Üben, üben, üben das Tangentenproblem. Christian Rühenbeck, Bovenden. Klasse: Dauer: 10 Stunden Inhalt:

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1 Das Tangenenproblem Reihe 7 S Verlauf Maerial LEK Glossar Lösungen Üben, üben, üben das Tangenenproblem en ung e n s ö L g e i p p ka r ndi T! ä n 5 ls Vol rm vo -ROM y o F D in au f C Chrisian Rühenbeck, Bovenden y T H C I S N A R O V 0 x x Klasse: 0 Dauer: 0 Sunden Inhal: Besimmung präziser Tangenen für einfache Poenzfunkionen bzw. Funkionsscharen sowie deren Umkehrrelaionen Anwendung der p-q-formel zur Lösung quadraischer Gleichungen Übungen zur Geradengleichung Lage von Geraden zu Parabeln bzw. Hyperbeln Vorübung zum Begriff der Ableiung Ihr Plus: Spielerische Einhei Wiederholung der p-q-formel für quadraische Gleichungen Wie werden Kenndaen eines Segelflugzeugs graphisch dargesell? Welche Rolle spiel die Tangenengleichung für die Qualiä eines Flugzeugs? Dieser Beirag biee die Möglichkei, den Begriff Tangene analyisch zu begreifen und graphisch nachzuvollziehen. Dabei sezen Ihre Schüler die p-q-formel als Werkzeug ein. Seien es das Besimmen einer präzisen Tangenengleichung oder der absrake Zusammenhang zwischen Tangenen- und Funkionenscharen jeder Schüler wird sich angesprochen fühlen. RAAbis Mahemaik Juni 05

2 Reihe 7 S Verlauf Maerial LEK Glossar Lösungen Didakisch-mehodische Hinweise I/F Im Unerrich zum Thema Quadraische Gleichungen u man sich manchmal deshalb schwer, weil die Anzahl zugkräfiger und dami das Ineresse der Schüler weckender Einsiegsprobleme als Moivaion rech gering is. Um der of gesellen Frage: Wozu brauchen wir das denn? zu begegnen, wird häufig darauf verwiesen, ein mahemaisches Fachgebie kennenzulernen, dessen prakische Bedeuung oder genauer innermahemaische Bedeuung sich ers im Nachhinein erweisen wird. Deshalb sellen wir Ihre Schüler im vorliegenden Beirag vor ein selbs bei Kennnis der Lösungsmehode für quadraische Gleichungen zunächs unlösbar erscheinendes Problem, dessen Lösung nach einigen vorbereienden Übungsaufgaben aber gelingen wird. In außermahemaischen Anwendungsbereichen wie Technik und Wissenschaf kommen quadraische Gleichungen rech selen vor. Man erleb manchmal, dass Techniker und Wissenschafler zwar wissen, dass es ein Kalkül gib, es aber nich mehr beherrschen und im Anwendungsfall zum Taschenrechner mi CAS greifen. Im hier vorgesellen Anwendungsfall reichen Compuer-Algebra-Syseme (CAS) jedoch nich zur Problemlösung aus. Weil somi der Kopf eingeschale bleiben muss, dien dieser Anwendungsfall wegen der Inensiä der Übungen einer bleibenden Veriefung der elemenaren Gleichungslehre. Behandeln Sie das Thema Tangenenproblem am Ende der Klasse 0, wenn die im Folgenden genannen Voraussezungen bei Ihren Schülern vorhanden sind. Voraussezungen Die im vorliegenden Beirag beschriebene Unerrichssequenz sez folgende in Klasse 0 gewöhnlich erreichen Kennnisse voraus: Kennnis der Geradengleichung y = mx + b und der Bedeuung der Parameer m (Seigung) und b (y-achsenabschni), Kennnis elemenarer Poenzfunkionen wie y = x,y =,y = x x sowie daraus ableibarer Funkionen bzw. Relaionen y = (ax b) + c; a y = ; bx c y c = ax b, Lösungsmehode für quadraische Gleichungen (p-q-formel) und Bedeuung der Diskriminane für die Anzahl von Lösungen p p p p x = + q x = q, Anschauung zur Geraden als Sekane, Tangene, Passane, Gleichungen mi Parameern bzw. Umformungen von Termen mi Parameern, Einige Male spiel der Funkions- und Relaionsbegriff eine Rolle. Er solle deshalb bekann sein oder im Zusammenhang mi den Übungsaufgaben erörer werden (einoder mehrdeuige Zuordnungen). RAAbis Mahemaik Juni 05

3 Reihe 7 S Verlauf Maerial LEK Glossar Lösungen Inhal Zenraler Gesichspunk der vorliegenden Unerrichssequenz is folgender: Geraden und Graphen einfacher Poenzfunkionen haben bis zu zwei gemeinsame Punke. Eine quadraische Gleichung ha genauso viele Lösungen. Ha die quadraische Gleichung nur eine Lösung, so lieg eine Tangene vor. Voraussezung für das Versändnis dieses Verfahrens is, dass man Gleichungen mi Parameern lösen kann. Außerdem muss man in der Lage sein, das Ergebnis der p-q- Formel für quadraische Gleichungen geomerisch zu inerpreieren. Zeigen Sie auch die Grenzen des angewendeen Verfahrens auf, um Ihre Schüler zu moivieren, eine andere (alernaive) Mehode zur Besimmung von Tangenen kennenzulernen. Der hier vorgeselle Anwendungsfall dien dazu, den Begriff der Ableiung einzuführen. Wie das geschehen kann, zeig die in einem weieren Beirag beschriebene Unerrichssequenz mi dem forführenden Tiel... zur Ableiung in der nächsen Ergänzung. Übungsaufgaben bilden das Rückgra jeglicher Lernprozesse. Sie sind auf jeweils gesonderen Kärchen zu finden. Hinweise zu den zugehörigen Lösungen wie auch solche für den Lehrer sind am Schluss dieses Beirags vermerk. Zu graphischen Veranschaulichungen wie auch zum Durchspielen von Variaionen is der Einsaz eines graphikfähigen Taschenrechners (GTR) zu empfehlen. Übungsaufgaben Für Experen weisen auf einen erhöhen Schwierigkeisgrad hin. Sie können diese Übungsaufgaben zunächs weglassen und späer bei der Einführung der Ableiung (siehe den Beirag... zur Ableiung ) darauf zurückkommen. Das Spiel (mi Binnendifferenzierung) Schneiden Sie die Kärchen mi den Aufgaben enlang der gesrichelen Linien aus und laminieren Sie diese. Jedes Kärchen beinhale eine Aufgabe mi einem Schwierigkeisgrad bzw. Level,, oder, wobei sich die Aufgaben mi Schwierigkeisgrad als am schwierigsen erweisen. Lassen Sie Ihre Schüler per Zufallsprinzip ein Kärchen ziehen und die darauf geselle Aufgabe lösen. Diese Lösung wird anschließend von einem anderen Schüler konrollier. Alernaiv können Sie je nach Schwierigkeisgrad drei Sapel bilden, diese auf den Spielplan legen und die Schüler selbs den Schwierigkeisgrad wählen lassen. Auf diese Weise können die Lernenden ihre eigenen Kompeenzen einschäzen. Sie als Lehrkraf legen fes, wie of gezogen werden soll. Jede richige Lösung liefer so viele Punke wie der Schwierigkeisgrad auf dem Kärchen. Ansonsen gib es null Punke. Kärchen mi Schwierigkeisgrad dienen dem graphischen Versändnis von Lösungen quadraischer Gleichungen, insbesondere der Lage von Geraden zu Graphen. Zusäzlich sehen die Geradengleichung und die Bedeuung der Seigung und des y-achsenabschnis im Fokus. Kärchen mi Schwierigkeisgrad beinhalen Aufgaben, bei denen das Umformen von Termen nach einer Unbekannen aufgefrisch und verief wird. Haupsächlich wird das Besimmen von präzisen Tangenengleichungen bei gegebenen Poenzfunkionen beziehungsweise Wurzelrelaionen geüb. In den Aufgaben auf Kärchen mi Schwierigkeisgrad wird der Umgang mi Gleichungen mi Parameern aufgefrisch. Insbesondere wird das Ermieln von Geraden geüb, die Tangenen an Funkionenscharen und deren Umkehrrelaionen sind. Bei den Aufgaben mi Schwierigkeisgrad wird das absrake Denken des Schülers geforder. Uner anderem soll eine Parabelschar anhand einer Skizze aufgesell werden. RAAbis Mahemaik Juni 05

4 Reihe 7 S Verlauf Maerial LEK Glossar Lösungen I/F Folgende Tabelle veranschaulich die Vereilung der Aufgaben zum jeweiligen Schwierigkeisgrad. Level Level Level Level (analog ) 6 (analog ) Aufgabe 7 finden Sie auf CD-ROM 5 ( Parabeln sind langweilig? Von wegen! ). Bezug zu den Bildungssandards der Kulusminiserkonferenz Leiidee Inhalsbezogene Kompeenzen Die Schüler... K L lösen quadraische Gleichungen mi der p-q-formel, Allg. mahemaische Kompeenz Anforderungsbereich K, K 5 L finden Tangenen an Graphen einfacher Poenzfunkionen und Funkionsscharen, K 6 L spielen ein Spiel zum Tangenenproblem, K 6 L konrollieren gegenseiig die Richigkei ihrer Lösungen. K, K, K 5 L lösen reale Fragesellungen mi der p-q-formel. I I III I, II I, II I, II Abkürzungen Kompeenzen K (Mahemaisch argumenieren); K (Probleme mahemaisch lösen); K (Mahemaisch modellieren); K (Mahemaische Darsellungen verwenden); K 5 (Mi symbolischen, formalen und echnischen Elemenen der Mahemaik umgehen); K 6 (Kommunizieren) Leiideen L (Zahl und Zahlbereich); L (Messen und Größen); L (Raum und Form); L (Funkionaler Zusammenhang); L 5 (Daen und Zufall) Anforderungsbereiche I Reproduzieren; II Zusammenhänge hersellen; III Verallgemeinern und Reflekieren RAAbis Mahemaik Juni 05

5 Reihe 7 Verlauf Maerial S LEK Glossar Lösungen M Moivaion Die Qualiä eines Flugzeugs wird in der Luffahr durch zwei Größen angegeben: die Gleizahl und die Sinkgeschwindigkei (Flugzeug ohne Anrieb). Die Gleizahl als Quoien aus horizonaler Flugsrecke und verikaler Sinksrecke kann aus der Seigung jener Ursprungsgeraden besimm werden, die Tangene an den oberen Teil der sog. Polare des Flugzeugs (bzw. des Flügelprofils) is, siehe Abb.. Die Polare is hier eine querliegende Parabel (Wurzelrelaion). Werden als y und c W als x inerpreier, laue die Gleichung des oberen Teils der querliegenden Parabel näherungsweise y = 7(x 0, 0) 0, 5 + 0,5. Wie besimm man die Tangene an diese Relaion und ihre Seigung? In Daenbläern für Segelflugzeuge finde man neben Auf- und Seienriss des Flugzeugyps weiere Angaben zu Eigenschafen des bereffenden Flugzeugs und in der Regel auch die graphische Darsellung einer Funkion, die sog. Segelflugpolare. Dabei handel es sich um eine Aufragung der Sinkgeschwindigkei v s gegen die Fluggeschwindigkei v. Ein Beispiel is in Abb. skizzier. Dieser Polare kann man zwei Kenndaen des Segelflugzeugs ennehmen: die Fluggeschwindigkei im Fall des geringsen Sinkens, linker Punk auf dem Graphen, und die zur besen Gleizahl gehörende Fluggeschwindigkei, recher Punk auf dem Graphen. Die Gleizahl folg aus dem Kehrwer der negaiven Seigung jener Tangenen an den Graphen, die durch den Ursprung verläuf. Werden v s als y und v als x inerpreier, sell die Gleichung x 7,6 y = x näherungsweise die Polare des Leisungssegelflugzeugs ASW 7 dar. Wie besimm man diese Tangene und ihre Seigung?,75,5,5 0,75 0,5 0,5 0,0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,05 0,06 0,07 0,0 0,09 0, 0,5 c W Abb. : Polare eines Flugzeugs = Aufriebsbeiwer c W = Widersandsbeiwer Polare v in m/s s ,5 05 v in m/s 0,75 Thinksock/iSock Abb. : Segelflugzeug,5,5,75 Abb : Segelflugpolare Polare RAAbis Mahemaik Juni 05

6 Reihe 7 Verlauf Maerial S LEK Glossar Lösungen M Ein Spiel zum Tangenenproblem Übungsaufgaben. Level : Beschreibe die besonderen Eigenschafen der Geraden, und in Bezug auf ihre Lage zur Normalparabel. Besäige durch eine Rechnung, dass die Gerade Tangene an die Parabel is. Besimme die Koordinaen des Berührpunkes. Abb. : Normalparabel mi y = x Geraden, und mi y = x+ b b = ; ; y g. Level : Wähle zur Normalparabel andere Tangenen mi y = mx + b. Besimme die Tangenengleichungen sowie die Koordinaen der Berührpunke. Prüfe deine Resulae durch graphische Darsellungen auf dem GTR.. Level : Gegeben seien eine Parabel mi y = x und eine Geradenschar mi y = x + b. Besimme diejenige Gerade aus dieser Schar, die Tangene an die Parabel is. Beobachung? x g Abb. g. Für Experen (Level ): Gegeben sei eine Parabelschar mi y = ax, a r, a 0. Besimme solche Geraden y = mx + b, die Tangenen an die Parabeln sind. RAAbis Mahemaik Juni 05

7 Reihe 7 Verlauf Maerial S 5 LEK Glossar Lösungen. (Level ): Bearbeie das zu Abb. gehörige Problem (Segelflugpolare).. (Level ): Bearbeie das zu Abb. gehörige Problem (Flugzeugpolare) ,5 05 0,75,5,5,75 v in m/s s Abb. : Segelflugpolare 5. Für Experen (Level ): Gib zur Parabel mi der Gleichung ( ) y= x+ die Umkehrrelaion an. Besimme die Tangene im Punk (0 ) dieser Parabel sowie im Punk ( 0) der Umkehrrelaion. Welche Beobachungen lassen sich machen? v in m/s,75,5,5 0,75 0,5 0,5 0,0 0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,05 0,06 0,07 0,0 0,09 0, 0,5 c W Abb. : Polare eines Flugzeugs = Aufriebsbeiwer c W = Widersandsbeiwer 6. Für Experen (Level ): Parabeln sind langweilig? Von wegen! Abb. 5: Eine Tangene und eine Parabelschar, wie geh das? zur Lösung: Aus y = ax + bx + c mi a, b, c r, a 0 und m = ax + b folg mi m=, x = y = dann b+ y = x + bx b + 6, 5 b in ganzen Schrien. y y x x Abb. 5 RAAbis Mahemaik Juni 05

8 Reihe 7 Verlauf Maerial LEK Glossar Lösungen S Lösungen und W Tipps zum Einsaz Aufgabe Gerade schneide die Parabel (Sekane); Gerade berühr die Parabel (Tangene); Gerade läuf an der Parabel vorbei (Passane). Diese drei Fälle haben ewas mi der Anzahl der reellen Lösungen einer quadraischen Gleichung zu un. Für die x-koordinae der gemeinsamen Punke von Parabel mi y y= x+ b gil die Besimmungsgleichung: x = x + b oder x + b = 0. Diese Gleichung ha die Lösungen: x= + b+ x= b+. = x und Gerade mi Zwei Schnipunke mi der Parabel ensehen, falls die Diskriminane posiiv is, d. h. wenn b >, genau ein gemeinsamer Punk dann, wenn die Diskriminane null is, d. h. b =. Falls die Diskriminane kleiner als null is, d. h. wenn: b <, exisier kein gemeinsamer Punk mehr. Den Or des gemeinsamen Punkes kann man der Gleichung x = 0 ennehmen, d. h. im Fall: b 0 Beobachung: b= y. + =. Er ha die Koordinaen: ( ) x y =. Erörern Sie, ob es auch Geraden gib, die mi der Parabel nur einen Punk gemeinsam haben und nich gleichzeiig Tangenen sind. Es gib nur solche Ausnahmegeraden, die parallel zur y-achse sind (diese Geraden sellen jedoch keine Funkionen mehr dar, da einem x-wer mehr als ein y-wer zugeordne wird). Alle anderen Geraden sind enweder Sekanen oder Tangenen oder Passanen. zu Aufgabe Im allgemeinen Fall form man den Term x + px + q = 0 folgendermaßen um: p p 0 = x + px + q = x + q mi Diskriminane p Falls D > 0, folg: Lösungen ± D. Falls D < 0, folg: Es gib keine Lösung. p D = q. Falls D = 0, folg: genau eine Lösung RAAbis Mahemaik Juni 05 p.