Aufgabenblatt: Binomische Formeln

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1 Aufgabenblatt: Binomische Formeln Aufgabe : a) (c + t) b) (x + ) c) ( + z) d) (g m) e) ( a ) f) (a b) g) (b a) h) (k m) i) (m k) Aufgabe : a) (p + q)(p q) b) (c + d)(c d) c) (x + )( x) d) (u + )( u ) e) (a b )(a + b ) Aufgabe : a) (p + q)(p + q) b) (r + )(r + ) c) (x + y)(x + y) d) (r + s) e) (m + n)(m + n) f) (x + y) g) (a + b )(a + b ) Aufgabe : a) (p q)(p q) b) (r )(r ) c) (x y)(x y) d) (r s) e) (m n)(m n) f) (x y)

2 Aufgabe : a) (p q)(p + q) b) (r + )(r ) c) (x y)(x + y) d) (r s)(s + r) e) (m + n)(m n) f) (x + y)(x y) Aufgabe : a) m mn + n b) uv u + uw c) m n d) x e) x f) a + a + 9 g) p + pq + q r h) r r + 9 Aufgabe : Berechne mit Hilfe der Binomischen Formeln: a) b) c) d) Christina Birkenhake, Version vom. Dezember e) 9

3 Aufgabenblatt: Lineare und Quadratische Gleichungen Eine Lineare Gleichung ist eine Gleichung der Form: mx + t = Beispiel: x + = Lo sung: durch elementare Gleichungsumformungen: x + = x = Lo sung: x = Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung der Form: ax + bx + c = Beispiel: x x + = Quadratische Gleichungen ko nnen keine, eine oder Lo sungen haben. Die Lo sungen berechnet man mit einer der beiden Lo sungsformeln: abc-formel: fu r Gleichungen der Form ax + bx + c = mit a = b± b ac a Lo sungen x/ = Diskriminante D = b ac pq-formel: Diskriminante D = p q Die Diskriminante ist der Term, der in der Formel unter der Wurzel steht. An ihr kann man ablesen, wieviel Lo sungen es gibt: > Lo sungen Diskriminante D = Lo sung < keine Lo sung Christina Birkenhake, Version vom. Dezember fu r Gleichungen der Form x + px + q = q Lo sungen x/ = p ± p q

4 Beispiele: Gleichung Lo sungsformel ax + bx + c = x/ = b± b ac a Diskriminante D = b ac Anzahl Lo sg. x = x/ = ± D=> x x = x/ = D=> D= D = < x x + = x = x x + = Aufgabe : Bestimme die Lo sungen (beachte: manchmal geht es auch ohne Lo sungsformel) a) x + x = b) x + x = c) x + = d) x + x + = Aufgabe : Bestimme die Lo sungen von a) (x )(x ) = b) (x + )(x ) = c) (x + )(x ) = Auch (x + a)(x + b) = ist eine quadratische Gleichung, denn (x + a)(x + b) = x + (a + b)x + ab Aufgabe : Lu ckentext, vervollsta ndige: a) x x + = (x )(x b) x x + 9 = (x + )(x c) x x + = (x d) x + x e) x ) ) )(x ) = (x )(x ) x + = (x + )(x Aufgabe : Bestimme die Lo sungen a) x 9x + = b) x + 9x + = c) x + 9x + = d) x x + = ) Christina Birkenhake, Version vom. Dezember Hier kann man aber die Lo sung direkt ablesen: Lo sungen: x = a, x = b

5 Aufgabenblatt: Scheitelpunkt und quadratische Erga nzung Aufgabe : Bestimme den Scheitelpunkt und multipliziere aus.. (a) f (x) = (x ) (b) f (x) = (x ) +. (a) f (x) = x + ) (b) f (x) = (x + ). (a) f (x) = (x ) (b) f (x) = (x ) +. (a) f (x) = (x + ) (b) f (x) = (x + ) Aufgabe : Bestimme den Scheitelpunkt. f (x) = x x +. f (x) = x + x + 9. f (x) = x x +. f (x) = x + x. Wie habe ich den Scheitelpunkt gefunden, welche Formeln habe ich benutzt? Aufgabe : Bestimme den Scheitelpunkt.. (a) f (x) = x + x + (b) f (x) = x + x + (c) f (x) = x + x. (a) f (x) = x + x 9 (b) f (x) = x + x + 9. (a) (b) (c) (d) f (x) = x + x + 9 f (x) = x + x + f (x) = x + x + f (x) = x + x. (a) f (x) = x + x + 9 (b) f (x) = x + x. Wie habe ich den Scheitelpunkt gefunden, welche Rechnenschritte waren notwendig? Christina Birkenhake, Version vom. Dezember. (a) f (x) = x x + (b) f (x) = x x +

6 Arbeitsblatt: Betragsfunktion und Betrags(un)gleichungen Zeichne zwei Koordinatensysteme der Gro sse: x-achse: -..., y-achse: Maßstab: LE = cm Aufgabe :. Zeichne den Graphen der Funktion f (x) = x in ein Koordinatensystem.. Bestimme Scheitelpunkt von f.. Zeichne die Gerade G : y = in dasselbe Koordinatensystem.. Markiere farblich die Kurvenabschnitte unterhalb, auf und u ber der Geraden G.. Markiere mit entsprechender Farbe die zugeho rigen Bereiche auf der x-achse.. Beschreibe die farbigen Bereiche auf der x-achse mit (Un)-gleichungen.. Formuliere die Ungleichungen und die Gleichung bzgl. f (x) = x, deren Lo sung die Bereiche aus. sind. Aufgabe :. Schreibe die Definition der Betragsfunktion g(x) = x ab und zeichne ihren Graphen in das zweite Koordinatensystem.. Bestimme die Spitze von g.. Zeichne die Gerade G : y = ist das Koordinatensystem von g.. Markiere farblich die Kurvenabschnitte unterhalb, auf und u ber der Geraden G.. Markiere mit entsprechender Farbe die zugeho rigen Bereiche auf der x-achse.. Formuliere die Ungleichungen und die Gleichung bzgl. g(x) = x, deren Lo sung die Bereiche aus. sind. Christina Birkenhake, Version vom. Dezember. Beschreibe die farbigen Bereiche auf der x-achse mit (Un)-gleichungen.

7 Arbeitsblatt: Quadratische Funktionen: Scheitelpunkte Die allgemeine quadratische Funktion lautet: f (x) = ax + bx + c Der Scheitelpunkt S(xs ys ) kann so berechnet werden: b ac b, ys = f (xs ) = a a Die Funktion kann durch quadratische Erga nzung in die Scheitelpunktform xs = f (x) = a(x xs ) + ys gebracht werden. Bestimme die Scheitelpunktform und den Scheitelpunkt (Hinweis: bestimme zuerst a, b, c.). f (x) = x + x + 9. f (x) = x + x +. f (x) = x x +. f (x) = x + x +. f (x) = x + x +. f (x) = x + x +. f (x) = x + x 9. f (x) = x + x +. f (x) = x + x + Christina Birkenhake, Version vom. Dezember. f (x) = x + x

8 Arbeitsblatt: Quadratische Funktionen Aufgabe : Ordnen Sie den Funktionen die Graphen zu: () y = xchristina Birkenhake - Maßstab in cm: : () y = x Christina Birkenhake - Maßstab in cm: : Christina Birkenhake x-maßstab in cm: : Christina Birkenhake - Maßstab in cm: : () y = x () y = + () y = x () y = x () y = x + () y = x d) f) h) - - g) Aufgabe : Wie lautet die Gleichung der Parabel, die man durch Verschieben der Normalparabel y = x um a) nach oben b) nach unten c) nach rechts d), nach links erha lt? Aufgabe : Fu hren Sie die folgenden Berechnungen mit jeder der vier Parabelen f,..., f durch: f (x) = x x, f (x) = x x +, f (x) = (x + ). Gesuch ist jeweils die Gleichung der verschobenen Parabel. a) Verschiebe die Parabel um nach unten. b) Verschiebe die Parabel um nach links. c) Verschiebe die Parabel um nach rechts und um nach oben. Christina Birkenhake, Version vom. Dezember -9 f (x) = x, e) - c) - - Birkenhake -: Maßstab in cm: : Christina Birkenhake - Christina Maßstab in cm: - - b) - Christina Birkenhake - Maßstab in cm: : Maßstab in cm: : Christina Birkenhake a)

9 9 9 b) a) c) Aufgabe : - Bestimmen Sie die Gleichungen der abgebildeten Parabeln: d) - e) f) a) -9 b) Bestimmen Sie die Gleichungen der abgebildeten Parabeln: d) c) Christina Birkenhake, Version vom. Dezember Aufgabe :

10 Christina Birkenhake, Version vom. Dezember - -

11 Wenn x + px + q = die Lo sungen x = a, x = b hat, so hat es die Linearfaktorzerlegung x + px + q = (x + a)(x + b) Christina Birkenhake, Version vom. Dezember Satz von Vieta Hat x + px + q = die Lo sungen x = a, x = b hat, so gilt: a) x + px + q = (x + a)(x + b) Linearfaktorzerlegung b) a + b = p und ab = q