Einstieg. Bogenmaß. Allgemeine Formeln
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- Klemens Breiner
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1 2 Einstieg Differenzialrechnung * Integralrechnung * Geometrie Stochastik * Zusatzthemen * Prüfungsaufgaben Wiederholung einiger Formeln Aufgaben aus dem Pflichtteil Schaubilder und Funktionsterme Streckung Stauchung Spiegelungen Schwingungen Dozent: Klaus Messner klaus_messner@web.de, Internet: klaus_messner@web.de, Internet: Bogenmaß Allgemeine Formeln 3 4 Veranschaulichung am Einheitskreis. π2 Beschreibung Formel sin 45 =cos 45 = π4 1 b π α a 0;2π sin α= 1 = cos α= 1 = 3π2 2 bzw. im Bogenmaß p-q-formel zum Lösen quadratischer Gleichungen ²+!+"=0, =! 2 ±! 4 " Bei senkrechten Geraden, wobei m 1 und m 2 die Steigungen sind,gilt: Fläche eines Dreiecks Fläche und Umfang eines Kreises =& + h g =& + r & & = 1 (= 1 2 ) h (=+²,=2+ sin =cos = 2 Volumen eines spitzen Körpers Volumen eines geraden Körpers und eines Zylinders h r r h -= 1 3. h -=. h; -=+² h
2 5 Gleichungen lösen im Pflichtteil Gleichungen aus Aufgabe 2 des Pflichtteils sind zumeist versteckte quadratische Gleichungen. Eine Substitution führt häufig zu der quadratischen Gleichung. Sollten Nenner vorkommen, so ist es meist ratsam, die Gleichung mit allen Nennern zu multiplizieren, so dass diese wegfallen. Manchmal führt einfaches Ausklammern von zu der quadratischen Gleichung. 6 Rechenbeispiel Löse die Gleichung =0. Setze 2 0 1, dann gilt =0 p-q-formel: 2, = ± 4 Nun erfolgt die Rückersetzung: 2, = ±4 2 =9, 2 = =9 = ln 9 =ln 9 =ln 3 oder 0 1 =2 = ln 2 =ln 2 Ergebnis:6= ln 2,ln 3 7 Aufgaben Aufgabe 1: Löse die Gleichung :=1; 0. Aufgabe 2: Löse die Gleichung < = > =0. Aufgabe 3: Bestimmen Sie für 0 2die Lösungsmenge der Gleichung cos 2cos 3=0. 8 Lösung Aufgabe :=1 6+ = 6=0 Ersetze 2:= 2 2 6=0 p-q-formel 2, = ± + 2,= ±< 2 =3; 2 = 2 Rückersetzung: =3 = 3; = 3 = 2 B = 2 Ergebnis:6= 3, 3 6
3 9 Lösung Aufgabe < = e 8 15 =0 = > Ersetze =0 p-q-formel 2, =1± , =1±4 2 =5; 2 = 3 Rückersetzung: 0 8 =5 =ln = 3geht nicht, da 0 8 keine negativen Werte annimmt! Ergebnis:6= ln 5 Lösung Aufgabe cos 2cos 3=0. Ersetze 2 cos =0 p-q-formel 2, =1± 1+3 2, =1±2 2 =3; 2 = 1 Rückersetzung: cos =3geht nicht, das cos ()nur Werte zwischen 1 und 1 annimmt. cos = 1 = (beachte, dass 0 2gelten soll). Ergebnis:6= cos π 2π 11 Funktionsterme bestimmen Bestimme den Funktionsterm von G anhand folgender Angaben: G ist ganzrational 3ten Grades und berührt die -Achse im Ursprung. H 11 ist ein Hochpunkt. Vorgehensweise: Eine Funktion 3ten Grades hat allgemein die Form G()= B + +I+J. Gesucht sind also konkrete Werte für,, Iund J. Leite aus allen Infos aus der Aufgabe Gleichungen her und löse das entstehende Gleichungssystem. Das liefert schließlich G(). 12 Lösung G = B + +I+J G K =3 +2+I G berührt die -Achse im Ursprung, d.h. (0 0)liegt auf dem Graphen von G, also gilt G(0)=0, d.h. J=0. G berührt die -Achse im Ursprung, d.h. G hat im Ursprung eine waagrechte Tangente, also gilt G (0)=0, d.h. I=0. H 11 ist ein Hochpunkt, d.h. (1 1)liegt auf dem Graphen von G(), also gilt G(1)=1und damit ++I+J=1. Wegen I=0und J=0folgt +=1. H 11 ist ein Hochpunkt, d.h. G()hat im Punkt (1 1)eine waagrechte Tangente, also gilt G (1)=0und damit 3+2+I=0. Wegen I=0folgt 3+2=0.
4 Lösung Zuordnung SchaubildFunktionsterm Nun muss nur noch das folgende LGS gelöst werden: N.+=1und NN.3+2=0. Aus N.erhält man =1. Einsetzen in NN.liefert 3 (1 )+2=0also 3 =0und damit =3und weiter = 2. Inzwischen haben wir = 2, =3, I=0und J=0. Ergebnis: Der gesuchte Funktionsterm lautet G()= 2 B +3. In den Pflichtteilaufgaben (Aufgabe 5) kommt es vor, dass man Schaubilder Funktionstermen zuordnen soll. Es kommt auch vor, dass man zu einem Schaubild einen Funktionsterm angeben soll. In den Wahlteilen wird zuweilen die Frage gestellt, wie ein Funktionsterm aus einem anderen entsteht. Hierfür benötigen Sie eine gute Vorstellung davon, wie sich Nullstellen, Extrempunkte, Asymptoten, Verschiebungen in - bzw. in -Richtung im Funktionsterm darstellen. Verschiebungen in -Richtung Verschiebung in -Richtung 15 Es sei G()eine Funktion, dann stellt G(+)eine Verschiebung von G()in -Richtung dar. Für >0handelt es sich um eine Verschiebung um nach links, für <0ist es eine Verschiebung um a nach rechts. G = G = 16 Es sei G() eine Funktion, dann stellt G()+eine Verschiebung von G()in -Richtung dar. Für >0handelt es sich um eine Verschiebung um nach oben, für <0ist es eine Verschiebung um nach unten. G = +2 G = G = +2 G = 2
5 StreckungStauchungSpiegelung Spiegelungen Es sei G() eine Funktion, dann stellt G = G =2 Spiegelung an der -Achse: S T = T U U +V S T = T U U +V I G() eine Streckung in -Richtung dar, falls I>1bzw. um eine Stauchung, falls 0<I<1. Für I= 1ergibt sich eine G = G = 1 2 Es sei G()eine Funktion, dann stellt G( )die an der -Achse gespiegelte Funktion dar. S T = T V U + V U Spiegelung an der -Achse. Punktspiegelung (=Drehung um 180 ): S T = T V U V U Eine Punktspiegelung entsteht aus einer Spiegelung an der -Achse gefolgt von einer Spiegelung an der -Achse, G( ) stellt somit die am Ursprung um 180 gedrehte Funktion dar. Schwingungen Frequenz, Periode StreckungStauchungAmplitude Durch Einfügen eines Faktors I im Argument verändert sich die Frequenzder Schwingung. Für I>1erhöhtsich die Frequenz, für 0QIQ1 erniedrigt sie sich. Die Periode, also die Länge des Intervalls, in dem eine volle Schwingung durchgeführt wird ergibt sich durch die Formel: G sin 2! π * sin 0,5! 4π Wie bei allen anderen Funktionen ergibt sich durch Multiplikation mit einem Faktor eine Streckung oder Stauchung. Damit verändert sich die Amplitude(=Schwingungshöhe). G() = sin () )() = 0,5Rsin EF *EF 2Rsin EF WEF $2Rsin! 2π I
6 Funktionen mit Polstellen Nullstellen bei Polynomen Wenn G()bei = eine Polstelle haben soll, so brauchen Sie einen Nenner der Form 8XY Z. Für gerade Wergibt sich eine Polstelle ohne Vorzeichenwechsel, ungerade Wliefern eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel. S T = V T+U U S T = V T U Wenn der Graph einer Funktion mit [ Nullstellen vorgelegt ist, so kann man allgemein den Funktionsterm (x-x 1 ) k1 (x-x 2 ) k2 (x-x n ) k n ansetzen. Dabei bezeichnen die x i die jeweiligen Nullstellen und die k i deren Vielfachheiten. Bei ungeraden Potenzen hat die Nullstelle einen VZW, bei geraden nicht. S T = T+V T V U T U Zusammenfassung 23 Verschieben in -Richtung: G G + Verschieben in -Richtung: G G + StauchenStrecken in -Richtung: G I f Spiegeln an der -Achse: G G Spiegeln an der -Achse: G G Punktspiegelung am Ursprung: G G StauchenStrecken in -Richtung: G G I Schwingungen: Frequenz ändern G G I Amplitude ändern G I f
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