Inhalt Physik III Teil A: Teil B: Teil C: Teil D:

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1 Vorlesung Physik III WS 1/13 Inhalt Physik III Teil A: Wiederholung Mechanik, Analytische Mechanik, d Alembert sches Prinzip, Lagrange-Funktion und -Gleichungen, Kreiselphysik, Lagrange- Hamilton-Formalismus, Symmetrien und Erhaltungssätze, Hamilton Funktion und - Gleichungen, Hamilton-Jacobi-Theorie, nichtlineare Dynamik Teil B: Wiederholung Wellen in 1-D, Lösungen der Wellengleichung, Lösungen in -D, Membranen, Wellen in 3-D, Schallwellen, Hohlraumresonatoren, Wellen auf Flüssigkeiten, Überlagerung von Wellen, Interferenz und Beugung, stehende Wellen, Schwebungen und Wellenpakete, bewegte Quellen, Dopplereffekt Teil C: Optik, Geometrische Optik, Maxwellgleichungen in Materie, Reflexionsund Brechungsgesetz, Fresnel-Formeln, Matrizenoptik, optische Geräte, Abbildungsfehler, Wellenoptik, Beugung, Kohärenz und Interferenz, Polarisation, Wellenleiter Teil D: Ausgleichsvorgänge, Diffusion, Wärmetransport und Wärmeleitung

2 Vorlesung Physik III WS 1/13 Mechanische Wellen Wir betrachten zu Beginn eine Welle, die sich etwa auf einem Seil nach rechts ausbreitet: A A weiteres Beispiel: -D kreisförmige Wasserwelle r Die Ausbreitung findet also in positiver x- Richtung statt. A ist die transversale Auslenkung des Seils, A die Amplitude der Welle. A ist eine Funktion von x und t A x A( x, t) x Auch dies ist eine Transversalwelle mit Ausbreitung in Richtung von r. Wellenberge und täler sind senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Wählen wir einen festen Ort, also etwa x = x, so wird die Auslenkung A durch eine zeitliche Schwingung beschrieben, also etwa durch: A( x, t) A sin t

3 Vorlesung Physik III WS 1/13 Räumlicher Vorgang: Schauen wir zu einem festen Zeitpunkt t = t hin, so sehen wir eine räumliche Periodizität: Ax ( ) A( x, t t ) x t t noch einmal: Zeitlicher Vorgang Wir schauen an einem festen Ort x = x hin und sehen eine zeitliche Periodizität: A( x x, t) x x At () t Die räumliche Periode der Welle wird charakterisiert durch die Wellenlänge l Die zeitliche Periode der Welle wird also durch die Periodendauer T (Schwingungsdauer T) bestimmt.

4 Vorlesung Physik III WS 1/13 Mathematische Beschreibung: Ax ( ) A( x, t t ) x t t räumliche Variation bei festem t: A( x x, t) x x At () t zeitliche Variation bei festem x: in diesem speziellen Fall: A( x) Asin kx Asin x l Die Wellenlänge l gibt also die Periodizität vor. k heißt Wellenzahl und ist gegeben durch: k l in diesem speziellen Fall: A( t) Asin t Asin t T Die Periodendauer T gibt also die Periodizität vor. heißt Kreisfrequenz und ist gegeben durch (f = Frequenz): f T

5 Vorlesung Physik III WS 1/13 Beschreibung durch Differentialgleichungen: A( x x, t) x x At () zeitliche Variation bei festem x: Ax ( ) A( x, t t ) t t räumliche Variation bei festem t: t A( t) A sin t Diese Lösung erhielten wir aus der Differentialgleichung des harmonischen Oszillators: t A A Diese lineare DGL. Ordnung beschreibt also die zeitliche Änderung x A( x) A sin kx In Analogie erhalten wir diese Lösung aus der Differentialgleichung x A k A Diese lineare DGL. Ordnung beschreibt also die räumliche Änderung

6 Vorlesung Physik III WS 1/13 Beide Differentialgleichungen lassen sich zu einer Differentialgleichung. Ordnung zusammenfassen. t x A A A k A Wir lösen die erste DGL nach A auf und setzen ein: 1 A A t A k A x t Die neue DGL enthält nun die zweifache Ableitung von Ort und Zeit! Wir fassen die Koeffizienten noch zur Ausbreitungsgeschwindigkeit v zusammen mit v k und erhalten die eindimensionale Wellengleichung A( x, t) 1 A( x, t) x v t Hinweise: - alle Lösungen dieser DGL sind Wellen - die Wellengleichung ist eine lineare, partielle DGL. Ordnung mit konstanten Koeffizienten - v ist die Phasengeschwindigkeit der Welle (siehe unten) - in einer Welle findet kein Materietransport statt - in einer Welle wird Energie transportiert.

7 Vorlesung Physik III WS 1/13 Wellentypen: z y Bei einer Transversalwelle variiert die relevante physikalische Größe A räumlich und zeitlich senkrecht zur Ausbreitungsrichtung (hier x). Im Fall 1 ist die Welle in y-richtung, im Fall in z-richtung polarisiert. Im Fall 3 variiert A in Ausbreitungsrichtung. Dieses Wellen heißen Longitudinalwellen. x x x Beispiele: Transversalwellen: elektromagnetische Wellen ( Licht ) Wellen auf Stäben, Seilen, Saiten (transversale Auslenkung von Materie) Wellen auf langen Federn (transv. Ausl.) Wasserwellen (z.t.) Gravitationswellen Longitudinalwellen: mechanische Wellen in Materie (Gase, Flüssigkeiten, Festkörper), Druckwellen (Spezialfall: Schall) Wasserwellen (z.t.) Longitudinalwellen auf Spiralfedern

8 Vorlesung Physik III WS 1/13 Die Wellengleichung in 3 Dimensionen Die physikalische Größe A hängt hier neben der Zeit von allen drei räumlichen Koordinaten ab: A( x, t) A( x, y, z, t) A( r, t) An den Überlegungen des eindimensionalen Falles ändert sich nichts. Es folgt wieder eine partielle lineare DGL. Ordnung, die nun die zweiten räumlichen Ableitungen der Größe A enthält: A( r, t) A( r, t) A( r, t) 1 A( r, t) x y z v t Die räumlichen Ableitungen fassen wir im so genannten Laplace-Operator D zusammen: 1 A( r, t) D DA( r, t) x y z v t Dies ist die Wellengleichung in 3 Dimensionen mit v als Betrag der Ausbreitungsgeschwindigkeit (= Phasengeschwindigkeit)

9 Vorlesung Physik III WS 1/13 Einfache Lösungen der Wellengleichung in 1D Die einfachste Lösung der 1D- Wellengleichung A( x, t) 1 A( x, t) x v t hatten wir bereit für die räumliche und zeitliche Änderung von A getrennt betrachtet. Es handelt sich um eine monochromatische Welle mit einer einzigen Frequenz mit A( x, t) A sin( kx t) k Wellenphase j, l T Wir bilden die Ableitungen und erhalten: A( x, t) k A sin( kx t) x A( x, t) A sin( kx t) t Wir setzen in die DGL ein: k A sin( kx t) v v k v k v ist die Phasengeschwindigkeit der Welle, also die Geschwindigkeit mit der sich Orte gleicher Wellenphase entlang x ausbreiten.

10 Vorlesung Physik III WS 1/13 Die Phasengeschwindigkeit einer monochromatischen Welle Daraus erhalten wir: für Orte konstanter Wellenphase gilt: j kx t const. insbesondere gilt dann: kx t k( x Dx) t Dt kx kdx t Dt kdx Dt Dx v Dt k Wegen k, f l T folgt sofort v und schließlich v l k T l Die Phasengeschwindigkeit ist also das Produkt aus Wellenlänge l (räumliche Periodizität) und Frequenz f (zeitliche Periodizität) f

11 Vorlesung Physik III WS 1/13 nach rechts laufende monochromatische Welle zu verschiedenen Zeitpunkten A( x, t) A sin( kx t)

12 Vorlesung Physik III WS 1/13 Neben der Sinus-Lösung ist natürlich auch A( x, t) A cos( kx t) eine Lösung der Wellengleichung. Dies gilt auch für die Exponentialfunktion: A( x, t) A e i( kxt ) A exp i kx t Neben der monochromatischen Welle gibt es eine Vielzahl von möglichen Lösungen der Wellengleichung. Diese kann man sich aus monochromatischen Wellen zusammengesetzt denken (später mehr): Beispiele für mögliche Lösungen: Auch dies ist eine Welle, allerdings ist hier nur der Realteil physikalisch relevant: A( x, t) Re A exp i kx t A Re cos( kx t) isin( kx t) A cos( kx t) Zeit t

13 Vorlesung Physik III WS 1/13 Einfache Lösungen der Wellengleichung in 3D: Die Wellengleichung mit dem Laplace- Wir bilden wieder die zweifachen Operator D lautete: Ableitungen: 1 A( r, t) DA( r, t) v t Aus der 1D-Lösung schließen wir auf folgende ebene, monochromatische Welle als mögliche Lösung mit A( x, t) A sin( kx t) A( r, t) A sin( k r t) k k k k x y z k Wellenzahlvektor k k k k k x y z l DA r t k A k r t (, ) sin( ) A( r, t) t A sin( k r t) Wir setzen in die Wellengleichung ein und erhalten wieder k A sin( k r t) v k v v k k k k x y z

14 Vorlesung Physik III WS 1/13 Im Fall der Lösung A( r, t) A sin( k r t) spricht man von einer ebenen Welle. Die Ausbreitungsrichtung entspricht der Richtung des Vektors der Wellenzahl k. Dieser Vektor steht senkrecht auf den Wellenfronten (Punkte gleicher Phase!). In unserem Fall gilt speziell: kx x k r y kx x z Hinweis: Die Lösung A( r, t) A sin( k r t) entspricht einer Welle in die entgegen gesetzte Richtung l

15 Vorlesung Physik III WS 1/13 Kugelwelle: Sie wird beschrieben durch A r t A kr t r (, ) sin( ) mit r x y z Auch diese Lösung erfüllt die Wellengleichung. Die Ausbreitungsrichtung ist nun radial nach außen. Orte gleicher Phase (Wellenfronten) sind nun im D-Fall Kreise (Wasserwellen) bzw. Kugeloberflächen im 3D-Fall. Dies gilt etwa für Schallwellen, die sich von einem punktförmigen Strahler nach außen ausbreiten. l Die Amplitude muss nach außen abnehmen (konstanter Energiefluss). Später mehr.

16 Vorlesung Physik III WS 1/13 Schwebungen Überlagerung von Wellen Wir betrachten zwei Wellen gleicher Amplitude aber unterschiedlicher Frequenz. Auch die Summe beider Wellen ist dann wieder eine Lösung der Wellengleichung. A( x, t) A cos( k x t) B( x, t) A cos( k x t) A B A B C( x, t) A( x, t) B( x, t) A cos( k x t) cos( k x t) Für die Addition der Winkelfunktion gilt nun: A A B B a b a b cos acos bcos cos und wir erhalten: ka kb x A B t ka kb x A B t C( x, t) A cos cos wir definieren: ka kb A B ka kb A B k,, Dk, D

17 Vorlesung Physik III WS 1/13 und erhalten schließlich C( x, t) A cos Dk x D t cos k x t A ( x, t)cos k x t Dies ist nun eine Welle mit der mittleren Kreisfrequenz und einer orts- und zeitabhängigen Amplitude A ( x, t). und der mittleren Wellenzahl k C Welle mit Mittelwerten Einhüllende zeitl. veränderliche Amplitude

18 Vorlesung Physik III WS 1/13 Schwebung als Folge der Überlagerung = Addition zweier monochromatischer Wellen + =

19 Vorlesung Physik III WS 1/13 Die von zwei Stimmgabeln erzeugten Schallwellen werden von den Resonanzkörpern aus Holz verstärkt abgestrahlt und so im Außenraum überlagert. Stimmgabeln sind auf dieselbe Frequenz abgestimmt. Das Resultat ist eine Verstärkung der Intensität. Eine Schwebung tritt nicht auf. Stimmgabeln sind verstimmt. Es tritt eine periodische Schwankung der Schallintensität auf (Schwebung) Experiment:

20 Vorlesung Physik III WS 1/13 Beispiel für Schwebungsphänomene v Gruppe v Gruppe Überlagerung von zwei Wellen Überlagerung von vielen Wellen = Wellenpaket Für die Phasengeschwindigkeit gilt natürlich Die Gruppengeschwindigkeit beschreibt die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Wellengruppe (= der Wellenpakete), also Punkte gleicher Phase der Einhüllenden: A ( x, t) A cos Dk x D t DxGr Dk xgr D tgr const. vgr Dt Gr Gr Gr vph D Dk l f k oder differentiell und allgemein: v Gr d( k) dk

21 Vorlesung Physik III WS 1/13 Reflexion von Wellen: am Beispiel von Seilwellen a) festes Ende: Bei der Reflexion am festen Ende findet ein Phasensprung um statt, da sich am Ende ein Knoten der Welle befinden muss. (b) loses Ende: Bei der Reflexion einer Welle an einem losen Ende findet kein Phasensprung statt, da das Ende der Wellenbewegung folgen kann. Dieses Konzept kann auf eine Vielzahl von Anwendungen und Wellentypen erweitert werden (siehe später)

22 Vorlesung Physik III WS 1/13 Stehende Wellen: Wir denken uns eine Welle mit Ausbreitung in positiver x-richtung (hinlaufende oder vorlaufende Welle genannt) und eine in negativer x-richtung (reflektierte oder rücklaufende Welle genannt) und überlagern beide: hinlaufende Welle: rücklaufende Welle: Wir überlagern beide und erhalten: A( x, t) A ( x, t) A ( x, t) hin A ( x, t) A cos( kx t) hin A ( x, t) A cos( kx t) rück A cos( kx t) cos( kx t) A (cos kx cos t sin kx sin t ) A (cos kx cos t sin kx sin t ) A( x, t) A cos kx cos t rück Diese Überlagerung nennt man stehende Welle. Es handelt sich hierbei um eine harmonische Schwingung mit der Kreisfrequenz, dessen Amplitude wegen A cos kxvom Ort x abhängt.

23 Vorlesung Physik III WS 1/13 Durch die Überlagerung einer hin- und einer rücklaufenden Welle gleicher Amplitude ergibt sich eine stehende Welle mit raumfesten Knotenpunkten bzw. Schwingungsbäuchen Beispiel: Schwingung einer Saite ( feste Enden) Grundschwingung GS 1. Oberschwingung 1. OS. Oberschwingung /. OS

24 Vorlesung Physik III WS 1/13 Saiteninstrumente: Grundprinzip ist die beidseitig eingespannte Saite. Die Grundschwingung hat damit eine Wellenlänge, die der halben Saitenlänge entspricht l L Die Ausbreitungsgeschwindigkeit v (Phasengeschwindigkeit) hängt von der Saitenspannung und der Massendichte r ab v F / r A Resonanzkörper Hier ist F die Kraft, mit der die Saite gespannt ist, A ist Querschnittsfläche der Saite. Die Schwingungs-frequenz f folgt dann zu f v l Der Klang des Instruments kommt durch die Beimischung der Oberschwingungen zu Stande.

25 Vorlesung Physik III WS 1/13 Stroboskopische Aufnahme einer beidseitig eingespannten schwingenden Saite

26 Vorlesung Physik III WS 1/13 Schallwellen Schall wird über longitudinale Wellen (Druckschwankungen in Ausbreitungsrichtung) übertragen. Schallwellen, wie alle mechanischen Wellen bedürfen daher eines Mediums (etwa Luft, Wasser). Ohne Medium, etwa im Vakuum, findet, daher keine Übertragung statt. Hinweis: Elektromagnetische Wellen ( Licht ) existieren auch im Vakuum, bedürfen also keines Mediums. Man braucht daher auch den bis zum Ende des 19. Jh. postulierten Äther als Medium nicht. Experiment: Klingel unter Vakuum

27 Vorlesung Physik III WS 1/13 Akustik / Grundlagen Akustik: Lehre vom Schall und seiner Ausbreitung in einem Medium, aber auch sämtliche damit zusammenhängenden Gesichtspunkte, wie Entstehung und Erzeugung, Beeinflussung und Analyse von Schall. Schall: Akustische Welle etwa in Luft / Longitudinalwelle

28 Vorlesung Physik III WS 1/13 Experiment: Das Rijke-Rohr Stehende akustische Welle in einem auf beiden Seiten offenen Glasrohr. Selbsterregung über heißes Drahtgitter: Die die Schwingung tragenden Druckunterschiede werden durch den im Takt der Schwingung erfolgten Auftrieb am Gitter angeworfen. L=,7 m c 343 m / s l L 1, 4m f 45Hz l 1,4m Oberwelle f f 49Hz Die tatsächlichen Frequenzen liegen etwas höher

29 Vorlesung Physik III WS 1/13 Experiment: Stehende Ultraschallwellen Schallgesc hwindigkei t c 1483m / s in Wasser bei T Wellenläng e C Frequenz Ultraschall : 8kHz l c 1.85 mm In einer wassergefüllten Küvette werden durch Reflexion am Küvettenboden stehende Ultraschallwellen erzeugt (Abstand Schallkopf - Boden = n λ/; n = 1,, 3...). Durch den Schalldruck ändert sich die Dichte und damit der Brechungsindex des Wassers periodisch. Man projiziert mit einem aufgeweiteten Laserstrahl senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Ultraschallwelle und bildet das Wellenfeld mit einer Linse auf der Hörsaalwand ab. Die Wellenknoten erscheinen als helle Linien, weil hier der Brechungsindex unverändert ist.

30 Vorlesung Physik III WS 1/13 Ultraschall l c Eindringtiefe Objekt-Auflösung ~ 1/

31 Vorlesung Physik III WS 1/13 Ultraschall-Technik Erzeugung und Empfang Frequenzen : f 16kHz 1GHz Basis: Piezoelektrischer Effekt Betrieb als Ultraschall-Sender: Angelegtes elektrisches Feld erzeugt Materialspannung. Im linearen Bereich gilt: DL d E L Betrieb als Ultraschall-Empfänger: Mechanische Spannung s erzeugt Polarisation P und äußere Spannung U U gs g = elektroakustischer Wandlungskoeffizient Ultraschallwandler = Sender und Empfänger d [pm/v] g [mv. m /N] Quarz,3 57 Bariumtitanat Bleizirkontitanat

32 Vorlesung Physik III WS 1/13 Ultraschall-Wandler Medizinische Anwendungen Dicke der Piezo-Scheibe so gewählt, dass gerade eine Stehwelle hineinpasst: Optimierung der Empfindlichkeit