Zustandsraum: Historische Einordnung

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1 Zustandsraum: Historische Einordnung Die Grundlagen der Zustandsraummethoden wurden im Zeitraum von Kalman und seinen Kollegen in dem Research Institute for Advanced Studies in Baltimore entwickelt. Diese orschungen waren sehr stark durch das Wettrennen zum Mond motiviert worden. Kalman führte Ende der 1950er Jahre das Konzept der Steuer- und Beobachtbarkeit ein. Ohne die Entwicklung des sogenannten Kalman-ilters (Algorithmus zur optimalen Schätzung von Zustandsgrößen anhand verrauschter Meßdaten) wären die amerikanischen Raumfahrterfolge in den 60er Jahre nicht möglich gewesen. Bis in die 1980er Jahre hinein wurde die orschung und Entwicklung in der durch die Zeitbereichsmethoden im Zustandsraum bestimmt.

2 Zustandsraum: Einführung Beschreibung dynamischer Systeme Übertragungsmodell Dgln höherer Ordnungen Übertragungsfunktion unktionentheorie, komplexe Zahlen Zustandsraummodell Dgln erster Ordnung Transitionsmatrix Matrizenrechnung, lineare Algebra Einführung innerer Größen

3 Zustandsraum: Einführung (2) Ein und Mehrgrößensysteme (Systeme mit mehr als einer Ein bzw. Ausgangsgröße bezeichnet man als Mehrgrößensysteme) können formal gleich behandelt werden. Diese Beschreibungsform ist auch für nichtlineare und zeitvariante Systeme geeignet. Die Zustandsraumdarstellung ist sowohl für die theoretische Behandlung (analytische Lösungen, Optimierung) als auch für die numerische Analyse und Berechnung gut geeignet. Diese Darstellung erlaubt einen besseren Einblick in das innere Verhalten eines Systems. Hier spielen insbesondere Systemeigenschaften wie die Steuer und Beobachtbarkeit des Systems eine besondere Rolle.

4 Zustandsraum: Einführung (3) Beispiel, daß eine Stabilisierung durch eine Pol-Nullstellenkompensation in der rechten s-halbebene nicht möglich ist!!!!!!

5 Zustandsraumbeschreibung Zustand eines dynamischen Systems Physikalisch betrachtet ist der Zustand eines dynamischen Systems durch den Energiegehalt der im System vorhandenen Energiespeicher bestimmt. Zustandsgrößen Die Zustandsgrößen beschreiben den Energiegehalt der im System enthaltenen Speicherelemente. Beispiel: eder-masse-system eder: Speicher für potentielle Energie Masse: Speicher für kinetische Energie

6 Beispiel: PVTOL-Aircraft (British Aerospace Harrier) Planar Vertical TakeOff and Landing Aircraft u 2 u 1 u 1 Zustandsgrößen: dy/dt : laterale Geschwindigkeit z : vertikale Position dz/dt : vertikale Geschwindigkeit d/dt : Geschwindigkeit um die Rollachse Eingangsgrößen: u 1 : Schub der Rolldüsen u 2 : Schub der Nickdüsen Ausgangsgrößen: y : laterale Position z : vertikale Position

7 Anzahl der Zustandsgrößen (Systemordnung) Der Zustand eines Systems mit n Energiespeichern wird dann durch n Zustandsgrößen x 1 (t), x 2 (t),..., x n (t) beschrieben, die zu einem Zustandsvektor x(t) zusammengefaßt werden: Zustandsraumbeschreibung (2) Zustandsgleichung Vektordifferentialgleichung 1. Ordnung mit Anfangsbedingung Ausgangsgleichung Algebraische Gleichung

8 Zustandsraummodell eines Eingrößensystems Zustandsraumbeschreibung (3) (n x n) - Systemmatrix (n x 1) - Eingangsvektor (1 x n) - Ausgangsvektor

9 Zustandsraumbeschreibung (4) Blockschaltbild des Zustandsraummodells eines Eingrößensystems d u(t) x () t x 0 x(t) b c T y(t) n Integratoren A Vektorielle Größen als Doppelpfeile Wenn der Anfangszustand x 0 bekannt ist, kann der Systemzustand x(t) mit Hilfe des Zustandsmodells für alle Zeitpunkte t > t 0 einfach berechnet werden.

10 Zustandsraumbeschreibung (5) Darstellung eines Zustandsraummodells als Signalflußdiagramm x () t a x () t a x () t bu() t x () t a x () t a x () t b u() t yt () cx() t cx() t dut () Signale werden als Knoten dargestellt Kanten geben die Signalverknüpfungen an Elemente der Matrix A bzw. der Vektoren b und c treten als Kantengewichte auf Integration Signalflußdiagramme erlauben einen detaillierten Einblick in die Struktur eines dynamischen Systems

11 Aufstellen von Zustandsraummodellen (SRT Beispiel: Pneumatischer Speicher 2. Ordnung)

12 Beispiel: Viertelfahrzeug T Harter Reifen Dämpfer d M eder c y(t) u(t) Ausgangsgröße y(t) Eingangsgröße u(t) c M d ahrzeugmasse eder Stoßdämpfer ahrbahn Vereinfachtes Modell Kräftegleichgewicht: T c d ederkraft: Dämpfungskraft: Trägheitskraft: c M y(t) T c u(t) y(t) d d u(t) y(t)

13 Aus Kräftegleichgewicht erhält man: Beispiel: Viertelfahrzeug (2) M y(t) c[u(t) y(t)] d[u(t) y(t)] M y(t) dy(t) cy(t) cu(t) du(t) 1 M Differentialgleichung 2. Ordnung d c c d y(t) y(t) y(t) u(t) u(t) M M M M ür die Aufstellung eines Zustandsraummodells betrachten wir zunächst d c y(t) y(t) y(t) u(t) M M für y(0) y(0) y(0) 0

14 Als Zustandsgrößen werden ausgewählt: x(t) 1 x(t) 2 y(t) y(t) In Matrizenschreibweise ergibt sich: Beispiel: Viertelfahrzeug (3) x(t) 1 y(t) x(t) 2 d c x y(t) y(t) u(t) M M 2 (t) y(t) x 2 (t) x 1 (t) 0 1 x(t) 1 x(t) 1 x(t) c d 2 x(t) 2 M M x(t) 1 y(t) 1 0 x(t) 2 0 u(t) 1 Zustandsraummodell

15 Beispiel: Viertelfahrzeug (4) Die Lösung für eine Anregung u(t) u(t) erhält man aus folgender Tatsache: Eine lineare DGL liefert y(t) für die Anregung u(t) und dy/dt für die Anregung du/dt. d c y(t) y(t) y(t) u(t) M M d dt d c y(t) y(t) y(t) u(t) M M Substitution: y(t) y(t), u(t) u(t) d c y(t) y(t) y(t) u(t) M M Lösung der Dgl : y(t) y(t) für

16 Beispiel: Viertelfahrzeug (5) Mit Hilfe des Superpositionsprinzips und der Ausgangsgleichung für die Anregung u(t) x(t) 1 y(t) 1 0 x(t) 2 y(t) erhält man für die Anregung c M u(t) d M u(t) die Ausgangsgleichung y(t) c d x(t) 1 M M x(t) 2 y(t)

17 Zustandstrajektorie x(t 3 ) x(t 1 ) x(t 2 ) Der durch die Koordinaten von x(t) beschriebene Punkt verändert sich mit der Zeit und beschreibt eine Kurve im Zustandsraum, die als Zustandskurve oder Trajektorie des Systems bezeichnet wird.

18 Matlab-Beispiel: Zustandstrajektorie % Script ZUSTTRAJ.M % % Trajektorie im dreidimensionalen Zustandsraum % % J. Lunze % % für 2. Auflage: % für 3. Auflage: % echo off clear close all; A = [ ; ; ]; b = [1; 1; 1]; c = [1 1 1]; d=0; System=ss(A, b, c, d); x0=[10, 10, 10]; echo on

19 Matlab-Beispiel: Zustandstrajektorie (2) % % Eigenbewegung eines Systems dritter Ordnung % dreidimensionale Darstellung im Zustandsraum % echo off figure(1); T=0:0.01:10; [Y, T, X]=initial(System, x0, T); plot3(x(:, 2), X(:, 3), X(:, 1)); hold on plot3([-10 10], [0 0], [0 0], ':'); plot3([0 0], [-10 10], [0 0], ':'); plot3([0 0], [0 0], [10 0], ':'); xlabel('x_1'); ylabel('x_2'); zlabel('x_3'); grid('off'); title('trajektorie eines Systems dritter Ordnung im Zustandsraum'); text(6, 10, 10, 'x(0)') axis([ ]);

20 Lösung der Zustandsgleichung Lösung der skalaren Differentialgleichung x(t) ax(t) bu(t), x(0) x 0 Multiplikation mit e -at liefert e at ist homogene Lösung at at at e x(t) e ax(t) e bu(t) at at at e x(t) e ax(t) e bu(t) d (e dt at x(t)) Produktregel der Differentiation d dt (f(t) g(t)) = f(t)ġ(t)+ f(t)g(t) e at bu(t)

21 Integration von 0 bis t liefert: Lösung der Zustandsgleichung (2) t t d (e a x( ))d e a bu( )d d 0 0 t at a e x(t) x0 e bu( )d 0 Nach Multiplikation mit e at ergibt sich t a t a e x( ) e bu( )d 0 0 t at a(t ) 0 0 x(t) e x e bu( )d Lösung der DGL: t at a(t ) 0 0 homogene Lösung x(t) e x e bu( )d partikuläre Lösung

22 Lösung der Zustandsgleichung (3) Die Rolle von e at übernimmt bei einer Vektordifferentialgleichung die Matrixexponentialfunktion e At. Die homogene Lösung der Vektordifferentialgleichung, ergibt sich dann zu: Reihenentwicklung der e-unktion wobei die Matrixexponentialfunktion wie folgt definiert ist:

23 Lösung der Zustandsgleichung (4) Lösung der Vektordifferentialgleichung: altungsintegral Transitionsmatrix Überführt den Anfangszustand x 0 für u(t) = 0 in den aktuellen Zustand x(t). Bewegungsgleichung des Systems

24 Lösung der Zustandsgleichung (5) ür x 0 = 0 erhält man: t T yt () c Φ ( t ) b u( ) d 0 Gewichtsfunktion Ein Vergleich mit dem altungsintegral (SRT, Gl. 2.29) t yt () gt ( ) u( ) d 0 liefert den Zusammenhang T gt ( ) c Φ ( t ) b Transitionsmatrix

25 Eigenschaften der Transitionsmatrix ür t = 0 erhält man aus Der Wert des Produktes der Transitionsmatrix zu zwei beliebigen Zeitpunkten t 1 und t 2 kann mit Hilfe der Beziehung Φ(t ) Φ(t ) Φ(t t ) berechnet werden. e At e At 1 2 e A(t t ) 1 2

26 Φ Eigenschaften der Transitionsmatrix (2) 1 A 1 ( ) () ( t A t t e ) e Φ ( t ) Die Inverse der Transitionsmatrix kann direkt angegeben werden: Gliedweise Differentiation der Reihe liefert: d e dt At 0 A 2A 2 2 t 3 2 3A t 32!...