Ferienkurs Experimentalphysik 3

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1 Ferienkurs Experimentalphysik 3 Übung Qi Li, Bernhard Loitsch, Hannes Schmeiduch Donnerstag, Schwarzer Körper Außerhalb der Erdatmosphäre misst man das Maximum des Sonnenspektrums bei einer Wellenlänge von λ = 465nm a) Betrachten Sie die Sonne näherungsweise als schwarzen Strahler und bestimmen Sie die Oberflächentemperatur T S der Sonne. Mit dem Wienschen Verschiebungsgesetz erhält man sofort die Lösung für die gesuchte Temperatur: T = λ max = b T b λ max = 6237K b) Die vom Merkur ausgesandte Schwarzkörperstrahlung entspricht einer Temperatur von T M = 442.5K. Bestimmen Sie den Abstand r des Merkurs von der Sonne unter der Annahme thermischen Gleichgewichts und eines kreisförmigen Orbits. Der Radius der Sonne beträgt R S = km, der des Merkurs ist R S = 2439, 7. (Nehmen Sie an, dass die Oberfläche des Merkurs nicht reflektierend ist!) 1

2 Die abgestrahlte Leistung der Sonne beträgt nach dem Steffan-Boltzmann- Gesetz P S = 4π R 2 S σ T 4 S mit σ als Stefan-Boltzmann-Konstante. Damit nun Gleichgewicht vorherrscht, muss die vom Merkus absorbierte Strahlungsleistung gleich seiner emittierten sein: P abs = P S πr2 M 4πr 2! = 4π R 2 M σ T 4 M = P em Setzt man nun noch die Strahlungsleistung P S der Sonne ein, muss nur noch nach r aufgelöst werden: 4πR 2 S σt 4 S πr2 M 4πr 2 = 4πR 2 M σt 4 M 2 Schwarzer Strahler r 2 = T S 4 RS 2 TM 4 4 r = 6, m Rote Zwerge haben typischer Oberflächentemperaturen zwischen 2500 K und 4000 K. Sie sind die häufigsten Sterne im Universum. Die Massen bewegen sich zwischen einigen Prozent und der Hälfte der Sonnenmasse. Ein typischer Vertreter ist "Gliese 876" in einer Entfernung von 15,2 Lichtjahren zu unserem Sonnensystem. Er hat eine Masse 0,32 Sonnenmassen, etwa 36% des Sonnendurchmessers und eine Oberflächentemperatur von 3000 K. Berechnen Sie unter der Annahme, dass der Stern wie ein perfekter Schwarzkörperstrahler strahlt: a) die gesamte emittierte Strahlungsleistung (in Watt) bei T=3000K Lösung Wir verwenden das Stefan-Boltzmann-Gesetz: R = P A = σt 4 = 5, W m 2 K 4 (3000K)4 = 4, W m 2 Wobei A die Oberfläche des Stern ist. Als Gesamtleistung P erhalten wir somit ungefähr: R 4πr 2 = 3, W Die Strahlungsleistung der Sonne beträgt übrigens etwa 3, W. b) die Wellenlänge λ max, bei der das Strahlungsspektrum R(λ, T ) einen Peak aufweist Lösung Die maximale Wellenlänge λ max berechnet sich über das Wiensche Gesetz: λ max = b T = 2, Km = 967nm 3000K 2

3 c) den Anteil der Energie, der im sichtbaren Bereich des elektromagnetischen Spektrums (400nm - 700nm) emittiert wird Lösung Der Bruchteil der Strahlung im sichtbaren Licht sei r: r = R Licht R Die Integration des Plankschen Strahlungsgesetzes über den sichtbaren Spektralbereich liefert den Wert für R Licht : R Licht = 700nm 300nm Im Nenner können wir die 1 weglassen, da: = 2πhc2 1 λ 5 dλ e hc 1 hc = 6, Js m 1, J/K 3000K = 6, 8 da e 6, e hc Wir substituieren nun: R Licht = 1 e hc 700nm 300nm hc = x dλ = hc k B T x 2 dx R Licht = 2π k4 B T 4 = 2πhc2 1 λ 5 dλ e hc h 3 c x 3 e x dx Dieses Integral kann man mit folgender Formel lösen: x n e ax dx = eax a n+1 ( (ax) n n(ax) n 1 + nn 1(ax) n ( 1) n n! ) mit n = 1, 2, 3 R Licht = 2π k4 B T 4 h 3 c 2 e x (x 3 + 3x 2 + 6x + 6) 7 12 = 0, W m 2 r = R Licht R = 7, 3% 3 Compton Streuung a) Skizzieren Sie einen Versuchsaufbau zur Untersuchung des Comptoneffektes, beschriften Sie die Skizze und erläutern Sie knapp den Versuchsablauf. Bei einer Messung tritt unter dem Winkel δ = 90 Strahlung auf, deren Wellenlänge bei der Streuung verdoppelt wurde. 3

4 b) Bestimmen Sie die Frequenz der einfallenden Strahlung mit λ c = h m 0c λ = λ c (1 cosθ) der Comptonwellenlänge λ = λ = λ c (1 cos(90 ) λ = c f = c λ c = m 0 h Hz = 1, Hz c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit des gestoßenen Elektrons. E = hc λ E γ = hc hc = hc = c2 m 0 = 1 λ c 2λ c 2λ c keV E γ = E e E relativistische Rechnung E = mc 2 = m 0c 2 1 β 2 1 β2 = 2 3, β = 5 9 = 5 3 v 2, m s d) Berechnen Sie den Winkel ɛ, den die Flugrichtung des gestoßenen Elektrons mit der Richtung der Primärstrahlung einschließt Winkel δ = 90 rechtwinkliges Dreieck tanɛ = p γ = p γ + p e p γ p γ = λ 2λ = 1 2 ɛ = 27 4 Photoeffekt Blaues Licht der Wellenlänge λ = 430nm falle auf eine Photozelle, deren lichtelektrische Schicht eine Quanteneffizienz von η = Ne N ph = 0, 14. a) Wie groß ist die Strahlungsleistung des auf die Photozelle fallenden blauen Lichts, wenn ein maximaler Photoelektronenstrom von 0,5mA fließt? 4

5 Maximaler Photostrom bedeutet, dass alle freigeschlagenen Elektronen die Kathode erreichen. Wir nutzen I = Q t, E = hν, N e = ηn ph, N e = Q e Es gilt P = E t = N phe ph = N ee ph = hνi t η t ηe = hci ηeλ W b) Welche Austrittsarbeit W A hat das Material der lichtelektrischen Schicht, wenn durch ein Gegenfeld der Spannung U = 0, 94V der Strom vollständig unterdrückt werden kann? Hier können selbst die energiereichsten Elektronen die Kathode nicht erreichen E = eu = hν W A umstellen liefert W A = hc λ eu 1, 94eV c) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Photoelektronen wenn keine Gegenspannung angelegt ist. Da die Ruheenergie von Elektronen deutlich höher ist als die verwendete Strahlungsenergie, können wir klassisch rechnen. E = hc λ W A = 1 2 mv2 auflösen nach der Geschwindigkeit liefert 2( hc λ v = W A) 5, m/s m d) Ab welcher Wellenlänge tritt kein Strom auf, wenn sie annehmen, dass die lichtelektrische Schicht aus Cäsium besteht, dessen Austrittsarbeit W A = 2, 14eV beträgt? Hier muss die Photonenenergie kleiner als die Austrittsarbeit sein. daraus folgt E = hc λ W A λ hc W A 579nm 5

6 5 Oberflächentemperatur a) Außerhalb der Erdatmosphäre misst man das Maximum des Sonnenspektrums bei λ = 465nm. Berechnen sie daraus die Oberflächentemperatur der Sonne. Wir nutzen das Wiensches Verschiebungsgesetz und lösen nach der Temperatur auf: T = 0, 2898cm k B 465nm 6232K b) Tatsächlich ist die Oberflächentemperatur T S = 5700K. Berechnen sie nun die Oberflächentemperatur der Erde. Nehmen sie dazu an, dass die Erde ein schwarzer Körper im thermischen Gleichgewicht ist. Die Temperatur der Erde werde Tag und Nacht gleich angeommen. Hier können wir das Stefan-Boltzmann-Gesetz nutzen. Wir verwenden außerdem A E, = πr 2 E, A S = 4πr 2 S, A E = 4πr 2 E, A K = 4πR 2. R ist hier der Abstand zwischen Erde und Sonne, A E, die bestrahlte Erdoberfläche als Kreis. Für die Strahlungsleistung der Sonne gilt: Daraus folgt für die Intensität P S = σa S T 4 S I S = P S A Damit können wir die auf der Erde eingehende Strahlungsleistung bestimmen: P E = I A K = σa E T 4 E Der letzte Schritt ist durch das thermische Gleichgewicht begründet, da hier die absorbierte Strahlungs der abgestrahlten Leistung entsprechen muss. Durch Umformen erhalten wir T E = T S AS A E, A K A E = T S rs 2R 275K 6

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