Wiederholung Stochastik 1

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1 Wiederholung Stochastik 1 (2) Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche angenommen wird beträgt 94,2%. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine Flasche abgewiesen wird beträgt 5,8% (3) In müssen die Und-Wahrscheinlichkeiten in den Spalten addiert werden, um die Wahrscheinlichkeiten für "Flasche angenommen" und "Flasche abgewiesen" zu erhalten. In (3) ist nach einer bedingten Wahrscheinlichkeit gefragt. Es soll die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet werden, dass eine abgewiesene Flasche einwandfrei ist. Die Wahrscheinlichkeit für Flaschen, die abgewiesen und einwandfrei sind, beträgt, auf die Gesamtheit aller Flaschen bezogen, 0,95%. In Bezug auf die Flaschen, die abgewiesen wurden, beträgt die Wahrscheinlichkeit, dafür, dass eine Flasche abgewiesen und einwandfrei ist, ca. 16,4%.(Das kriegt man raus, wenn man den oberen Term berechnet.) Das macht Sinn, da die Anzahl der Flaschen, unter denen sich die Flaschen befinden sollen, die beide Merkmale, abgewiesen und einwandfrei, tragen, weniger geworden ist. Zur Erinnerung: Ich hatte bedingte Wahrscheinlichkeiten über das Beispiel mit den Rauchern in einer Klasse eingeführt. Das Beispiel lässt sich gut nachvollziehen und führt über das Baumdiagramm zu der Formel, wie bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnet werden. Auch sollte euch klar sein, welche Wahrscheinlichkeiten die einzelnen Felder der Vierfeldertafel darstellen und welche Pfade diesen Feldern im Baumdiagramm entsprechen. So lassen sich zu Textaufgaben die richtigen mathematischen Ansätze finden. Wie man sieht, wirkt die Beschreibung dessen, was hinter einer bedingten Wahrscheinlichkeit steckt, nicht gerade eingängig, obwohl der Term einfach aufzustellen ist. Bei (3) ist es wichtig, dass aus dem Text heraus erkannt wird, dass der Term einer bedingten Wahrscheinlichkeit gesucht ist. Dann muss man nur noch wissen nach welcher bedingten Wahrscheinlichkeit gefragt ist und wie der Term einer bedingten Wahrscheinlichkeit aufgestellt wird. Hier noch mal ein passendes Baumdiagramm, mit den von mir gewählten Bezeichnungen. Zum rechten Baumdiagramm: Beachte: Die Wahrscheinlichkeiten der beiden Pfade der ersten Stufe ergeben zusammen 1. Die Wahrscheinlichkeiten der Pfade der zweiten Stufe ergeben paarweise auch jeweils 1 und sind die bedingten Wahrscheinlichkeiten. Wie sieht das auf dem Kopf stehende Baumdiagramm aus?

2 Wiederholung Stochastik 2 Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis "Es wird mindestens eine schwarze Kugel gezogen" ist gleich der Wahrscheinlichkeit der Differenz der 100%igen Wahrscheinlichkeit minus der Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis "Es wird keine schwarze Kugel gezogen". P("mindestens einmal schwarz") = 1 - P("keinmal schwarz") =. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass mindesten eine schwarze Kugel gezogen wird beträgt 90%. (2) Die Ergebnismenge für die Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln lautet: {ss, sw, ws, ww}. Die Zufallsgröße X kann hier die Werte 0, 1, 2 annehmen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X sieht wie folgt aus: Anzahl der gezogenen schwarzen Kugeln: Wahrscheinlichkeit: Bei (2) muss zunächst klar sein, welche Werte die für dieses Experiment formulierte Zufallsgröße annehmen kann. Dann werden die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten mithilfe des Baumdiagramms berechnet. Alle so berechneten Wahrscheinlichkeiten müssen in der Summe 1 ergeben. Der Erwartungswert berechnet sich als Summe der einzelnen Multiplikationen des Wertes der Zufallsvariablen mit der dazugehörigen Wahrscheinlichkeit. Der Erwartungswert ist der Mittelwert der Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis, den man bei vielen Versuchen auf lange Sicht erwarten kann. Zur Erinnerung: Der Erwartungswert ist der theoretische Mittelwert. Er berechnet sich genauso wie der Mittelwert einer Klassenarbeit, wenn man als Werte für die Zufallsvariable X die Zahlen 1 bis 6 nimmt und für die Anzahl der Schüler, die eine 1, eine 2, usw. geschrieben haben die relativen Häufigkeiten berechnet. Bei dem Erwartungswert werden die rel. Häuf. durch die theoretisch berechneten Wahrscheinlichkeiten ersetzt. Der Erwartungswert berechnet sich zu: Im Mittel kann man erwarten, dass die schwarze Kugel bei diesem Versuch 1,2 mal gezogen wird. Bei muss aus der Formulierung des Ereignisses auf die Pfade geschlossen werden, die zu dem Ereignis gehören. Dann kann man entweder mit der Pfadregel und der Summenregel die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis berechnen oder man formuliert das Gegenereignis und berechnet mit der Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Mit der Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis zu rechnen ist hier einfacher, da weniger Berechnungen erforderlich sind.

3 Wiederholung Stochastik 3 (2) Anzahl der Züge: Wahrscheinlichkeit: Zur Erinnerung: Stochastik (Mehrstufige Zufallsexperimente und bedingte Wahrscheinlichkeiten) werden im ersten Prüfungsteil geprüft und nicht im zweiten. Der Zum Üben eignen sich neben den Aufgaben, die wir auf den Seiten 146 bis 157 schon bearbeitet hatten, die Aufgabe 5a)-c) und 7 auf S.162 oder auch Aufgaben 8, 9 auf S Bei den Pfadwahrscheinlichkeiten muss man darauf achten, dass sich mit jedem Zug die Anzahl der Kugeln um 1 verringert. (2) Die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Werte der Zufallsgröße X ergeben sich nach der Pfadregel aus der Multiplikation der Pfadwahrscheinlichkeiten.

4 Wiederholung Analysis 1 (2) Die Gerade g ist keine Tangente an den Graphen im Punkt P(-2 4), da die Steigung der Tangente in etwa 2 beträgt und nicht 0,5 wie bei der Geraden g. Außerdem kann der y-achsenabschnitt nicht 5 sein wie bei der Geraden g. Die Aufgabe ist ein einfacher Fall zur Nullstellenbestimmung. Es kommt der Satz vom Nullprodukt (SvNp) und die p-q-formel zur Anwendung. Der Faktor vor dem x² ist schon 1, so dass die Gleichung nicht noch durch den Faktor dividiert werden muss. Die Wurzel aus 3 lässt sich nicht ziehen. Deswegen wird sie im Ergebnis einfach angegeben. (2) In der Musterlösung ist die Gerade g eingezeichnet. Es wird argumentiert, dass man sieht, dass die Gerade g keine Tangente im Punkt P(-2 ; 4) ist. Ich habe die Tangente eingezeichnet und argumentiert, dass die Steigung und der y- Achsenabschnitt der Tangente nicht mit der Steigung und dem y-achsenabschnitt der Geraden übereinstimmt. Zwischen den beiden Extrempunkten von f hat der Graph eine negative Steigung. Deshalb hat der Graph von f ' in diesem Bereich negative y-werte. Also muss der Graph von f ' nach oben geöffnet sein, da er auch an den Extremstellen von f seine Nullstellen besitzt. (2) Der Hochpunkt oder der Tiefpunkt müssen jeweils so verschoben werden, dass sie auf der x-achse liegen. Für den Hochpunkt muss c = -3 sein und für den Tiefpunkt muss c = 1 sein. In der Musterlösung wird eine graphische und eine rechnerische Lösung angegeben. Meine Lösung ist die graphische. Die rechnerische Lösung, wo man einfach die Ableitung bildet und argumentiert, dass der Faktor vor dem x² positiv sei und somit die Parabel nach oben geöffnet sein müsse, ist von der Argumentation her einfacher. (2) Es muss klar sein, dass der Parameter c den Graphen der Funktion f in y- Richtung nach oben oder unten verschiebt. Dann sieht man, dass der Graph nur dann zwei Nullstellen hat, wenn die Extrempunkte entsprechend verschiebt.

5 Wiederholung Analysis 2 (2) Wenn man für a immer größere Werte einsetzt, dann verschiebt sich der Graph immer weiter nach links, also in die negative x-richtung. Der Wert für a muss 3 sein. Die Musterlösung ist ausführlicher als meine Lösung. Ich meine aber, dass ich die Aufgabe ausreichend für die volle Punktzahl gelöst habe. Hier reicht es aus die erkennbare Nullstelle in die Funktionsgleichung einzusetzen und zu zeigen, dass der y-wert Null ist. Andererseits hätten wir die Nullstelle auch gar nicht mit unseren Methoden berechnen können. Wie wären zur Bestimmung der Nullstell auf das Ausprobieren angewiesen gewesen. (2) Diese Aufgabe zielt auf das Verständnis der Transformationen von ganzrationalen Funktionen ab. In diesem Fall geht es um die Verschiebung in x-richtung. Zur Erinnerung: Eine Links-Verschiebung bedeutet, dass positive Werte zu dem x-addiert werden müssen, da man den gleichen y-wert haben möchte, wie er bei der Ausgangsfunktion weiter rechts ist. Hier bietet es sich an, auch die anderen Transformationen zu wiederholen! Die Wachstumsgeschwindigkeit beträgt nach zwei Wochen 8 cm/woche. (2) Am Graphen lässt sich ablesen, dass die Wachstumsgeschwindigkeit nach vier Wochen 4 cm/woche beträgt und innerhalb einer Woche ziemlich linear auf 1,25 cm/woche sinkt. Man könnte also eine durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit von 2,6 cm/woche in der vierten Woche annehmen. Damit ergäbe sich eine Höhe von 72,6cm nach 5 Wochen. Hier war ich zunächst versucht, die erste Ableitung zu bilden und dann den Wert 2 in Ableitungsgleichung einzusetzen. Ich hatte überlesen, dass f(t) bereits die Wachstumsgeschwindigkeit angibt. Ich wunderte mich über mein Ergebnis, da ich eine Wachstumsgeschwindigkeit von 0 erhielt. Ich hatte richtig gerechnet, denn bei der Überprüfung am Graphen ist an der Stelle 2 tatsächlich ein Extremum. Allerdings würde das keinen Sinn machen, da die Pflanze bereits zu diesem Zeitpunkt aufgehört hätte zu wachsen und danach wieder schrumpfen würde. Also habe ich mir den Text noch mal durchgelesen. (So mache ich das schon mal: erst huschhusch und wenn's nicht passt: Verbessern! Tipp: Man muss den Text sehr genau lesen und sein Ergebnis am Graphen überprüfen.) Wenn man den Text genau gelesen hat, ist es unbestreitbar, dass der Wert 2 in die Funktionsgleichung einzusetzen ist, um die Wachstumsgeschwindigkeit nach 2 Wochen auszurechnen. (2) Hier hätte man die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit nicht so genau ausrechnen müssen, da nur zu entscheiden war, ob die Pflanze nach 5 Wochen kleiner, größer oder gleich 74cm ist. Der Blick auf den Graphen hätte sofort verraten, dass die Pflanze kleiner als 74cm ist.

6 Wiederholung Analysis 3 Die Musterlösung ist hier ausführlicher und beschreibt das Verfahren so, wie wir es bei der Einführung zur Bestimmung von Tangentengleichungen kennengelernt haben. Es wird zunächst die allgemeine Form einer Geradengleichung angegeben. Dann wird gesagt, dass die Ableitung an der Stelle 2 der Steigung der Tangente entspricht. Schließlich wird noch erwähnt, dass durch Einsetzen der Steigung und eines Punktes in die Tangentengleichung der y-achsenabschnitt bestimmt wird. Meine Lösung reicht auch für die volle Punktzahl. Die ausführlichere Beschreibung ist natürlich schöner. (2) Graphisches Ableiten wird hier verlangt, wobei der Wert der kleinsten Steigung hier genau markiert wurde. Er wurde bereits in berechnet. (2) Der Graph von f muss an den Nullstellen von f ' Extrempunkte haben und zwar bei x = -2 einen Tiefpunkt, weil dort ein Vorzeichenwechsel von - nach + in der ersten Ableitung stattfindet und bei x = 6 einen Hochpunkt, weil dort ein VZW von + nach - stattfindet. Bei x = 2 hat der Graph von f seine größte Steigung. Abbildung 2 hat dort einen Hochpunkt, wo eigentlich ein Tiefpunkt sein sollte und einen Tiefpunkt, wo eigentlich ein Hochpunkt sein sollte und umgekehrt. Abbildung 3 weist bei x = 6 einen Tiefpunkt auf, obwohl dort ein Hochpunkt sein sollte. Man soll die Stelle des Scheitelpunktes nicht über die notwendige Bedingung für Extrempunkte rausfinden, sondern ausnutzen, dass der Scheitelpunkt in der Mitte zwischen den Nullstellen liegt. (2) Die Musterlösung gibt ganz andere Begründungen an als ich. Und es lassen sich auch noch weitere denken.

7 Wiederholung Analysis 4 Gegeben ist die Funktion f mit der Gleichung: Die Abbildung 1 zeigt den Graphen der Ableitungsfunktion f '. a1) a2) An der Stelle x 1 liegt ein lokaler Hochpunkt vor, da hier ein VZW von + nach - in der ersten Ableitung stattfindet. b) Das Steigungsdreieck ergibt eine Steigung von. c1) c2) c3) f(x) = n(x). n(x) ist die Gleichung der Normalen. Daraus folgt: Gleichung näherungsweise bestimmen. Die Schnittstellen lauten: Mit dem GTR lassen sich die Lösungen der

8 Wiederholung Analysis 5 d2) Die Differenzenquotienten der Sekantensteigungen nähern sich immer mehr dem Wert -1,5, je näher der zweite Punkt an die Stelle x 0 = 3 heranrückt. Im Grenzfall wird aus der Sekante eine Tangente, die die Steigung -1,5 hat. a1) Hier ist die Ableitung zu bilden und dann werden die Nullstellen mit der pq-formel oder mit dem GTR berechnet. a2) Die Begründung erfolgt über das VZW. b) Es wird eine Tangente im vorgegebenen Punkt eingezeichnet und mittels des Steigungsdreiecks kann die Steigung der Tangente bestimmt werden. Wollte man die Steigung an dieser Stelle zur Kontrolle berechnen, müsste man die zweite Ableitung von f bilden und den Wert x = 4,5 einsetzen. Dann kommt auch 3,5 raus. c1) Hier wird wieder das übliche Verfahren zur Bestimmung einer Tangentengleichung verlangt. c2) Das Informationskästchen gibt an, was eine Normale ist und wie man die Steigung der Normale mithilfe der Steigung der Tangente berechnen kann. Hat man erstmal die Steigung der Normale bestimmt, kann der y-achsenabschnitt der Normalengleichung wieder durch Einsetzen der Steigung und eines Punktes der Normalen gefunden werden. c3) Um die Schnittpunkte der Normalen mit der Funktion f zu bestimmen, setzt man beide Funktionsterme gleich und stellt nach 0 um. Mit dem Polynomwerkzeug im GTR lassen sich nun Lösungen der Gleichung bestimmen. Eine andere Möglichkeit, die ich aufwendiger finde, ist, die Graphen beider Funktion im Grafikfenster zu erstellen und sich die Schnittpunkte anzeigen zu lassen. Man musste allerdings erstmal darauf kommen, dass hier die speziellen Möglichkeiten des GTR genutzt werden sollen. Das "näherungsweise" deutet auf den Einsatz des GTR hin. d1) Die Näherungswerte zu berechnen, ist eine ziemliche Tipperei. d2) Eine ähnliche Tabelle kennt ihr aus der letzten Klausur. Auch hier soll man erkennen, dass sich der Wert des Differenzenquotienten immer mehr der Zahl -1,5 nähert, je kleiner die Differenz h wird. Außerdem ist abzulesen zu welcher Stelle x 0 der Differenzenquotient gebildet wird. Ich habe etwas anschaulicher mit den Sekantensteigungen und dem Heranrücken eines zweiten Punktes an die Stelle x 0 argumentiert. Generell ist die Formulierung "Ermitteln Sie, ausgehend von einem mathematischen Ansatz" interessant. Wenn so formuliert wird, soll die Rechnung nachvollziehbar ein. Ein Abtasten des Graphen oder die Angabe des entsprechenden Grafikrechnerbefehls reicht dann nicht aus.

9 Wiederholung Analysis 6 a) b)

10 Wiederholung Analysis 7 b) Es muss noch überprüft werden, ob die y-werte am Rand des angegebenen Intervalls eventuell höher liegen als das lokale Maximum im Intervall. e1) d) Der Vergleich der Randwerte mit dem lokalen Maximum zeigt, dass das lokale Maximum auch das globale Maximum im angegebenen Intervall ist. Also beträgt die Höchsttemperatur um 16:24 Uhr ca. 29,7 C. e2) Der Graph von f sollte wegen des ersten Effekts um 2 Einheiten nach rechts verschoben werden. Er sollte wegen des zweiten Effekts in y-richtung gestaucht werden und er sollte wegen des dritten Effekts in y-richtung nach oben verschoben werden. Eine mögliche Funktionsgleichung wäre also: Der Graph von f schneidet die Gerade y = 18 dreimal. Die Stellen t und t 20,7 gehören zum Definitionsbereich und ihr Abstand ist größer als 3,5 h. Ein Testwert zeigt, dass die Funktionswerte in diesem Intervall kleiner als 18 sind. a) Die richtigen Uhrzeiten einzutragen hilft dabei den Überblick zu behalten, wenn zwischen mathematischem Ansatz und Sachkontext hin und her wechselt. Beim Nachweis der Temperatur muss man darauf achten, dass man die Uhrzeit in Stunden nach 12:00 Uhr umwandelt b) Es dürfte einsichtig sein, dass der Graph zunächst auf mögliche lokale Extrempunkte mit f ' (t) = 0 untersucht werden muss. Die Berechnung mit dem GTR liefert zwei Werte, wovon einer ausscheidet, weil er nicht im angegebenen Intervall liegt. Der übriggebliebene Wert wird mit dem VZW daraufhin untersucht, ob an dieser Stelle ein lokaler Hochpunkt vorliegt. Das ist der Fall. Damit ist die Lösung aber noch nicht gefunden. Es muss weiterhin untersucht werden, ob im angegebenen Intervall an den Rändern des Intervalls eventuell höhere Temperaturen vorliegen als im lokalen Hochpunkt. Also müssen die Randwerte mit dem lokalen Maximum verglichen werden. Da aber das lokale Maximum größer ist als die Randwerte haben wir die höchste Temperatur und wann sie vorliegt gefunden.

11 Wiederholung Analysis 8 c) Der Graph kann mithilfe des GTRs und den bereits berechneten Werten erfolgen. d) Hier muss man auf den Ansatz kommen, dass der Funktionsterm von f gleich 18 zu setzen ist. Damit findet man alle Stellen, an denen die Funktionswerte (also die Temperaturen) 18 [ C] betragen. Mit den GTR (Polynomwerkzeuge (Wurzeln finden)) kann man die Stellen finden. Jetzt man nur noch gucken, ob der Abstand der Stellen mehr als die geforderten 3,5 h beträgt und mittels Testwert (ein Wert zwischen den gefundenen Stellen in f einsetzen) untersuchen, ob die Funktionswerte im fraglichen Bereich oberhalb oder unterhalb von 18 C liegen. e1) Eine Verschiebung nach rechts um 2 Einheiten bedeutet f(t-2). Der Funktionsterm muss nicht ausmultipliziert werden. e2) Die Funktion h anhand der aufgelisteten Effekte zu finden ist schon etwas schwieriger. Allerdings wurde der erste Effekt schon in e1) behandelt. Da wir nur vier Möglichkeiten kennen (ohne die Spiegelungen), eine Funktion zu transformieren, können wir durch Ausprobieren herauskriegen, welche Transformation für welchen Effekt geeignet sein könnte. Speziell an dieser Aufgabe war der Teil b), da man die Untersuchung der Randwerte nicht vergessen dürft. Außerdem sollte man zur Lösung von Gleichungen daran denken, das Polynomwerkzeug des Taschenrechners zu nutzen. Mit dieser Wiederholung wurden meines Erachtens alle Verfahren und Methoden angesprochen, die wir auch im Unterricht schon behandelt hatten. Wenn ihr die Aufgaben intensiv löst und wisst, was ihr da gerade tut, dann seid ihr auch für andere ähnlich gelagerte Aufgaben gerüstet. Die Aufgaben und Lösungen dieser Wiederholung findet ihr unter: https://www.standardsicherung.schulministerium.nrw.de/cms/zentraleklausuren-s-ii/faecher/

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