April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure. Rechenteil

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1 April (Voll-) Klausur Analysis I für Ingenieure en Rechenteil Aufgabe 7 Punkte (a) Skizzieren Sie die 4-periodische Funktion mit f() = für und f() = für (b) Berechnen Sie für diese Funktion die Fourierkoeffizienten a k+ (a) Graph von f (b) Es ist T = 4, ω = π Zur Abkürzung setzen wir s k = (k + ) π Die Funktion f ist gerade und somit gilt a k+ = 4 T T/ = ( ) sin s k s k = sin s k s k f() cos((k + )ω) d = + cos s k s k cos s k s k sin s k s k = ( ) cos s k d d = ( ) sin s k s + cos s k k s k 4 (k + ) π Aufgabe 6 Punkte Bestimmen Sie alle en z C der Gleichung iz + ( + i)z = i Geben Sie die en in der Form a + bi an Nach Abziehen von (i ) auf beiden Seiten und Multiplizieren mit i erhält man die Gleichung z + ( i)z ( + i) =, die man mit der p-q-formel lösen kann: z, = i ± ( i) + 4( + i) 4 = i ± 4, dh z = i, z = + i

2 Vollklausur Rechenteil Aufgabe 6 Punkte Berechnen Sie + d Partialbruchzerlegung: Es sind A, B und C zu bestimmen, so dass + = ( + ) = A + B + C + = A( + ) + B( + ) + C ( + ) = (A + C) + (A + B) + B ( + ) gilt Koeffizientenvergleich liefert A =, B = und C = Damit erhält man + d = d d + d = + ln( + ) = ln ln + ln = ln 4 4 Aufgabe 6 Punkte Untersuchen Sie jeweils, ob die Integrale (a) d (b) e d divergent oder konvergent sind Der Wert muss nicht berechnet werden (a) Mit der Substitution u = erhalten wir = e u und d = e u du Damit erhalten wir R d = lim R d = lim R ln R Also ist das Integral divergent Ein alternativer sweg ist d = e d + e d e u du = d + e u du d = (b) Für < R < gilt mit partieller Integration R Damit erhalten wir e d = ( e ) R R + e d e d = lim R Also ist das Integral konvergent = Re R + e e R + e = (R + )e R + e R e ( d = lim (R + )e R ) + e = e R

3 Vollklausur Rechenteil 5 Aufgabe 8 Punkte (a) Sei f() = ( + ) arctan e Berechnen Sie f () (b) Zeigen Sie, dass die Funktion y = e cos der Differentialgleichung y (4) + 4y = genügt (a) Es gilt f () = arctan e ( + )e + e 4 und f () = arctan = π 4 (b) Die ersten vier Ableitungen von y sind gegeben durch y = e cos e sin y = (e sin + e cos ) y = e cos e sin e sin e cos = e sin y (4) = (e sin + e cos + e cos e sin ) = 4e cos = 4y Die Behauptung folgt aus der Gleichung y (4) = 4y 6 Aufgabe 7 Punkte Berechnen Sie den Konvergenzradius der Reihe Untersuchen Sie auch die Randpunkte n= n n (n ) n Der Konvergenzradius der Potenzreihe mit Entwicklungspunkt = und Koeffizienten a n = n ist (n ) n R = lim a n = lim n a n+ n n ((n + ) ) n+ n+ = (n ) n n + lim = n n lim n + n n Im letzten Schritt haben wir die Stetigkeit der Wurzelfunktion im Punkt ausgenutzt Es bleibt noch das Konvergenzverhalten in den Randpunkten = ± zu untersuchen Für = gilt n= n ( )n = (n ) n (n ) n= n= = n n () Die Potenzreihe ist divergent in dem Punkt =, weil die harmonische Reihe divergent ist Für = gilt n= n ( )n = (n ) n n= ( ) n (n ) n= Aus < (n+) n folgt, dass die Folge n eine monotone Nullfolge ist Nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert die Potenzreihe im Punkt = Sie konvergiert jedoch nicht absolut (siehe ())

4 Verständnisteil Aufgabe 6 Punkte Für welche R ist die Funktion f : R R mit { cos für f() = für = differenzierbar? Auf R\{} ist f als Komposition differenzierbarer Funktionen differenzierbar Für die Differenzierbarkeit im Punkt muss man überprüfen, ob für der Differenzenquotient f() f() = cos konvergiert Die Folge n = πn ist eine Nullfolge Die Folge cos n nicht Daher ist die Funktion f nicht differenzierbar im Nullpunkt = cos πn = ( ) n konvergiert Aufgabe 8 Punkte Untersuchen Sie jeweils, ob die Aussage wahr ist (ohne Begründung) oder finden Sie ein Gegenbeispiel, das die Aussage widerlegt (a) Seien (a n ) und (b n ) Folgen mit (a n ), (b n ) Dann gilt (a n + b n ) (b) Sei f eine ungerade, p-periodische Funktion Dann gilt 4p f() d = (c) Das Integral einer stetigen Funktion ist genau dann gleich null, wenn die Funktion überall null ist (d) Sei p() ein Polynom und p 4 () sein Taylorpolynom 4 Grades mit beliebig gewähltem Entwicklungspunkt Dann gilt: Ist der Grad von p() höchstens 4, so ist das Restglied von p 4 () gleich null (a) falsch Gegenbeispiel: a n = n, b n = n +, aber lim n (a n + b n ) = (b) wahr (c) falsch Gegenbeispiel: π sin d = (d) wahr

5 Vollklausur Verständnisteil Aufgabe 7 Punkte Bestimmen Sie näherungsweise den Funktionswert sin( π + ) mittels Taylorapproimation Der Fehler Ihrer Näherung soll dabei kleiner sein als 5 Das Rest- Wir betrachten die Taylorentwicklung des Sinus mit dem Entwicklungspunkt = π glied der n-ten Taylorapproimation an der Stelle = π + ist gegeben durch R n ( π + ) = sin(n+) (ξ) (n + )! Für alle R und n N gilt sin (n+) und somit ist R n ( π + ) (n + )! n+, ξ (π, π + ) n+ < 5 für n Also liefert der Wert des -ten Taylorpolynoms an der Stelle π + eine Näherung mit der gewünschten Genauigkeit: sin( π + ) = i= sin (i) (π/) i! i =! = 99 Wegen sin( π + ) = cos könnte man bei dieser Aufgabe genauso gut die Taylorentwicklung des Cosinus mit dem Entwicklungspunkt = benutzen 4 Aufgabe 7 Punkte Ein Polynom Grades hat bei = ein lokales Etremum und an der Stelle = die Tangente t() = Geben Sie dieses Polynom an Ein Polynom Grades hat die Form p() = a + a + a Die erste Ableitung ist p () = a + a Da p bei ein lokales Etremum hat, gilt notwendigerweise p () = und somit a + 4a = () Für die Tangente an der Stelle gilt nach Voraussetzung t() = Also müssen die Gleichungen p () = t () = 6 und p() = t() = gelten Es folgen und a + a = 6 () a + a + a = (4) Aus () und () erhält man a = und a = Einsetzen in (4) liefert a = 9 Das gesuchte Polynom ist also p() = 9 +

6 Vollklausur Verständnisteil 5 Aufgabe 6 Punkte Zeigen Sie, dass tan und cos dieselbe Ableitung haben und folgern Sie daraus eine Beziehung zwischen diesen beiden Funktionen Es gilt (tan ) = tan tan = sin cos cos = sin cos ( cos ) = cos ( sin ) cos 4 = sin cos Weil die Ableitungen gleich sind, sind tan und cos Stammfunktionen derselben Funktion (nämlich sin cos ) Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung unterscheiden sie sich nur um eine additive Konstante 6 Aufgabe 6 Punkte Skizzieren Sie alle en der folgenden Ungleichung in der kompleen Zahlenebene z i z + + i Mit z = + iy gilt z i z + + i + i(y ) ( + ) + i(y + ) + (y ) ( + ) + (y + ) + y y y + y + y smenge

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