Lösungen zu Aufgabenblatt 7P

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1 Analysis Prof. Dr. Peter Becker Fachbereich Informatik Sommersemester Mai 205 Lösungen zu Aufgabenblatt 7P Aufgabe (Stetigkeit) (a) Für welche a, b R sind die folgenden Funktionen stetig in x 0 = 0? f(x) = g(x) = { ax + b für x < 0 für x 0 { a exp(bx) für x < 0 + x für x 0 (b) Auf welcher Menge sind die folgenden Funktionen stetig? f(x) = g(x) = h(x) = x 2 e 5 2 exp( 2x 2 ) x 2 exp(x) { x 3 5x 2 7x + 2 für x Q 0 für x R \ Q Lösungen: (a) Damit f in x 0 = 0 stetig ist, muss n f(x n ) = f(0) gelten, für alle Folgen (x n ) mit n x n = 0. Mit den Grenzwertbegriffen aus Definition 4.3 können wir dies auch als f(x) = f(0) x 0 formulieren. Der Grenzwert x 0 f(x) existiert genau dann, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren und sie identisch sind (Lemma 4.5). Für den rechtsseitigen Grenzwert gilt f(0) = = x 0 = x 0 f(x). Für den linksseitigen Grenzwert erhalten wir nach Grenzwertregeln (Satz 4.5) x 0 f(x) = (ax + b) = b + ax = b + a x = b + a 0 = b. x 0 x 0 x 0 Also gilt x 0 f(x) = x 0 f(x) genau dann, wenn b = gilt. Dies ist auch f(0), also ist dann f stetig in 0.

2 (b) f: Wir gehen bei g analog zu f vor. g(x) = + x = + x = + 0 = = g(0). x 0 x 0 x 0 Die Funktion ist exp(x) ist stetig und damit auch die Funktion exp(bx) (Satz 4.7). Daher folgt mit den Grenzwertregeln Also ist g stetig für a =. g: g(x) = a exp(bx) = a exp(bx) = a exp(b 0) = a. x 0 x 0 x 0 Bei f ist der Zähler ein Polynom und damit stetig auf R. Der Nenner ist als Verkettung stetiger Funktionen ebenfalls eine auf R stetige Funktion. Also ist f nach Satz 4.5 dort stetig, wo der Nennen ungleich null ist. Da die Exponentialfunktion aber auf ganz R ungleich null ist, ist f auch auf ganz R stetig. Der Zähler x 2 exp(x) von g ist das Produkt zweier auf R stetiger Funktionen und damit wieder stetig auf R. Der Nenner x 3 5x 2 7x + 2 von g ist ein Polynom und damit stetig auf R (siehe Folgerung 4.6 und Aufgabe 2). Damit ist g stetig auf R \ {x x 3 5x 2 7x + 2 = 0}. Wir wollen die Nullstellen explizit angeben. Eine Nullstelle ist die. Damit können wir Polynomdivision anwenden, um die weiteren Nullstellen zu ermitteln. Es gilt (x 3 5x 2 7x + 2) : (x ) = x 2 4x 2. Mit der p-q-formel ermitteln wir die Nullstellen des rechten Polynoms. x,2 = 2 ± = 2 ± 5 = 7 und 3 Also gilt x 3 5x 2 7x + 2 = (x )(x 7)(x + 3) und damit ist g stetig auf R \ { 3,, 7}. h: Die Funktion ist nirgendwo stetig. Beweis: Fall : Sei x 0 R \ Q. Dann existiert eine Folge (x n ) in Q mit n x n = x 0, siehe Aufgabe, Aufgabenblatt 4P. Für diese Folge (x n ) gilt dann f(x n) = = 0 = f(x 0 ). Fall 2: Sei x 0 Q. Dann wählen wir eine Folge (x n ) in R \ Q mit n x n = x 0. Für diese Folge (x n ) gilt dann f(x n) = 0 = 0 = f(x 0 ). 2

3 Aufgabe 2 (Stetige Funktionen) Zeigen Sie: (a) Jedes Polynom f : R R ist stetig auf R. (b) Wenn f, g : R R Polynome sind, dann ist die Funktion f g stetig auf R\{x R g(x) = 0}. Lösung: (a) Wir zeigen zunächst mittels vollständiger Induktion, dass f(x) = x n stetig auf R ist für alle n N 0. n = 0: f(x) = x 0 ist stetig auf R, denn für ein beliebiges x 0 R und eine beliebige Folge (x n ) mit n x n = x 0 gilt: n n + : f(x n) = x 0 n = = x 0 0 = f(x 0 ). Nach I.V. gilt, dass f(x) = x n stetig auf R ist. Weiterhin gilt, dass id(x) = x stetig auf R ist (Beispiel 4.3). Nach der Rechenregel von Satz 4.5 ist dann auch f(x) id(x) = x n+ stetig auf R. Mit den Rechenregeln von Satz 4.5 folgt dann weiterhin: f(x) = ax n ist stetig auf R für alle a R. f(x) = a n x n + a n x n + + a x + a 0 ist stetig auf R für alle a 0,..., a n R. (b) Die Aussage folgt direkt aus (a) und der Quotientenregel von Satz 4.5. Aufgabe 3 (ɛ-δ-kriterium) Zeigen Sie mit Hilfe des ɛ-δ-kriteriums, dass die Funktion f(x) = x stetig auf R 0 ist. Hinweis: Behandeln Sie den Fall x 0 = 0 gesondert. Lösung:. Fall: x 0 > 0. Sei ɛ > 0 beliebig. x x 0 = = x x 0 x + x + x x 0 x x 0. 3

4 Wähle δ := ɛ x 0 > 0. Dann gilt für alle x mit x x 0 < δ: 2. Fall: x 0 = 0. Sei ɛ > 0 beliebig. x x 0 < δ = ɛ x 0 = ɛ. x 0 = x. Wähle δ = ɛ 2 > 0. Dann gilt für alle x 0 = x < δ: x < δ = ɛ2 = ɛ. Aufgabe 4 (Zwischenwertsatz) Zeigen Sie: Für allle a, b, c, d R + hat die Funktion drei Nullstellen. Lösungen: f(x) = a x + b x + c x 2 + d Wir bilden den linksseitigen Grenzwert an der Stelle x 0 = 3. ( a f(x) = x 3 x 3 x + b x + c x 2 + = a 3 + b 2 + c + d x 3 Wegen d > 0 und < 0 für den linksseitigen Grenzwert gilt und damit auch x 3 Also existiert ein u (2, 3) mit f(u) < 0. d = f(x) =. x 3 d ) Jetzt bilden wir den rechtsseitigen Grenzwert an der Stelle x 0 = 2. ( a f(x) = x 2 x 2 x + b x + c x 2 + d ) = a 2 + b + c x 2 x 2 d Wegen c > 0 und x 2 > 0 für den rechtsseitigen Grenzwert gilt c x 2 x 2 = und damit auch Also existiert ein t (2, 3) mit f(t) > 0. f(x) =. x 2 4

5 f ist als Summe stetiger Funktion auf [t, u] stetig, denn zwischen 2 und 3 haben wir keine Definitionslücke. Also existiert nach dem Zwischenwertsatz (bzw. Lemma 4.9) ein x (t, u) mit f(x) = 0. Exakt die gleiche Argumentation wenden wir nun auch für (, 2) und (0, ) an und erhalten damit zwei weitere Nullstellen. 5

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