Einführung in die Numerik strukturerhaltender Zeitintegratoren. Leonard Schlag 6. Dezember 2010

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1 Einführung in die Numerik strukturerhaltender Zeitintegratoren Leonard Schlag 6. Dezember

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung in die Numerik strukturerhaltender Zeitintegratoren Häuge Problemstellung: Das N-Körper Problem Grenzen der analytischen Lösungsmethoden Bekannte numerische Verfahren Einfache strukturerhaltende Zeitintegratoren Symplektische Verfahren Beispiele für symplektische Verfahren Numerische Experimente 7 3 Literaturverzeichnis 12 2

3 1 Einführung in die Numerik strukturerhaltender Zeitintegratoren In diesem Kapitel wollen wir die Einführung von strukturerhaltenden numerischen Verfahren motivieren. Später werden wir sehen, dass diese Verfahrensklasse optimal für die Approximation von Hamilton-Systemen ist und es viele Methoden zur Konstruktion solcher Verfahren gibt. 1.1 Häuge Problemstellung: Das N-Körper Problem Energieerhaltende dynamische Systeme, wie sie zum Beispiel in der Molekularphysik oder Astrophysik vorkommen, werden häug durch das klassische N-Körper Problem beschrieben. Hier werden N Punktmassen jeweils ein Anfangswert (Masse m i, Ort q i und Geschwindigkeit v i, vgl. Abbildung 1), zugewiesen. Ebenso werden mittels physikalischer Gesetze (z.b. Newton) die Kräfte formuliert, welche die Punktmassen aufeinander auswirken [1]. Für gegebene Anfangsbedingungen ist man nun daran interessiert, wie sich das System in einem langen Zeitraum verhält. Abbildung 1: Beispiel eines N-Körper Problems Es wird angenommen, dass die Kraft am i-ten Teilchen über den negativen Gradienten einer Funktion V, welche die potentielle Energie des i-ten Teilchens in Abhängigkeit der anderen Teilchen beschreibt, bestimmt werden kann. Also: F i = qi (V (q 1, q 2,..., q N )) (1) In Form einer Dierentialgleichung lässt sich das N-Körper Problem nun wie folgt 3

4 formulieren: d dt q i = v i (2) d m i dt v i = F i i = 1,..., N (3) Die Gesamtenergie E(q, v) entlang der exakten Lösung (q(t), v(t)) eines N-Körper Problems, welche zu jeder Zeit gleich groÿ ist, lässt sich über die Summe aller Energien bestimmen: E(q, v) = 1 2 N m i v i 2 + V (q) i=1 Anmerkung: Diese Gleichung ist insofern wichtig, als dass sie später die Basis für Hamilton-Systeme bildet. Im Folgenden wird stets von einer Problemstellung nach 1.1 ausgegangen 1.2 Grenzen der analytischen Lösungsmethoden Analytische Methoden, welche benutzt werden können um gewöhnliche und partielle Dierentialgleichungen zu lösen, sind bei den meisten physikalischen Problemstellungen der Form (2) nicht anwendbar. Beispiel für ein nicht exakt lösbares Problem: Beispiel 1: Das 3-Körper Problem d dt x i = v i, i {1, 2, 3} (4) d 3 dt v Gm i m l (x i x l ) i = x i x l 3 (5) l=1,l i Anmerkung: In Bsp. 1 ist x i ein Vektor. 1.3 Bekannte numerische Verfahren Aus Numerik 1 sind bereits diverse numerische Verfahren bekannt, um allgemeine Dierentialgleichungen zu lösen. Hierzu gehören zum Beispiel: 1 Expliziter Euler z n+1 = z n + hf(z n ) 2 Impliziter Euler z n+1 = z n + hf(z n+1 ) 4

5 3 Klassisches Runge Kutta k 1 = f(z n ) k 2 = f(z n + h 2 k 1) k 3 = f(z n + h 2 k 2) k 4 = f(z n + hk 3 ) z n+1 = z n + h 6 (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 ) Schwächen der bisherigen Verfahren: ˆ Keines der Verfahren gewährleistet Energieerhaltung / Strukturerhaltung (Theoretisch liefert h 0 Energie- und Strukturerhaltung, jedoch sind sehr kleine Schrittweiten in der Praxis nicht anwendbar) ˆ Meistens steigt der Fehler mit der Gröÿe des Zeitintervalls, jedoch ist ein groÿes Zeitintervall oft von Interesse Die Schwächen der Verfahren lassen sich sehr gut am einfachen Beispiel des 3- Körper Problems (4)&(5) ausmachen (vgl. Kapitel 2). 1.4 Einfache strukturerhaltende Zeitintegratoren Symplektische Verfahren Die Klasse der symplektischen Verfahren eignet sich sehr gut zur Beschreibung von energieerhaltenden dynamischen Systemen. Dies liegt daran, dass sie die Struktur des zugrundeliegenden Anfangwertproblems erhalten. Um einen kleinen Einblick in die Funktionsweise dieser numerischen Methoden zu erhalten, benötigt man die Denition einer symplektischen Funktion. Def. 1: Symplektische Abbildung Eine Lineare Abbildung A : R 2d R 2d heiÿt symplektisch, wenn gilt: mit ω deniert als: ω(av, Aw) = ω(v, w) ω(v, w) = v T Jw J = v, w R 2d ( 0 ) Id I d 0 5

6 Dies ist äquivalent zu A T JA = J [2] Bemerkung 1: Für d = 1 gilt A symplektisch det(a) = 1 Geometrisch interpretiert erhält A angewandt auf 2 Vektoren η, ξ R 2 die Fläche des Parallelograms, welches von η und ξ aufgespannt wird: Abbildung 2: Flächenerhaltung einer symplektischen linearen Abbildung A Def. 2: Eine dierenzierbare Abbildung g : U R 2d mit U R 2d oen heiÿt symplektisch, falls die Jakobi-Matrix g (v) für alle v U symplektisch ist, d.h. g (v) T Jg (v) = J Beispiele für symplektische Verfahren Ein Einschrittverfahren heiÿt symplektisch, falls es, angewandt auf ein Hamilton- System, eine symplektische Abbildung beschreibt [3]. Die genaue Begründung für die Strukturerhaltung symplektischer Verfahren wird in späteren Kapiteln geliefert, jedoch lässt es sich informal dadurch erklären, dass der Fluss von Hamilton-Systemen symplektisch ist und die Verfahren aufgrund ihrer Symplektizität gewisse Gröÿen erhalten. Beispiel 2: Symplektische Euler-Verfahren (q, v wie in (2) und (3)) v n+1 = v n + hf (q n ) q n+1 = q n + hv n+1 Das symplektische Euler-Verfahren kann als Verschmelzung des expliziten und impliziten Euler-Verfahrens gesehen werden. Hierbei bleibt es dennoch explizit, da es die spezielle Form der Dierentialgleichung in 1.1 ausnutzt. Dieses Verfahren hat denselben Aufwand wie das explizite Euler-Verfahren, jedoch kann man den Unterschied am Beispiel des mathematischen Pendels leicht erkennen ( vgl. 6

7 Kapitel 2). Beispiel 3: Störmer-Verlet Verfahren v n+ 1 2 = v n + h 2 F (qn ) q n+1 = q n + hv n+ 1 2 v n+1 = v n h 2 F (qn+1 ) Das Störmer-Verlet Verfahren ist ein symplektisches Verfahren der Ordnung 2 und nutzt ebenfalls die Form der Dierentialgleichung in 1.1 aus. Auch dieses Verfahren ist angewandt auf Bsp. 1 explizit. 2 Numerische Experimente Wir wenden die in 1.3 und genannten Verfahren auf das 3-Körper Problem und das mathematische Pendel an, um die Unterschiede der verschiedenen Verfahren deutlich zu machen. Das mathematische Pendel Das mathematiche Pendel wird durch folgende Dierentialgleichung beschrieben: d dt ϕ = v (6) d dt v = g sin(ϕ(t)) L (7) Verwendete Konstanten: Masse m = 1, g = 1, L = 1 nach Gl. (7) Anfangswerte: ϕ 0 = 50, v 0 = 1 7

8 Abbildung 3: Phasenkurve und Energiefehler für das explizite und implizite Euler Verfahren im Intervall [0,60] Sekunden. Schrittweite h=0.06 In Abbildung 3 lassen sich deutlich die Mängel des impliziten und expliziten Euler-Verfahrens erkennen. Das implizite Verfahren wirkt dämpfend auf das Pendel, was bedeutet, dass (ϕ, v) (0, 0) für groÿe Zeitintervalle. Dies erklärt auch, warum der prozentuale Energiefehler des impliziten Euler-Verfahrens gegen 0 konvergiert. Im Gegensatz dazu wirkt das explizite Verfahren anregend auf das Pendel. Somit erhöht sich der maximale Energiefehler mit der Gröÿe des Zeitintervalls und nach 60 Sekunden liegt der prozentuale Fehler bereits bei über 200%. Wie die echte Phasenkurve des Pendelproblems aussieht erkennt man an der nächsten Abbildung (Abbildung 4). Hier wurde für die Approximation das symplektische Euler-Verfahren mit denselben Anfangsbedingungen verwendet. Dieses Verfahren wirkt weder dämpfend noch anregend auf das System und erhält auch für groÿe Zeiträume die Energie (mit einem kleinen, jedoch bezüglich der Intervallgröÿe konstantem Fehler). 8

9 Abbildung 4: Phasenkurve und Energiefehler für das symplektische Euler- Verfahren im Intervall [0,60] Sekunden. Schrittweite h=0.06 9

10 Das 3-Körper Problem: Starre Sonne-Erde-Jupiter Abbildung 5: Bahnkurve und Energiefehler für das explizite Euler-Verfahren im Intervall [0,64] Jahre. Schrittweite h=2.9 Tage Abbildung 6: Bahnkurve und Energiefehler für das implizite Euler-Verfahren im Intervall [0,64] Jahre. Schrittweite h=2.9 Tage 10

11 Abbildungen 5 und 6 lassen sich analog zu Abbildung 3 interpretieren. Das Verhalten der Erde (innerer Planet) in Abbildung 6 resultiert aus der Dämpfung des impliziten Verfahrens. Da jedoch der Nullpunkt (hier der Mittelpunkt des Graphen) auch eine Singularität des Systems darstellt (vgl. Gleichung 5), wird die Erde beim Annähern an diesen Punkt nach auÿen geschleudert. Im Vergleich dazu wurde in Abbildung 7 das 3-Körper-Problem mit einem symplektischen Verfahren der Ordnung 2 (Störmer-Verlet) approximiert, welches den maximalen Energiefehler auch für einen groÿen Zeitraum klein hält. Abbildung 7: Bahnkurve und Energiefehler für das Störmer-Verlet Verfahren im Intervall [0,64] Jahre. Schrittweite h=2.9 Tage 11

12 3 Literaturverzeichnis Literatur [1] B. Leimkuhler und S. Reich, Simulating Hamiltonian Dynamics, vol. 14 of Cambridge Monographs on Applied and Computional Mathematics, S. 2, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2004 [2] R. Berndt, Einführung in die Symplektische Geometrie, S. 9f, Vieweg, Wiesbaden, 1998 [3] E. Hairer, Geometric Numerical Integrators, Lecture 2: Symplectic integrators, S. 1, TU München, München,