Thermodynamik II Musterlösung Rechenübung 8

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1 Thermodynamik II Musterlösung Rechenübung 8 Aufgabe a) Annahmen: (a) stationärer Zustand (b) -dimensionale Wärmeleitung (x-richtg.) (c) λ = konst., α = konst. (d) keine Wärmequellen (e) keine Wärmestrahlung Stab wird als Rippe modelliert ρc [ ] dv t T = λ ( S T ) ρc x x x (SuT ) da }{{} α (T T dv )+ Q Quellen Q da Strahl. weil u = 0 mit da = P, Umfang P = πd und Querschnittsfläche S d T αp λs (T T ) = 0 (Alternative Herleitung: siehe Anhang am Ende der Aufgabe!) Setze Rippenparameter m = αp λs und Übertemperatur θ = T T : d θ m θ = 0 Die allgemeine Lösung lautet für m = konst.: θ(x) = C e mx + C e mx

2 Die Randbedingungen BC sind: T (x = 0) = 373 K θ(x = 0) = θ b = T (0) T = 00 K () T (x = L) = 73 K θ(x = L) = T (L) T = 0 K () Lösen von BC : θ b = C + C Lösen von BC : 0 = C e ml + C e ml Auflösen: einsetzen: Erstellen der Energiebilanz: C = C e ml, θ b = C C e ml C = θ b und C e ml = θ b e ml e ml θ(x) = θ b e mx θ be ml e mx e ml e ml θ(x) = θ b (e mx e ml mx) e ml. HS über das CV Q c = Q Q Allgemein: Q = λs dt, mit Querschnittsfläche S Hier gilt: dθ d(t (x) T ) = = dt Q = λs dθ Q c = λs dθ x=0 dθ x=l dθ = θ b (me mx + me ml mx) e Q ml ( ( c = λs θ b e m e 0 + e ml) m ( ( e ml + e ml)) ml = λsθ bm e + e ml e ml) ml 4 00 W/(m K) 400 W/(m K) 0.00 m m = αp = 4α = λs λd S = π 4 D = 7, m = 000 m Q c = 400 W/(m K) m 00 K 000 m e 000 m 0.05 m ( + e 000 m 0.05 m e ) 000 m 0.05 m Q c = W

3 b) Annahmen: Fluidtemperatur ist konstant T = 0 C alle Wärmeübergangskoeffizienten sind konstant Totaler Wärmeübergang: Q tot = Q Rippen }{{} Konvektion Rippen + Q W }{{} Konvektion Wand + Q W }{{} Konvektion Wand oder Wärmeübergangsbeitrag der Einheitszelle aufgrund der Konvektion um die Rippen: Q Rippen = Q c A EZ, mit der Einheitszellenfläche A EZ = a Q Rippen = 3.34 kw/m Wärmeübergangsbeitrag der Einheitszelle aufgrund der Konvektion zur warmen Wand : Q W = Q W = α W A W (T W T ) A EZ A EZ mit der Einheitszellenfläche, die nicht von Rippen bedeckt ist A W = a π 4 D = m und der Wandtemperatur T W = 373 K. Q W = 40 W/(m K) m (00 K) (0.004 m) = 3.80 kw/m 3

4 Wärmeübergangsbeitrag der Einheitszelle aufgrund der Konvektion zur kalten Wand : Q W = Q W A EZ = α W A W (T W T ) A EZ = 0, weil T W = T Q ( tot = A tot Q Rippen + Q ) W = m ( 3.34 kw/m kw/m ) Q tot = 7.4 kw d.h. die Rippen führen 86% der totalen Wärmemenge ab. Alternativer Lösungsweg: Anzahl Rippen: n = A A EZ = m (4 mm) = 6500 Q Rippen = n Q c = W Q W,tot = n Q W = n α W A W (T W T ) = W Q W,tot = n Q W = 0 Anhang: Q tot = Q Rippen + Q W + Q W = 7.4 kw Herleitung der Rippengleichung. HS: q x = q x+ x + q conv A s = P x, mit dem Umfang P q conv = α A s ( T (x) + T (x + x) 4 T )

5 es gilt: lim x 0 T (x) + T (x + x) 0 = q x+ x q x + αp x T q x+ x q x x 0 = q x+ x q x x = d q(x) T (x) + T (x + x) + αp T T (x)+t (x+ x) und lim = T (x) x 0 0 = d q(x) + αp (T (x) T ) dt (x) mit q(x) = λs und S = konst., λ = konst. d T (x) αp λs (T (x) T ) = 0 Aufgabe Annahmen: a) stationärer Zustand b) -dimensionale Wärmeleitung (x-richtung) c) konstante Materialeigenschaften d) keine Wärmestrahlung e) keine Kontaktwiderstände f) sehr lange Zylinder Zylinder werden als Rippen modelliert: ρc [ ] dv t T = λ ( S T ) ρc x x x (SuT ) da }{{}}{{} α (T T )+ =0 weil u=0 mit da = P, mit dem Umfang P 5 Q Quellen dv } {{ } =0 Q da Strahl. }{{ } =0

6 d T αp λs (T T ) = 0 Setze Rippenparameter m = αp λs und Übertemperatur θ = T T : d θ m θ = 0 Die allgemeine Lösung lautet für m = konst.: θ(x) = C e mx + C e mx Die Randbedingungen (BC; Boundary Condition) sind: T (x = 0) = T b θ(x = 0) = θ b = T b T (3) T (x ) = T θ(x ) = 0 (4) Lösen von Randbedingung : C = 0 Lösen von Randbedingung : C = T b T T (x) T Zylinder A bei x : ln Zylinder B bei x : ln = e mx oder ln T (x) T = mx = T A T = T B T = mit P A = P B und S A = S B : ln λ B = λ A ln T A T T ln B T TA T T ( b T ) TB = T ln T b T αp A λ A S A x αp B λ B S B x λ B λa αp x λs [ ( ln 75 ) C 5 C 00 = 00 W/m K C 5 C )] ln ( = 56.6 W/m K 60 C 5 C 00 C 5 C λ B = 56.6 W/m K 6

7 Aufgabe 3 Wärmeübertragungsleistung entspricht dem Wärmefluss durch den Rippenfuss. Der Wärmefluss durch den Rippenfuss einer einzelnen Rippe mit adiabatem Kopf ist: Q F = λsθ F m tanh (ml) = π 4 D λ (T F T ) m tanh (ml) Rippenparameter m = ( αp λs Langer Stab: Q F,L = π 4 D λ (T F T ) m tanh (ml L ) ) / ( = 4 α ) / / λd = 4 50 W/m K 00 W/m K m = 4.4 m 5 kurze Stäbe: Q F,K = 5 π 4 D λ (T F T ) m tanh (ml K ) Q F,K Q F,L = 5 tanh (ml K) tanh (ml L ) Die Wirkung wird etwa verdoppelt! = 5 tanh (4.4 m 0.03 m) tanh (4.4 m 0.5 m) =.06 Alternative Berechnungsmethode: Langer Stab: η R,L = tanh(ml L) ml L Kurzer Stab: η R,K = tanh(ml K) ml K Rippenwirkungsgrad für Rippe mit adiabatem Kopf: η R,K = L L tanh (ml K ) η R,L L K tanh (ml L ) = 0.5 m tanh (4.4 m 0.03 m) 0.03 m tanh (4.4 m 0.5 m) =.0 7

8 Aufgabe 4 a) Annahmen: stationärer Zustand Heizung ist sehr dünn Temperatur der Heizung ist konstant -dimensionale Wärmeleitung (r-richtg.) konstante Materialeigenschaften uniforme Wärmequellen keine Wärmestrahlung Thermischer Widerstand aufgrund Wärmeleitung durch Rohrwand:R th = ln rout r in πλl Rohrlänge l und den Radien r out und r in Thermischer Widerstand aufgrund Konvektion an Wand:R th = und Wärmeübergangskoeffizient α. Daraus folgt: R = πlα in r, R = Aα r ln r r ln 3 πλ B l, R r 3 = πλ A l, R 4 = πlα out r 3 8 mit mit Oberfläche A

9 b) Serielle Anordnung von Widerständen: R seriell = i R i Q (R + R ) = T H T in Q (R 3 + R 4 ) = T H T out Q H = Q + Q = T H T in + T H T out R + R R 3 + R ( 4 T in Q H + + R + R T H = = = Q H + T out R 3 + R 4 = T H T in R +R + Tout R 3 +R 4 R +R + R 3 +R 4 T in + ln(r /r ) πlα in r πλ B l Q H + + T out + + ln(r /r ) πlα in r πλ B l R + R + ln(r 3 /r ) πλ A l + πlα out r 3 ln(r 3 /r ) πλ A l + πlα out r 3 Q H + T in α in r λ B + Toutλ Aα outr 3 πl λ B +α in r ln(r /r ) α outr 3 ln(r 3 /r )+λ A λ B α in r + λ A α outr 3 λ B +α in r ln(r /r ) α outr 3 ln(r 3 /r )+λ A R 3 + R 4 ) 9