10. Arbeit, Energie, Leistung

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1 0. Arbeit, Energie, Leistung Peter Riegler, FH Wolfenbüttel 0.0 Matheatische Grundlagen à Skalarprodukt Das Skalarprodukt a ÿ b = a x b x + a b + a b =» a»»b» coshgl ist das Produkt der Länge des Vektors a it de Längenanteil von b in a -Richtung (und ugekehrt). Der Längenanteil von b in a -Richtung ist» b» coshgl. fl a ÿ b =» a»»b» coshgl Der Längenanteil von a in b -Richtung ist» a» coshgl. fl a ÿ b =» b»»a» coshgl b γ parallel b Inbesondere ist a ÿ b =0, wenn a senkrecht auf b steht. b senkrecht a à Integral von "Funktion al Ableitung" Welche Funktion ergibt nach x abgeleitet f HxL ÿ f ' HxL?

2 2 energie-3.nb x f@xd Arbeit "Aufwand", u Körper u h u heben? a) direkt b) über Rape l = h sin α h α F G α F G a) b) a) benötigte Kraft: -F G, urückgelegter Weg: h b) benötigte Kraft: -F G sina, urückgelegter Weg: l = h ê sina fl Das Produkt "Kraft al urückgelegte Weg" ist in beiden Fällen das gleiche. ö Arbeit W = F ÿdx

3 energie-3.nb 3 Eine Kraft, die einen Körper von der Position r nach r 2 verschiebt, fügt ih die echanische Arbeit r W = 2 Ÿ r F x u. NB: æ Die SI-Einheit der Arbeit: [W] = kg 2 /s 2 = J (Joule). æ Zu Skalarprodukt F x liefert nur die Koponente von F einen Beitrag, die parallel u x ist. Beispiel: Arbeit bei verschiedenen Wegen h B Weg I D Weg II A x~ C x F G Weg I: benötigte Kraft F = i j 0 kg fl W I = F ÿdx = g h, Positionsverschiebung D x = i j 0 kh Weg II: erlegen in die drei Teilwege A Ø C, C Ø D, D Ø A A Ø C: benötigte Kraft F = i j 0 kg fl W AØB = F ÿdx = 0 C Ø D: benötigte Kraft F fl W CØD = F ÿdx = i j 0 kg = g h, Positionsverschiebung D x = i j xè k0, Positionsverschiebung D x = i j 0 kh

4 4 energie-3.nb D Ø B: benötigte Kraft F = i j 0 kg fl W DØB = F ÿdx = 0, Positionsverschiebung D x = i j -x è k 0 fl W II =W AØB + W CØD + W DØB = g h = W I Wirken keine Reibungskräfte, ist die echanische Arbeit, die benötigt wird, u einen Körper von Positon r nach r 2 u bewegen, unabhängig vo tatsächlichen Weg. Das Arbeitsintegral r W = 2 Ÿ r F x hängt nur von Anfangs- und Endposition ab. Solche Kräfte nennt an konservative Kräfte. Hängt die Arbeit, die gegen eine Kraft verrichtet wird, vo Verlauf des Weges ab, nennt an die Kraft dissipativ. 0.2 Potentielle Energie Die potentielle Energie eines Körpers ist die Arbeit, die an gegen eine konservative Kraft -F u ihn relativ u eine Beugspunkt r 0 u verschieben. E pot Hr r L =Ÿ r F x 0 verrichten uss, Beispiel: E pot bei Heben eines Körpers Der Körper werde von 0 auf h gehoben. Berechnen Sie die potentiellen Energien an Anfangs- und Endort relativ u den Beugspunkten a) = 0, b) = h ê 2. Berechnen Sie in beiden Fällen die Änderung der potentiellen Energie von Anfangs- u Endort. Beugspunkt a): E pot,a HL = Ÿ 0 g è g è D 0 = g fle pot,a H0L = g 0 = 0 fle pot,a HhL = gh flde pot,a = E pot,a HhL - E pot,a H0L = gh Beugspunkt b): E pot,b HL = Ÿ hê2 g è è D hê2 = g I - ÅÅÅÅ h M 2 fle pot,b H0L =-ÅÅÅÅ gh 2 fle pot,b HhL = ÅÅÅÅ gh 2 fld E pot,b = E pot,b HhL - E pot,b H0L = gh=de pot,a

5 energie-3.nb 5 Die Änderung der potentiellen Energie (die verrichtete Arbeit) hängt nicht vo Beugspunkt ab. Beispiel: D E pot bei Fallen eines Körpers u h D E pot = E pot H0L - E pot HhL =- g h < 0 Potentielle Energie wird frei (Körper verrichtet Arbeit). Gradient Die potentielle Energie enthält die volle Inforation über die Kraft F, die benötigt wird, u einen Körper potentielle Energie uufügen, bw. über die Kraft F phs =-F, gegen die Arbeit verrichtet wird. Wie erhält an aus E pot Hr r L =Ÿ r F x r = 0 Ÿ r HF x x + F + F L 0 die Kraft F bw. F phs? öukehrung der Integration: F = Die Operation heißt Gradient. i j k Epot ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x E pot ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Epot ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = E pot Kennt an das Potential, d.h. die potentielle Energie eines Körpers, kann an die wirkende Kraft auf den Körper durch Gradientenbildung berechnen: i ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ F phs = j k - E pot x - E pot ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ - E pot ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ =- E pot Vorteil: Statt it Vektoren (F ) uss an nur it Skalaren (E pot ) rechnen. Beispiel: Berechnung der Kraft bei bekannte Potential E pot = k 2 x2 + k g g+ x2 k k 2 2

6 6 energie-3.nb << Calculus`VectorAnalsis` pot, DD 8 x k, k 2, g < fl konstante Kraft in negative -Richtung, elastische Kräfte in x- und -Richtung u Ursprung hin. 0.3 Kinetische Energie Welche Arbeit wird verrichtet, u einen Körper von v = vit M auf v 2 = vit 2 M u beschleunigen? Benötigte Kraft: F = a = v Verrichtete Arbeit: W = Ÿ x x 2 F x x = v t fl Ÿ F x =Ÿ v v t = ÅÅÅÅÅ 2 v2 fl W = ÅÅÅÅÅ v ÅÅÅÅÅ 2 v 2 Die verrichtete Arbeit wird als Bewegungsenergie oder kinetische Energie E kin beeichnet. Ein Körper, der sich it Geschwindigkeit v bewegt, hat die kinetische Energie E kin = ÅÅÅÅÅ 2 v2. Sie ist gleich der Arbeit, die a Körper verrichtet werden uss, u ihn aus der Ruhe auf die Geschwindigkeit v u beschleunigen. NB: Die kinetische Energie hängt nur vo Betrag der Endgeschwindigkeit ab (d.h. nicht von der Richtung der Endgeschwindigkeit, der Art und Weise der Beschleunigung oder der Beschleunigungsdauer.) Beispiel: Änderung der kinetischen Energie bei freien Fall u eine Strecke h.b. Fall aus der Ruhe: h = ÅÅÅÅ 2 gt2 v = g t = è!!!!!!!!!!! 2 g h fl D E kin = ÅÅÅÅÅ 2 v2 = g h =-DE pot fl D E kin +DE pot = 0

7 energie-3.nb Energie und Energieerhaltung Energieerhaltungssat der Mechanik Die echanische Energie E = E kin + E pot ist konstant E = E kin + E pot = konst. bw. ÅÅÅÅÅÅÅ E = 0, wenn die Kräfte, gegen die Arbeit verrichtet wird, konservativ sind. t Mittels Energieerhaltung lassen sich oft dnaische Fragestellungen beantworten, ohne die Bewegungsgleichung u lösen. Beispiel: Geschwindigkeit eines ungedäpften Federpendels bei Durchgang durch die Ruhelage v = x x Bewegungsgleichung (vgl. Kap. 8): x =-kx Lösung der Differentialgleichung? Energiebetrachtung: Kraft u Auslenken der Feder: F = k x fl E pot bei Auslenkung u x: E pot HxL = Ÿ x 0 F x è = Ÿ x 0 kx è x è = A ÅÅÅÅ 2 kxè2 x E = ÅÅÅÅ 0 2 kx2 Gesatenergie bei Maxialauslenkung x = A: E pot HAL = ÅÅÅÅ 2 ka2 E kin HAL = 0 fl E ges HAL = E pot HAL + E kin HAL = ÅÅÅÅ 2 ka2 Gesatenergie bei Durchgang durch die Ruhelage x = 0: E pot H0L = 0 E kin H0L = ÅÅÅÅÅ 2 v2 fl E ges H0L = E pot H0L + E kin H0L = ÅÅÅÅÅ 2 v2 = E ges HAL = ÅÅÅÅ 2 ka2 fl v = "###### k ÅÅÅÅÅ A

8 8 energie-3.nb 0.5 Leistung Die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit bw. die Energieänderung pro Zeiteinheit P = E ÅÅÅÅÅÅÅ t wird als Leistung beeichnet. Wegen E = F P = F x ÅÅÅÅÅÅ t = F v. x gilt NB: æ Die Leistung ist wie die Energie eine skalare Größe. æ Die SI-Einheit der Leistung ist [P]= J/s = W (Watt) æ PS = 736W ist keine gesetlich ulässiges Maß für Leistung! Beispiel: Abgegebene Leistung eines PKW-Motors Ein PKW it Gewicht 0kN fährt auf horiontaler Strecke it Geschwindigkeit 80 k/h. Die Reibungsahl für die Räder auf Asphalt sei = 0.02 und die Reibung aufgrund des Luftwiderstandes 0.2 kn. Welche Leistung gibt der Motor ab? F G = 0 4 ; µ=0.02; F r,luft = ; Fahrtgeschwindigkeit (in /s): v = 80 ê Antriebskraft des Motors (in N): F =µf G + F r,luft 320. Abgegebene Motorleistung (in W): P = Fv 7.

9 energie-3.nb Wirkungsgrad Der Wirkungsgrad h beschreibt das Verhältnis von genutter Arbeit W N u aufgewandter Arbeit W A, bw. der entsprechenden Leistungen P N, P A : h= W N ÅÅÅÅÅÅÅÅ W A = ÅÅÅÅÅÅÅÅ PN P A Beispiel: Mechanischer Wirkungsgrad eines PKW-Motors Die tatsächlich aufgebrachte Motorleistung i vorangehenden Beispiel betrage 8.9kW. Bestien Sie den echanischen Wirkungsgrad. η=p êh L Der berechnete Wirkungsgrad beieht sich auf das Fahrwerk des Autos. Er gibt an, wieviel Motorleistung "auf die Straße" gebracht wird. Man kann auch den Wirkungsgrad des Motors selbst betrachten. Er gibt an, wieviel Energie, die bei der Verbrennung von Benin frei wird, in echanische Energie ugewandelt wird. Der größte Teil dieser Energie geht durch Wäre (und Schall) verloren. Lerniele æ Phsikalische Konepte hinter den Begriffen Arbeit, Energie, kinetische Energie, potentielle Energie, Leistung, Wirkungsgrad erklären können. æ Erklären können, waru die Energie eines abgeschlossenen Sstes erhalten bleibt. æ Kinetische und potentielle Energie bei einfachen echanischen Bewegungen berechnen können (d.h. kineatische Größen sind bekannt). æ Dnaik einfacher echanischer Bewegungen aus Energiebetrachtung berechnen können.

10 0 energie-3.nb Literatur obligatorisch Tipler: 6 oder Fenan: 3, 4 weiterführend Tipler: 8.3; Fean: 9.4, Gerthsen:.5