Aufgaben für Q11/12. zum hilfsmittelfreien Teil im Abitur ab 2014 Schwerpunkt: grundlegendes Anforderungsniveau

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1 ufgaben für Q11/12 zum hilfsmittelfreien Teil im bitur ab 2014 Schwerpunkt: grundlegendes nforderungsniveau Wir haben die nichtrelevanten Teile für ayern aus dem WDI Projekt herausgestrichen. Den Stochastik Teil haben wir durch ufgaben aus dem bsv uch Mathematik 12 und den eispielaufgaben der Stadt Hamburg für den länderübergreifenden Teil ergänzt. Workshop chatswies 2013 Heike Rackow Uschi lumberg Laura Jige Staatliches Seminar für Didaktik und Lehrerbildung (Gymnasien) Rottweil WDI Wchhalten und DIagnostizieren von Grundkenntnissen und Grundfertigkeiten im Fach Mathematik Kursstufe Markus Kammerer Rüdiger Sandmann Ulrich Wagner Manfred Zinser Maike Hofmann Christian Künstle Chaya Maaß arbara Stockburger rnold Zitterbart Stand:

2 Einführung 3 ufgaben Lösungen Klasse nalysis Seite Seite C25 Verknüpfung von Funktionen C26 bleitungsregeln C27 2. bleitung und Extremstellen C28 Wendestellen C29 Die natürliche Exponentialfunktion C30 Logarithmus und Exponentialgleichung C31 Definitionslücken, senkrechte symptoten C32 Verhalten für x C33 Trigonometrische Funktionen /12 C34 Graphen zuordnen C35 Extremwertprobleme C36 Tangentenprobleme C37 Funktionenscharen C38 Änderung und Gesamtänderung C39 Stammfunktion, Integral C40* Integralfunktion C41 Flächen Lineare Gleichungssysteme, nalytische Geometrie 32 estimmung ganzrationaler Funktionen bstand zweier Punkte im Raum Ebengleichungen Ebengleichungen esondere Lage von Ebenen Gegenseitige Lage Gerade und Ebene Lagebeziehung zwischen Ebenen Hessesche Normalenform (HNF) bstand Punkt - Gerade bstand zweier Geraden Skalarprodukt rthogonalität, Winkel Spiegelung und Symmetrie Stochastik D13 Standardabweichung D14 Sigma-Regeln D15 Statistische Tests WDI Kursstufe Seite 1

3 D16* Signifikanztests D17* Fehler beim Testen Z1 Statistische Tests Z2 Ereignis/Wahrscheinlichkeit Z3 Erwartungswert/Wahrscheinlichkeit Z4 Nullhypothese rbeitsblätter 1 Stochastische Unabhängigkeit Hinweis: Die Seitenzahlen der ufgaben und Lösungen sind in den elektronischen Versionen verlinkt. Hinweis zum GTR: Die GTR-Screenshots sind mit dem TI 84 plus erstellt. * Im nhang ab Seite 100 befinden sich zusätzlich die ufgaben- und Lösungsblätter mit GTR-bbildungen für den Casio fx-9860 GII. Für die Erstellung dieser Screenshots bedanken wir uns bei Frau StD Monika Eisenmann und Herrn StD Jürgen ppel. Für andere Modelle muss gegebenenfalls eine npassung vorgenommen werden. nregungen, Hinweise oder Rückmeldungen von Fehlern senden Sie bitte an die folgende -dresse: WDI-Mathematik@semgym-rw.de. chtung: Unter dem etriebssystem Windows XP kann es beim usdrucken der Formeln zu Problemen kommen (Formeln werden zwar im Layout angezeigt, aber nicht ausgedruckt). bhilfe kann das von Microsoft unter vorgeschlagene Vorgehen schaffen. WDI Kursstufe Seite 2

4 Einführung Wie bei den vorhergehenden änden zu den anderen Klassenstufen sollen die thematisch geordneten ufgabenblätter Grundwissen und Grundfertigkeiten abbilden, die für einen kompetenzorientierten Mathematikunterricht von zentraler edeutung sind. Die WDI-ufgabenblätter decken alle drei Themengebiete nalysis, nalytische Geometrie und Stochastik ab. Es wurde von uns versucht, das vom ildungsplan erwartete Grundwissen und die Grundfertigkeiten abzubilden. ufgrund des WDI spezifischen Formats können dabei allerdings nicht alle asisfertigkeiten, wie z.. die eschreibung eines mathematischen Verfahrens, abgebildet werden. Ist der Einsatz des grafikfähigen Taschenrechners angebracht, so ist dies durch das Zeichen gekennzeichnet. WDI asiswissen bitur Der Fokus der WDI-ufgabenblätter liegt verstärkt darauf, Grundwissen und Grundfertigkeiten wachzuhalten, welche in der schriftlichen biturprüfung gefordert sein können. ei den Lernenden hierbei auftretende Defizite können mit den WDI- ufgabenblättern diagnostiziert werden. n einigen Stellen geht WDI über die derzeitigen nforderungen in der schriftlichen Prüfung hinaus, z.. gibt es mehrere ufgabenblätter zum Themenkreis Folgen. Im ereich der Stochastik haben sich die utoren bei der im ildungsplan geforderten stetigen Verteilung für die Normalverteilung entschieden. Zum bschluss sei nochmals darauf hingewiesen, dass zum Erwerb von Kompetenzen, die über diese Grundlagen hinausgehen und die sowohl für den Unterricht, als auch für die biturprüfung notwendig sind, die WDI- ufgabenblätter alleine nicht ausreichen. Wir wünschen allen Nutzern dieses Heftes viel Spaß und Erfolg. Rottweil, im November 2010 Maike Hofmann, Markus Kammerer, Christian Künstle, Chaya Maaß, Rüdiger Sandmann, arbara Stockburger, Ulrich Wagner, Manfred Zinser, rnold Zitterbart WDI Kursstufe Seite 3

5 WDI Kursstufe C25 Verknüpfen von Funktionen Name: Klasse: 1 Verkettet man die Funktionen und, so bedeutet, dass im Funktionsterm von a) jedes durch x ersetzt wird. b) jedes x durch ersetzt wird. c) jedes x durch u(x) ersetzt wird. d) jedes u(x) durch x ersetzt wird. 2 estimmen Sie anhand der Graphen die gesuchten Funktionswerte. Ja Nein d) a) f(g(1)) = b) f(g(4) = c) g(f(2) = d) g(f(8)) = 3 Gegeben sind die Funktionen und mit und. rdnen Sie den Verkettungen jeweils das richtige Ergebnis zu. : C: : D: 4 Ist die Funktion aus den Funktionen und mit und gebildet worden? Wenn ja, auf welche rt? : f(x)=6x+2 : g(x)=3x 3 +1 C: h(x)=x 3 +3x+1 D: i(x)=x 6 E: j(x)=(3x+1) 3 F: k(x)=(3x+1) 2 5 Wahr oder falsch: a) ei der Verkettung von zwei Funktionen ist die Reihenfolge ohne edeutung. b) Eine Funktion kann nie mit sich selbst verkettet werden. c) Eine Verkettung von mehr als zwei Funktionen ist nicht möglich. d) ei der Verkettung ist die innere und die äußere Funktion u+v u:v u-v u v Wahr Falsch d) WDI Kursstufe Seite 4

6 WDI Kursstufe C26 bleitungsregeln Name: Klasse: 1 Gegeben sind die Funktionen und durch und. Dabei sind die Funktionen und differenzierbar. a) Die Zeichen und bedeuten das Gleiche, also haben und die gleiche bleitung. b) für gilt: c) und müssen nicht differenzierbar sein. d) für gilt: e) schreibt man auch als. 2 Welche der bleitungsregeln (Potenz-, Produktoder Kettenregel (Pot, Pro oder Ket)) hilft beim bleiten der Funktionen? : f(x) = : g(x) = C: h(x) = D: i(x) = E: m(x) = 3 ei mit und ist a) die bleitung der äußeren Funktion. b) die bleitung der inneren Funktion. 4 Gegeben sind die Funktionen und durch = und =. Ergänzen Sie die Lücken in der bleitung: a) = b) = 5 Entscheiden Sie, welches die bleitung von mit ist. a) b) c) d) 6 Geben Sie zur Funktion jeweils an. a) b) c) d) 7 Gegeben ist die Funktion mit. a) Welche Steigung hat der Graph in P(-2 f(-2))? b) n welcher Stelle hat der Graph eine waagrechte Tangente? Wahr Falsch d) e) C D E Pot Pro Ket Richtig Falsch Für muss stehen: a) b) Richtig ist: a) b) c) d) Es ist a) b) c) d) a) Steigung m = b) Stelle x = WDI Kursstufe Seite 5

7 WDI Kursstufe C27 2. bleitung und Extremstellen Name: Klasse: 1 Entscheiden Sie, welche ussagen zutreffen. a) Der Graph von ist eine Rechtskurve. b) Der Graph von ist eine Linkskurve. c) Der Graph von steigt streng monoton. d) Es ist. e) Es ist. 2 Tragen Sie in der Tabelle ein, ob, und in den markierten Punkten positiv (>0), negativ (<0) oder Null sind. 3 Entscheiden Sie anhand der 2. bleitung, ob der Extrempunkt P ein Hochpunkt (HP) oder Tiefpunkt (TP) des Graphen von ist. a), b), c), 4 erechnen Sie die Hochpunkte (HP) und Tiefpunkte (TP) des Graphen von. a) b) 5 Welche ussagen sind zutreffend? a) =0 und =0 b) wechselt bei sein Vorzeichen. c) Für hat der Graph einen Sattelpunkt. d) wechselt bei sein Vorzeichen nicht. e) Für hat der Graph einen Extrempunkt. 6 Eine ganzrationale Funktion f a) vom Grad 2 hat genau eine Extremstelle. b) mit genau drei verschiedenen Extremstellen ist mindestens vom Grad 4. c) vom Grad n hat höchstens n Extremstellen. Trifft im dargestellten Intervall zu für den Graphen in WDI Kursstufe Seite 6 d) e) C D E a) HP TP b) HP TP c) HP TP a) HP( ) TP( ) b) HP( ) TP( ) Trifft zu für den Graphen in d) e) Richtig Falsch

8 WDI Kursstufe C28 Wendestellen Name: Klasse: 1 bb. zeigt den Graphen einer Funktion f. Die markierten Punkte sind entweder Extrempunkte (HP oder TP) oder Wendepunkte (WP). Füllen Sie die Tabelle aus. 2 bb. zeigt den Graphen der bleitung einer Funktion g. Die markierten Punkte sind entweder Extrempunkte (HP oder TP) oder Wendepunkte (WP) des Graphen von g. Füllen Sie die Tabelle aus. 3 Entscheiden Sie, ob die ussagen zur Funktion bzw. zu ihrem Graphen wahr oder falsch sind. a) Wendestellen von sind Extremstellen von. b) in einem Wendepunkt geht der Graph immer von einer Links- in eine Rechtskurve über. c) Gilt, und, so ist W(x 0 ) Sattelpunkt des Graphen von. 4 Welche der angegebenen Stellen sind Wendestellen der Funktion mit? x 1 = -3, x 2 = -2, x 3 = -1, x 4 = 1, x 5 = 2, x 6 = 3 5 Welche der angegebenen Gleichungen gehören zu Wendetangenten an den Graphen von f mit a) b) c) d) e) f) 6 Jede ganzrationale Funktion... a)...mit ungeradem Grad größer 1 hat mindestens eine Wendestelle. b)...die symmetrisch zur y-chse ist, hat mindestens eine Wendestelle. Die Punkte sind für den Graphen von f HP TP WP C D E Die Punkte sind für den Graphen von g HP TP WP C D E Wahr Falsch Wendestellen sind x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Gleichungen zu Wendetangenten sind: a) d) b) e) c) f) Richtig Falsch WDI Kursstufe Seite 7

9 WDI Kursstufe C29 Natürliche Exponentialfunktion Name: Klasse: 1 rdnen Sie jeder Funktionsgleichung den passenden Graphen zu. C D 2 Welche ussagen über die Zahl e sind wahr. a) e ist eine reelle Zahl. b) e ist ein ruch. c). d) e hat eine Periode. 3 Sind die Umformungen richtig oder falsch? a) b) c) d) e) f) 4 Gegeben sind mit und mit. Welche der Eigenschaften treffen auf den Graphen von, welche auf zu? a) Der Graph ist streng monoton. b) Der Graph ist immer rechtsgekrümmt. c) Der Graph ist immer linksgekrümmt. d) Der Graph verläuft durch den Punkt (1 0). e) Der Graph schneidet die y-chse bei 1. f) Die positive x-chse ist symptote. g) Die negative x-chse ist symptote. 5 Wahr oder falsch? a) us mit folgt b) us mit folgt c) us mit folgt d) us mit folgt Wahr ist: a) b) c) d) Richtig ist: a) b) c) d e) f) Eigenschaft trifft zu für den Graphen von d) e) f) g) Wahr Falsch d) 6 Welche der Funktionen stimmt mit ihrer bleitung überein? f(x) g(x) h(x) m(x) k(x) WDI Kursstufe Seite 8

10 WDI Kursstufe C30 Logarithmus und Exponentialgleichung Name: Klasse: 1 rdnen Sie mithilfe des Graphen von mit die folgenden Werte richtig zu. a) b) c) d) e) f) 2 Vereinfachen Sie: a) b) c) d) e) f) 3 Entscheiden Sie, ob die ussage wahr ist. a) ist die Zahl, die mit e potenziert 2 ergibt. b) ist Lösung der Gleichung. c) ist Lösung der Gleichung. d) ist die Zahl, die mit 2 potenziert e ergibt. e) ist näherungsweise 0, Welche Umformungen sind richtig? a) ( b) c) d) 5 erechnen Sie die Nullstellen der Funktion a) b) 6 Der Term ist äquivalent zu a) b) c) d) 7 Lösen Sie die Gleichung. a) b) c) 8 Sind die folgenden Schritte zur Lösung der Gleichung richtig? 1. Mit erhält man 2. Lösungen sind und. 3. us und erhält man als Lösungen der Gleichung oder. 0,368 0, ,693 1,386 1,649 a) b) c) d) e) f) Wahr Falsch d) e) Richtig ist: a) b) c) d) Nullstelle a) x = b) x = a) b) c) d) a) b) c) Der Schritt ist richtig falsch WDI Kursstufe Seite 9

11 WDI Kursstufe C31 Definitionslücken, senkrechte symptoten Name: Klasse: 1 rdnen Sie den Funktionen ihre Polstelle zu: Polstelle von f g h x = 3 y = 2 x = 2 x = 1 y = 0 x = -2 keine 2 Welche ussagen zur Funktion f sind wahr, welche falsch? Wahr Falsch a) Hat f eine Polstelle an der Stelle 3, so hat der Graph von f eine senkrechte symptote mit der Gleichung. b) Hat f eine Polstelle bei x 0, so gilt. c) Hat f eine Polstelle bei x 0, so ist f an der Stelle x 0 nicht definiert. d) Hat f die Definitionslücke x 0, so hat f an dieser Stelle eine Polstelle. d) 3 rdnen Sie den Graphen die Funktionsterme zu: 4 Gegeben sind die Funktionen f, g und h mit, und. Geben Sie, wenn vorhanden, die Gleichungen der senkrechten symptoten der Graphen an. 5 rdnen Sie eine passende Funktion zu: a) ist Nullstelle und ist Polstelle der Funktion. b) Der Graph der Funktion hat senkrechte symptoten für und. zu f: zu g: zu h: WDI Kursstufe Seite 10

12 WDI Kursstufe C32 Verhalten für Name: Klasse: 1 Welche waagrechte symptote gehört zum Graphen welcher Funktion? 2 ist eine Funktion und für gelte aber. Entscheiden Sie. a) Der Graph von f hat die waagrechte symptote mit der Gleichung y = 2. b) Der Graph von f hat die senkrechte symptote mit der Gleichung y = 2. c) Geht man auf der x-chse immer weiter nach rechts, so nähern sich die Funktionswerte immer mehr der 2 an. d) Es gilt dann. 3 Gesucht sind die Funktionen, deren Graph die waagrechte symptote besitzt. a) b) c) d) e) f) 4 Geben Sie, wenn vorhanden, die Gleichung der waagrechten symptoten an. a) b) c) d) 5 Für gilt: e x dominiert x n. Welche ussage ist dann richtig? a) Für gilt dann. b) Es existiert eine Zahl k > 0 mit. c) Für gilt dann Graph von f g h x = 3 y = 1 x =1 y = 3 y = 0 x = -1 keine Wahr Falsch d) Graph hat als waagrechte symptote a) b) c) d) e) f) a) b) c) d) Richtig Falsch WDI Kursstufe Seite 11

13 WDI Kursstufe C33 Trigonometrische Funktionen Name: Klasse: 1 Was wurde vom Graphen zum Graphen verändert? rdnen Sie jeder bbildung die passende ussage zu. 2 Gegeben sind die Funktionen und mit und. Welche ussage trifft zu? a) Für die mplitude a gilt:. b) Die Periode ist p = 8. c) Graph ist gegenüber dem Graphen von sin(x) um 3 in die positive x-richtung verschoben. d) Graph ist gegenüber dem Graphen von sin(x) um in die negative x-richtung verschoben. 3 Ermitteln Sie anhand der Tabelle und dem Graphen die mplitude, Periode und Gleichung von. x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 1, f(x) 0 1, , , Gegeben ist die Funktion f mit. Geben Sie alle Nullstellen (NS) und Extremstellen (ES) im Intervall an. 5 Geben Sie die bleitung an: a) b) Die Periode wurde halbiert. Die Periode wurde verdoppelt. Die mplitude wurde halbiert. Die mplitude wurde verdoppelt. Die ussage trifft zu für den Graphen von f g d) mplitude = Periode = NS: ES: = = WDI Kursstufe Seite 12

14 WDI Kursstufe C34 Graphen zuordnen Name: Klasse: 1 Treffen die folgenden Eigenschaften auf die Graphen und zu? a) Der Graph hat einen Tiefpunkt. b) Die Steigung ist immer negativ. c) Die x-chse ist symptote für. d) Für ist die Steigung negativ. e) Der Graph besitzt zwei Wendepunkte. f) Der Graph verläuft nie oberhalb der x-chse. 2 Für eine Funktion f soll gelten:, und. Welcher der Graphen, oder C erfüllt alle edingungen? Die Eigenschaft trifft zu für Graph Graph d) e) f) Der gesuchte Graph ist C 3 Die drei bbildungen zeigen die Graphen einer Funktion und ihre bleitungen und. rdnen Sie richtig zu. Graph von 4 Die bbildungen gehören je zu einer gebrochenrationalen Funktion, zu einer Exponentialfunktion und zu einer trigonometrischen Funktion. rdnen Sie richtig zu. Graph einer gebrochenrationalen Funktion Exponentialfunktion trigonometrischen Funktion WDI Kursstufe Seite 13

15 WDI Kursstufe C35 Extremwertprobleme Name: Klasse: 1 Die zweimal differenzierbare Funktion f stellt den Gewinn eines Unternehmens im Laufe eines Jahres dar (x in Monaten, f(x) in Mio. ). rdnen Sie den Textbeispielen den passenden mathematischen usdruck zu. : Der Monat mit dem höchsten Gewinn : Der größte erzielte Gewinn im Jahr C: Der Gewinn im Monat März D: Ein Gewinnzuwachs von 3 Mio. 2 Lea will mit einer Schnur der Länge ein Rechteck mit den Seitenlängen x und y (in m) mit einem möglichst großen Flächeninhalt abstecken. a) Welcher nsatz passt zu dieser ufgabe? U(x)=3,58 gesucht: Maximum von U = 2x+2y U(x)=2x+y gesucht: Maximum von = x y 3,58=2x+2y gesucht: Maximum von U = 2x+2y 3,58=2x+2y gesucht: Maximum von = x y b) Welche Funktion beschreibt das Problem? : : C: D: rdnen Sie zu: f(3) Funktionswert des Hochpunkts f '(x) = 3 x-wert des Hochpunkts a) Richtig ist der nsatz: b) C D WDI Kursstufe Seite 14

16 WDI Kursstufe C36 Tangentenprobleme Name: Klasse: 1 Ist die Funktion f differenzierbar und P(u f(u)) ein Punkt des Graphen von f, so lautet die Gleichung der Tangente an den Graphen von f in P: a) b) c) 2 Entscheiden Sie, ob die folgenden ussagen über Tangenten wahr oder falsch sind. a) Die Gleichung einer Tangente kann man immer in der Form schreiben. b) Jede Tangente schneidet die x-chse. c) Die Tangente in einem Punkt (x 0 f(x 0 )) schneidet nie den Graphen der Funktion f. 3 Geben Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f an der Stelle x 1 an. a) mit b) mit c) mit 4 Die Gleichung der Tangente an den Graphen einer Funktion f im Punkt P lautet. Entscheiden Sie, welches die zugehörige Normalengleichung im Punkt P sein könnte. Richtig ist: a) b) c) Wahr Falsch Tangenten: a) y = x + b) y = x + c) y = x + y = y = y = WDI Kursstufe Seite 15

17 WDI Kursstufe C37 Funktionenscharen Name: Klasse: 1 Sind die ussagen zu einer Funktionenschar richtig oder falsch: a) Zu jedem Wert des Parameters t gehört eine eigene Funktion mit einem eigenen Graphen. b) Es gilt immer für alle x und t. c) eim bleiten von wird t wie eine Konstante behandelt. 2 Welche der Funktionen gehört zur Funktionenschar mit ( )? a) g(x) = 1 e -x b) h(x) = e -x c) m(x) = 2 - d) n(x) = -2 e 2x e) p(x) = 2 - e 2x 3 Die Graphen, und gehören zu einer Funktionenschar. Wie lautet ein Term für? a) b) c) d) 4 Die Graphen, und C gehören zu der Funktionenschar mit mit und. Geben Sie zu jedem Graphen den zugehörigen Wert von t an. Richtig Falsch Ja Nein d) e) Die richtige Schargleichung ist: a) b) c) d) C t = t = t = 5 Die Graphen einer Funktionenschar a) verlaufen immer parallel zueinander. b) können einen gemeinsamen Punkt besitzen. c) haben für alle die selbe Steigung. 6 rdnen Sie den gegebenen Funktionenscharen die richtige bleitungsfunktion zu: Richtig Falsch WDI Kursstufe Seite 16

18 WDI Kursstufe C38 Änderung und Gesamtänderung Name: Klasse: 1 Durch eine Pipeline fließt Öl. Dabei wird die momentane Durchflussrate gemessen. Diese misst, welche Menge an Öl a).. insgesamt an einem ganzen Tag durch die Pipeline strömt. b).. durch die Pipeline strömt. c).. pro Zeiteinheit durch die Pipeline strömt. d).. im Durchschnitt durch die Pipeline strömt. 2 Eine Pflanze wächst nach dem Einpflanzen in die Höhe. a) Wie viel cm wächst sie im 6. Monat? b) Um wie viel wächst sie innerhalb der ersten 12 Monate? c) Um wie viel in den folgenden zwei Jahren? d) Wie hoch ist sie nach drei Jahren, wenn sie beim Einpflanzen 10 cm hoch war? 3 Der Graph zeigt die Zu- bzw. bflussrate in einen Gartenteich für einen Zeitraum von 8 Stunden. a) Welche Wassermenge fließt in diesem Zeitraum zu? b) Welche Menge fließt ab? c) Wie groß ist die Gesamtänderung der Wassermenge im Gartenteich? 4 Für die Gesamtänderung einer Größe a).. zählt man Flächeninhalte unterhalb der x-chse negativ. b).. addiert man alle Flächeninhalte. c).. benötigt man den usgangswert der Größe nicht. Richtig ist: a) b) c) d) a) cm b) cm c) cm d) cm Kreuzen Sie an: a) 6 l 4,5 l 5,25 l b) 7,5 l 4,5 l 5,25 l c) Zufluss von l oder bfluss von l Richtig Falsch WDI Kursstufe Seite 17

19 WDI Kursstufe C39 Stammfunktion, Integral Name: Klasse: 1 Ist die Stammfunktion F zu f richtig berechnet? a), b), c), d), 2 Sei f eine auf I = (a;b) differenzierbare Funktion. a) Die Funktion f hat genau eine bleitung, aber viele Stammfunktionen F. b) Sind F und G Stammfunktionen zu f, so ist auch die Summe F+G eine Stammfunktion zu f. c) Ist F Stammfunktion zu f, so gilt. d) Stammfunktionen von f unterscheiden sich nur durch eine Konstante. 3 Gegeben ist die Funktion f mit. Der Graph welcher Stammfunktion F zu f verläuft durch den Punkt P(1 4)? 4 F sei eine Stammfunktion zu dem dargestellten Graphen der Funktion f. Welche der ussagen über die Stammfunktion F sind wahr, welche falsch? a) F hat bei x = -2 ein lokales Maximum. b) F hat für -2 x 2 genau zwei Wendestellen. c) Es gilt immer F(0) = F(1,5). 5 estimmen Sie das Integral mithilfe der Flächeninhalte. a) b) c) d) 6 erechnen Sie: a) b) c) F(x) richtig? Ja Nein d) Richtig Falsch d) F(x)= F(x)= keine ist richtig Wahr Falsch a) b) c) d) a) b) ) WDI Kursstufe Seite 18

20 WDI Kursstufe C40 Integralfunktion Name: Klasse: 1 Entscheiden Sie, ob jeweils eine Integralfunktion zu f mit vorliegt. a) b) c) d) 2 Sind die ussagen zu Integralfunktionen von f wahr oder falsch? a) für -1 < x 3. b) für x > 3. c) d) und 3 Wie lautet die Integralfunktion I a zur Funktion f? a) f(x) = x - 2 ; a = 0 b) f(x) = x ; a = -1 4 Den Graphen einer Funktion f zeigt bb. 1. In bb. 2 sind Stammfunktionen von f dargestellt. Ist eine davon die Integralfunktion I -2? bb. 1 bb. 2 Integralfunktion Ja Nein d) Wahr Falsch b d) a) I 0 (x) = b) I -1 (x) = C keine 5 a) Integralfunktionen enthalten immer Integralzeichen. b) Integralfunktionen sind spezielle Stammfunktionen. c) Die Funktionswerte einer Integralfunktion erhält man mithilfe der orientierten Flächeninhalte. Richtig Falsch WDI Kursstufe Seite 19

21 WDI Kursstufe C41 Flächen Name: Klasse: 1 Welcher Term berechnet den Inhalt der gefärbten Fläche? a) b) c) d) 2 erechnen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche. Die für die erechnung notwendigen Grenzen sollen abgelesen werden. a) b) c) d) = 3 Die Funktion schließt mit der x-chse eine Fläche ein. erechnen Sie den Inhalt der Fläche. a) b) 4 Gegeben ist mit I = [a; b]. a) Das Integral berechnet immer den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von f und g. b) Das Integral berechnet den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von f und g, wenn für alle. 5 erechnen Sie für. a) b) a) = b) = Wahr Falsch a) b) WDI Kursstufe Seite 20

22 WDI Kursstufe 32 estimmung ganzrationaler Funktionen Name: Klasse: 1 Das Schaubild der Funktion mit geht durch den Punkt. estimme den Funktionsterm von. 2 Der Graph einer ganzrationalen Funktion mit hat den Tiefpunkt T (-2 1). Entscheiden Sie welche der folgenden Gleichungen richtig bzw. falsch sind. a) b) c) d) e) 3 Gegeben ist der Graph von mit. Welche edingungen lassen sich anhand des Graphen in den Punkten H (0 1) und Q (2-1) aufstellen? 4 Zu den Graphen von f, g und h soll ein Funktionsterm ermittelt werden. Welcher nsatz - mit möglichst niedrigem Grad - ist hierfür geeignet? Mehrere Lösungen können möglich sein. Richtig Falsch d) e) -1 = 8a+4b+2c+d = -a + b c + d f(x) = ax 2 +bx+c x+b ax 3 +bx 2 +cx+d g(x) = ax 3 +cx x 4 +bx 2 +c ax 3 +bx 2 +cx+d C h(x) = x 5 +bx 3 +cx ax 4 +bx 2 +c ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e WDI Kursstufe Seite 21

23 WDI Kursstufe 33 bstand zweier Punkte im Raum Name: Klasse: 1 Gegeben ist der Vektor a) estimmen Sie den etrag von für a = 0. b) estimmen Sie a so, dass die Länge hat. 2 Gegeben sind Punkte P(1 0-2) und Q(-1-2 a). a) estimmen Sie den bstand PQ für a = 4 b) Für welche Werte von a haben P und Q den bstand 3? 3 Wahr oder falsch: : Spiegelt man einen Punkt P an einem Punkt Q und erhält P, so gilt: = : Der etrag eines Vektors kann nie negativ werden. 4 Gegeben sind die Punkte (6-3 -2) und (2-3 1). a) estimmen Sie den Einheitsvektor zu b) Welcher Punkt ergibt sich, wenn man den Punkt 10 mal in Richtung des Einheitsvektors von verschiebt. 5 Gegeben sind die Punkt, und C. a) Geben Sie den bstand von und an. b) Ergänzen Sie die Koordinaten von C so, dass der bstand zwischen und C 5 LE beträgt. 6 Das Dreieck C mit (4-2 2), (6-4 2) und C(2-6 2) ist gleichschenklig mit der asis. a) estimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M. b) estimmen Sie die Länge der Strecke CM. c) Welchen Flächeninhalt hat das Dreieck C? 7 Die Punkte (1 2-1), (0 0 0) und C(1 0 1) bilden ein rechtwinkliges Dreieck bei. estimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. a) = 1 = 5 = 7 b) a = -10 a = 5 a = 10 a) b) a = -1 a = 0 a = -3 Wahr Falsch a) b) P ( ) a) b) C(0? 1) Das? wird ersetzt: a) M ( ) b) CM = LE c) = FE = FE WDI Kursstufe Seite 22

24 WDI Kursstufe 34 Ebenengleichungen 1 Name: Klasse: 1 Welche der folgenden Gleichungen sind die Gleichung einer Ebene im Raum? : x 1 x 3 = -11 : x 1 = 0 C: D: E: F: Gleichung einer Ebene im Raum sind C E D F 2 Durch welche geometrischen bjekte ist eine Ebene eindeutig festgelegt? : Zwei sich schneidende Geraden : Zwei parallele Geraden (nicht identisch) C: Zwei windschiefe Geraden D: Drei beliebige Punkte E: Drei Punkte, nicht auf einer Geraden liegen. 3 In die folgenden Ebenengleichungen haben sich Fehler eingeschlichen. Korrigieren Sie: : x 1 2x +2x 3 = 1 C: = 1 Richtig ist: C D E : : C: : D: = 0 4 Gegeben sind die Punkte P(1 2 3), Q(0-1 2), R(2 2 1). Welche der folgenden Gleichungen stellen eine Parametergleichung der Ebene durch diese drei Punkte dar. : : D: Richtig ist: 5 Gegeben ist die Ebene E in Normalenform: estimmen Sie eine Gleichung der Ebene in Koordinatenform. 6 Gegeben ist die Ebene E:. Stellen Sie diese dar in der a) Koordinatenform b) Normalenform c) Hesseschen Normalenform E: a) b) c) WDI Kursstufe Seite 23

25 WDI Kursstufe 35 Ebenengleichungen 2 Name: Klasse: 1 Prüfen Sie, ob der Punkt P(1 2-1) in der Ebene E liegt. a) E: Setzen Sie oder ein: a) P E b) E: 6x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 8 c) E: 2 Gegeben ist der Punkt P a (1 2 a). estimmen Sie a so, dass P a in E a liegt. a) E a : x 1 + ax 2 + 4x 3 = 13. b) E a : b) P E c) P E a) a = b) a = 3 Gegeben ist die Ebene E. estimmen Sie deren Spurpunkte. a) 6x 1 + 3x 2 + 4x 3 = 12 b) 2x 1 + 3x 3 = 6 c) 2x 1 = 6 S 1 S 2 S 3 a) b) c) 4 Gegeben sind die Punkte (1 1 1), (-1 1 2), C(1 0 0) und D(3 1 0). a) Stellen Sie eine Gleichung der Ebene E durch, und C in Koordinatenform auf. b) Liegen die vier Punkte in einer Ebene? a) E: b) Ja Nein. WDI Kursstufe Seite 24

26 WDI Kursstufe 36 esondere Lage von Ebenen Name: Klasse: 1 Wahr oder falsch? : Die Ebene 2x 3 = 4 ist parallel zur x 3 -chse. : Die Ebene x 3 = 2 ist parallel zur x 1 x 2 -Ebene. C: Die Ebene x 1 +x 3 = 2 ist parallel zur x 2 -chse. D: Die Ebene x 1 +x 3 =1 ist parallel zur x 1 x 3 -Ebene. E: lle Ebenen der Form ax 1 + bx 2 + cx 3 = 0 (a; b; c, nicht alle = 0) verlaufen durch den Ursprung. F: Ebenen der Form ax 1 = 1 sind alle parallel zur x 2 x 3 -Ebene. G: Eine Ebene hat maximal drei Spurpunkte. H: Ist eine Ebene parallel zur x 1 x 2 -Ebene, so ist sie auch parallel zur x 1 - und x 2 - chse. 2 Welche der folgenden Veranschaulichung der Ebene E: x 1 + 2x 2 = 4 ist richtig? Wahr Falsch C D E F G H : : Richtig ist: 3 Geben Sie eine Gleichung in Koordinatenform a).. der x 2 x 3 -Ebene an. b).. einer Ebene an, die parallel zur x 2 -chse ist und durch P(0 0 2) und Q(3 0 0) verläuft. c).. der Ebenen an, welche parallel zur x 1 x 2 -Ebene mit dem bstand 4 sind. 4 Welche besondere Lage haben diese Ebenen im Raum? : x 1 + x 2 = 1 : C: a) b) c) sowie Parallel zur x 1 x 2 -Ebene x 2 x 3 -Ebene x 1 x 3 -Ebene x 1 -chse x 2 -chse x 3 -chse C WDI Kursstufe Seite 25

27 WDI Kursstufe 37 Gegenseitige Lage Gerade und Ebene Name: Klasse: 1 Die Geradengleichung von g: wird in die Koordinatengleichung der Ebene E: x 1 x 2 = 1 eingesetzt: 1 r = 1. Man erhält: r = 0. Das bedeutet: : g in E; : g E; C: g schneidet E; D: die Gerade verläuft durch den Ursprung. 2 Gegeben sind die Gerade g: sowie jeweils die Ebene E. estimmen Sie deren gegenseitige Lage und gegebenenfalls den Durchstoßpunkt D. a) E: 2x 1 - x 2 + x 3 = 1 b) E: -4x 1 +2x 2 - x 3 = -4 c) E: x 1 - x 2 - x 3 = 1 3 Wo schneidet die Gerade g: a) die x 1 x 2 -Ebene b) die x 1 x 3 -Ebene 4 Gegeben ist die Ebene E: Wo schneidet die x 1 -chse die Ebene E? 5 Die Ebene E: x 1 + x 2 + x 3 = 16 stellt in einem geeigneten Koordinatensystem einen Hang dar. Ein Sendemast hat seine Spitze in S(6 4 8). Die Richtung der parallelen Sonnstrahlen wird durch festgelegt. estimmen Sie den Endpunkt des Schattens des Sendemastes auf dem Hang. Wahr Falsch C D a b c g E g in E D D Durchstoßpunkt a) P( ) b) P( ) D ( ) P(6 4 0) P(1 1-1) P(4 2 10) P(5 5 7) WDI Kursstufe Seite 26

28 WDI Kursstufe 38 Lagebeziehung zwischen Ebenen Name: Klasse: 1 estimmen Sie a so, dass die beiden Ebenen E und F parallel sind. E: 3x 1 2x 2 +2x 3 = 1 F: a = 2 Gegeben ist die Ebene E: 2x 1 + x 2-2x 3 = 0 sowie der Punkt (1 1 2). Stellen Sie eine Koordinatengleichung einer Ebene F auf, welche zu E parallel ist und durch verläuft. 3 Wahr oder falsch? : Zwei voneinander verschiedene Ebenen schneiden sich entweder in einer Geraden oder gar nicht. : Schneiden sich von drei Ebenen jeweils zwei in einer Geraden, so sind die Schnittgeraden parallel. C: Drei Ebenen können so liegen, dass sie sich in genau einem Punkt schneiden. F: Wahr Falsch C WDI Kursstufe Seite 27

29 WDI Kursstufe 39 Hessesche Normalenenform (HNF) Name: Klasse: 1 Wahr oder falsch? : In der HNF einer Ebene wird der Normalenvektor der Ebene auf die Länge 1 normiert. : die HNF wird hauptsächlich für bstandsberechnungen verwendet. C: Es gibt Ebenen, für die man keine HNF aufstellen kann. 2 Stellen Sie jeweils die HNF der Ebene E auf: a) E: x 1 + 2x 2-2x 3 = 1 b) E: 3 estimmen Sie den bstand des Punktes P von der Ebene E: x 1 + 2x 2-2x 3 = 1. a) P(0 0 0) b) P(1 3 0) c) P(2 1 1) 4 lle Punkte, welche von einer Ebene E den bstand 3 haben, liegen : auf zwei parallelen Geraden im bstand 3. : auf einer Geraden im bstand 3. C: auf zwei parallelen Ebenen im bstand 3. 5 Welcher der Punkte (3 4 0), (5 2-1), C(0 0-7) hat den bstand 4 von der Ebene E: 2x 1 + x 2-2x 3 = 2? 6 estimmen Sie den bstand a) der parallelen Ebenen E: 2x 1 - x 2 + 2x 3 = 1 und F: 2x 1 - x 2 + 2x 3 = 5. b) der Ebene E: 3x 1 + 4x 3 = 1 und der zu E parallelen Geraden g:. Wahr Falsch C a) b) a) d(p,e) = b) d(p,e) = c) d(p,e) = Richtig ist: C C a) d(e, F) = b) d(g, E) =. 7 In der Zeichnung sehen Sie eine Pyramide. Die notwendigen Daten sollen durch blesen bestimmt werden. a) Welche Höhe h hat die Pyramide. b) estimmen Sie das Volumen der Pyramide. a) Für die Höhe h gilt: WDI Kursstufe Seite 28 h = LE. b)für das Volumen V gilt: V = VE.

30 WDI Kursstufe 40 bstand Punkt Gerade Name: Klasse: 1 Wahr oder falsch? Den bstand eines Punktes P von einer Geraden g kann man durch : ufstellen einer Hilfsebene H durch P senkrecht zu g bestimmen. : ufstellen einer Hilfsebene H, welche P und g enthält, bestimmen. C: eine Extremwertbetrachtung (bstand zweier Punkte) bestimmen. 2 Gegeben sind der Punkt P(1 2 3) und die Gerade g:. a) Stellen Sie eine Normalengleichung der Hilfsebene H auf ( ) b) estimmen Sie den Lotfußpunkt L. c) estimmen Sie den bstand von P zu g. 3 Geben Sie den bstand des Punktes P(1 0 3) von der x 1 -chse an. 4 estimmen Sie den bstand zwischen der Geraden g: und dem Punkt P(-1 0 2). Wahr Falsch C a) b) L( ) c) d(p,g) = d = d(p,g)= WDI Kursstufe Seite 29

31 WDI Kursstufe 41 bstand zweier Geraden Name: Klasse: 1 Welche ussagen zur bstandsbestimmung paralleler Geraden g und h sind richtig? : Durch estimmung des bstandes eines Punkts G auf g zu einem Punkt H auf h. : Durch estimmung des bstandes eines Punkts auf g zur Geraden h. C: Mit Hilfe der HNF von g und h. 2 a) Wie liegen die beiden Geraden g und h zueinander? b) Welche Strecken geben in der Zeichnung den bstand der Geraden g und h an? 3 In der Zeichnung ist ein Würfel der Kantenlänge 1 abgebildet. estimmen Sie den bstand der Geraden g und h. Wahr Falsch C a) g und h sind identisch sind parallel schneiden sich sind windschief b) PQ P PT PS S T QT P d(g,h) = WDI Kursstufe Seite 30

32 WDI Kursstufe 42 Skalarprodukt Name: Klasse: 1 Gegeben sind die Vektoren, und. Das Ergebnis folgender Rechnungen ist a) ( ) b) ( ) c) ( ) eine Zahl ein Vektor nicht definiert 0 2 Für das Skalarprodukt zweier Vektoren Richtig Falsch und die den Winkel einschließen, gilt: : : C: D: 3 Hat das Skalarprodukt zweier Vektoren und den Wert 0, so bedeutet dies: : und sind parallel zueinander : und sind orthogonal zueinander C: und sind Einheitsvektoren. 4 Zeigen Sie mithilfe des Skalarproduktes, dass sich die Diagonalen des Quadrats CD mit (5 1 0), (1 5 2), C(-1 1 6) und D(3-3 4) orthogonal schneiden. 5 Der Grundkreis des abgebildeten Kreiskegels liegt in einer Ebene parallel zur x 1 x 2 -Koordinatenebene. Zeigen Sie, dass die Höhe h senkrecht auf dem Grundkreis steht. C D Wahr Falsch C WDI Kursstufe Seite 31 ; und Der Grundkreis liegt in der Ebene, also. Die Höhe verläuft durch M und S auf der Geraden h:. Der Richtungsvektor dieser Geraden ist zum Normalenvektor der Ebene x 3 =, also h E.

33 WDI Kursstufe 43 rthogonalität, Winkel Name: Klasse: 1 Sind die beiden bjekte orthogonal? a) g und h mit g: ; h:. b) E: x 1 2x 2 + x 3 = 2; F: 3x 1 + x 2 - x 3 = -3 c) g: ; E: x 1 + 2x 2 +8x 3-18 = 0 2 Für welches a sind die beiden Vektoren orthogonal? Die beiden bjekte sind orthogonal: Ja Nein a) a = a) und b) und 3 estimmen Sie eine Gleichung einer Geraden h, welche orthogonal zu E: 2x 1 + 2x 2 - x 3 = 1 ist und durch (1-1 5) verläuft. 4 Die drei Punkte, und C mit (1 0 1); (2 3 1) und C(0-5 1) sind die Eckpunkte eines Dreiecks. Ist dieses Dreieck rechtwinklig? 5 estimmen Sie die Innenwinkelweiten und des Dreiecks C. Die Zeichnung ist nicht maßstabsgerecht. 6 Gegeben sind die Gerade g: und der Punkt (0 5 3). rthogonale Geraden zu g durch gibt es :.. genau eine :.. unendlich viele, die in einer Ebene liegen C:.. unendlich viele, die alle parallel zueinander sind. b) a = oder a = h: Das Dreieck C ist rechtwinklig: Ja Nein Winkelweite 16,6 163,4 Winkelweite 30,9 149,1 Wahr Falsch C WDI Kursstufe Seite 32

34 WDI Kursstufe 44 Spiegelung und Symmetrie Name: Klasse: 1 Spiegeln Sie den Punkt P(1 0 2) am Punkt Z(2 3 1) und geben Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes P an. 2 Der Punkt P soll an der Ebene E gespiegelt werden. Welche Vektorkette ist/sind richtig? P ( ) = = = = 2 3 Der Punkt P(0 1 4) soll an der Ebene E: x 1 + 2x 2-2x 3 = 3 gespiegelt werden. Geben Sie die Koordinaten des Spiegelpunktes P an. 4 estimmen Sie eine Gleichung der Ebene E, zu der die Punkte (1-2 7) und (5-2 3) symmetrisch sind. 5 estimmen Sie eine Gleichung der Ebene E, zu der die Ebenen F und G symmetrisch sind. F: x 1 + 2x 2-2x 3 = 0; G: x 1 + 2x 2-2x 3 = 4. 6 Die Gerade g soll an der Ebene E gespiegelt werden. Welche Vorgehensweise ist richtig? : Spiegeln zweier Punkte von g (z.. P und Q) an der Ebene E; g verläuft durch P und Q. : Spiegeln eines Punktes P von g an der Ebene E, ermitteln des Durchstoßpunktes S von g und E, g verläuft durch P und S. 7 Spiegeln Sie den Punkt P(1 2 3) an der Geraden P ( ) E: Richtig Falsch P ( ) g: und geben Sie die Koordinaten von P an. WDI Kursstufe Seite 33

35 WDI Kursstufe D13 Standardabweichung Name: Klasse: 1 Wahr oder falsch? Die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsvariablen a) ist ein Maß für die reite der Verteilung b) misst die gesamte reite der Verteilung c) gibt an, um wie viel der Erwartungswert unter der maximalen Trefferzahl liegt d) ist ein Maß dafür, wie stark die nzahl der Treffer auf lange Sicht von der zu erwartenden Trefferzahl abweicht. e) misst den bstand der beiden Trefferzahlen, deren Wahrscheinlichkeit ungefähr 0,1 ist. 2 Die Grafik zeigt die Säulendiagramme dreier inomialverteilungen. ei allen ist p = 0,4. Welche Verteilung hat die größte, welche die kleinste Standardabweichung. 3 Wie berechnet man die Standardabweichung einer binomialverteilten Zufallsvariablen a) b) c) Wahr Falsch d) e) Die größte Standardabweichung hat die abgebildete inomialverteilung links (n = 20) in der Mitte (n = 50) rechts (n = 80). Die kleinste Standardabweichung hat die abgebildete inomialverteilung links (n = 20) in der Mitte (n = 50) rechts (n = 80). Richtig ist: a) b) c) 4 estimmen Sie für eine binomialverteilte Zufallsvariable mit n = 100 und p = 0,2 die Standardabweichung WDI Kursstufe Seite 34

36 WDI Kursstufe D14 Sigma-Regeln Name: Klasse: 1 Gegeben ist eine binomialverteilte Zufallsvariable X mit dem Erwartungswert µ = 50 und der Standardabweichung σ = 10. Wahr oder falsch? a) Das Intervall [40; 60] nennt man σ - Intervall. b) Mit einer Wahrscheinlichkeit von 86% liegt die nzahl der Treffer von X im Intervall [40; 60]. c) Mit den Sigma-Regeln können Näherungswerte für Wahrscheinlichkeiten von Umgebungen des Erwartungswertes berechnet werden. 2 ei einer binomialverteilten Zufallsvariablen mit dem Erwartungswertes µ und der Standardabweichung σ ist das σ - Intervall : [ ; ] : [ ; ] C: [ ; ] 3 ei einer binomialverteilten Zufallsvariablen liegen etwa a) 50% b) 70% c) 80% der Trefferzahlen im σ-intervall. 4 Eine ideale Münze wird 100-mal geworfen. Die Zufallsvariable X zählt die nzahl der Wappen. Geben Sie das 2σ-Intervall und die ungefähre Wahrscheinlichkeit an, mit der die nzahl der Treffer in diesem 2σ-Intervall liegt. Wahr Falsch Richtig ist: C Richtig ist: a) b) c) 2σ-Intervall = [ ; ] Die Wahrscheinlichkeit beträgt ca. % WDI Kursstufe Seite 35

37 WDI Kursstufe D15 Statistische Tests Name: Klasse: 1 Statistische Tests a).. sollen eine Entscheidungsvorschrift liefern, mit der man entscheiden kann, ob eine nnahme (Hypothese) richtig oder falsch ist. b).. dienen dazu anhand einer Stichprobe auf die unbekannte, dem Zufallsexperiment zugrundeliegende Wahrscheinlichkeitsverteilung der untersuchten Zufallsvariablen zu schließen. c).. helfen dabei eine ussage darüber zu machen, ob eine Hypothese beibehalten werden kann oder verworfen werden sollte. d).. können niemals absolute Sicherheit bieten. uch wenn aufgrund einer Stichprobe eine Hypothese beibehalten wird, so kann sie trotzdem in der gesamten Grundmenge falsch sein. 2 rdnen Sie die egriffe richtig zu. ei einem statistischen Test heißt.. die zu überprüfende Hypothese H 0... die Wahrscheinlichkeit mit der H 0 abgelehnt wird, obwohl sie zutrifft.. C.. der ereich, in dem das Ergebnis der Stichprobe liegen muss, damit H 0 nicht verworfen wird,. D die maximale Irrtumswahrscheinlichkeit. 3 Wahr oder falsch? a) Die Nullhypothese ist falsch, wenn das Stichprobenergebnis im blehnungsbereich liegt. b) Wird die Nullhypothese anhand eines Stichprobenergebnisses verworfen, so kann sie trotzdem richtig sein. c) Ändert man das Signifikanzniveau, so kann sich bei gleichem Ergebnis der Stichprobe aus der blehnung einer Nullhypothese deren eibehaltung ergeben. d) Die Entscheidung für die eibehaltung oder blehnung einer Nullhypothese wird anhand eines nnahme- und eines blehnungsbereichs getroffen. Wahr Falsch d) blehnungsbereich Signifikanzniveau blehnungswahrscheinlichkeit Irrtumswahrscheinlichkeit Nullhypothese Gegenhypothese nnahmebereich Wahr Falsch d) WDI Kursstufe Seite 36

38 WDI Kursstufe D16 Signifikanztests Name: Klasse: 1 Julia behauptet, zwei verschiedene Wassersorten am Geschmack unterscheiden zu können. Ihre Freunde möchten dies testen: Julia trinkt 15 Proben. Mit einem Signifikanzniveau von 1% soll entschieden werden, ob Sie zufällig rät. a) Wie ist die Nullhypothese zu wählen, wenn man davon ausgeht, dass sie rät? b) Wie ist die lternativhypothese zu wählen? c) Handelt es sich um einen links- oder rechtsseitigen Test? d) estimmen Sie mit Hilfe des abgebildeten GTR- ildschirms den nnahmebereich. a) Für H 0 gilt: p < 0,5 p = 0,5 p > 0,5 b) Setzen Sie <; = ; > ein: H 1 H 0 c) -seitig d) nnahmebereich: [ ; ] WDI Kursstufe Seite 37

39 WDI Kursstufe D17 Fehler beim Testen Name: Klasse: 1 Wie kann gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit beider Fehler (1. und 2. rt) verkleinert werden? : nnahmebereich von H 0 vergrößern : nnahmebereich von H 0 verkleinern C: Stichprobenumfang n vergrößern D: Stichprobenumfang n verkleinern E: Signifikanzniveau verkleinern 2 Jan hat einen Würfel, vom dem er der Meinung ist, dass dieser zu selten auf der 6 liegen bleibt. Er möchte einen statistischen Test durchführen. Wie muss er die Nullhypothese wählen? Richtig ist/sind: C D E Nullhypothese H 0 : WDI Kursstufe Seite 38

40 Zusatz 1 Kursstufe Statistische Tests Name: Klasse: 1. In einer Urne befinden sich 6 rote und 4 blaue Kugeln. a) Es wird dreimal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. estimmen Sie die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis E 1 : Unter den gezogenen Kugeln ist höchstens eine blaue Kugel. b) Es wird zehnmal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. ls Ereignis werde betrachtet E2 : Unter den gezogenen Kugeln sind genau k blaue Kugeln (k Î; k 10). Geben Sie eine Formel für die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses 2 E an. 2 Die Zufallsvariablen X und Y sind binomialverteilt. Für die Variable X ist n=10 und p=0,4 ; für die Variable Y ist n=10 und p=0,6. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer der beiden Variablen ist in der bbildung dargestellt. a) Entscheiden Sie, von welcher der beiden Zufallsvariablen die Wahrscheinlichkeitsverteilung abgebildet ist, und begründen Sie Ihre Entscheidung. b) egründen Sie, warum P(X = k)= P(Y =10-k) für alle k N 10 gilt. 3 Eine Zufallsgröße X habe die folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung. x i P(X = x i ) 0 0,32 1 0,36 2 0,32 estimmen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. WDI Kursstufe Seite 39

41 Zusatz 2 Kursstufe Ereignis/Wahrscheinlichkeit Name: Klasse: 1 Das Gegenereignis von kein Schüler ist 18 Jahre alt lautet: ) mindestens ein Schüler ist 18 ) höchstens ein Schüler ist 18 C) alle Schüler sind 18 2 Für die Ereignisse und gilt: ) und sind unabhängig ) C) P ()=80% D) P( )=95% 15% 12% 25% C C D 3 ezogen auf das abgebildete aumdiagramm gilt: ) ) P()=0,5 0,4 C) D) 0,5 E) F) G) P( )=70% 0,3 4 und sind zwei Ereignisse. Das Ereignis: Höchstens eines der beiden Ereignisse tritt ein wird durch folgenden usdruck beschrieben: ) ) C) D) E) C D E F G C D E WDI Kursstufe Seite 40

42 Zusatz 3 Kursstufe Erwartungswert/Wahrscheinlichkeit Name: Klasse: 1 In den Schulaufgaben in Mathe und Englisch haben sich in einer Klasse folgende Notenverteilung ergeben: Note Mathe Englisch ) Der Erwartungswert von M und E ist gleich ) Die Standardabweichung von M und E ist gleich C) Die Standardabweichung von M ist größer als die von E 2 Die Wahrscheinlichkeit, dass von 20 zufällig ausgewählten Personen genau drei Männer sind, beträgt: ) ) C) D) E) F) C C D E F 3 In einer Lostrommel befinden sich 60 Nieten und 40 Treffer. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man beim Ziehen von 12 Losen 3 Treffer erzielt, beträgt: C C 4 ei einem Glücksspiel gibt es vier mögliche Ergebnisse mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten: Treffer uszahlung Wahrscheinlichkeit 50% 25% 20% 5% Damit es sich bei einem Einsatz von 1 pro Spiel um ein faires Spiel handelt, muss die uszahlung für das Ergebnis 3 Treffer 2 4 C 8 D 16 betragen. C D WDI Kursstufe Seite 41

43 Zusatz 4 Kursstufe Nullhypothese Name: Klasse: 1 eim Testen der Nullhypothese H0 : p 0,4 mit dem blehnungsbereich ) beträgt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. rt ca. 25% ) beträgt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. rt ca. 25% C) kann die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. rt nicht berechnet werden. D) verringert sich die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. rt, wenn man den Stichprobenumfang auf 30 erhöht und wählt Verändert man den blehnungsbereich:, so E) verringert sich die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. rt F) verringert sich die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. rt C D E F 2 Die Nullhypothese H0 : p 0,75 soll auf dem Signifikanzniveau von 5% bei einem Stichprobenumfang von 30 getestet werden. Der blehnungsbereich ist dann ) ) C) C WDI Kursstufe Seite 42

44 WDI Kursstufe C25 Verknüpfen von Funktionen Lösungen 1 Verkettet man die Funktionen und, so bedeutet, dass im Funktionsterm von e) jedes durch x ersetzt wird. f) jedes x durch ersetzt wird. g) jedes x durch u(x) ersetzt wird. h) jedes u(x) durch x ersetzt wird. 2 estimmen Sie anhand der Graphen die gesuchten Funktionswerte. 3 Gegeben sind die Funktionen und mit und. rdnen Sie den Verkettungen jeweils das richtige Ergebnis zu. : C: : D: 4 Ist die Funktion aus den Funktionen und mit und gebildet worden? Wenn ja, auf welche rt? : f(x)=6x+2 : g(x)=3x 3 +1 C: h(x)=x 3 +3x+1 D: i(x)=x 6 E: j(x)=(3x+1) 3 F: k(x)=(3x+1) 2 5 Wahr oder falsch: a) ei der Verkettung von zwei Funktionen ist die Reihenfolge ohne edeutung. b) Eine Funktion kann nie mit sich selbst verkettet werden. c) Eine Verkettung von mehr als zwei Funktionen ist nicht möglich. d) ei der Verkettung ist die innere und die äußere Funktion. Ja Nein d) a) f(g(1)) = 0,5 b) f(g(4) = 1 c) g(f(2) = 1 d) g(f(8)) = C 0 4 D C u+v u-v u v u:v E Wahr Falsch d) WDI Kursstufe Seite 43

45 WDI Kursstufe C26 bleitungsregeln Lösungen 1 Gegeben sind die Funktionen und durch und. Dabei sind die Funktionen und differenzierbar. a) Die Zeichen und bedeuten das Gleiche, also haben und die gleiche bleitung. b) für gilt: c) und müssen nicht differenzierbar sein. d) für gilt: e) schreibt man auch als. 2 Welche der bleitungsregeln (Potenz-, Produktoder Kettenregel (Pot, Pro oder Ket)) hilft beim bleiten der Funktionen? : f(x) = : g(x) = C: h(x) = D: i(x) = E: m(x) = 3 ei mit und ist a) die bleitung der äußeren Funktion. b) die bleitung der inneren Funktion. 4 Gegeben sind die Funktionen und durch = und =. Ergänzen Sie die Lücken in der bleitung: a) = b) = 5 Entscheiden Sie, welches die bleitung von mit ist. a) b) c) d) 6 Geben Sie zur Funktion jeweils an. a) b) c) d) 7 Gegeben ist die Funktion mit. a) Welche Steigung hat der Graph in P(-2 f(-2))? b) n welcher Stelle hat der Graph eine waagrechte Tangente? Wahr Falsch d) e) Pot Pro Ket X X X C X X D X X E X X X Richtig Falsch Für muss stehen: a) 4 b) 16 Richtig ist: a) b) c) d) Es ist a) 16 b) 24 c) d) a) Steigung m = 54 b) Stelle x = -0,5 WDI Kursstufe Seite 44

46 WDI Kursstufe C27 2. bleitung und Extremstellen Lösungen 1 Entscheiden Sie, welche ussagen zutreffen. a) Der Graph von ist eine Rechtskurve. b) Der Graph von ist eine Linkskurve. c) Der Graph von steigt streng monoton. d) Es ist. e) Es ist. 2 Tragen Sie in der Tabelle ein, ob, und in den markierten Punkten positiv (>0), negativ (<0) oder Null sind. 3 Entscheiden Sie anhand der 2. bleitung, ob der Extrempunkt P ein Hochpunkt (HP) oder Tiefpunkt (TP) des Graphen von ist. a), b), c), 4 erechnen Sie die Hochpunkte (HP) und Tiefpunkte (TP) des Graphen von. a) b) 5 Welche ussagen sind zutreffend? a) =0 und =0 b) wechselt bei sein Vorzeichen. c) Für hat der Graph einen Sattelpunkt. d) wechselt bei sein Vorzeichen nicht. e) Für hat der Graph einen Extrempunkt. 6 Eine ganzrationale Funktion f a) vom Grad 2 hat genau eine Extremstelle. b) mit genau drei verschiedenen Extremstellen ist mindestens vom Grad 4. c) vom Grad n hat höchstens n Extremstellen. Trifft im dargestellten Intervall zu für den Graphen in WDI Kursstufe Seite 45 d) e) <0 >0 0 >0 =0 <0 C <0 <0 =0 D <0 =0 >0 E =0 >0 >0 a) b) c) HP TP HP TP HP TP a) HP(0 2) TP(2-2) b) TP(2 4) HP(-2-4) Trifft zu für den Graphen in d) e) Richtig Falsch

47 WDI Kursstufe C28 Wendestellen Lösungen 1 bb. zeigt den Graphen einer Funktion f. Die markierten Punkte sind entweder Extrempunkte (HP oder TP) oder Wendepunkte (WP). Füllen Sie die Tabelle aus. 2 bb. zeigt den Graphen der bleitung einer Funktion g. Die markierten Punkte sind entweder Extrempunkte (HP oder TP) oder Wendepunkte (WP) des Graphen von g. Füllen Sie die Tabelle aus. 3 Entscheiden Sie, ob die ussagen zur Funktion bzw. zu ihrem Graphen wahr oder falsch sind. a) Wendestellen von sind Extremstellen von. b) in einem Wendepunkt geht der Graph immer von einer Links- in eine Rechtskurve über. c) Gilt, und, so ist W(x 0 ) Sattelpunkt des Graphen von. 4 Welche der angegebenen Stellen sind Wendestellen der Funktion mit? x 1 = -3, x 2 = -2, x 3 = -1, x 4 = 1, x 5 = 2, x 6 = 3 5 Welche der angegebenen Gleichungen gehören zu Wendetangenten an den Graphen von f mit a) b) c) d) e) f) 6 Jede ganzrationale Funktion... a)...mit ungeradem Grad größer 1 hat mindestens eine Wendestelle. b)...die symmetrisch zur y-chse ist, hat mindestens eine Wendestelle. Die Punkte sind für den Graphen von f HP TP WP C D E Die Punkte sind für den Graphen von g HP TP WP C D E Wahr Falsch Wendestellen sind x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Gleichungen zu Wendetangenten sind: a) d) b) e) c) f) Richtig Falsch WDI Kursstufe Seite 46

48 WDI Kursstufe C29 Natürliche Exponentialfunktion Lösungen 1 rdnen Sie jeder Funktionsgleichung den passenden Graphen zu. D C D C 2 Welche ussagen über die Zahl e sind wahr. a) e ist eine reelle Zahl. b) e ist ein ruch. c). d) e hat eine Periode. 3 Sind die Umformungen richtig oder falsch? a) b) c) d) e) f) 4 Gegeben sind mit und mit. Welche der Eigenschaften treffen auf den Graphen von, welche auf zu? a) Der Graph ist streng monoton. b) Der Graph ist immer rechtsgekrümmt. c) Der Graph ist immer linksgekrümmt. d) Der Graph verläuft durch den Punkt (1 0). e) Der Graph schneidet die y-chse bei 1. f) Die positive x-chse ist symptote. g) Die negative x-chse ist symptote. 5 Wahr oder falsch? a) us mit folgt b) us mit folgt c) us mit folgt d) us mit folgt 6 Welche der Funktionen stimmt mit ihrer bleitung überein? Wahr ist: a) b) c) d) Richtig ist: a) b) c) d) e) f) Eigenschaft trifft zu für den Graphen von d) e) f) g) Wahr Falsch d) f(x) h(x) m(x) g(x) k(x) WDI Kursstufe Seite 47

49 WDI Kursstufe C30 Logarithmus und Exponentialgleichung Lösungen 1 rdnen Sie mithilfe des Graphen von mit die folgenden Werte richtig zu. a) b) c) d) e) f) 2 Vereinfachen Sie: a) b) c) d) e) f) 3 Entscheiden Sie, ob die ussage wahr ist. a) ist die Zahl, die mit e potenziert 2 ergibt. b) ist Lösung der Gleichung. c) ist Lösung der Gleichung. d) ist die Zahl, die mit 2 potenziert e ergibt. e) ist näherungsweise 0, Welche Umformungen sind richtig? a) ( b) c) d) 5 erechnen Sie die Nullstellen der Funktion a) b) 6 Der Term ist äquivalent zu a) b) c) d) 7 Lösen Sie die Gleichung. a) b) c) 8 Sind die folgenden Schritte zur Lösung der Gleichung richtig? 1. Mit erhält man 2. Lösungen sind und. 3. us und erhält man als Lösungen der Gleichung oder. f) 0,368 c) 0,693 b) 0 d) -0,693 e) 1,386 a) 1,649 a) 1 b) 2 c) -1 d) 0 e) -1 f) 4 Wahr Falsch d) e) Richtig ist: a) b) c) d) Nullstelle a) x = 1 b) x = -1 a) b) c) d) a) 6 b) 2 c) ln(5) Der Schritt ist richtig falsch WDI Kursstufe Seite 48

50 WDI Kursstufe C31 Definitionslücken, senkrechte symptoten Lösungen 1 rdnen Sie den Funktionen ihre Polstelle zu: Polstelle von f g h x = 3 y = 2 x = 2 x = 1 y = 0 x = -2 keine 2 Welche ussagen zur Funktion f sind wahr, welche falsch? a) Hat f eine Polstelle an der Stelle 3, so hat der Graph von f eine senkrechte symptote mit der Gleichung. b) Hat f eine Polstelle bei x 0, so gilt. c) Hat f eine Polstelle bei x 0, so ist f an der Stelle x 0 nicht definiert. d) Hat f die Definitionslücke x 0, so hat f an dieser Stelle eine Polstelle. 3 rdnen Sie den Graphen die Funktionsterme zu: Wahr Falsch d) C 4 Gegeben sind die Funktionen f, g und h mit, und. Geben Sie, wenn vorhanden, die Gleichungen der senkrechten symptoten der Graphen an. 5 rdnen Sie eine passende Funktion zu: a) ist Nullstelle und ist Polstelle der Funktion. b) Der Graph der Funktion hat senkrechte symptoten für und. zu f: x = 5 zu g: x = -3 zu h: x = 2 und x = -2 a) b) WDI Kursstufe Seite 49