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1 ANALYSIS LN-Funktionen Grundlagen Eigenschaften Wissen - Kompakt Datei Nr. 60 Neu geschrieben Stand: 0. Juni 0 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK Demo-Tet für

2 60 Übersicht: Ln-Funktionen Man kann die Funktion f Vorwort ln() auf verschiedene Arten im Unterricht einführen. Ich wähle in diesem Tet die Methode über Umkehrfunktionen. Im Tet 60 zeige ich einen ganz anderen Zugang. Dort wird diese Funktion als Stammfunktion der Funktion g definiert. Das ist vielleicht mehr eine Methode von Hochschulen. Daraus erkennt man schon, dass die Logarithmusfunktionen nicht einfach da sind. Logarithmen entstehen durch Umkehrung von Potenzieren. Dieses Grundwissen benötigt man, wenn man es mit Logarithmusfunktionen zu tun hat, an vielen Stellen. Daher beginne ich auch mit einem Abschnitt über das Logarithmieren als Umkehrung zum Potenzieren. Man kann diesen kleinen Abschnitt überspringen. Hinweis: In Deutschland war bisher die Schreibweise f ln üblich. Inzwischen setzt sich immer mehr die internationale Schreibweise mit Klammer durch: f ln. Beides ist nebeneinander möglich. Ist aber das Argument komplizierter, muss die Klammer verwendet werden: g ln ist eine andere Funktion als h ln. Inhalt Logarithmen als Umkehrung von Potenzen f ln als Umkehrfunktion von g e 5. Die Eulerscher Zahl e 5. Schaubilder der Eponentialfunktionen g a (a > ) 5. Umkehrfunktionen bilden 6 f ln 8. Die Ableitung der Logarithmusfunktion 9 Kompliziertere Ln-Funktionen 0 Symmetrie-Untersuchungen 5 Verwendung von Ln-Regeln zur Termumformung Demo-Tet für

3 60 Übersicht: Ln-Funktionen Logarithmen als Umkehrung von Potenzen Die Potenz kann jeder berechnen: Gleichung vorkommenden Zahlen: 8. Und die meisten kennen die Namen der in der Man muss also unterscheiden: Geht man von der Basis aus, dann ist der Eponent von. Geht man vom Ergebnis 8 aus, dann ist der Logarithmus von 8. Logarithmus ist also ein anderer Name für Eponent oder Hochzahl. Man benützt ihn also, wenn man man den Eponenten zu einem Ergebnis sucht. Weitere Beispiele: Dafür gibt es diese Schreibweise: Dahinter steckt dieses Schema: Basis Eponent Aufgabe ist der Eponent von für das Ergebnis 8. ist der Eponent von für das Ergebnis 6. 8 bedeutet log 8 6 bedeutet log6 6 bedeutet log6 5 5 bedeutet log5 5 bedeutet log 9 9 bedeutet log ist der Logarithmus von 8 zur Basis. ist der Logarithmus von 6 zur Basis. Ergebnis bedeutet logbasis Ergebnis Eponent. Demo-Tet für Berechne die Potenz und schreibe dann um, was dies als Logarithmusgleichung bedeutet. a) b) 9 c) 5 d) 5 Teste Dein Wissen, schaue die Lösung auf der nächsten Seite erst an, wenn Du die Lösung aufgeschrieben hast. Dabei ist das Aufschreiben wichtig, weil gerade dabei viele Fehler passieren können.

4 60 Übersicht: Ln-Funktionen Lösung Aufgabe a) 8 bedeutet log 8 b) 9 9 bedeutet log 9 c) bedeutet 5 5 log d) bedeutet 5 5 log 5 5 Die Berechnung von Logarithmen geschieht in vielen Fällen durch Umrechnen auf eine Potenz: a) log 6? Dazu müssen wir wissen, dass sich 6 als Potenz von schreiben lässt: 6 = 6. Dann wird klar log 6 6. Man kann dies innerhalb einer Zeile erledigen, indem man folgende Umformung aufschreibt. Dann erkennt man (wegen der gleichen Basis) den Eponenten = den Logarithmus: log 6 log 6 Man ersetzt 6 durch 6 und liest dann ab, dass 6 die Hochzahl von 6 ist, bei der Basis. b) log7? Wissen: 7, also folgt log7 log7 log log 0? Wissen: c) 00 Aufgabe 00 0, also 00 0, also folgt: 6 log 0 log Berechne die folgenden Logarithmen genauso: Stelle das Argument (so nennt man die Zahl, deren Logarithmus gesucht ist), wie in den Beispielen zuerst als Potenz mit der angegebenen Basis dar. Dann kann man den gesuchten Logarithmus als Eponent ablesen. a) log b) e) Hinweis: log f) log c) 6 log log d) log 7 7 g) log h) 8 log 7 Für kompliziertere Berechnungen gibt es andere Methoden, wie z. B. die Potenzkettenmethode, die im Tet 80 gezeigt wird. Ähnliches findet man in 850, Demo-Tet für Ergebnisse: a) 5 b) - c) d) e) f) g) -7 h) -

5 60 Übersicht: Ln-Funktionen 5 Die Funktion f=ln als Umkehrfunktion von g =e. Die Eulersche Zahl e Jetzt wird als Basis die sogenannte Eulersche Zahl e verwendet. Sie ist eine wichtige Zahl in der Mathematik, die vor allem bei natürlichen Wachstumsvorgängen eine entscheidende Rolle spielt. Darauf gehe ich hier nicht ein. Man muss wissen: Die Eulersche Zahl ist eine unendliche nicht-periodische Dezimalzahl, d.h. sie ist nicht als Bruch darstellbar, aber auch nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung. Man merke sich den Näherungswert: e,788 g. Schaubilder der Eponentialfunktionen Die Zahl e heißt Eulersche Zahl. Es ist e,788. Die Kurve y=e hat in Q 0 die Tangentensteigung m =. a für a > Die Steilheit der Kurven wird rechts von der -Achse mit wachsender Basis immer größer. Dies kann man in Zahlen erfassen, wenn man schon mehr Kenntnisse hat. Ich will es andeuten: Die Ableitung der Funktion g a lautet g' a lna. Dabei ist ln(a) dasselbe wie loge a. Man braucht hier also bereits die Logarithmen zur Basis e. Alle diese Kurven gehen durch den Punkt mit dieser Ableitungsfunktion berechnet. g ( ) = 5 g ( ) = g ( ) = g ( ) = e 0 0 g g' ln g' 0 ln 0,69 g g' ln g' 0 ln, Q0. Die Steigung der Tangente in Q wird bekanntlich Achtung: e ist die Zahl, deren Funktion g =e in Q die Steigung hat. g ( ) =,5 Man kann aus diesem Ansatz heraus auch eine Methode zur Berechnung von e finden! g() Punkte zu Punkte zu Demo-Tet für Q

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