Teil 2. Mittelstufen-Algebra. Auf dem Niveau der Klasse 8 bis 10. Datei Nr

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1 ALGEBRA mit dem CASIO ClassPad 00PLUS Teil Mittelstufen-Algebra Auf dem Niveau der Klasse 8 bis 0. Datei Nr. 70 Hier nur 5 Seiten als Demo Die Originaldatei gibt es auf der Mathe-CD Friedrich W. Buckel Juni 006 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

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3 INHALT Termumformungen. Zusammenfassen von Summen. Produkte mit Klammern. Binomische Formeln. Faktorisieren. Brüche zusammenfassen / zerlegen (Polynomdivision) 6.5 Terme ordnen und Zusammenfassen 8.6 Quadratische Ergänzung und Parabelgleichungen 8.7 Aufgaben 8 Wurzelalgebra 9 5 Gleichungen mit einer Unbekannten 5. Einfache Gleichungen 5. Wurzelgleichungen 5. Gleichungen höheren Grades 5. Gleichungen numerisch lösen Exponentialgleichungen Logarithmusgleichungen 5.7 Trigonometrische Gleichungen 6 Gleichungssysteme 5 6. Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten 5 6. Eine Geradenschar untersuchen 8 6. Zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten und einem Parameter 6. Drei Gleichungen mit zwei Unbekannten Eine Parabelschar untersuchen Drei Gleichungen mit drei Unbekannten Zwei Gleichungen mit drei Unbekannten Lösung eines Gleichungssystems wie von Hand 60

4 9 Algebra mit dem CASIO ClassPad 00. Termumformungen. Zusammenfassen von Summen Wir beginnen mit einfachen Termen: a) x + 5y x 8y soll zusammengefasst werden. Dies leistet der Befehl simplify. b) xy + 5x y + xy Diese Aufgabe steht zweimal im Display. In der. Zeile wurden x und mit der festen Tastatur eingegeben. xy wird dann als Produkt von x und y interpretiert. In der. Zeile wurde mit der Software-Tastatur eingegeben. Jetzt bedeutet xy eine neue Variable, und nicht das Produkt x y. Der Befehl simplify zeigt dies und fasst xy und xy nicht zusammen! Man erkennt die Variablen x, y, z, die mit der festen Tastatur eingegeben worden sind an der fetten kursiven Darstellung.. Produkte mit Klammern a) 6x ( 5) = 8x 0 Die Berechnung klappt mit simplify b) x6x ( 5y) + wird mit simplify nicht verarbeitet! Hier wird expand benötigt! c) Ebenso bei ( x + )( x 7)! d) Der Term x5x ( )( x ) + führt hier zu einer unliebsamen Darstellung mit Dezimalzahlen. Kein Wunder, denn dies war ja die Grundeinstellung! Nach Anklicken des Ergebnisses und Anklicken des Umwandlungs-Icons entsteht das gewünschte Ergebnis. Dieses wurde in der letzten Zeile durchgeführt! Das nächste Display zeigt weitere Beispiele. e) ( x + )( x + )( x + ) =... f) ( ) ( ) x+ x+ x x= 5

5 9 Algebra mit dem CASIO ClassPad 00. Binomische Formeln a). Binomische Formel: ( ) x+ y = x + xy+ y b). Binomische Formel: ( ) x y = x xy+ y c). Binomische Formel: ( x+ y)( x y) = x y Diese drei Formeln errechnet ClassPad 00 mit dem Befehl expand, der Terme in Summanden zerlegt. Doch wie macht man diese Formeln rückgängig, mit anderen Worten: Wie kann man ClassPad dazu bringen, dass er aus x + xy+ y das Ergebnis ( x+ y) macht? Das folgt in. d) ( ) a+ b = a + a b+ ab + b e) ( ) x = x x + x = x x + 8x 6 f) ( ) x+ = x + x + 5x + 08x+ 8 g) ( a+ b c) = ( a+ b c)( a+ b c) = a + b + 9c + ab ac 6bc h) ( ) a b c = a + b + c ab ac+ bc i) x + = x + + x + x x x x x = x x x x = + + x x x x

6 9 Algebra mit dem CASIO ClassPad 00. Faktorisieren Es gibt Befehle zum Faktorisieren. () factor bewirkt eine einfache Faktorisierung a) x + xy+ y (eingegeben mit der richtigen Tastatur wird zu ( x+ y) umgeformt. Schreibt man den Term mit Buchstaben der virtuellen Tastatur aus dem Display-Menü abc, dann versteht der Rechner ab als neue Variable und kann daher nicht umformen. Erst wenn man dazu das Produktzeichen verwendet, klappt es! b) Auch die. Binomische Formel kommt in der umgekehrten Richtung x y = x y x+ y zum Vorschein: ( )( ) c) x 6x+ 9= ( x ) d) ( x ) = ( x )( x + x+ ) e) x 0x+ 6= ( x 8)( x ) f) ( ) x x z + z = x z 9 Man erhält jedoch dieses gleichwertige Ergebnis: ( x y ) =! 6 Ich habe es nicht geschafft, mein Ergebnis auf das Display zu bekommen!

7 9 Algebra mit dem CASIO ClassPad 00 g) ( ) ( ) 0x 0x + 5 = 5 x 8x + 9 = 5 x 7 h) ( ) ( ) ab + ab + 8a = a b + 6b + 9 = a b + (Achtung a x b ist das Produkt, ab ist eine neue Variable und kein Produkt! ) = = c ( a 5b)( a + 5b) i) 8ac 75bc c ( 6a 5b ) x 6x+ = x x+ = 9x x+ 6 = ( ) j) ( ) k) u u v + v = u u v + v = ( 8u 88u v + 56v ) ( ) 9u 6v = ( u v) ( u + v) () rfactor bewirkt eine Faktorisierung bis hin zu Wurzeln. Beispiele: (Voreinstellung: Standard statt Dezimalzahlen!) a) rfactor( x 5 während ergibt ( x 5) = ( x 5)( x+ 5) factor( x 5 nichts bewirken kann. b) ( (x 9) = x )( x + ) = ( x )( x+ )( x + ) c) ( x ) = ( x )( x + ) d) ( )( )( ) = x + x x + ( )( )( ) = x+ x x + = ( )( ) x 8 x x+ e) ( )( ) ( ) x x x + = = x x+ x+ erreicht man mit simplify und mit rfactor, während factor gar nichts bewirkt und expand nur die Summe aufspaltet.

8 9 Algebra mit dem CASIO ClassPad 00 5 () factorout bewirkt Ausklammern eines Terms. Man schreibt den auszuklammernden Term hinter ein Komma: ax + bx + c = a x + b x+ c erscheint so: ad ( ) bc d a bc a abc + bcd = ( + ) nach Ausklammern von ad. Man beachte, dass im Classpad unbedingt das Multiplikationszeichen gesetzt werden muss, weil sonst abc der Name einer Variablen ist. ClassPad macht nicht immer das, was wir erwarten: x y = ( x+ y)( x y). Also erwartet man, dass man aus x y den Faktor ( x+ y) ausklammern kann! Doch das ist eigentlich klar: Hier sollte man mit expand in ein Produkt zerlegen! Man kann natürlich auch Zahlenfaktoren ausklammern! 5 x + 8y 5z = x + y z! a ( ) Oder Ausklammern von Oder Ausklammern von a Oder Ausklammern von a aus a b + ab ab

9 9 Algebra mit dem CASIO ClassPad Brüche zusammenfassen / zerlegen (Polynomdivision). Die folgenden Summen von Bruchtermen bringt man durch Addition auf einen Hauptnenner, also in eine Form, die man auch Normalform oder Hauptform nennt: x + x+ x+ + = x x aufgespaltene Form Hauptform x 5x 5 7 x 5x + x 5x = x x x aufgespaltene Form Hauptform ( x ) ( x ) x x 8 x + = = x x x aufgespaltene Form Hauptform Der Weg von links nach rechts ist leicht. Man muss eben so erweitern, dass alle Brüche denselben Nenner erhalten. ClassPad erledigt dies mit dem Befehl Combine Für viele Zwecke (in der Oberstufe) muss man aber auch einen Bruch von der Hauptform in einzelne Brüche aufspalten können!. Fall: Der Nenner enthält keine Summe a) b) c) x x = = x x x x x+ 8 x 8 = + = + x x x x x + x x = + = + = x + x x x x x Die Umformungen gelingen man sieht sowohl mit simplify wie auch mit propfrac. e) f) g) x 8 x 8 x = = = x x x x x x x + x x x = + = x+ x x x x x x x x = = = x 8x 8x 8x 8 x 8 x Hier bewirkt simplify nichts mehr!! Man verwende also stets propfrac!

10 9 Algebra mit dem CASIO ClassPad Fall: Der Nenner enthält eine Summe Um einen Bruch zu zerlegen, der im Nenner eine Summe enthält, muss man mit Polynomdivision arbeiten! (x ) : (x + ) = Rest x Beispiel = denn (x + ) x+ x+ Beispiel x 9 x =? Zuerst wird der fehlende Summand 0x eingefügt. Dann muss man den Nenner (x-) mit x multiplizieren, damit x entsteht, denn dies muss ja bei der folgenden Subtraktion wegfallen. Dann bleibt x übrig, also wird der Nenner als nächstes mit multipliziert. Der letzte Rest (Divisionsrest) ist -5. Er kommt in den Zähler des Restbruches, das Minuszeichen zieht man vor den Bruchstrich! Ergebnis: Beispiel Ergebnis: Beispiel x 9 5 = x+ - x x. x x+ =? x + + = + (x x ) x (x x x) 0 + (x 0x x ):(x ) x x x x x x + = + + x x x + x + x = x+ x + x + (x + 0x 9):(x ) = x + (x x) x 9 (x ) 5 Rest Rest 5 (x + x + 0x + ):(x + ) = x + (x + x) x x (x + ) x ( x + 0x + 0x + 0x+ ):( x + x+ ) = x x+ ( x + x + x ) x + Beispiel 5 =? x x + 0x x + x+ ( x 6x 6x) 6 x + 6x + = x x+ + x + x + ( x + 8x + 8) x 6

11 9 Algebra mit dem CASIO ClassPad Terme ordnen und zusammenfassen Es gibt noch den Befehl collect, dessen Wirkung man sich ansehen muss: In der Aufgabe x + ( x a)( x+ b) werden die Klammern multipliziert, und dann wird neu geordnet, also zusammengefasst und dabei x ausgeklammert. Dies kann collect! Wie das Display zeigt, kommt man mit simplify und nicht mit expand zum Ergebnis!.6 Quadratische Ergänzung Diese Methode beherrscht ClassPad nicht. Es gibt jedoch eine Möglichkeit mit Hilfe von Parabeldarstellung die Lösung in den Griff zu bekommen. Dies wird im Teil Funktionen gezeigt..7 Aufgaben a) Berechne: ( x ) 5 b) Fasse zusammen: ( x )( 5x + ) ( x )( x + 5) c) Faktorisiere d) Faktorisiere e) Faktorisiere x 6x 55 x + x x x+ 9 x f) Fasse zusammen: 8x x x x+ + x x+ x g) Zerlege in einzelne Brüche: x x+ x

12 9 Algebra mit dem CASIO ClassPad Wurzelalgebra a) 6x = x schafft man nur mit EXE! b) 96x y = 6 6 x y = 6 x y ist eine schlaue Lösung. Sie berücksichtigt das, was Schüler meist vergessen: x = x,denn eine Wurzel ist stets nicht negativ! xy c) Mit hat ClassPad so seine Probleme, z denn wir man sieht, lässt er y stehen! xy x y y Erwartet hätte man hier = z z Nebenan sinnlose Versuche zu x! Er schafft x x nicht! Achtung: y = y y erfordert keinen Betrag, da ja y nicht negativ sein darf, wenn y unter der Wurzel steht! und z ist auch nie negativ! d) x yz x yz + xz 9y = xz yz x z yz = xz yz Im Unterricht setzt man voraus, dass x,y,z bei solchen Rechnungen nicht negativ sein sollen. Dann ist x = x. Und dann erhält man oben gezeigtes Ergebnis. ClassPad stottert hier, vor allem auch, weil er an z scheitert! e) Schauen wir uns zwischendurch einige Zahlenrechnungen an: f) ( ) ( ) 5+ 5 = = = = = ( ) ( ) = = = = = = = = = = = = 9 g) ( )

13 9 Algebra mit dem CASIO ClassPad 00 0 h) i) ( ) ( z x ) ( ) 5 xy ( ) 5 5 ( ) x y x y x y x y x y : = = 6 6 z y z y z x z y z x ( ) Diese Quälereien für Schüler kann auch ClassPad 5 nicht lösen, da er wie gesehen x und x nicht umformen kann. Daher bleibt ein großes Ergebnis stehen, das nicht gekürzt werden kann. x = = x = x = x x x x 8x Hier gelingt mit expand ein Ergebnis, wenngleich x nicht in eine dritte Wurzel zurück verwandelt wird und der Nenner auch nicht rational wird. x a 6 0 = x y = x = x

14 9 Algebra mit dem CASIO ClassPad Gleichungen mit einer Unbekannten 5. Einfache Gleichungen Zum Lösen von Gleichungen benötigt man den Befehl solve im Menü Aktion Gleichungen. 8 a) 5x 8 = 0 ergibt x =. b) c) d) e) Hier verwendet man einfach den Befehl solve ohne weitere Zusätze. x+ = 0 ist eine Bruchgleichung. x L = ;. Sie führt auf zwei Lösungen: { } Zur Erinnerung: Man multipliziert mit x und erhält diese quadratische Gleichung: x + x= 0 bzw. 5 x + x+ = 0. x + x + = führt auf die Lösungszahl 5 x+ 5 = 8 x hat die Lösung x =. x x + = x+ x führt auf eine quadratische 5± 7 Gleichung mit den Lösungen x, = 6 Durch Anklicken des Umwandlungs-Icons erhält man übrigens diese Brüche in Dezimalform. Nun wichtige Besonderheiten: () Es gibt Gleichungen, die allgemeingültig sein, weil sie von jeder Zahl gelöst werden.. a) x 6x+ 9 = (x ) ClassPad gibt hier die Meldung { x= x} aus, und das heißt: Jedes x ist Lösung! b) Das tut er auch in Fällen wo es falsch ist: x = x gilt für alle reellen Zahlen x+ außer für die Zahl, denn wenn man sie einsetzt, wird der Nenner 0! L= R\ { }!!! Dies verschweigt CASIO!

15 9 Algebra mit dem CASIO ClassPad 00 () ClassPad kann auch Formeln umstellen, d. h. allgemeine Gleichungen lösen: a) ax + b = c ax = c b x = falls a 0 ist. c b a b) y z xy + yz + xz = 0 x = x + z Gibt man nur solve ein, wird nach x umgestellt. Will man nach y oder z umstellen, setzt man ein Komma und schreibt diese Variable dahinter! () Quadratische Gleichungen a) b) c) löst ClassPad problemlos. x + x = 0 Über die allgemeine Lösungsformel entsteht: x, = ± + { = ± + = ± = x +x-=0 Man sollte nicht mit multiplizieren: ± 9+ x, = = ( ± ) = ( ± ) = 6± x + x+ = 0 Wendet man die allgemeine Lösungsformel an, folgt ± ± x, = =. Dies sind keine reellen Lösungen. Wenn man die reellen Zahlen als Grundeinstellung gewählt hat gibt ClassPad No Solution (siehe oben rechts) aus. Ich habe zum Anschauen dann auf komplexe Zahlen umgeschaltet und haben dann zwei komplexe Lösungen ± ± ± i erhalten: x, = = = i ist die imaginäre Einheit. d) Man erhält auch die allgemeine Lösungsformel: + + = = ax bx c 0 x, ± a b b ac

16 9 Algebra mit dem CASIO ClassPad Wurzelgleichungen a) x + = x stellt kein Problem dar: x = ± 5, b) 5 x = x ergibt x =. Die manuelle Lösung durch Quadrieren auf die quadratische Gleichung x + x+ = 0 mit den Lösungen x, ± + ± 96 ± = = = = Die Lösung scheidet jedoch aus, weil für sie die Probe nicht stimmt. ClassPad erkennt dies! c) x = x ergibt x= +. Auch hier scheidet eine zweite Lösung aus. d) x + = x+ 5 wird mit x = gelöst. e) x+ 6 + x = führt über zweifaches Quadrieren zu x = 0, aber die Probe stimmt nicht, daher ist hier die Lösungsmenge leer!

17 9 Algebra mit dem CASIO ClassPad Gleichungen höheren Grades a) x + 7x + 0x+ 0 = 0 erfordert manuell einen hohen Aufwand, da man ein Probierlösung finden muss, dann wird der Gleichungsterm durch Abspalten eines Linearfaktors in ein Produkt zerlegt. Dies geschieht entweder mittels Hornerschema oder mit Polynomdivision. ClassPad erspart und dies und liefert uns: b) x = - falls die Grundeinstellung reelle Zahlen heißt. Verwendet man komplexe Zahlen, erhält man noch 5± 5 i zusätzlich zwei komplexe Lösungen: x, = (. Lösungszeile). x + 5x 0x 6= 0 ergibt wie man sieht vier ganzzahlige Lösungen. c) Die Gleichung x = 0 führt auf x = x, =±, was ClassPad mittels Exponenten darstellt. d) x x 0 + = ergibt drei Lösungen, die ClassPad als Näherungs-Dezimalzahlen ausgibt. Eine geschlossene Darstellung gelingt hier nicht mehr. e) Ähnliches beobachtet man bei der dargestellten Gleichung 5. Grades. Hier rechnet ClassPad mit einem Algorithmus, der diese Näherungswerte liefert.