3) W(A3) Formel von Bayes Blden de Eregnsse A, A 2,..., A ene Zerlegung von Ω, so glt für jedes Eregns B mt W(B)>0: a pror W(A B) W(B A ) W(A ) W(A B) 4243 W(B) a posteror W(B A ) W(A ) mt W(A B) W(B A ) W(A ) W(A B) W(B) und W(B) W(B A ) W(A) De Formel von Bayes folgt unmttelbar aus dem Multplatonssatz und dem Satz von der totalen Wahrschenlchet! 28

15 Bespel: Satz von der totalen Wahrschenlchet In ener Urne befnden sch 4 rote, 3 schwarze und grüne Kugel. Es werden (nachenander) 2 Kugel ohne Zurüclegen und mt Beachtung der Rehenfolge gezogen. Berechnen Se de Wahrschenlchet dafür, dass de erste Kugel grün st, wenn de zwete Kugel schwarz st. Seen: B: De zwete Kugel st schwarz. A : De erste Kugel st grün, A 2 : De erste Kugel st schwarz und A 3 : De erste Kugel st rot a pror W(A B) W(B A) W(A) W(A B) W(B) a posteror W(B A ) W(A ) Bespel: A pror und a posteror Wahrschenlcheten Es wrd en zwestufges Experment mt zwe Urnen durchgeführt, de jewels schwarze und weße Kugeln enthalten. Auf der erste Stufe wrd ene Urne ausgewählt, für de erste (zwete) Urne st de Wahrschenlchet 0, (0,9). De erste Urne enthält 70% schwarze Kugeln, de zwete 40%. Auf der zwete Stufe wrd ene Kugel gezogen. We groß st de Wahrschenlchet, dass ene schwarze Kugel aus Urne stammt? Urne; A Urne 2; B s schwarze Kugel A 2 Gegeben: W(A ) 0,; W(A2) 0,9; W(B A) 0,7; W(B A2) W 2 (B) W(B A ) W(A) + W(B A2) W(A ) 0,43 W(B A) W(A ) 0,07 W( A B) 2 0,43 W(B A ) W(A ) 0,63 0,4 W( A2 B) 0,837 Berechnen Se de a posteror Wahrschenlchet W(A B c )! 30

16 Statstsche Unabhängget von Eregnssen Zwe Eregnsse A und B (mt W(A)>0 und W(B)>0 snd statstsch (stochastsch) unabhängg, wenn glt: W(A B) W(A) W(B) In desem Fall glt glechwertg: W(A B) W(A) W(B) W (A B) W(A) W(B) W(B) Her seht man, dass das Eregns B enen Enfluss auf A hat. Analog: W(B A)W(B) 3 Klasssche Bemessung nach Laplace Idee von Bernoull Laplace (82) Voraussetzungen: Endlche Ergebnsmenge bzw. Eregnsraum Ω Alle Elementareregnsse glechwahrschenlch Se A en Eregns mt A Ω. Dann glt: Anzahl aller für A güngstgen Elementareregnsse A W(A) Anzahl aller für Ω möglchen Elementareregnsse Ω Dese Bestmmung st ncht emprsch orentert. Man ann de Wahrschenlcheten ohne Expermente oder vor enem geegneten Experment durchführen. Daher sprcht man auch von a pror Wahrschenlcheten. 32

17 Bespel: Klasssche Bemessung von Wahrschenlcheten We groß st de Wahrschenlchet bem dremalgen Werfen mt ener Münze mndestens enmal de Ausprägung Zahl zu erhalten? A 7 W (A) W(A) Ω 8 8 Eregns Ᾱ: en mal Zahl, d. h. Ᾱ{(w, w, w)} Ω enthält 8 glechwahrschenlche Elementareregnsse Ω {(z, z, z); (z, z, w); (z, w, z); (z, w, w); (w, z, z); (w, z, w); (w, w, z); (w, w, w)}; A 7; Ᾱ ; Ω 8 Wahrschenlchet für zwe mal Zahl? B 3 W (B) B {(z, z, w); (z, w, z); (w, z, z)}; B 3 Ω 8 33 Klasssche Defnton - Voraussetzungen Für de Bestmmung der entsprechenden Elementareregnsse benötgt man häufg Kenntnsse n Kombnator. (Exurs) Als Begründung der zwete Annahme (Glechwahrschenlchet der Elementareregnsse), verwendet man das Prnzp des unzurechenden Grundes. Deses besagt, dass dese Annahme erfüllt st, wenn es enen hnrechenden Grund gbt, dass bestmmte Elementareregnsse bevorzugt snd. Typsche Bespele snd Expermente mt Münzen, Würfeln oder Urnen. Krt: Ncht anwendbar, wenn. es sch ncht um endlch vele Elementareregnsse handelt. de Elementareregnsse ncht glechwahrschenlch snd 34

18 Emprsche oder statstsche Wahrschenlchet Idee: R. von Mss (928) Bestmmung der Wahrschenlchet als relatve Häufget n enem Zufallsexperment. Voraussetzung:. Wederholbaret enes Zufallsexperments unter onstanten Rahmenbedngungen für ene große Anzahl von Versuchen. Rechnen mt relatven Häufgeten, wobe ene statstsche Stabltät vorausgesetzt wrd W(A) lmfn (A), n mt h(a) f n (A) n Motvaton für desen Ansatz st de Erfahrung, dass mt zunehmenden Umfang der Versuche, de relatve Häufget sch um enen Grenzwert p stablsert. (Emprsche Gesetze der großen Zahlen) 35 Bespel: Emprsche bzw. statstsche Wahrschenlchet Wahrschenlchet für Knabengeburten Jahrgang Knaben Insgesamt Relatve Häufget (umulert) f n (K) / , / , / , / , / ,

19 p 0,55 0,54 0,53 Bespel: Emprsche bzw. statstsche Wahrschenlchet * * * * * Da man ncht unendlch vele Versuchen durchführen ann, brcht man nach ener genügend hohen Anzahl ab und verwendet den Wert als Schätzung. W(K) 0, Mll. Krt: Rahmenbedngungen önnen bswelen ncht onstant behalten werden Versuche snd ncht hnrechend oft wederholbar Insbesondere be Enzelergebnssen lassen sch bede bsher dsuterten Ansätze (Klasssche Bemessung und Statstsche Wahrschenlchet) ncht anwenden. Dafür benötgt man subjetve Methoden 37 Subjetve Bemessung von Wahrschenlchet Idee. De Fnett, Savage, Borel (926) De Wahrschenlchet W(A) lässt sch als subjetve Enschätzung ener Person (Experte) ermtteln, de mt dem Hntergrund das Zufallsexperments vertraut st. Bespel: Dabe wrd folgende (ftve) Wette durchgeführt: Wettenensatz: e a Auszahlung : o falls A entrtt falls A entrtt Man wrd dese Wette annehmen, sofern der erwartete Gewnn G postv st: G W(A) a + W(A) 0 e W(A) a e > 0 De Große e max /a heßt maxmaler Wettquotent. Nach deser Methode arbetet z. B. de Internet-Wahlbörse oder auch Wettbörsen für Sporteregnsse. 38

20 Bespele: Subjetve Bemessung von Wahrschenlcheten m öon. Berech Im öon. Berech ommen subjetve Methoden häufg zur Anwendung: Be der Beurtelung der Konjunturentwclung für das nächste Jahr werden Experten (Sachverständgenrat, 5 Wese) oder Unternehmen (IFO Konjunturtest) nach hrer Enschätzung befragt. Dabe gbt es de Eregnsse +,, -, d. h. (Aufstegen, Glechbleben, Fallen) und man bestmmt aus den Befragungen de subjetven Wahrschenlcheten p +, p, p -. Möglche Reatonen enes Anbeters auf de Pressenung enes Konurrenten um 0,30 Euro pro Enhet für en bestmmtes Gut (z. B. Kaffe). Alternatv Presänderung 0,0 0,00-0,0-0,20-0,30-0,40-0,50 W(w ) 0,0 0,30 0,04 0,05 0,40 0,5 0,05 39 Subjetve Bemessung von Wahrschenlcheten Vortele: ene Expermente erforderlch ene statstsche Regelmäßget nötg Nachtele: Ncht ntersubjetv nachprüfbar Konsensmenung snnvoll 40

21 Schlussbemerung De lasssche, de statstsche und de subjetve Bemessung von Wahrschenlcheten stehen ncht n Gegensatz zum Axomensystem von Kolmogoroff. Kenes deser dre Konzepte st jedoch als formale Bass für de Wahrschenlchetsberechnung geegnet. In der Praxs werden se jedoch snnvoll engesetzt, wenn hre Anwendungsvoraussetzungen mt der Realtät verenbar snd. 4 Interpretaton von Wahrschenlcheten De Regenwahrschenlchet beträgt morgen 30% Psychologen untersuchten weltwet (Informatonsdenst Wssenschaft, , dw-onlne.de), welche Vorstellungen mt deser Aussage verbunden snd. Vorgegebene Vorstellungen waren:. Morgen regnet es auf 30% der Fläche 2. Morgen regnet es 30% der Zet 3. Es wrd an 30% der Tage regnen, welche de gleche Wetterlage we der morgge haben. Während de New Yorer mehrhetlch auf de 3. Opton tppten, am gerade dese Interpretaton den europäschen Befragten besonders unsnng vor. Se favorserten eher de zwete Möglchet, also de Zet, de es regnen würde. Das wrlche Ausmaß der Unlarhet am durch egene Erläuterungen ans Tageslcht: Enge Telnehmer n New Yor und n Berln nterpreterten de Regenwahrschenlchet als ene Art Abstmmungsergebns unter den Wetterexperten; se erlärten, dass von zehn Meteorologen dre davon überzeugt seen, dass es morgen regnen wrd! De Mehrdeutget der Aussage bleb unerannt. Aber der Wahrschenlchetsaussage oben fehlt de Angabe, worauf se sch bezeht, ob auf de Fläche, de Zet oder eben de Tage mt dentscher Wetterlage. De Zahl allen ann fehlnterpretert werden, wenn de Kategoren der Statst das Messonzept ncht endeutg belegen. 42