Aus meiner Skriptenreihe: "Keine Angst vor "

Transkript

1 Dipl.-Kaufm. Wolfgang Schmitt Aus meiner Skriptenreihe: "Keine Angst vor " Verfahren der Nullstellenberechnung der Funktionen n n 1 n 2 n i 1 f x ax a x a x... ax... a x i n für n > 1

2 1 Inhalt Seite 1. Begriffe und Definitionen 2 2. Quadratische Ergänzung und p q Formel 2 3. Linearfaktoren - Vieta - Diskriminante 3 4. Faktorisieren 4 5. Substitution und Desubstitution 4 6. Probieren und Polynomdivision 5 7. Intervallschachtelung 6 8. Sekantenmethode (regula falsi) 7 9. Tangentenmethode (Newton Approximation) Nullstellen gebrochen rationaler Funktionen Graphische Lösung Für Freaks: "Bairstow Methode" Übungsaufgaben mit Lösungen 13

3 2 1. Begriffe und Definitionen Grundaufgabe: Gegeben ist eine Funktion y = f(x) mit Graph K. Gesucht sind die Nullstellen xn der Funktion Begriff: Anzahl von xn: Bedingung: Nullstellen nennt man die gemeinsamen Punkte xn eines Funktionsgraphen mit der x-achse. Eine Funktion n-ten Grades kann maximal n Nullstellen haben. Ist n ungerade, so hat f(x) mindestens eine Nullstelle, ist n gerade so kann f(x) auch keine Nullstelle besitzen. In einer Nullstelle xn ist y immer Null. Die Bedingung zur Berechnung von Nullstellen ist deshalb immer: f(x) = 0 setzen. 2. Quadratische Ergänzung und p q Formel Beispiel: f(x) = x 2-6x + 5 x 2 6x + 5 = 0 Wir wissen: (a-b) 2 = a 2-2ab+b 2 Wir verwenden die ersten 2 Terme und erstellen aus diesen ein vollständiges Binom 2. Grades. Der dritte Term wird unverändert übernommen. also: (x-3) = 0 (x-3) 2 4 = 0 2 (x 3) 4 x 3 2 xn 5 1 x 1 N2 Allgemeine Funktion 2. Grades_ f(x) = x2 + px + q = 0 setzen x2 + px + q = 0 2 p 2 p (x ) q p 2 p (x ) q p p x q p p xn q 1/ Die Koordinaten der beiden Nullstellen lauten: N1(5 0) und N2(1 0) Dieses Ergebnis ist bekannt als die "beliebte" p q Formel

4 3 3. Linearfaktoren Vieta Diskriminante Linearfaktoren Eine Funktion n-ten Grades, die n Nullstellen besitzt, kann in n Linearfaktoren zerlegt werden. Die Linearfaktordarstellung lautet allgemein: f(x) = (x - xn1 ).(x - xn2. )... (x - xnn ) Für obige Funktion bedeutet das: f(x) = x 2-6x + 5 = ( x 5 ) ( x 1 ) Vieta (Franciscus Vieta, ) Man verwende die p-q-formel und addiere die beiden Nullstellen: x1 + x2 = - p Man multipliziere die beiden Nullstellen: x1 x2 = q Daraus folgt: f ( x ) = x 2 - (x1 + x2).x + x1 x2 f(x= x 2 - (x1 + x2).x + x1 x2 Klammer auflösen: f(x) = x x - x x1 - x x2 + x1 x2 Summanden umstellen: f(x) = x x -x x2 - x x1 + x1 x2 Teilweise faktorisieren: f(x) = x(x - x2) - x1(x - x2) Nochmal faktorisieren: f(x) = (x - x2) (x - x1 ) Man sieht, das Ergebnis ist die Linearfaktordarstellung. Ein fleißiger Mensch vollzieht das Ganze jetzt mit der allgemeinen Parabelfunktion nach: f(x) = ax 2 + bx + c Funktionen n-ten Grades lauten allgemein: f(x) = a1.x n + a2x n-1 + a3x n aix n-i anx Diskriminante Den Radikanden des Wurzelterms aus der p-q-formel nennt man Diskriminante D (Unterscheidungsgröße). Wie jeder sehen kann, gilt: Fall a) D > 0 Parabel hat. 2 Nullstellen, weil 2 Radikand 0 Wurzelwert Fall b) D = 0 Parabel hat 1 Nullstelle, weil 2 Radikand 0 0 Fall c) D < 0 Parabel hat keine Nullstelle, weil 2 Radikand 0 keine IL in IR

5 4 4. Faktorisieren Beispiel: f(x) x 3-6x x Die quadratische Ergänzung ist nicht anwendbar. x 3-6x x = O Wir klammern x mit dem höchstmöglichen Exponenten aus. Faktorisieren: x (x 2-6x + 5) = 0 Aus der Summe wurde ein Produkt. Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Aber welcher? Wir haben 2 Faktoren, also setzen wir nacheinander alle Faktoren Null. Fall 1 1. Faktor x = 0 setzen xn = 0 Fall 2 2. Faktor x 2-6x + 5 = 0 setzen Die quadratische Ergänzung liefert: xn2 = 5 und xn3 = 1 Die Funktion hat 3 Nullstellen: N1(0 0); N2(5 0); N3(1 I 0) Und so sieht der Graph aus: 5. Substitution Desubstitution Beispiel: f(x) = x 4-6x 2 + 5; f(x) = 0 setzen Um einen quadratischen Term zu erhalten, ersetzen (substituieren) wir x 2 durch die Substitutionsvariable z, also: z = x 2 Die substituierte Gleichung lautet jetzt: z 2-6z + 5 = 0 Diese können wir mit der quadratischen Ergänzung lösen und erhalten: z1 = 5 und z2 = 1 Wir suchen nicht z, sondern x. Deshalb wird die Substitution rückgängig gemacht.

6 5 Desubstitution: x z Für z1: x1/2 = 5 x1 = + 2,24 und x2 = - 2,24 Für z2: x3/4 = 1 x3 = + 1 und x4 = - 1 Die Funktion hat also 4 Nullstellen: Und so sieht der Graph aus: N 1(2,24 0) N 2( 2,24 0) N 3(1 0) N 4( 1 0) 6. Probieren und Polynomdivision Beispiel: f(x) = x 3 + 5x 2 + 2x -.8 x 3 + 5x 2 + 2x - 8 = 0 setzen. Keines der bisher gezeigten Verfahren ist direkt anwendbar. Wir versuchen deshalb, eine der möglichen 3 Nullstellen durch Probieren (evtl. Wertetabelle) zu ermitteln. Dies kann ein langwieriges Verfahren sein, deshalb der Tipp: Man beginnt mit der Konstanten oder mit ganzen Teilern davon. 1. Versuch: x = - 8: (-8) (-8) (-8) - 8 = -216 Der Versuch ist fehlgeschlagen, denn << 0 2. Versuch: x = - 4: (-4) (-4) (-4) - 8 = 0 Treffer! Fazit: xn = - 4 Die Funktion kann 3 Linearfaktoren haben. Wir haben jetzt einen davon ermittelt. Er lautet: (x - xn) = ( x + 4 ) Jetzt dividieren wir f(x) durch diesen ersten Linearfaktor. (x 3 + 5x 2 + 2x 8) : (x + 4 ) = x 2 + x - 2 x 3 + 4x 2 x 2 + 2x x + 4x -2x 8-2x 8 0 Diese Verfahren nennt man Polynomdivision.

7 6 Merke: (x 2 + x - 2) (x + 4 ) = x 3 + 5x 2 + 2x 8 Siehe Faktorisierung Ein Produkt ist dann Null, wenn ein Faktor Null ist. Wir wissen, daß für x = -4 der zweite Faktor Null ist. Jetzt brauchen wird nur noch den 1. Faktor Null zu setzen: x 2 + x - 2 = 0 xn2 = -2 und xn3 = +1 Die Funktion hat 3 Nullstellen: N1(-4 0); N2(-2 0); N3(1 0) Und so sieht ihr Graph aus: 7. Intervallschachtelung Beispiel: f(x) = x 3 + x.- 5 Keines der oben genannten Verfahren ist anwendbar. Probieren führt stets zu Mißerfolgen. Offenbar sind die Nullstellen nicht ganzzahlig. Über eine Wertetabelle stellt man einen Signumwechsel (Vorzeichenwechsel) von y = f(x) fest. WT : x= y= Der Signumwechsel von y findet zwischen x = 1 und x = 2 statt. Bei ganzrationalen Funktionen liegt dazwischen eine Nullstelle. Nun grenzt man das Intervall 1 < x < 2 ein (Schachtelung). WT: x= 1,2 1,4 _1,6 1,8 y= -2,07-0,96 0,7 2,63 Man sieht, daß eine Nullstelle nahe bei x = 1,6 liegt, also: WT: x= 1,50 1,52 1,54 1,56 1,58 y= -0,125 0,03 0,192 0,356 0,524 Wir sehen: Für x = 1,52 ist y = 0,032, also nahe bei Null. Die " Nullstelle " ließe sich nun beliebig verbessern, wenn man Zeit hat. Die gegebene Funktion kann bis zu 3 Nullstellen haben. Frohes Schaffen und viel Vergnügen.

8 7

9 8 Und so sieht der Graph aus: 8. Sekantenmethode (regula falsi, Regel des falschen Ansatzes) Gedanke: Falsch! Besser. Bild: Schneidet ein Graph die x-achse, so hat der y-wert eines Graphpunktes über der x- Achse ein anderes Vorzeichen als der eines Graphpunktes unter der x-achse und umgekehrt. Dazwischen liegt eine Nullstelle des Graphen. Nun legt man durch diese beiden Punkte eine Gerade, berechnet in einfacher Weise die Nullstelle dieser Geraden und behauptet, das sei die gesuchte Nullstelle des Graphen. Denn die Nullstelle ist die der Geraden und nicht die des Graphen. Man sucht weitere Punkte, die näher beieinander liegen, legt erneut eine Gerade durch diese neuen Punkte, berechnet die neue Nullstelle der neuen Geraden, die dann viel näher bei der gesuchten Nullstelle des Graphen liegt. Du siehst die Punkte P1(x1 y1) und P2(x2 y2), die nahe an der x-achse liegen. Dazwischen liegt die Nullstelle P des Graphen. Eine erste Gerade durch P1 und P2 hat die Nullstelle x3. Dieses x3 ist zu berechnen. Die Dreiecke AP1B und BCP2 sind ähnlich, deshalb gilt: y2 x2 x3 y x x Diese Gleichung wird nach x3 aufgelöst und schon hast Du die Nullstelle der ersten Geraden. x x3 x2 y2 y x y Ob diese Nullstelle x3 eine "gute" Nullstelle des Graphen ist, stellst Du so fest:

10 9 Du setzt x3 in die Funktionsgleichung des Graphen ein und berechnest y3. Ist y3 nahe genug bei Null, so kannst Du behaupten, dass x3 eine recht gute Nullstelle des Graphen ist. Wenn Du nicht zufrieden bist, wiederholst Du das Verfahren, indem Du aus dem Wert x3 jetzt x4, x5... x berechnest. So lange, bis z. B. y < 0, ist. Beispiel: f(x) = x 3 x + 1 Vorzeichenwechsel feststellen: x1-1,3 y1 =0,103 und x2 =-1,4 y2 = zwischen x1 und x2 liegt eine Nullstelle. 1, 4 ( 1, 3) Also: x3 1,4 ( 0,344) 0, x3 = - 1,323 Ist diese Nullstelle gut genug? y = f(-1,323) = -1, , = 0,007 Der Wert für y liegt nahe genug bei 0. Diese auf Anhieb "gute" Nullstelle ist Zufall. Oft sind mehrere Rechengänge mit der "regula falsi" nötig, bis die gewünschte Güte der Nullstelle erreicht ist. xn 1 xn 2 Allgemein lautet die Formel: xn xn 1 yn 1 y y n 1 n 2 Neben der im Folgenden dargestellten Newton Approximation eignet sich die "regula falsi" recht gut für einen numerischen Algorithmus in einem Computerprogramm zur Kurvenuntersuchurig Der Graph dieser Beispielfunktion sieht so aus:

11 10 9. Tangentenmethode (Newton Approximation) Dieses elegante Verfahren setzt Kenntnisse in Differentialrechnung voraus. Man muß die 1. Ableitung f ' (x) einer Funktion f(x) bilden können und wissen, daß f ' (x) die Steigungsfunktion ist. Beispiel: f(x) = x 5-3x 3 + 1, also x 5-3x = 0 setzen Herleitung und Durchführung 1. Schritt: Mit Hilfe der Wertetabelle Signumwechsel suchen x= 1 1,5 2 y= -1-1,531 9 Zwischen x = 1,5 und x = 2 liegt eine Nullstelle. 2. Schritt: Tangente an f(x) im P 1 (2 9) legen und die Nullstelle der Tangente berechnen. tan 1 y1 x x 1 2 ist die Steigung der Tangente tan 1 f '(x 1) ist die Steigung der Kurve y1 = f(x1) f(x 1) Gleichsetzen: f'(x 2) x x 1 2 x2 ist die Nullstelle der Tangente, deshalb die Gleichung nach x2 auflösen: f(x ) f(x ) x x x x f'(x ) f'(x ) Nun ist zu prüfen, ob x2 auch eine " gute " Nullstelle der Kurve f(x) ist.

12 11 3. Schritt Berechnung anhand der Beispielfunktion f(x) = x 5-3x 3 + 1: f ' (x) = 5x 4 9x 2 f(2) = 9 und f ' (2) = 44 also: x2 = 9 2 = 1, Test auf Güte: f (1,975) = 2,295 x2 ist eine miserable Nullstelle! 4. Schritt Newton-Approximation (Näherung) so lange wiederholen, bis f(x n 1) Newtonsche Näherungsformel (siehe oben): xn xn 1 f'(x ) f(x n) 0 ist. n 1 Damit können wir "leben", denn 0,00007 liegt sehr nahe bei Null Eine der 5 möglichen Nullstellen ist N1(1,667 0) Zufällig hat diese Funktion nur 3 Nullstellen. Berechne zur Übung die noch fehlenden Nullstellen. [ Lösung: N2(-1,781 0) und N3(0,741 0) Und hier das Bild dieser Funktion:

13 Nullstellen gebrochen rationaler Funktionen Z(x) f(x) N(x) f(x) = 0 setzen: Z(x) 0 führt zu Z(x) = 0 g N(x) N(x) Das bedeutet: Z(x) = 0 setzen. 11. Graphische Lösung Vorgehen: Umfangreiche Wertetabelle erstellen, Graph zeichnen und Nullstellen aus dem Bild ablesen. Beispiel: Die abgelesenen Nullstellen liegen bei xn1 = - 4,2 xn2 = 1,5 xn3 = 3,9 Das ist ziemlich ungenau. Wesentlich genauer sind diese berechneten Werte: N 2( 4,18 0) und N 2(1,61 0) und N 3(3,97 0)

14 12. Bairstow Methode Zitat aus: "Die Lösung von Polynomausdrücken, die (fast) jeder für den Fall des Polynomgrades 2 gerade noch beherrscht, was man auch Nullstellensuche nennt, wird richtig unbequem, wenn das Polynom etwa vom Grade 5 oder 25 ist. Für unbequeme Sachen hat man heute den Computer. Wie man so etwas programmiert, hat der Herr Bairstow herausbekommen, nach dem dann auch der Algorithmus benannt ist. Wie es geht? Man spaltet in einer Iteration quadratische Faktoren ab, die dann in bekannter Weise (Vieta!) gelöst werden, und das so lange, bis das Restpolynom vom Grade 0 oder 1 ist. Was der Nutzer tun muß, ist, den Grad des Polynoms (= höchste vorkommende Potenz) und die Koeffizienten des in Normalform (Polynom = 0) gebrachten Polynoms in der Reihenfolge fallender Potenz irgendwo bereitzustellen. Wir packen sie hier in ein Array A(), also 1. Koeffizient nach A(Grad), 2. nach A(Grad-1),... das absolute Glied also nach A(0). Schon geht's los!" 13 Der einzige meiner Schüler von 1974 bis 2009, der das Verfahren beherrschte, war Arne Schröder, Technisches Gymnasium, Abitur 2007 / 2008.

15 Übungsaufgaben Berechne sämtliche Nullstellen folgender Funktionen: