Logik und Künstliche Intelligenz

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1 Logik und Künstliche Intelligenz Vorlesung an der Hochschule Heilbronn (Stand: 25. Juli 2008) Prof. Dr. V. Stahl Copyright 2006 by Volker Stahl. All rights reserved.

2 Mathematics may be defined as the subject in which we never know what we are talking about, nor whether what we are saying is true. Bertrand Russell 2

3 Inhaltsverzeichnis 1 Why? 5 2 Mengen Der Begriff der Menge Beziehungen zwischen Mengen Comprehension Principle Russelsche Antinomie Operationen auf Mengen Paare Kartesische Produkte Relationen Der Begriff der Relation Zerlegungen Äquivalenzrelationen und erste Beweistechniken Ordnungsrelationen Umkehrrelation Beweistechniken Allgemein anwendbare Beweistechniken Beweistechniken für aussagenlogische Symbole Beweistechniken für Quantoren Zusammenfassung Funktionen Rechtseindeutige Relationen Partielle Funktionen Definitionsbereich, Wertebereich Totale Funktionen Erweiterung Komposition von Funktionen Surjektiv, injektiv, bijektiv Umkehrfunktion Funktionsterme für Umkehrfunktionen Kommutativ, assoziativ, distributiv Folgen Abzählbarkeit

4 6 Aussagenlogik Boolesche Funktionen Rechengesetze für Boolesche Funktionen Formeln der Aussagenlogik Semantik der Aussagenlogik Syntaktische Vereinfachungen Konjunktive Normalform Tautologien Logische Schlussfolgerungen Prädikatenlogik Syntax der Prädikatenlogik Terme, atomare Formeln, Formeln Freie und gebundene Variablen Substitution Syntaktische Vereinfachungen Semantik der Prädikatenlogik Rechenregeln für Formeln der Prädikatenlogik Äquivalente Formeln Regeln der Aussagenlogik Regeln für Quantoren Gebundene Umbenennung Pränex Normalform Logische Folgerungen Schlussfolgerungsregeln Konsistenz A Kardinalzahlen und Kontinuumshypothese 144 B Axiomensysteme und Theorien 149 B.1 Modellbasierte Theorien B.2 Axiomatische Theorien C Zermelo-Fraenkel Set Theory 152 C.1 Zorn s Lemma C.2 Wohlordnungsprinzip D Neuman-Bernays-Gödel Set Theory 161 E Literaturverzeichnis 162 4

5 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 5 1 Why? Können Maschinen denken? Diese Frage wurde erstmals von Alan Turing im Jahr 1950 [21] gestellt, d.h. in einer Zeit als Computer in ihrer Entwicklung noch ganz am Anfang waren. Die Beantwortung dieser Frage scheiterte daran, dass wir zwar ein intuitives Verständnis der Begriffe Denken und Intelligenz haben, diese jedoch nicht exakt definieren, d.h. messbar machen können. Turing s Ausweg bestand darin, sich ein Spiel zu überlegen, das nach unserer Intuition auf jeden Fall Intelligenz erfordert. Turing reduzierte seine Frage dann darauf, ob eine Maschine in der Lage ist, dieses Spiel so gut zu spielen wie ein Mensch. Auch heute sind Computer noch weit davon entfernt, in diesem Turing Test nur annähernd an die Leistungsfähigkeit des Menschen heranzukommen. Nach unserer Intuition setzt Intelligenz die Fähigkeit zu Denken voraus. Denken wiederum besteht im Wesentlichen aus einer Reihe von logischen Schlussfolgerungen, d.h. der Fähigkeit aus bekannten Fakten neues Wissen zu erschließen. Hiermit haben sich bereits die großen Griechischen Philosophen beschäftigt. Folgendes Beispiel geht auf Aristoteles zurück: Bekanntes Wissen Jeder Mensch ist sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Erschlossenes Wissen Sokrates ist sterblich. In der Tat ist auch eine Maschine in der Lage, solche Schlussfolgerungen zu ziehen. Sie versteht dabei allerdings nicht, was ein Mensch ist, oder was es bedeutet sterblich zu sein. Alles was eine Maschine kann ist Zeichenketten (Daten) nach bestimmten Regeln (Programmen) umzuformen. Damit logische Schlussfolgerungen maschinell durchgeführt werden können, sind somit zwei Schritte erforderlich: Wissen muss durch Zeichenketten dargestellt werden (Wissensrepräsentation). Es müssen Algorithmen zur Umformung dieser Zeichenketten gefunden werden, die logischen Schlussfolgerungen entsprechen (Wissensverarbeitung).

6 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 6 Die Schritte sind nicht voneinander unabhängig. Das Problem der Wissensrepräsentation könnte trivialerweise dadurch gelöst werden, dass man natürlichsprachlichen Text verwendet. Algorithmen, die Wissen in dieser Form verarbeiten können, sind allerdings äußerst komplex. Die derzeit erfolgreichsten Systeme verwenden die Sprache der Logik erster Ordnung zur Wissensrepräsentation und die Resolutionsmethode zur Wissensverarbeitung. In der Logik erster Ordnung würde das Beispiel von Aristoteles wie folgt aussehen: Bekanntes Wissen x ( Mensch(x) Sterblich(x) ). Mensch(Sokrates). Erschlossenes Wissen Sterblich(Sokrates). Ähnliche Mechanismen findet man auch in semantischen Netzen und objektorientierten Programmiersprachen. Hier würde man sagen, dass Menschen eine Spezialisierung (oder abgeleitete Klasse) der sterblichen Objekte sind, und dass Sokrates eine Instanz der Klasse Mensch ist. Um die Wissensverarbeitung zu vereinfachen ist es wichtig, bei der Wissensrepräsentation mit möglichst wenigen, allgemeinen Konzepten auszukommen. Eines dieser Konzepte sind Eigenschaften (Relationen). Im Beispiel sind Mensch und Sterblich Eigenschaften, die ein Objekt haben kann oder nicht. Sokrates ist ein konkretes Objekt (Konstante), auf welches diese Eigenschaften zutreffen. Um über Objekte im Allgemeinen zu sprechen, werden Variablen (im Beispiel x) verwendet. Logische Implikationen werden mit bezeichnet. Das Symbol (Allquantor) bedeutet für alle. Der erste Satz besagt somit, dass für jedes Objekt x gilt, wenn x ein Mensch ist, dann ist x sterblich. Relationen können auch Eigenschaften beschreiben, die mehrere Objekte miteinander in Beziehung setzen, z.b. ÄlterAls(Sokrates, Aristoteles). Neben Relationen spielen Funktionen eine wichtige Rolle, um eindeutig Objekte identifizieren zu können, ohne ihnen einen konkreten Namen geben zu müssen, z.b. VaterVon(Sokrates). Relationen und Funktionen sowie deren Eigenschaften lassen sich sehr elegant durch Mengen beschreiben. Der Begriff der Menge ist übrigens für mathematische Verhältnisse relativ neu: Er wurde Ende des 19. Jahrhunderts

7 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 7 von Cantor eingeführt und gilt mittlerweile als Fundament für die gesamte Mathematik. In der Vorlesung werden wir uns zunächst ausgiebig mit Mengen, Relationen und Funktionen beschäftigen. Wir werden dabei die Sprache der Logik erster Ordnung bereits beispielhaft verwenden um die Notation zu vereinfachen. Als Vorläufer zur Logik erster Ordnung wird die Aussagenlogik behandelt, an der elementare Begriffe wie z.b. logische Schlussfolgerungen erklärt werden können. Anschließend wird die wesentlich ausdrucksstärkere Sprache der Logik erster Ordnung formal exakt definiert. Besonders wichtig ist hierbei die Unterscheidung zwischen Syntax (Zeichenketten und deren maschinelle Verarbeitung) und Semantik (Bedeutung der Zeichenketten). Maschinen arbeiten ausschließlich auf der syntaktischen Ebene, während sich der Mensch ausschließlich für die Bedeutung der Dinge interessiert, über die er nachdenkt. Gerade an dieser Grenze zwischen Syntax und Semantik tauchen viele Probleme auf, von denen bewiesen wurde, dass sie unlösbar sind. Zum Schluss wird die Resolutionsmethode vorgestellt. Dies ist ein Algorithmus, mit dem Zeichenketten der Logik erster Ordnung so verarbeitet werden können, dass das Resultat einer logischen Schlussfolgerung auf semantischer Ebene entspricht. In gewissen Grenzen ist es also tatsächlich möglich, denkende Maschinen zu konstruieren.

8 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 8 2 Mengen Spätere Generationen werden die Mengenlehre als Krankheit betrachten, von der der Mensch genesen ist. Henri Poincaré...all mathematical theories may be regarded as extensions of the general theory of sets... On these foundations I state that I can build up the whole of the mathematics of the present day. 2.1 Der Begriff der Menge Nicolas Bourbaki, 1949 Der Begriff der Menge bildet den Ausgangspunkt für alle mathematischen Überlegungen. Sämtliche anderen mathematischen Objekte wie Relationen, Funktionen und sogar Zahlen kann man als spezielle Mengen definieren. Dieser Zugang zur Mathematik geht auf Cantor und Frege zurück und entstammt dem Wunsch zu verstehen, was der eigentliche Kern der Mathematik ist. Abgesehen davon, dass dadurch viele Dinge einfacher und klarer werden, kommt diese Vorgehensweise insbesondere auch dem Informatiker entgegen: Will man mathematische Objekte im Rechner verarbeiten, so genügt es im Prinzip eine geeignete Datenstruktur für Mengen zu implementieren. Es ist sehr wichtig, keine unbewiesenen Annahmen zu treffen, aber noch wichtiger ist es, keine Worte zu benutzen, hinter denen sich kein klarer Sinn verbirgt. W. K. Clifford Nun kann zwar die ganze Mathematik auf dem Begriff der Menge aufgebaut werden, das bedeutet aber, dass man bei der Definition des Begriffs Menge auf keine anderen Objekte der Mathematik zugreifen kann. Dies führte zu Anfang des 20. Jahrhunderts zu einer großen Verwirrung, was genau unter einer Menge zu verstehen ist. Die bis dahin allgemein akzeptierte intuitive Vorstellung einer Menge führt nämlich wie 1901 von Russel gezeigt zu Widersprüchen. Folgende Definition stammt von Cantor aus dem Jahr 1895: Definition 2.1 (Menge,Element) Eine Menge ist eine Zusammenfassung M von wohlunterschiedenen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens, welche Elemente von M genannt werden, zu einem Ganzen.

9 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 9 Notation 2.2 (, ) Um auszudrücken, dass ein Objekt x Element einer Menge M ist, schreibt man x M, ist x kein Element von M schreibt man x M. Notation 2.3 Mengen kann man auf verschiedene Weisen schreiben. Die einfachste Möglichkeit ist die aufzählende Schreibweise in der man alle ihre Elemente hinschreibt. Hierzu verwendet man geschweifte Klammern, die Elemente werden durch Kommas getrennt. Beispiel 2.4 Die Menge M = {2, 3, 5} hat die Elemente 2, 3 und 5 und sonst keine weiteren Elemente. Es gilt also z.b. 5 M aber 7 M. Eine Menge ist einzig und allein dadurch definiert welche Objekte sie als Element enthält und welche nicht. Wenn zwei Mengen A und B genau die selben Elemente enthalten sind sie folglich gleich. Man schreibt dann A = B, andernfalls A B. Notation 2.5 Die Reihenfolge, in der die Elemente einer Menge hingeschrieben werden, spielt keine Rolle. Eine Menge M kann ein Objekt x entweder als Element enthalten oder nicht, es gilt also entweder x M oder x M. Insbesondere kann ein Objekt nicht mehrmals in einer Menge enthalten sein. Welche Menge ist also gemeint wenn man z.b. {3, 2, 2, 5, 5, 3, 5} schreibt? Eine Menge ist einzig dadurch definiert, welche Elemente sie enthält, in diesem Beispiel sind das die Zahlen 2,3 und 5 und sonst nichts. Es handelt sich also um eine Menge mit genau 3 Elementen, genauer gesagt um die Menge {2, 3, 5}, d.h. {2, 2, 3, 5, 5, 5} = {2, 3, 5}. Aus Gründen der einfacheren Lesbarkeit wird man natürlich wenn man eine Menge hinschreibt in aller Regel jedes Element nur einmal angeben. Eine spezielle Menge ist die Menge, die gar keine Elemente enthält. Diese Menge wird auch leere Menge genannt. Notation 2.6 Die leere Menge wird durch {} oder auch bezeichnet.

10 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 10 Für jedes beliebige Objekt x gilt also x. Mengen müssen ihre Elemente nicht notwendigerweise nur aus Zahlen rekrutieren. Laut Cantor können Mengen aus beliebigen Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens bestehen. Man kann also z.b. auch die Menge aller Häuser von Heilbronn definieren und wenn man Lust hat, zu dieser Menge noch die Zahl 23 dazunehmen. Es ist insbesondere also auch gar nicht nötig, dass die Elemente einer Menge in irgend einer Weise den selben Typ haben. In der Informatik findet man Mengen in Form von Datentypen. In Java oder C++ ist z.b. usw. int = { 2 31,...,2 31 1} float = Menge der 32 Bit Gleitkomma Zahlen Dadurch dass wir uns mit Mengen beschäftigen, werden Mengen ihrerseits wiederum zu Objekten unserer Anschauung oder unseres Denkens. Man kann daher auch Mengen von Mengen bilden, d.h. Mengen, deren Elemente ihrerseits wiederum Mengen sind. Beispiel 2.7 Die Menge { {2, 3}, {5} } hat zwei Elemente, nämlich die Menge {2, 3} und die Menge {5}, d.h. {2, 3} { {2, 3}, {5} } {5} { {2, 3}, {5} } Es ist wichtig den Unterschied zwischen der Zahl 5 und der Menge {5} festzuhalten. Insbesondere gilt im vorigen Beispiel 5 { {2, 3}, {5} }. Beispiel 2.8 Um die Verwirrung komplett zu machen betrachten wir nun im Gegensatz zum vorigen Beispiel die Menge { {2, 3}, 5 }. Diese Menge hat ebenfalls zwei Elemente, nämlich die Menge {2, 3} und die Zahl 5, d.h. {2, 3} { {2, 3}, 5 } 5 { {2, 3}, 5 } aber {5} { {2, 3}, 5 }

11 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 11 Man kann diesen Prozeß natürlich beliebig weitertreiben und z.b. Menge von Mengen von Mengen definieren und damit recht komplizierte Dinge aufbauen. Mengen mit endlich vielen Elementen bezeichnet man als endliche Mengen, Mengen mit unendlich vielen Elementen als unendliche Mengen. Bei unendlichen Mengen kann man natürlich nicht alle Elemente hinschreiben. Eine Möglichkeit besteht darin, einfach ein paar Elemente der Menge aufzuzählen und anzunehmen, dass der Leser sich schon denken kann welche Menge gemeint ist. Beispiel 2.9 {1, 2, 3,...} Menge der natürlichen Zahlen, N {0, 1, 2, 3,...} Menge der natürlichen Zahlen mit Null, N 0 {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} Menge der ganzen Zahlen, Z {2, 3, 5, 7, 11,...} Menge der Primzahlen Die Begriffe endlich und unendlich haben wir nicht exakt definiert und müssen uns daher zunächst auf unsere intuitive Vorstellung verlassen. Tatsächlich ist diese Angelegenheit manchmal recht verwirrend: So gibt es z.b. unendlich viele natürliche Zahlen, aber jede natürliche Zahl hat nur endlich viele Dezimalstellen. Die exakte Definition einer unendlichen Menge kommt in Anhang A. 2.2 Beziehungen zwischen Mengen Im Folgenden seien A und B Mengen. Definition 2.10 (Teilmenge ) A ist eine Teilmenge von B, geschrieben A B, wenn jedes Element von A auch Element von B ist. Abbildung 2.1: Teilmenge

12 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 12 Beispiel 2.11 {2, 3} {2, 3, 5} N Z N Z Z Beispiel 2.12 Dass jeder Mensch sterblich ist, lässt sich unter Verwendung von Mengen auch so ausdrücken: Die Menge aller Menschen ist eine Teilmenge der Menge aller sterblichen Dinge. Da Sokrates Element der Menge aller Menschen ist, ist Sokrates somit auch Element der Menge aller sterblichen Dinge, siehe Bild 2.2. Sterblich Mensch Sokrates Abbildung 2.2: Jeder Mensch ist Sterblich und Sokrates ist ein Mensch. In der Mathematik und allgemein bei logischen Überlegungen trifft man immer wieder auf die selben Formulierungen: wenn...dann......genau dann wenn......und......oder... nicht... für alle...gilt... es gibt ein...so dass... Um Zweideutigkeiten zu vermeiden, sollte man bei mathematischen Aussagen möglichst auf diese Formulierungen zurückgreifen. Die Teilmengendefinition lässt sich damit wie folgt schreiben:

13 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 13 A ist Teilmenge von B genau dann wenn für alle Objekte x gilt wenn x A dann x B. Hat man eine Aussage auf diese Form gebracht, kann man viel Schreibaufwand sparen, indem man Symbole für die häufig verwendeten Formulierungen verwendet: Symbol Bedeutung wenn...dann genau dann wenn und oder nicht für alle...gilt es gibt ein...so dass... Formulieren wir nun die Definition der Teilmengenbeziehung mit diesen Begriffen. A ist Teilmenge von B genau dann wenn für jedes Objekt x gilt: wenn x A ist, dann ist x B. Unter Verwendung der neuen Symbole kann man das sehr kompakt schreiben: A B x (x A x B). Die Symbole und heißen Allquantor und Existenzquantor. In der Formel treten 3 Variablen auf: A, B und x, wobei sich der Allquantor auf x bezieht. Variablen, die einem Quantor zugeordnet sind, heißen gebundene Variablen, während A und B freie Variablen sind. Auf die Symbole,,,, werden wir in Kapitel 6 über Aussagenlogik genauer eingehen. Vorweg sei erwähnt, dass man mit diesen Symbolen Aussagen miteinander verknüpft. So werden z.b. die Aussagen x A und x B durch verknüpft zu der Aussage x A x B. Der Witz dabei ist, dass man aus den Wahrheitswerten der Teilaussagen sehr einfach auf den Wahrheitswert der Gesamtaussage schließen kann und zwar unter

14 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 14 X Y X Y X Y X Y X Y wahr wahr wahr wahr wahr wahr wahr falsch falsch wahr falsch falsch falsch wahr falsch wahr wahr falsch falsch falsch falsch falsch wahr wahr X X wahr falsch falsch wahr Tabelle 2.1: Wahrheitstabllen der aussagenlogischen Symbole. Verwendung von Wahrheitstabellen. Weiß man z.b. dass x A wahr ist, und x B falsch ist, dann weiß man, dass die Aussage x A x B falsch ist. In Tabelle 2.1 sind die Wahrheitstabellen der aussagenlogischen Symbole zusammengefasst. Große Verständnisprobleme bereiten oft die unsymmetrischen Wahrheitswerte von. Wie man der Tabelle entnimmt, ist die Aussagen X Y immer wahr, wenn X falsch ist ganz egal ob Y dann wahr oder falsch ist. Die Aussage wenn Bäume rot sind, dann können Elefanten fliegen ist somit rein logisch gesehen wahr. Beispiel 2.13 Die Aussage 2 Z 2 N ist wahr. Die Aussage 2 Z 2 R ist wahr. Die Aussage 2 R 2 Z ist falsch. Statt A B schreibt man auch B A und sagt B ist eine Obermenge von A. In Kurzschreibweise liest sich diese Definition wie folgt: B A x (x A x B). Ausdrücke dieser Form heißen Formeln der Prädikatenlogik. Abgesehen davon, dass man durch solche Formeln Aussagen sehr kompakt und unmissverständlich darstellen kann, haben sie noch einen weiteren Vorteil: Es gibt ein paar einfache Rechengesetze, nach denen diese Formeln umgeschrieben werden können, siehe Kapitel 7.3. Statt x A x B kann man z.b. gleichbedeutend schreiben oder x B x A x A x B usw. Dass diese Ausdrücke tatsächlich äquivalent sind, kann man durch folgende Wahrheitstabelle verifizieren:

15 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 15 x A x B x A x B x B x A x A x B wahr wahr wahr wahr wahr wahr falsch falsch falsch falsch falsch wahr wahr wahr wahr falsch falsch wahr wahr wahr Da es sich hierbei um Symbolmanipulation nach rein syntaktischen Regeln handelt, kann auch der Rechner solche Umformungen durchführen. Er muss hierbei nicht verstehen was die Formeln bedeutet, es genügt vollkommen wenn er die Rechengesetze kennt. Damit sind Maschinen in gewissen Grenzen in der Lage logische Schlussfolgerungen durchzuführen und Aussagen automatisch zu beweisen oder zu widerlegen. Mehr dazu in Kapitel??. Definition 2.14 (Gleichheit von Mengen) A und B sind gleich, geschrieben A = B, genau dann wenn A B und B A. Oder kompakt: A = B (A B B A). Äquivalent kann man Mengengleichheit auch so definieren: A = B x (x A x B). A und B sind also gleich, genau dann wenn sie die selben Elemente haben. Dies wird auch Extensionality Principle genannt. Nach unserer intuitiven Vorstellung einer Menge scheint das Extensionality Principle absolut selbstverständlich. Die Cantorschen Mengendefinition allein erzwingt jedoch nicht, dass es z.b. nur eine einzige Zusammenfassung der Zahlen 1, 2, 3 gibt. Man könnte sie z.b. einmal durch eine Plastiktüte zusammenfassen und ein anderes Mal in Geschenkpapier mit roter Schleife einwickeln. Dadurch würde man verschiedene Objekte erhalten, die aber die selben Elemente haben. Damit Mengen also tatsächlich dem entsprechen, was wir uns intuitiv unter ihnen vorstellen, muss das Extensionality Principle explizit gefordert werden. Man hätte es auch so formulieren können, dass es zu gegebenen Objekten nur eine einzige Menge gibt, die genau diese Objekte enthält. Aus dem Extensionality Principle folgt somit unter anderem, dass die Elemente einer Menge ungeordnet sind. Andernfalls ließen sich z.b. die Zahlen 1, 2, 3 zu unterschiedlichen Mengen zusammenfassen, die sich nur in der Reihenfolge der Elemente unterscheiden.

16 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 16 Definition 2.15 (Echte Teilmengen ) A ist eine echte Teilmenge von B, geschrieben A B, genau dann wenn A B und A B. Statt A B schreibt man auch B A und sagt B ist eine echte Obermenge von A. Die Formeln für A B ist die Formel für A B ist A B A B, A B A B. Alternativ kann man A B auch so definieren, dass A B ist und ausserdem B mindestens ein Element haben muss, das nicht in A ist. Die Formel hierfür ist A B x (x B x A). Dass diese beiden Definitionen der echten Teilmenge äquivalent sind, kann von einer Maschine in wenigen Millisekunden bewiesen werden. Definition 2.16 (Disjunkte Mengen) A und B heißen disjunkt wenn sie keine gemeinsamen Elemente haben. Ò Ø ÙÒ Ø ÙÒ Ø Abbildung 2.3: Disjunkte Mengen Um zu einer Formel zu kommen, schreiben wir die Definition von disjunkten Mengen etwas um: A und B heißen disjunkt, wenn es kein Objekt x gibt, das (gleichzeitig) in A und in B ist. Damit erhält man Allgemein darf man in einer Formel x (x A x B). x...

17 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 17 ersetzen durch x... Damit erhält man die alternative Definition Weiterhin darf man ersetzen durch Damit erhält man x (x A x B). (......) (...) (...). x (x A x B). Zurückübersetzt in natürliche Sprache besagt diese Formel, dass A und B disjunkt sind genau dann wenn jedes Objekt x entweder nicht in A oder nicht in B ist was natürlich richtig ist. 2.3 Comprehension Principle Meistens beschäftigt man sich mit Mengen, deren Elemente durch eine Eigenschaft E beschrieben sind, z.b. die Menge der Objekte, die die Eigenschaft erfüllen, eine gerade natürliche Zahl zu sein. Notation 2.17 Die Menge, die aus genau den Objekten besteht, die eine Eigenschaft E erfüllen wird durch {x x erfüllt E} bezeichnet. Man sagt dazu auch die Menge aller x, die E erfüllen. Beispiel 2.18 {x x ist Primzahl } Menge der Primzahlen. {x x N und x ist durch 3 teilbar } Menge der durch 3 teilbaren, natürlichen Zahlen. {p/q p Z, q N} Menge der rationalen Zahlen Q.

18 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 18 Im letzten Beispiel hätte man eigentlich schreiben müssen {x es gibt ein p Z und ein q N so dass x = p/q}, aber solang klar ist was gemeint ist, sind Vereinfachungen in der Notation durchaus erlaubt. Dass es zu jeder Eigenschaft E eine Menge gibt, die aus genau den Objekten besteht, die die E erfüllen, heißt Comprehension Principle. Es bedeutet, dass Mengen und Eigenschaften im Prinzip das Selbe sind: Eine Eigenschaft ist definiert durch die Menge aller Objekte, die die Eigenschaft erfüllen, und diese Menge ist wiederum durch die Eigenschaft definiert. Die Eigenschaft rot kann man z.b. definieren als die Menge aller roten Objekte oder die Zahl drei als die Menge aller dreielementigen Objekte. Das Comprehension Principle ist ein sehr mächtiges Instrument um Mengen zu definieren. Da es kein Objekt x gibt, für das x x gilt, lässt sich auch die leere Menge mit dem Comprehension Principle definieren: = {x x x}. 2.4 Russelsche Antinomie Seit man begonnen hat, die einfachsten Behauptungen zu beweisen, erweisen sich viele von ihnen als falsch. Bertrand Russel Das Comprehension Principle scheint offensichtlich richtig, es erwies sich jedoch zu Anfang des 20. JH als verheerender Irrtum und stellte die gesamte Welt der Mathematik in Frage. Der Irrtum beschränkt sich nicht nur auf die Mengenlehre oder die Mathematik sondern manifestiert sich in allen Bereichen des logischen Denkens. Insbesondere ist er auch verantwortlich für die vielen unentscheidbaren Problemen der Informatik wie z.b. dem Halteproblem. Prominentestes Opfer dieses Irrtums war Frege, der gerade ein Werk über die Grundlagen der Mathematik basierend auf Mengen und Logik vollendet hat, als er den berühmten Brief von Russel bekam... Hierin wird eine Eigenschaft E definiert, zu der es keine Menge gibt. {x x erfüllt E} Das Comprehension Principle erlaubt es, die Menge M aller Mengen zu definieren, d.h. M = {x x ist eine Menge}.

19 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 19 Diese Menge enthält alle Objekte, die die Eigenschaft erfüllen eine Menge zu sein, also z.b. {2, 3, 5} M { {2, 3}, 5 } M M Interessanterweise ist M selbst aber auch ein Objekt, das die Eigenschaft erfüllt eine Menge zu sein, und somit gilt M M. Es ist zunächst kontraintuitiv, dass eine Menge sich selbst als Element enthalten kann. Nach dem Comprehension Principle ist das aber völlig legitim. M ist bei weitem nicht die einzige Menge, die sich selbst enthält. Auch die Menge G = {x x ist kein Gänseblümchen } enthält sich selbst: G ist eine Menge und somit kein Gänseblümchen, daher ist G G. Da jede Menge die Eigenschaft hat, kein Gänseblümchen zu sein, gilt M G. Andererseits ist M aber auch kein Gänseblümchen, somit gilt M G. Weiterhin ist G eine Menge und daher auch G M. Es gibt also Mengen, die sich nicht nur selbst enthalten sondern auch gegenseitig und außerdem kann eine noch Teilmenge der anderen sein. Das alles entspricht zwar nicht gerade unserer intuitiven Vorstellung von Mengen, ist aber eine zwingende Folge des Comprehension Principles. Ein erstes Beispiel einer Eigenschaft, aus der sich keine Menge konstruieren lässt, wurde von Russel im Jahr 1901 gefunden und ging als Russelsche Antinomie in die Geschichte ein. Wie wir gesehen haben, gibt es (zugegebenermaßen recht seltsame) Mengen, die sich selbst enthalten. Bezeichnen wir die Menge aller Mengen, die sich selbst enthalten mit S, d.h. S = {x x ist eine Menge und x x}.

20 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 20 Da M eine Menge ist, die sich selbst enthält (d.h. M M), gilt M S. Außerdem ist jedes Element von S eine Menge und somit S M. Schauen wir uns nun die anderen (normalen) Mengen an, d.h. Mengen wie {1, 2, 3}, Q,, usw., die sich nicht selbst enthalten. Es geht also um die Eigenschaft, eine Menge zu sein, die sich nicht selbst als Element enthält, d.h. eine harmlose Eigenschaft, die eigentlich von fast allem erfüllt wird außer so exotischen Dingen wie z.b. der Menge M aller Mengen. Sei also R die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten, d.h. Es gilt somit z.b. R = {x x ist eine Menge und x x}. {1, 2, 3} R, Q R, R, M R, G R. Wir zeigen nun, dass R keine Menge ist, d.h. R M. Offensichtlich ist jede Menge entweder in R oder in S. Wenn R eine Menge wäre, müsste gelten entweder R R oder R S. Beide Möglichkeiten führen jedoch zu einem Widerspruch: Angenommen R R, dann wäre laut Definition R eine Menge, die sich nicht selbst als Element hat, d.h. R R, was ein Widerspruch zur Annahme ist. Angenommen R S. Dann wäre laut Definition R eine Menge, die sich selbst enthält, d.h. R R. Da aber R und S disjunkt sind, folgt R S, was ein Widerspruch zur Annahme ist. Es gilt also weder R R noch R S. Da aber jede Menge entweder in R oder in S ist, ist R keine Menge. Es gibt also tatsächlich Eigenschaften, aus denen keine Menge konstruiert werden kann! Diese bittere Erkenntnis war ein Schock für die gesamte mathematische Welt zu Anfang des 20. Jahrhunderts. Viele Theorien, die bis dahin auf einer intuitiven Vorstellungen des Mengenbegriffs basierten, mussten neu durchdacht und formuliert werden. Berühmte Mathematiker, wie z.b. Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel, John von Neumann, Paul Bernays und Kurt Gödel (siehe Anhang C und D) haben

21 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 21 sich daraufhin mit der Entwicklung einer widerspruchsfreien Mengentheorie beschäftigt und darauf die gesamte Mathematik aufgebaut. Eine ähnliche logische Überlegung, wie sie hinter der Russelschen Antinomie steckt, führte 1931 zu den Gödelschen Unvollständigkeitssätzen. Diese besagen (anschaulich ausgedrückt), dass man die Korrektheit der Mathematik nicht mit den Methoden der Mathematik beweisen kann. Genau dies war jedoch das Ziel des Hilbertschen Programms, das damit gescheitert war. Die Stimmung der Zeit drückt folgendes Zitat aus: Niemand soll uns aus dem Paradies vertreiben, das Cantor geschaffen hat. David Hilbert Aber das nur am Rande die Eigenschaften mit denen wir uns beschäftigen werden, sind immer so, dass eine entsprechende Menge dazu existiert. Anders ausgedrückt: Das Comprehension Principle gilt nach wie vor in entsprechend eingeschränkter Form, siehe Anhang C. Å Å Ò ÐÐ Ö Å Ò Ò Å ½ ¾ É Ë ÐØ Ñ Å Ò Ò Ð Ø ÒØ ÐØ Ò Ê ÒÓÖÑ Ð Å Ò Ò Ò Ø Ð Ø ÒØ ÐØ Ò Abbildung 2.4: Russelsche Antinomie 2.5 Operationen auf Mengen. Definition 2.19 (Mächtigkeit endlicher Mengen) Ist A eine endliche Menge, so ist die Mächtigkeit von A, geschrieben A, definiert als die Anzahl der Elemente von A. Beispiel 2.20 {2, 3, 5} = 3 = 0

22 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 22 Genaugenommen ist diese Definition der Mächtigkeit einer endlichen Menge nicht akzeptabel weil vorausgesetzt wird, was die Anzahl der Elemente einer Menge ist. Bisher haben wir ja noch nicht einmal definiert was Zahlen sind! Um es richtig zu machen, braucht man noch eine ganze Menge Theorie die Lösung kommt in Anhang A. Definition 2.21 (Vereinigungsmenge) Die Vereinigungsmenge von A und B ist definiert als A B = {x x A x B} Die Definition der Vereinigungsmenge zweier Mengen A und B beruht somit auf dem Comprehension Principle. Die zugrundeliegende Eigenschaft ist x A x B. Beispiel 2.22 Schauen wir uns den Ausdruck {2, 3, 5} {3, 6, 9} = {2, 3, 5, 6, 9} N Z = Z {x x A x B} genauer an. Es sind hier die Variablen A, B und x im Spiel. Man kann für A und B Mengen einsetzen und erhält dadurch wiederum eine Menge, nämlich die Vereinigungsmenge von A und B. Somit sind A und B freie Variablen. Wenn man für x ebenfalls eine Menge einsetzen würde, würde ein sinnloser Ausdruck herauskommen. Es handelt sich daher bei x um eine gebundene Variable. Definition 2.23 (Schnittmenge) Die Schnittmenge von A und B ist definiert als A B = {x x A x B} Die Definition der Schnittmenge zweier Mengen A und B beruht somit auf dem Comprehension Principle. Die zugrundeliegende Eigenschaft ist x A x B. Offensichtlich sind A und B disjunkt genau dann wenn die Schnittmenge von A und B leer ist, d.h. A B =.

23 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 23 Beispiel 2.24 { 2, 5, 9} N = {5, 9} {x x Q x > 5} {2, 3} = Definition 2.25 (Mengendifferenz) Die Mengendifferenz von A und B ist definiert als A \ B = {x x A x B} Auch die Definition der Mengendifferenz zweier Mengen A und B beruht auf dem Comprehension Principle. Die zugrundeliegende Eigenschaft ist x A x B. Beispiel 2.26 {2, 3, 5} \ {2, 6} = {3, 5} Z \ N = {0, 1, 2,...} Ò Abbildung 2.5: Vereinigungsmenge, Schnittmenge, Mengendifferenz Definition 2.27 (Potenzmenge) Die Potenzmenge von A ist definiert als P(A) = {B B A}. Die Potenzmenge einer Menge A ist also die Menge aller Teilmengen von A. Auch hier findet man das Comprehension Principle wieder. Die zugrundeliegende Eigenschaft ist Teilmenge von A zu sein. Man beachte, dass die leere Menge immer Element der Potenzmenge von A ist, ganz egal was A ist.

24 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 24 Beispiel 2.28 P({1, 2, 3}) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1,2, 3} } P( ) = { }. Manchmal wird statt P(A) auch 2 A geschrieben. Dies ist dadurch motiviert, dass für endliche Mengen A gilt P(A) = 2 A. Dieser Sachverhalt lässt sich durch folgendes Diagramm veranschaulichen: A P() A 2 x P(A) P(A) = 2 A Die Potenzmengenoperation auf Mengen entspricht somit der 2 x Operation auf ihren Kardinalitäten. 2.6 Paare Da das Rechnen mit reinen Mengen schnell langweilig wird, sollten wir uns zügig daran machen, neue Dinge mit Mengen zu konstruieren. In der Sprache des Informatikers sind Mengen Container für irgend welche Objekte. Eine charakteristische Eigenschaft ist, dass die Elemente einer Menge ungeordnet sind. Es macht also keinen Sinn vom ersten oder zweiten Element der Menge zu sprechen. Ausserdem kann ein Objekt nicht mehrmals in einer Menge drin sein es gibt nur die Optionen in der Menge zu sein oder nicht in der Menge zu sein. Es wäre sicherlich nützlich, auch einen Container Typ zu haben, der konträre Eigenschaften mitbringt: Die Objekte in dem Container sollen geordnet sein, d.h. es soll festgelegt sein, welches das erste, zweite, dritte, usw. Objekt in dem Container ist. Ein und das selbe Objekt darf auch mehrmals (an unterschiedlicher Position) im Container sein.

25 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 25 Diese zweite Art von Containern heißt Tupel. Um Tupel von Mengen zu unterscheiden, werden runde Klammern statt der geschweiften Klammern verwendet. So ist z.b. (7, 7, 1) ein Tupel mit 3 Komponenten. Die erste Komponente ist 7, die zweite ist ebenfalls 7 ud die dritte ist 1. Bei Tupeln ist die Reihenfolge festgelegt, d.h. (7, 7, 1) (7, 1, 7). Weiterhin kann ein Objekt mehr als einmal im Tupel vorkommen, d.h. Bei Mengen gilt hingegen (7, 7, 1) (7, 1). {7, 7, 1} = {7, 1} = {7, 1, 7}. Wie versprochen kann man jedes Objekt in der Mathematik aus Mengen konstruieren insbesondere auch Tupel. Dies scheint zunächst kontraintuitiv: Den Mengen ist Ordnung völlig fremd, woher soll also die Ordnungsinformation in einem Tupel kommen? Eine Menge würde aus zwei gleichen Objekten ohne zu zögern eines machen, wie lässt sich also das zweite in einem Tupel retten? Beginnen wir mit dem einfachsten Fall, einem Tupel welches nur zwei Objekte aufnehmen kann. Solche Minimaltupel werden auch Paare genannt. Zunächst wird gezeigt, wie man ein Paar unter ausschließlicher Verwendung von Mengen konstruieren kann. Dann wird gezeigt, dass ein Paar auch tatsächlich die geforderten Eigenschaften hat, nämlich dass man aus zwei beliebigen Objekten ein Paar machen kann und umgekehrt von jedem Paar eindeutig sagen kann, was die erste und was die zweite Komponente ist. Der Informatiker würde sagen, dass man einen Konstruktor und Zugriffsoperationen braucht. Definition 2.29 (Konstruktion eines Paars aus zwei Objekten) Das Paar bestehend aus der ersten Komponente a und der zweiten Komponente b ist die Menge (a, b) = { {a}, {a, b} }.

26 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 26 Beispiel 2.30 Das Paar bestehend aus der ersten Komponente 2 und der zweiten Komponente 5 ist die Menge (2, 5) = { {2}, {2, 5} }. Man beachte, dass aber falls a b. {a, b} = {b, a} (a, b) (b, a) Beispiel 2.31 (2, 5) = { {2}, {2, 5} } { {5}, {5, 2} } = (5, 2). Beispiel 2.32 (2, 2) = { {2}, {2, 2} } = { {2}, {2} } = { {2} }. Definition 2.29 legt fest, wie man aus zwei Objekten ein Paar konstruiert. Ein Paar ist somit eine Menge mit speziellen Eigenschaften: Definition 2.33 (Paar) Eine Menge M ist ein Paar, wenn es zwei Objekte a und b gibt, so dass M = { {a}, {a, b} }. In der Sprache der Prädikatenlogik liest sich diese Definition wie folgt: ( Paar(M) a b M = { {a}, {a, b} }). Die freie Variable in dieser Formel ist M, während die Variablen a und b durch einen Existenzquantor gebunden sind. Beispiel 2.34 Die Menge { {1}, {1, 2, 3} } ist kein Paar. Andererseits ist die Menge { {7, }, { } }

27 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 27 ein Paar, denn für a = und b = 7 gilt (, 7) = { { }, {, 7} } = { {7, }, { } }. Auch die Menge { {3} } ist ein Paar, obwohl sie auf den ersten Blick gar nicht so aussieht: (3, 3) = { {3}, {3, 3} } = { {3}, {3} } = { {3} }. Hat man ein Paar { {a}, {a, b} } gegeben, so kann man eindeutig darauf zurückschließen, dass a die erste Komponente und b die zweite Komponente ist. Es gibt also keine Objekte a a oder b b mit { {a}, {a, b} } = { {a }, {a, b } }. Theorem 2.35 Ist M ein Paar, dann gibt es genau ein Objekt a und genau ein Objekt b so dass M = { {a}, {a, b} }. In der Sprache der Prädikatenlogik liest sich dieses Theorem wie folgt: ( M Paar(M)!a!b M = { {a}, {a, b} }). Das neue Symbol! bedeutet hierbei es gibt genau ein. Beweis. Angenommen { {a}, {a, b} } = { {a }, {a, b } }. Zu zeigen ist, dass dann zwingend folgt a = a und b = b. Setzt man die Definition der Mengengleichheit in die Annahme ein, erhält man { {a}, {a, b} } { {a }, {a, b } } und { {a}, {a, b} } { {a }, {a, b } }. Geht man auf die Definition von zurück, erhält man aus der ersten Teilmengenbeziehung {a} { {a }, {a, b } }.

28 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 28 Hieraus folgt In beiden Fällen folgt a = a. {a} = {a } oder {a} = {a, b }. Setzt man a = a in die Annahme ein, erhält man { {a}, {a, b} } = { {a}, {a, b } }. Man betrachtet nun zwei Fälle: Angenommen a = b. Dann ist { {a}, {a, b} } = { {a} } und somit { {a} } = { {a}, {a, b } }. Folglich muss b = a sein. Damit ist dann aber b = a = b und somit b = b. Angenommen a b. Dann muss {a, b} = {a, b } sein und somit Da a b, folgt b = b. b {a, b } Damit lässt sich definieren, was man unter dem Begriff erste Komponente und zweite Komponente eines Paars versteht: Definition 2.36 (Erste und zweite Komponente eines Paars) Die erste bzw. zweite Komponente eines Paars M ist das eindeutig bestimmte Objekt a bzw. b so dass M = { {a}, {a, b} }. Die erste bzw. zweite Komponente eines Paars M wird oft mit π 1 (M) bzw. π 2 (M) bezeichnet. Bei π 1 bzw. π 2 handelt es sich um die sog. Projektionsfunktionen, die jedem Paar seine erste bzw. zweite Komponente zuordnen.

29 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 29 Der essentielle Unterschied zwischen dem Paar (a, b) und der Menge {a, b} liegt darin, dass man beim Paar (a, b) sagen kann, welches die erste Komponente und welches die zweite Komponente ist, bei der Menge {a, b} hingegen nicht. Ist nämlich {A, B} ein Paar, so gilt entweder A B oder B A. Im ersten Fall ist die erste Komponente das (einzige) Element von A, im zweiten Fall ist die erste Komponente das (einzige) Element von B. Es ist durchaus zulässig dass bei einem Paar beide Komponenten gleich sind. So ist z.b. (3, 3) das Paar mit erster und zweiter Komponente 3. Aufgrund von Definition 2.29 ist klar, wie man aus zwei Objekten ein Paar macht. Somit liegt auf der Hand, wie man aus drei Objekten ein Tripel konstruiert: Man macht aus den ersten zwei ein Paar und daraus und dem dritten wiederum ein Paar und nennt das Ergebnis Tripel. Beispiel 2.37 Das Tripel (4, 1, 9) ist nichts anderes als ein Paar, dessen erste Komponente (4, 1) und dessen zweite Komponente 9 ist, d.h. (4, 1, 9) = ( (4, 1), 9 ) = { {(4, 1)}, {(4, 1), 9} } { {{{4}, } { } } = {4, 1}}, {{4}, {4, 1}}, 9 Iteriert man diesen Prozess, erhält man n-tupel: Definition 2.38 (n-tupel) Ein n-tupel (x 1, x 2,...,x n ) von Objekten x 1, x 2,...,x n ist definiert durch (x 1 ) = x 1 (x 1, x 2,...,x i+1 ) = ((x 1, x 2,...,x i ), x i+1 ), i = 1,...,n 1. Bemerkung. Vorsicht: Nach unserer Definition ist ein Tripel, aber (x 1, x 2, x 3 ) = ((x 1, x 2 ), x 3 ) (x 1, (x 2, x 3 )) ist kein Tripel! Insbesondere ist ((x 1, x 2 ), x 3 ) (x 1, (x 2, x 3 )). Die erste Komponente vom ersten Term ist (x 1, x 2 ), die erste Komponente vom zweiten Term ist x 1, was offensichtlich nicht das selbe ist. (Es ist recht instruktiv, die Definition eines Paars heranzuziehen und die beiden Ausdrücke als Mengen zu schreiben.)

30 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite Kartesische Produkte Hat man zwei Mengen A und B, dann kann man Paare bilden, bei denen die erste Komponente aus A ist und die zweite aus B. Die Menge aller solcher Paare heißt das kartesische Produkt von A und B. Definition 2.39 (Kartesisches Produkt) Das kartesische Produkt von A und B ist definiert als A B = {(a, b) a A b B}. Beispiel 2.40 Beispiel 2.41 {0, 1} {0, 1} = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} {1, 3, 5} {2, 4} = {(1, 2), (1, 4), (3, 2), (3, 4), (5, 2), (5,4)} Sei eine Menge von Farben und A = {rot, grün, blau} B = {Ford, BMW} eine Menge von Automarken. Im kartesischen Produkt trifft jede Farbe aus A auf jede Automarke aus B: A B = {(rot, Ford), (rot, BMW), (grün, Ford), (grün, BMW) (blau, Ford), (blau, BMW)} Kartesische Produkte lassen sich als Punkte in einem Koordinatensystem darstellen, wobei die Achsen durch die beiden Mengen beschriftet sind, siehe Bild 2.6. Theorem 2.42 Für jede Menge A gilt A = und A =. Beweis. Mit der Definition des kartesischen Produkts erhält man A = {(a, b) a A b }. Da es kein b gibt, welches die Eigenschaft b erfüllt, existiert auch kein Paar (a, b) welches die Eigenschaft a A, b hat. Somit ist A =. Der Beweis von A = ist analog.

31 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 31 ÅÏ ÖÓØ Åϵ ÖĐÙÒ Åϵ Ð Ù Åϵ ÓÖ ÖÓØ ÓÖ µ ÖĐÙÒ ÓÖ µ Ð Ù ÓÖ µ ÖÓØ ÖĐÙÒ Ð Ù Abbildung 2.6: Darstellung eines kartesischen Produktes in einem Koordinatensystem. Die Bezeichung Produkt für A B ist dadurch motiviert, dass für endliche Mengen A, B gilt A B = A B. Wie im Fall der Potenzmengen lässt sich auch dieser Zusammenhang durch ein Diagramm veranschaulichen: A, B A, B kartesisches Produkt Multiplikation A B A B = A B Das kartesische Produkt von Mengen entspricht somit der Multiplikation ihrer Kardinalitäten. Definition 2.43 (n-faches kartesisches Produkt) Für jedes n N ist das n-fache kartesische Produkt A n von A definiert durch A 1 = A A i+1 = A i A, i = 1,..., n 1. Die Elemente von A n sind also genau die n-tupel von Elementen von A.

32 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 32 Beispiel 2.44 {0, 1} 3 = {0, 1} 2 {0, 1} = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)} {0, 1} = {((0, 0), 0), ((0, 0), 1), ((0, 1), 0), ((0,1), 1), ((1, 0), 0), ((1, 0), 1), ((1, 1), 0), ((1, 1),1)} = {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1,1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1)} 4 N 1 = = N Ist A endlich, so gilt offensichtlich A n = A n. Bemerkung. Die Schreibweise A A A verleitet zur Annahme, dass (A A) A und A (A A) das selbe ist. Dies ist jedoch nicht der Fall wie man sieht wenn man sich die Definition eines Paars vergegenwärtigt! Wie gesagt, ist bei jedem Paar eindeutig festgelegt, was die erste Komponenten ist. Ist x (A A) A, so ist die erste Komponenten von x ein Element von (A A). Ist hingegen x A (A A), so ist die erste Komponente ein Element von A. Wir halten daher explizit fest, dass (A B) C A (B C) für alle nichtleeren Mengen A, B, C.

33 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 33 3 Relationen Beispiele von Relationen sind Ihnen sicher schon einige bekannt, z.b. die kleiner-gleich Relation auf den natürlichen oder ganzen Zahlen. In diesem Kapitel zeigen wir zunächst, dass auch Relationen nichts anderes sind als Mengen mit einer bestimmten Struktur und diskutieren dann ein Eigenschaften spezieller Relationen. 3.1 Der Begriff der Relation Definition 3.1 (Relation auf A und B) Eine Menge R heißt Relation auf A und B wenn R A B. Definition 3.2 (Relation) Eine Menge R heißt Relation, wenn es Mengen A und B gibt so dass R A B. Eine Relation ist also einfach eine Menge von Paaren. Beispiel 3.3 N ist keine Relation. Die Menge Ist ist eine Relation. Andererseits ist keine Relation. so schreibt man auch {(2, 3), (6, 11)} {(2, 3), (6, 11), 27} (a, b) R a R b und sagt a steht in Relation R zu b oder das Paar (a, b) erfüllt R. Ist A = B, d.h. R A A so sagt man auch R ist eine Relation auf A.

34 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 34 Beispiel 3.4 Die kleiner-gleich Relation auf den natürlichen Zahlen ist nichts anderes als die Menge aller Paare (a, b) N N, für die a kleiner oder gleich b ist: N = { (1, 1), (1, 2), (1, 3),..., (2, 2), (2, 3), (2, 4),..., (3, 3), (3, 4), (3, 5),..., } Statt (3, 5) N schreibt man üblicherweise auch 3 N 5. Das ist zwar von der Notation her prägnanter, verschleiert aber völlig die Tatsache, das Relationen einfach Mengen von Paaren sind. Beispiel 3.5 Die kleiner Relation auf den natürlichen Zahlen < N ist definiert durch < N = {(a, b) a N, b N, a ist kleiner b }. Offensichtlich gilt < N N : Wenn (a, b) < N ist, d.h. a < N b, dann gilt auch a N b und somit (a, b) N. Andererseits ist z.b. (3, 3) N aber (3, 3) < N. Beispiel 3.6 Die Gleichheitsrelation auf den natürlichen Zahlen = N ist definiert durch = N = {(a, b) a N, b N, a ist gleich b } = {(a, a) a N} = {(1, 1), (2, 2), (3, 3),...} Offensichtlich gilt und < N = N = N < N = N =. Beispiel 3.7 Die kleiner-gleich Relation auf den ganzen Zahlen Z ist definiert durch Z = {(a, b) a Z, b Z, a ist kleiner oder gleich b }. Offensichtlich gilt N Z da z.b. ( 2, 4) Z aber ( 2, 4) N.

35 º º º º º º º º º º º º V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 35 º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾ ½ ½ ¾ ½ ½ ¾ Abbildung 3.1: N Relation (links) und < N Relation (rechts) º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ¾ ¾ Abbildung 3.2: Z Relation Beispiel 3.8 Die Relation σ N N ist definiert durch σ = {(a, b) a N, b N, b = a + 1} = {(1, 2), (2, 3), (3, 4),...}. Offensichtlich gilt σ < N, da z.b. (2, 4) < N aber (2, 4) σ. Beispiel 3.9 Die Relation 3 N 0 N 0 ist definiert durch 3 = {(a, b) a N 0, b N 0, a b ist durch 3 teilbar } So ist z.b. (10, 4) 3 da 10 4 = 6 und 6 ist durch 3 teilbar. Wie üblich benutzt man auch die Notation Andererseits ist (5, 4) 3 da 5 4 = 1 und 1 ist nicht durch 3 teilbar. Man schreibt auch Beispiel 3.10 dargestellt. In Bild 3.4 und 3.5 sind Beispiele von Relationen auf R

36 º º º º º º º º º º º º º º º º º º V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 36 ¾ ¾ ½ ½ ¾ ½ ½ ¾ Abbildung 3.3: σ Relation (links) und 3 Relation (rechts). Beispiel 3.11 Einige Relationen sind uns schon im Kapitel 2 begegnet ohne dass wir diese explizit als Relationen bezeichnet haben. So ist z.b. eine Relation auf der Menge aller Mengen. Zwei Mengen A und B stehen in Relation wenn A Teilmenge von B ist. Statt kann man somit auch schreiben A B (A, B). Ist M die Menge aller Mengen, so gilt da eine Relation auf M ist. M M Beispiel 3.12 Auch ist eine Relation. Sei O die Menge aller Objekte à la Cantor und M die Menge aller Mengen. Dann ist eine Relation auf O und M. Statt 5 N kann man somit auch schreiben (5, N). Es gilt also O M.

37 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 37 ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ ½ ½ ½ ¾ µ ¾ Ê ¾ Ê µ ¾ Ê ¾ Ê ¾ Abbildung 3.4: Beschreibung von Geraden und Kurven durch Relationen auf R Ô µ ¾ Ê ¾ Ê ¾ ¾ ¾ Ô µ ¾ Ê ¾ Ê ¾ ¾ ¾ Abbildung 3.5: Beschreibung von Kreisen und ausgefüllte Kreisen durch Relationen auf R

38 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 38 σ = N σ = N Abbildung 3.6: Darstellung von Relationen durch Graphen. Manchmal ist es hilfreich, eine Relation auf einer Menge A durch einen Graphen darzustellen. Man zeichnet hierbei die Elemente von A als Knoten (Punkte) und für alle Paare (a, b) A zeichnet man einen Pfeil von a nach b. Ein paar Beispiele sind hierzu in Bild 3.6 dargestellt. Da A n = A n 1 A ist jede Teilmenge von A n eine Relation R A n 1 A. Solch eine Relation wird auch n-stellige Relation auf A genannt. In Erweiterung dieser Sprechweise nennt man Teilmengen von A auch einstellige Relationen auf A. 3.2 Zerlegungen Bevor s mit Relationen weitergeht, beschäftigen wir uns mit dem Begriff der Zerlegung einer Menge. Eine Menge zu zerlegen heißt anschaulich, ihre Elemente in Gruppen einzuteilen, aus jeder Gruppe eine Menge zu bilden und die entstehenden Mengen wieder zu einer Menge zusammenzufassen. Aus einer Zerlegung einer Menge A kann man unmittelbar eine Relation auf A ableiten, indem man definiert dass genau die Elemente einer Gruppe zueinander in Relation stehen sollen. Relationen dieser Bauart haben ganz spezielle Eigenschaften und heißen Äquivalenzrelationen. Zerlegungen trifft man im Alltag immer dann an, wenn eine Menge in Gruppen aufgeteilt wird: Beispiel 3.13 Die Menge der Menschen lässt sich zerlegen in Männer und Frauen. Ist A die Menge aller Menschen, K 1 die Menge der Männer und K 2 die Menge der Frauen, so ist eine Zerlegung von A. Z = {K 1, K 2 }

39 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 39 ¾ ½ ½ ¾ Abbildung 3.7: Zerlegung der Menge {1, 2, 3, 4, 5}, siehe Beispiel Beispiel 3.14 Eine andere Zerlegung der Menge aller Menschen erhält man z.b., wenn man sie in Kinder, Jugendliche und Erwachsene einteilt. Sei wieder A die Menge aller Menschen, K 1 die Menge der Kinder (0-12 Jahre), K 2 die Menge der Jugendlichen (13-17 Jahre) und K 3 die Menge der Erwachsenen (älter als 18 Jahre). Dann ist ebenfalls eine Zerlegung von A. Z = {K 1, K 2, K 3 } Beispiel 3.15 Die Menge Q der rationalen Zahlen kann man zerlegen in positive, negative und Null. Sei Q + = {x x Q x > 0}, Q = {x x Q x < 0}. Dann ist eine Zerlegung von Q. Z = {Q +, Q, {0}} Beispiel 3.16 Sei A = {1, 2, 3, 4, 5}. Dann ist Z = { {1, 2}, {3}, {4, 5} } eine Zerlegung von A. Eine andere Zerlegung ist z.b. Z = { {1, 4}, {2, 3, 5} } siehe Bild 3.7. Wie das letzte Beispiel zeigt, kann man sich eine Zerlegung einer Menge so vorstellen, dass Trennwände in die Menge eingezogen werden. Eine Zerlegung Z einer Menge A ist somit eine Menge von Teilmengen von A. Diese Teilmengen nennt man auch Klassen der Zerlegung. Wie aus den vorigen Beispielen ersichtlich, liegt jedes Element von A in genau einer Klasse. Um s

40 V. Stahl Logik und Künstliche Intelligenz Seite 40 nicht unnötig kompliziert zu machen, legt man dabei fest, dass keine Klasse leer sein soll. Und hier das Ganze nochmal richtig exakt: Definition 3.17 (Zerlegung) Eine Menge von Mengen Z heißt Zerlegung von A wenn Jede Menge K Z ist eine nichtleere Teilmenge von A. K K Z (K A K ). Die Elemente von Z sind paarweise disjunkt. K K (K Z K Z) (K = K K K = ). Jedes Element von A ist in einer Menge K Z. a a A ( K K Z a K). Je nachdem ob Z endlich oder unendlich ist, spricht man von einer endlichen oder unendlichen Zerlegung von A. Wenn man die Definition einer Zerlegung umgangssprachlich formuliert, erhält man folgende Merkregel: Merkregel 3.18 Eine Menge Z von nichtleeren Teilmengen von A heißt Zerlegung von A wenn jedes Element von A in genau einer Menge K Z ist. Beispiel 3.19 Die feinste Zerlegung einer Menge A erhält man, wenn man jedes Element von A in eine separate Klasse sperrt. Für ist die feinste Zerlegung Die feinste Zerlegung von N ist A = {1, 2, 3, 4, 5} Z = { {1}, {2}, {3}, {4}, {5} }. Z = { {1}, {2}, {3},... }. Vorsicht: Z N, die Elemente von Z sind Mengen, die Elemente von N sind Zahlen!