8.1 Faradaysches Induktionsgesetz

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1 Kapitel 8 ZEITLICH VERÄNDERLICHE FELDER Hier geht es um Effekte, die durch die zeitliche Änderung der Feldgrößen E und B hervorgerufen werden. Aus der zweiten Gleichung folgt, dass ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld Ursache für eine endliche Zirkulation im E-Feld ist. Dieser Zusammenhang wurde 1831 von Faraday gefunden. Analoges sagt der letzte Term in der vierten Gleichung. Ein sich zeitlich änderndes elektrisches Feld ist Ursache für eine Zirkulation des B-Feldes. Diesen Term interpretierte Maxwell als Verschiebungsstrom. Dynamik E = 1 ɛ 0 ρ E = B B = 0 B = µ 0 j + 1 c 2 E 8.1 Faradaysches Induktionsgesetz 1831 induzierten Michael Faraday und Joseph Henry mit einem bewegten Stabmagneten Ströme in einer Leiterschleife. Grundlegende Versuche dazu sind die Beobachtungen, dass ein Strom in der Schleife fließt, 1. wenn ein Permanentmagnet in eine Leiterschleife hinein bzw. aus ihr heraus bewegt wird, 2. wenn bei zeitlich konstantem Magnetfeld die Schleife aus dem Feldbereich gezogen wird oder in das Feld bewegt wird, 3. wenn der Permanentmagnet durch eine Spule ersetzt wird und ein Strom in dieser Spule ein- bzw. ausgeschaltet wird. 71

2 . L Schluss: Ein sich zeitlich verändernder magnetischer Fluß erzeugt ein elektrisches Feld. In einem Leiter äußert sich dieses Feld als Potentialdifferenz über die Länge des Leiters. An den Leiterenden (Anfang und Ende der geschlossenen Kurve C, siehe Abbildung auf Seite 10) kann die sogenannte Induktionsspannung abgegriffen werden. Nach Anwendung des Stoke schen Satzes auf die zweite Maxwell Gleichung E = B/ ( ) E ds = B ds S S E d s = B ds C folgt das Induktionsgesetz U ind = E d s = C S S B d S = Φ m (8.1) Die Fläche S wird von der Kurve C umrandet. Das Vorzeichen ( ) ist nicht willkürlich festgelegt. Es gilt die Lenz sche Regel, die besagt, dass die induzierte Spannung ein Magnetfeld erzeugt, das der Flussänderung entgegen wirkt. Die Leiterschleife versucht, den magnetischen Fluss, der sie durchsetzt, konstant zu halten. Die Induktionspannung bewirkt in der Leiterschleife den Stromfluss I = U ind /R. Dabei wird die Leistung P = I 2 R verbraucht. Diese Energie stammt aus der kinetischen Energie der Bewegung. 9 E H > A I J H A / A A E I A A H F K A K F B A H K F B A H Aluminiumring auf einem Elektromagnet: Beim Einschalten wird im Ring ein Strom induziert. Das entstehende Magnetfeld wirkt dem primären Feld entgegen und beschleunigt den Ring. (Ring mit kleinem Schlitz?) Das Waltenhofen Pendel wird durch Wirbelströme gebremst. Die Lorentz-Kraft wirkt auf jeden Abschnitt des induzierten Wirbelstromes. Sie ist aber im Gebiet des stärkeren Magnetfeldes größer, hindert also die Bewegung. Bei einer Begrenzung der Wirbelstrombahnen (z.b. dünne, isolierte Bleche im Transformatorkern) können Wirbelstromverluste minimiert werden. I B 1 B 2 F 1 F 2 v

3 L Eine gut leitende Drahtschleife versucht mit Hilfe des Induktionsstromes den magnetischen Fluss durch ihren Querschnitt konstant zu halten. Dies gelingt umso besser, je höher die Leitfähigkeit des Leiters ist. Wenn infolge des induzierten Stromes der magnetische Fluss durch den Leiterring (bzw. die leitende Platte) nahezu konstant ist, dann werden also die Feldlinien von einem guten Leiter, der sich bewegt (wenigstens teilweise) mitgenommen. 4 E C Diese Mitnahme erklärt die Verformung des Dipolfeldes der Erde in großer Höhe durch die geladenen Teilchen des Sonnenwindes, eines elektrisch leitenden Mediums aus Protonen und Elektronen. Ein Waffensystem (HEMP, huge electromagentic pulse) ist seit 190 in Diskussion, mit dem die Elektronik des Gegeners, durch Wirbelströme in Folge von riesigen Werten von B/, ausgeschaltet werden soll. Mit Implosionstechniken (Mitnahme von Magnetfeldlinien) wurden kurzzeitig Magnetfelder über 10 3 T esla demonstriert. Wechselstromgenerator: Eine rechteckige Leiterschleife mit N Windungen und der Fläche A dreht sich mit konstanter Geschwindigkeit im homogenen Magnetfeld. Dabei ändert sich der magnetische Fluss durch die Leiterschleife

4 M periodisch Φ m = B d S = BNA cos ϕ(t) (8.2) Der Winkel ändert sich mit der Zeit gemäss ϕ(t) = ωt. Die Zirkulation von E und damit die induzierte Spannung ist proportional zur Winkelgeschwindigkeit und zum Produkt B N A. Eine Wechselspannung wird induziert. U ind = dφ m = ωb N A sin ωt (8.3) Die Kurve C in Gl. (8.1) muß nicht mit einer Leiterschleife zusammenfallen. Ein freies Elektron mit der Masse m und dem Impuls p erfährt die zeitliche Änderung des Magnetfeldes als Beschleunigung: E d s = 2RπE = ( BπR 2 ) p = ee er 2 p = m v = 1 2 e R B B wobei B die mittlere Feldstärke innerhalb des Sollkreises mit dem Radius R angibt. Nach diesem Prinzip werden im Betatron Elektronen im B-Feld auf eine Kreisbahn mit dem Radius R gezwungen und gleichzeitig beschleunigt, da B mit der Zeit anwächst. Die Elektronen bleiben auf dem Sollkreis, wenn die Zentrifugalkraft die Lorentz-Kraft kompensiert. Die Magnetfeldstärke am Sollkreis ist B s = mv er und damit B = 2B s (Wideroe-Bedingung). Mit einem radial inhomogenen Magnetfeld (erzeugt durch geeignet geformte Polschuhe) erreicht man im Betatron Elektronenenergien bis 200 M ev, z.b. für harte Röntgenquellen. Der Drehstrommotor ist ein Beispiel für die Mitnahme eines guten Leiters durch ein rotierendes Magnetfeld. Drei Wechselströme geeigneter Phasenverschiebung (φ = 120 o ) speisen drei jeweils um 120 o versetzte Spulenpaare. Damit entsteht im Inneren ein magnetisches Drehfeld. Dieses nimmt einen um das Zentrum drehbaren, gut leitenden Rotor mit. Ein Vorteil ist, dass dieser Rotor keine leitende Verbindung nach außen benötigt. Er dreht sich mit der Netzfrequenz. Wirbelstromverluste: In einem Leiter mit dem Radius R entsteht durch ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld B = B 0 cos(ωt) ein elektrisches Wirbelfeld E = Ḃ. Näherungsweise ist das induzierte Feld aus dem Stokesschen Satz E 2Rπ = ḂR2 π Dieses Feld erzeugt im Leiter die Stromdichte j = σ E. Der Stromfluß I der durch die Potentialdifferenz U ind entsteht, leistet die Joulsche Wärme P =

5 I U ind. Mit I = j dr dz und U ind = E 2Rπ ist die Joulsche Wärmeleistung pro Volumseinheit, p (im zeitlichen Mittel p ) p = P 2Rπ dr dz = j E p = σe 2 = 1 4 σr2 Ḃ 2 = 1 4 σr2 ω 2 B 2 0 sin 2 ωt db p = 1 8 σr2 ω 2 B0 2 dr j Wegen p R 2 baut man Transformatorenkerne aus dünnen, isolierten Blechen. R dz 8.2 Selbstinduktion In einer festen Leiterschleife bewirkt ein sich ändernder Strom ein sich änderndes Magnetfeld. Der Induktionseffekt ist in einer zweiten Spule nachweisbar, aber auch in der ersten Spule selbst. Hat die erste Spule hat N Windungen, erzeugt das sich ändernde Magnetfeld in ihr die Induktionsspannung U ind = N dφ m (8.4) Der magnetische Fluß in der Spule ist proportional zum Strom, der in ihr fließt: N Φ m = L I (8.) Den Proportionalitätsfaktor L ist die Induktivität der Spule. Die Größe von L hängt von der Spulengeometrie ab. Für die in der Spule induzierte Spannung gilt U ind = N dφ m = L di 2 (8.6) Lenzsche Regel: Das Vorzeichen ist negativ, da die selbstinduzierte Spannung stets ihrer Ursache entgegenwirkt. Für die Induktivität einer beliebigen Leiteranordnung definiert man L = U ind di/ (8.7) Berechnung von L für eine gerade Spule mit N Windungen: Das Feld der Spule ist nach Gl.7.17 gleich B = µ 0 w I, wobei w = N/l ist und l die Länge der Spule angibt. Damit wird der magnetische Fluß Φ m = B A und mit der Beziehung 8. und dem Spulenvolumen V = l A wird L = µ 0 w 2 V (8.8) Die Dimension der Induktivität ist [L] = V s A = Wb = Henry (8.9) A

6 2 8.3 Transformatoren Transformatoren nutzen die gegenseitige Induktion zweier Spulen in vielen technischen Anwendungen. Ein Strom I 1 fließt in der Spule SP 1 mit Windungszahldichte w 1 und erzeugt das Magnetfeld B 1. Eine zweite Spule SP 2 spürt diesen magnetischen Fluss am Ort (2). Für das Magnetfeld B 1 gilt: B 1 = µ 0 w 1 I 1 (8.10) Für eine feste Spulenanordnung ist der magnetische Fluss durch die zweite Spule Φ m (2) I 1 also Φ m (2)/I 1 =const. Wenn sich der Strom I 1 zeitlich ändert, dann wird in SP 2 eine Spannung induziert: di 1 U 2 = L 21 (8.11) Die Größe L 21 bezeichnet man als Gegeninduktivität, sie wird von der Geometrie beider Spulen bestimmt. Wenn die Spule SP 2 N 2 Windungen und die Fläche A hat, und der gesamte Fluss durch die zweite Spule dringt, gilt U 2 = N 2 A db 1 = µ 0 N 2 A w 1 di 1 Damit ist die Gegeninduktivität L 21 = µ 0 w 1 N 2 A = µ 0 w 1 w 2 V Im allgemeinen Fall gilt L 21 = k L 1 L 2 (8.12) = F A wobei k die Güte der Kopplung zwischen beiden Spulen angibt (0<k <1). Mit einem Eisenkern schafft man eine feste Kopplung zwischen beiden Spulen. Man erreicht in guter Näherung, dass der gesamte Fluss der Spule SP 1 durch die Spule SP 2 dringt, Φ m (1) = Φ m (2) = Φ m. 2 An der Primärspule des unbelasteten Trafos liegt die Eingangsspannung U ext = U 0 cos ωt. Daher fließt ein Strom I 1, der einen magnetischen Fluß und damit eine Induktionsspannung U 1 = U ind = L di1 dφ = N m 1 bewirkt, welche der von außen angelegten Spannung entgegengesetzt gleich ist. dφ m dφ m U 2 = N 2 U 1 = N 1 (8.13) U 2 /U 1 = N 2 /N 1 (8.14) Diese Beziehung gilt nur bei vollständiger Kopplung und im Leerlauf Liegt ein Lastwiderstand an der zweiten Spule an, dann fließt durch die zweite Spule ein Strom, der zu einem Spannungsabfall am Innenwiderstand der zweiten Spule führt und dadurch U 2 erniedrigt.

7 = > R-L Leiterkreis Wir untersuchen die zeitliche Entwicklung des Stromes in einem RL-Leiterkreis. Am Kreis liegt die feste äußere Spannung U 0 an. Einschalten: Wird der Schalter geschlossen (Position a), dann gilt für die Summe der Spannungen U 0 = R I U ind = R I + L di (8.1) Ohne Selbstinduktion L würde der Strom sofort auf den Wert U 0 /R ansteigen. Infolge der Selbstinduktion entsteht in der Spule einen Gegenspannung, sodass der Stromanstieg di/ den Wert U 0 /L nicht übertreffen kann. Mit der Abkürzung für die Zeitkonstante τ = L gilt für den Strom (8.16) R I(t) = U ( ) 0 1 e t/τ (8.17) R Praktisches Beispiel: Mit einer Spule von 600 Henry und einem Widerstand R = 200 Ω steigt der Strom im Kreis mit einer Zeitkonstante τ 3 Sekunden an. Nach einer Zeit t = τ erreicht der Strom (1 1/e) 0.63 des Endwertes U 0 /R. Ausschalten: Wenn wir den Stromkreis öffnen, wird L di unendlich groß, eine gefährlich hohe Induktionsspannung kann entstehen. Wenn wir den Schalter auf Position b bringen, dann ist der maximale Stromfluss durch den Widerstand begrenzt: I max = U ind /R. (eigentlich sollten wir den Gesamtwiderstand R + R L nehmen. Den zeitlichen Verlauf des Stromes erhalten wir aus als 0 = R I U ind = R I + L di 7 (8.18) I(t) = I max e t/τ (8.19) Die hohe Induktionsspannung verwendet man z.b. bei der Zündung von Leuchtstoffröhren. Anfänglich fließt ein Strom über den Bimetallstreifen und die Spule, I = U 0 /(R + R L ). Nach Erwärmen öffnet sich der Bimetallschalter. Beim schnellen Abschalten des Stromes entsteht eine hohe Induktionsspannung, die zum Zünden der Gasentladung ausreicht. E A J = A K? D J I J B B H D H A 7

8 R-C Leiterkreis: Eine Spule hat für das magnetische Feld eine ähnliche Bedeutung wie die Kapazität (C = Q/U) für das elektrische Feld. Wir schließen eine Spannungsquelle U 0 an einen R C Kreis um den Kondensator aufzuladen. Zur Zeit t = 0 ist die Spannung am Kondensator U(t=0) = 0. Für den Ladestrom muss gelten: I(t) = 1 R (U 0 U(t)) = U 0 R Q(t) R C (8.20) Dabei ist Q(t) die zur Zeit t am Kondensator anliegende freie Ladung. Nach Differentiation erhalten wir di(t) = 1 I(t) (8.21) R C Damit ergibt sich für den Ladestrom I(t) = I 0 e t/(r C) (8.22) und für die zeitliche Entwicklung der Spannung am Kondensator (τ = R C) beim Einschalten U(t) = U 0 (1 e t/τ ) (8.23) 8. Ursache für elektrische Felder Wir haben also zwei Ursachen für das Auftreten eines elektrischen Feldes: 1. Elektrisches Feld durch ruhende Ladungen: (Statik) E = 0 und E = 1 ɛ 0 ρ (8.24) Die Feldlinien starten in + Ladungen und enden in Ladungen. Dieses Feld ist konservativ, E = φ. 2. Elektrisches Feld durch Magnetfeldänderung: (Dynamik) E = B (8.2) Dabei entstehen (in Abwesenheit von Ladungen) elektrische Feldlinien die geschlossen sind. Dieser Anteil des Feldes kann nicht durch den Gradienten eines skalaren Potentials angegeben werden. Zur Berechnung von E muß man die Zeitabhängigkeit des Vektorpotentials mit hinzunehmen E = φ A (8.26) Da das Vektorpotential über B = A definiert wurde (siehe Gl.7.24) erfüllt der Ansatz 8.26 die zweite Maxwell Gleichung (8.2).

9 8.6 Energie des Magnetfeldes In der Elektrostatik hatten wir für die im Kondensator gespeicherte Energie W el = 1 2 C U 2 = 1 2 ɛ A 0 d E2 d 2 = 1 2 ɛ 0E 2 V (8.27) und für die Energiedichte des elektrischen Feldes: w el = 1 2 ɛ 0E 2. (8.28) Asu den SI-Einheiten für die elektrische Feldstärke [w el ] = J [ ] 1 m 3 = 2 ɛ 0E 2 = A s V 2 V m m 2 = A V s m 3 = W s m 3. lässt sich die Dimension verifizieren (Energie pro Volumen). Beim Entladen der Spule wird die Energie des magnetischen Feldes im Widerstand in Joulsche Wärme umgewandelt. Die zeitliche Entwicklung des Stromes ist I(t) = I 0 e t/τ und damit die Leistung P (t) = dw = I 2 R = RI 2 0 e 2t/τ (8.29) Da die Leistung gleich ist der Energie pro Zeiteinheit, gilt für die gesamte, im Magnetfeld gespeicherte Energie W mag = 0 P (t) = RI e 2t/τ = τ 2 R I2 0 = 1 2 L I2 0. (8.30) Um die Energiedichte des magnetischen Feldes zu bestimmen, gehen wir von einem homogenen Feld im Inneren der Spule aus. Die magnetische Feldstärke in der Spule ist B = µ 0 w I 0. Mit der Selbstinduktivität der Spule L = µ 0 w 2 V (V ist das Volumen der Spule, w is die Windungszahldichte) wird W mag = 1 2 L I2 0 = 1 B 2 V (8.31) 2 µ 0 und die Energiedichte des magnetischen Feldes (µ 0 ɛ 0 c 2 = 1 ) w mag = 1 2µ 0 B 2 = 1 2 ɛ 0 c 2 B 2 (8.32) Für die Dimension gilt: [w mag ] = J m 3 = [ 1 2 ɛ 0c 2 B 2 ] Die Energiedichte des elektromagnetischen = A s m 2 V 2 s 2 V m s 2 m 4 = W s m 3. Feldes ist w em = 1 2 ɛ 0 ( E 2 + c 2 B 2) (8.33)

10 Verschiebungsstrom Noch fehlt die Behandlung zeitlich veränderlicher elektrischer Felder variable Ladungsverteilungen und deren Felder). Dazu wiederholen wir das Beispiel von Seite 10: Bei Aufladen des Kondensators fließt ein Strom I(t) für einige Zeit, obwohl der Stromkreis unterbrochen ist. (zeitlich Wir denken uns eine Kurve C um den Draht mit der Fläche S 1. Gemäß der Stromdichte auf der rechten Seite von Gl.(7.14) erwarten wir 1 1 C B d s (Fluss von I durch S 1 ) 1 1 Jetzt zeichnen wir eine neue Oberfläche S 2, mit der gleichen Berandung C. Diese Fläche ähnelt einem Fingerhut, sie schneidet den Leiter nicht. Kein herkömmlicher Strom fließt durch diese Oberfläche, aber die Zirkulation von B um C muss die gleiche bleiben. Die Erklärung dazu kam von Maxwell: Im Kondensator baut sich im Laufe der Zeit ein elektrisches Feld auf. Die zeitliche Änderung dieses Feldes ist Ursache für die Zirkulation von B. Maxwell führte das Konzept eines Verschiebungssstroms ein, der zwischen den Elektroden des Plattenkondensators (in dem sich ein elektrisches Feld E aufbaut) fließt. Mit dem Ansatz für die Verschiebungsstromdichte E j s = ɛ 0, (8.34) in der verallgemeinerten Ampere schen Beziehung ( ) B d s = µ 0 I = µ 0 j + j s ds (8.3) C S und dem Stokes schen Satz ( ) B d s = B ds (8.36) C S ergibt sich die differentielle Form der Maxwell Gleichung (in Abwesenheit von Materie!) als B = µ 0 j + µ 0 ɛ 0 E Magnetfelder entstehen durch freie Ströme und durch zeitlich sich ändernde elektrische Felder. (8.37)