TU8 Beweismethoden. Daniela Andrade

Transkript

1 TU8 Beweismethoden Daniela Andrade / 21

2 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf findet ;) 2 / 21

3 Themenübersicht 1 Beweismethoden 2 Exkurs: Wörter über einem Alphabet 3 / 21

4 Themenübersicht 1 Beweismethoden Vollständige Induktion 4 / 21

5 Struktur mathematischer Aussagen Mathematische Aussagen können als prädikatenlogische Formeln formuliert werden. Dabei werden einzelne Teilaussagen wie folgt übersetzt: Aussage Kompaktschreibweise Prädikatenlogik nicht F F F und G F G F oder G F G Wenn F, dann G F = G F G F genau dann, wenn G F G F G Für alle x A gilt F x A : F x(a(x) F ) Es gibt ein x A für das F gilt x A : F x(a(x) F ) 5 / 21

6 Grobe Vorgehensweise Die Gestalt einer Aussage suggeriert, wie man vorgehen könnte. Die wichtigsten sind auf folgender Tabelle aufgelistet: Gestalt Vorgehensweise nicht F Zeige, dass F nicht gilt. F und G Zeige F und G in zwei getrennten Beweisen. F = G Füge F in die Menge der Annahmen hinzu und zeige G. F oder G Zeige: nicht F = G. (Alternativ zeige: nicht G = F.) F G Zeige: F = G und G = F. x A : F Sei x ein beliebiges Element aus A. Zeige dann F. x A : F Sei x ein konkretes Element aus A. Zeige dann F. 6 / 21

7 Schreibweisen für Beweise Beweise werden oft als Fließtext geschrieben. Mein TIPP: srukturiert die Beweise wie folgt: Zu zeigen: Aussage F Annahmen: A 1, A 2,..., A n. Beweis: = Es folgt F 1. (Begründung für F 1 ) = Es folgt F 2. (Begründung für F 2 ) = Es folgt F 3. (Begründung für F 3 ). Zum Zeitpunkt, an dem die Folgerung F i begründet werden muss, wurden alle Folgerungen F 1,..., F i 1 in die Menge der Annahmen hinzugefügt. D.h. man kann, um F i zu begründen, alle Annahmen A 1,..., A n und Folgerungen F 1,..., F i 1 benutzen. 7 / 21

8 Infos Man kann eine Folgerung kommentieren oder nicht (je nachdem wie trivial sie ist!) Die sichere Variante ist, sie immer zu kommentieren :) Man kann die benutzten Annahmen bzw. Aussagen über dem entsprechenden Implikationspfeil schreiben, z.b.: Annahme 2 =... Lemma 25 =... Satz von Euler =... 8 / 21

9 Beweistypen für Implikationen Die meisten Aussagen in der Mathematik sind Implikationen, d.h. sie haben die Gestalt F = G. Solche Aussagen kann man auf verschiedenen Weisen beweisen: Direkter Beweis: Indirekter Beweis: Füge F in die Menge der Annahmen hinzu und zeige G. Füge nicht G in die Menge der Annahmen hinzu und zeige nicht F. Beweis durch Widerspruch: Füge F und nicht G in die Menge der Annahmen hinzu und zeige ein Widerspruch. 9 / 21

10 Info Als logische Formeln formuliert, entspricht der direkte Beweis der Formel F G, der indirekte Beweis der Formel G F und der Beweis durch Widerspruch der Formel (F G) false. Diese Beweismethoden sind korrekt, weil die drei Formeln äquivalent zueinander sind: F G F G G F (F G) false / 21

11 Vollständige Induktion Themenübersicht 1 Beweismethoden Vollständige Induktion 11 / 21

12 Vollständige Induktion Vollständige Induktion Für Aussagen der Form Für alle n N 0 mit n n 0 gilt die Aussage P(n) reicht es, die Aussagen P(n 0 ) und n n 0 : (P(n) = P(n + 1)) zu beweisen. 12 / 21

13 Vollständige Induktion Induktionsanfang (IA) oder Basis: P(n 0 ) Induktionsvoraussetzung (IV): Für ein beliebiges aber festes n n 0 gilt P(n). Induktionsschritt (IS): n n 0 : P(n) = P(n + 1). Um den Induktionsschritt zu zeigen, zeigen wir P(n + 1), unter Verwendendung der Induktionsvoraussetzung 13 / 21

14 Vollständige Induktion Idee: vergleiche Induktion mit einer Treppe Warum reicht Induktion in vielen Fällen aus, um eine Aussage zu zeigen? 14 / 21

15 Vollständige Induktion Induktion: Copy-Paste und Punkte gewinnen! Dieses Schema wird jedesmal verlangt. Mein TIPP: schreibt es einfach immer so! Beweis durch Indukion über n (hier kurz angeben, was n ist) IA: n = n 0 : P(n 0 ) =... (hier die Aussage P für n 0 überprüfen) IV: Für ein beliebiges aber festes n n 0 gilt P(n). IS: Behauptung: Für n + 1 gilt dann auch P(n + 1). Beweis:... (hier P(n + 1) unter Verwendung von IV zeigen) Natürlich müssen dann n 0 und P(n) konkret angegeben werden, z.b. als konkrete Zahl und konkrete Formel. 15 / 21

16 Vollständige Induktion Starke Induktion Die starke Induktion funktioniert analog zur vollständigen Induktion mit dem Unterschied, dass der Induktionsschritt die Gestalt n n 0 : (P(n 0 ),..., P(n)) = P(n + 1) hat. D.h. man nimmt P(n 0 ),..., P(n) als IV an und benutzt beliebig viele davon im IS, um P(n + 1) zu zeigen. Die vollständige Induktion ist ein Spezialfall der starken Induktion. 16 / 21

17 Exkurs: Wörter über einem Alphabet Themenübersicht 2 Exkurs: Wörter über einem Alphabet 17 / 21

18 Exkurs: Wörter über einem Alphabet Wörter Wörter sind nichts anderes als Tupel, deren Komponenten aus einzelnen Zeichen bestehen. So kann man die Klammern und die Kommas weglassen und die Zeichen nebeneinander schreiben. Beispielsweise kann man das Tupel (b, a, b, c, c) als Wort babcc notieren. 18 / 21

19 Exkurs: Wörter über einem Alphabet Wörter und Alphabet Die Menge aller Zeichen, die als Komponenten in den Tupeln vorkommen können, nennt man dann Alphabet Σ. Das leere Wort (das Wort ohne Zeichen bzw. mit Länge Null) ist ɛ. Σ n = } ΣΣΣ {{... Σ} ist die Menge aller Wörter über Σ der Länge n. n mal Σ = n=0 Σ n ist die Menge aller Wörter über Σ mit beliebiger Länge Eine Menge L Σ von Wörtern nennt man passenderweise eine Sprache. 19 / 21

20 Exkurs: Wörter über einem Alphabet Infos Nicht irritieren lassen! Das Σ ( Sigma ) hier hat nichts mit dem Summenzeichen in z.b. n a i = a 0 + a 1 + a 2 + a a n i=0 zutun. Das eine Σ ist eine Menge, das andere ist ein Operator. ɛ ist nur ein Zeichen, was man sich ausgedacht hat, um sich auf das leere Wort, (das leere Tupel () als Wort geschrieben) beziehen zu können. 20 / 21

21 Exkurs: Wörter über einem Alphabet Konkatenieren macht mit Wörtern viel mehr Spaß als mit Tupeln. Fasst man a = (a 1,..., a k ) und b = (b 1,..., b m ) als Wörter a = a 1... a k und b = b 1... b m auf, so gilt für die Konkatenation von a und b: ab = a 1... a k b 1... b m. Man klebt also einfach die Wörter aneinander. Wir werden die Konkatenation so gut wie immer nur auf Wörtern anwenden! Für ein beliebiges Zeichen a Σ gilt: ɛa = a = aɛ. 21 / 21