Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Vorkurs: Mathematik für Informatiker"

Transkript

1 Vorkurs: Mathematik für Informatiker Lösungen Wintersemester 2016/17

2 Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

3 Kapitel I: Mengen Aufgabe I-1 Es seien A = {5, 7, 9}, B = {5, 6, 7} und C = {1, 3, 5, 7, 9} gegeben. Es gilt: { } a) A B = 5, 6, 7, 9 { } A C = 5, 7, 9 = A { } C \ A = 1, 3 { } A B = 6, 9 { } b) A B C = 5, 7 { } c) P(B) =, {5}, {6}, {7}, {5, 6}, {5, 7}, {6, 7}, {5, 6, 7} { } d) A B = (5, 5), (5, 6), (5, 7), (7, 5), (7, 6), (7, 7), (9, 5), (9, 6), (9, 7) 3 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

4 Kapitel I: Mengen Aufgabe I-2 Es gilt: { } a) P( ) = b) P(P( )) = {, { }} 4 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

5 Kapitel III: Bruchrechnung Aufgabe III-1 a) = = 7 12 b) = = = c) = = 5 20 = 1 4 ( 6 d) 7 : 12 ) = = = 1 5 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

6 Kapitel III: Bruchrechnung Aufgabe III-2 a) 3 2 x 2 b) a 4 c) 1 36 d) 5 2 y e) a 3 f) 1 a 4 g) xy 2 h) b 10 c 3 a 3 6 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

7 Kapitel III: Bruchrechnung Aufgabe III-3a 3 2a 2 4ab = 3 2b (4ab 1) a + 2 4a2 b 4ab 4a 2 b = 6b 4a2 b + a + 8a 2 b 4a 2 b = 4a2 b + 6b + a 4a 2 b 7 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

8 Kapitel III: Bruchrechnung Aufgabe III-3b x x 2 xy y x 2 + xy x x 2 y 2 = = x x(x y) y x(x + y) x (x + y) y (x y) x x x(x + y)(x y) = x 2 + xy xy + y 2 x 2 x(x + y)(x y) = y 2 x(x + y)(x y) x (x + y)(x y) 8 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

9 Kapitel III: Bruchrechnung Aufgabe III-3c-d a 3b 5a a 2 1 a 2 6ab + 9b 2 = a 3b (5a + 1)(5a 1) 5a + 1 (a 3b) 2 = 5a 1 a 3b 2x 3 5x : 4x x 2 = 2x 3 10x 2 5x (2x + 3)(2x 3) = 2x 2x c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

10 Kapitel IV: Wurzel, Potenzen & Logarithmen Aufgabe IV-1 a) 27 b) 49 c) 125 d) 16 e) 36 f) c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

11 Kapitel IV: Wurzel, Potenzen & Logarithmen Aufgabe IV-2 a-b 7 x 6 y + 3 x 4 y = 10 x 10 y = = 5 5 = c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

12 Kapitel IV: Wurzel, Potenzen & Logarithmen Aufgabe IV-2 c-d 0, 1 0, 121 = 0, 0121 = 0, 11 (a b)(a + b) = a 2 b 12 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

13 Kapitel IV: Wurzel, Potenzen & Logarithmen Aufgabe IV-3 & IV-4 Aufgabe IV-3 a) r = 2 b) r = 5 Aufgabe IV-4 c) r = 1000 d) r = 1 16 a) r = 3 b) r = 1 c) r = = 4 d) r = c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

14 Kapitel IV: Wurzel, Potenzen & Logarithmen Aufgabe IV-5 n entspricht 1600 Jahren. Es gilt ( ) 1 n 10g = 1, 25g 2 ( 1 2 ) n = 1, 25g 10g = 1 8 Hieraus folgt direkt, dass n = 3 gilt. Es dauert also = 4800 Jahre, bis die 10g Radium 88 zu 1,25g zerfallen sind. 14 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

15 Kapitel V: Rechenregeln Aufgabe V-1, V-2 & V-3 Aufgabe V-1 Aufgabe V-2 a) a 11 b) 20x 7 c) 9z 9 d) 20x 6 a) a x b) x 2 2b Aufgabe V-3 c) 3 y 2 d) a 4 b 5+y a) x 4 b) x 3 5 c) a c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

16 Kapitel V: Rechenregeln Aufgabe V-4 a-b ( a ) log = log a log (2b) 2b = log a log b log 2 log ( a 3) ( ) + log b log ( ab 2) = 3 log a log b ( log a + 2 log b ) = 2 log a 3 2 log b 16 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

17 Kapitel V: Rechenregeln Aufgabe V-4 c-d ( ) ( ) 3 log a 2 1 log a + 2 log 7 a = 23 ( ( ) ) 1 log a log a + 2 log + log a 7 = 5 log a 2 log 7 3 log ( ) a 2 b 1 c = log ( ab 2 c 4) ac 3 b = log a 2 log b + 4 log c 17 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

18 Kapitel V: Rechenregeln Aufgabe V-4 e ( a 2 c + ac log ab c ) ( a 2 ) c + ac ac = log b ab ( a 2 ) c = log ab = log ( ab 1 c ) = log a log b + log c 18 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

19 Kapitel V: Grundlegende Rechengesetze Aufgabe VII-1 Die folgenden Operationen sind assoziativ: Addition Multiplikation Die restlichen Operationen sind nicht assoziativ. 19 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

20 Kapitel V: Grundlegende Rechengesetze Aufgabe VII-2 Die folgenden Operationen sind kommutativ: Addition Multiplikation Die restlichen Operationen sind nicht kommutativ. 20 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

21 Kapitel XI: Das Summenzeichen Aufgabe XI-1 1 k 4 1 i 10 i: gerade 0 j 10 j: ungerade 1 j 15 j: Primzahl 1 k 50 k: Quadratzahl a k = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 a i = a 2 + a 4 + a 6 + a 8 + a 10 2 j = b j = b 2 + b 3 + b 5 + b 7 + b 11 + b 13 a k = a 1 + a 4 + a 9 + a 16 + a 25 + a 36 + a c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

22 Kapitel XI: Das Summenzeichen Aufgabe XI-2 a) wahr b) falsch c) wahr d) falsch 22 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

23 Kapitel XII: Polynome Aufgabe XII-1 a-c a(x) + b(x) = x 3 + 2x 2 4x + 5 a(x) b(x) = x 3 + 2x 2 6x + 1 a(x) b(x) = x 4 + 2x 3 + 2x 3 + 4x 2 5x 2 10x + 3x + 6 = x 4 + 4x 3 x 2 7x c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

24 Kapitel XII: Polynome Aufgabe XII-1 d Es gilt x 3 +2x 2 5x +3 : (x + 2) = x 2 5 (x 3 +2x 2 ) 5x +3 ( 5x 10) 13 x 3 + 2x 2 5x + 3 = (x 2 5) (x + 2) c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

25 Kapitel XIII: Gleichungen & Gleichungssysteme Aufgabe XIII-1 a) x = 5 4 y = 15 8 b) x = 1 y = 3 c) x = 1 y = 2 25 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

26 Kapitel XIII: Gleichungen & Gleichungssysteme Aufgabe XIII-2 a Es ergibt sich das folgende Gleichungssystem (p = Paul; v = Vater): p + v = 33 p + 30 = 1 2( v + 30 ). Umformen und Auflösen des Gleichungssystems ergibt p = 1 und v = c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

27 Kapitel XIII: Gleichungen & Gleichungssysteme Aufgabe XIII-2 b Es ergibt sich das folgende Gleichungssystem (m i = Michael; m u = Mutter): m i = 1 2 m u m i m u + 2 = 100. Umformen und Auflösen des Gleichungssystems ergibt m i = 32 und m u = c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

28 Kapitel XIII: Gleichungen & Gleichungssysteme Aufgabe XIII-3 a) x 1 = 4 sowie x 2 = 2 b) x 1 = 7 sowie x 2 = 7 c) x 1 = 0 sowie x 2 = 1 3 d) x 1 = 0 sowie x 2 = e) x 1 = 49 sowie x 2 = 49 f) keine Lösung 28 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

29 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-1 Es sei n eine ungerade ganze Zahl. Dann lässt sich n als n = 2k +1 darstellen, wobei k eine ganze Zahl ist. Daraus folgt mithilfe der ersten binomischen Formel: n 2 = ( 2k + 1 ) 2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2 (2k 2 + 2k ) +1. }{{} Z Aus dieser Darstellung folgt, dass n 2 ungerade ist. 29 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

30 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-2 Man berechnet zunächst die doppelte Summe. Der erste und der letzte, der zweite und der vorletzte, der dritte und der vorvorletzte (usw.) Summand ergeben in der Summe stets n + 1: 2 ( ) (n 1) + n = ( 1 + n ) + = n (n + 1 ) ( 2 + (n 1) ) ( n + 1 ) Damit wir die einfache Summe erhalten, teilen wir diesen Ausdruck durch 2 und erhalten: n = n(n + 1). 2 Diese Aufgabe (samt Lösung) ist auch als der kleine Gauß bekannt. 30 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

31 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-3 Nach dem Schubfachprinzip existieren (unter Zuhilfenahme des Hinweises) 1 Million verschiedene Möglichkeiten für die Anzahl an Kopfhaaren. Da Hamburg derzeit etwa 1,8 Millionen Einwohner hat, müssen folglich mindestens 2 dieselbe Anzahl an Haaren auf dem Kopf haben. 31 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

32 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-4 I Wir wollen annehmen, dass die Behauptung falsch ist, d.h., wir nehmen an, dass es ein a Q gibt, für das a 2 = 3 gilt. Diese Annahme führen wir zum Widerspruch, woraus folgt, dass die ursprüngliche Aussage richtig sein muss. Da a Q gilt, lässt sich a als Bruch darstellen, d.h., a = m n für m, n Z mit n 0. Wir können o.b.d.a. voraussetzen, dass der Bruch m n in vollständig gekürzter Form vorliegt. Aus a2 = 3 und a = m n folgt ( ) m 2 n = 3, woraus folgt: m 2 = 3n c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

33 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-4 II Folglich ist m 2 eine durch 3 teilbare Zahl. Dann ist folglich auch m eine durch 3 teilbare Zahl, d.h., m = 3k für ein k Z. Dies folgt aus der Eigenschaft, dass es sich bei 3 um eine Primzahl handelt. Setzt man dies in m 2 = 3n 2 ein, so folgt 9k 2 = 3n 2, woraus n 2 = 3k 2 folgt. Also ist n 2 eine durch 3 teilbare Zahl, woraus folgt, dass auch n durch 3 ist. Demnach gilt n = 3k für ein k Z. Wir haben also m = 3k und n = 3k gezeigt. Dies ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, dass in vollständig gekürzter Form vorliegt. m n Die Annahme 3 Q wurde zum Widerspruch geführt, womit die ursprüngliche Aussage 3 / Q bewiesen ist. 33 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

34 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-5 Angenommen, es gibt nur endlich viele Primzahlen p 1,..., p n. Man multipliziert die Primzahlen p 1,..., p n und addieren 1: p = p 1... p n + 1. Die so entstandene Zahl p ist durch keine der Primzahlen p 1,..., p n teilbar. Wegen p > 1 besitzt p also entweder einen Primfaktor, der nicht in p 1,..., p n enthalten ist, oder ist selbst eine Primzahl. Beide Fälle stellen einen Widerspruch zur Annahme dar, dass p 1,..., p n alle existierenden Primzahlen sind. Dies beweist, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. 34 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

35 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-6 I Beweis: Mit vollständiger Induktion lässt sich zeigen, dass A(n) nicht nur für bestimmte n N, sondern für alle n N gilt: (I) Induktionsanfang A(1) ist richtig, da 1 3 = 12 (1 + 1) 2 4 gilt. 35 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

36 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-6 II (II) Induktionsschritt Es sei n N eine beliebig gewählte natürliche Zahl; wir setzen voraus, dass A(n) für dieses n richtig ist, d.h., es gelte für dieses n: n i 3 = n2( n + 1 ) 2. ( ) 4 i=1 Wir haben zu zeigen, dass unter dieser Voraussetzung auch A(n + 1) richtig ist, d.h., wir müssen Folgendes nachweisen: n+1 i 3 = i=1 ( n + 1 ) 2 ( n + 2 ) c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

37 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-6 III Dies ergibt sich durch folgende Rechnung: n+1 i 3 = i=1 ( ) = Zusammenfassen = (n+1) 2 ausklammern = = n i 3 + ( n + 1 ) 3 i=1 n 2( n + 1 ) 2 + ( n + 1 ) 3 4 n 2( n + 1 )2 + 4 ( n + 1 ) 3 4 ( ) 2 ( n + 1 n 2 + 4n + 4 ) 4 ( ) 2 ( ) 2 n + 1 n + 2 Damit sind (I) und (II) gezeigt; nach dem Induktionsprinzip gilt A(n) also für alle n N c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

38 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-7 I Beweis: Mit vollständiger Induktion lässt sich zeigen, dass A(n) nicht nur für bestimmte n N, sondern für alle n N gilt: (I) Induktionsanfang A(0) ist richtig, da = 1 = ( ) 2 gilt. 38 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

39 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-7 II (II) Induktionsschritt Es sei n N eine beliebig gewählte natürliche Zahl; wir setzen voraus, dass A(n) für dieses n richtig ist, d.h., es gelte für dieses n: n ( ) ( ) 2 2i + 1 = n + 1. ( ) i=0 Wir haben zu zeigen, dass unter dieser Voraussetzung auch A(n + 1) richtig ist, d.h., wir müssen Folgendes nachweisen: n+1 ( ) ( ) 2. 2i + 1 = n + 2 i=0 39 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

40 Kapitel XV: Beweistechniken Aufgabe XV-7 III Dies ergibt sich durch folgende Rechnung: n+1 ( ) 2i + 1 i=0 = n ( ) ( ) 2i n + 3 i=0 ( ) = ( n + 1 ) 2 ( ) + 2n + 3 = n 2 + 2n n + 3 = n 2 + 4n + 4 = ( n + 2 ) 2 Damit sind (I) und (II) gezeigt; nach dem Induktionsprinzip gilt A(n) also für alle n N. 40 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

41 Kapitel XVI: Vektoren Aufgabe XVI-1 a) Es ergibt sich: a + b = a b = b a = b) Es gilt a R 3 und b R 2. Da nur Vektoren gleicher Dimension addiert/subtrahiert werden können, ist diese Aufgabe nicht lösbar. 41 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

42 Kapitel XVI: Vektoren Aufgabe XVI-2 Es ist Hieraus folgt v = 6 v = v 1 v 2 + 3v 3 = 3. 9 ( 6) = 126 = c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

43 Kapitel XVI: Vektoren Aufgabe XVI-3 Zwei Vektoren sind genau dann senkrecht zueinander (orthogonal), wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist. Es gilt v 1 v 2 = 4 ( 2) + ( 2) = 16. Die beiden Vektoren v 1 und v 2 sind also nicht senkrecht zueinander. 43 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

44 Kapitel XVI: Vektoren Aufgabe XVI-4 a) Es gilt a b = 3 ( 1) ( 1) 2 = 0 a c = 3 ( 6) + 1 ( 2) + ( 1) 2 = 22 b c = ( 1) ( 6) + 5 ( 2) = 0. Es gilt also a b sowie b c. a und c sind nicht orthogonal. b) c = a b ist senkrecht zu a und senkrecht zu b. c ist der zu c gehörende normierte Vektor: 7 c = a b = 5 c = c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

45 Kapitel XVII: Geraden Aufgabe XVII-1 Aufstellen der Geradengleichung für die Gerade durch P 1 und P 2 ergibt x 2 = 1 2 x Durch Umstellen ergibt sich die gesuchte Koordinatenform: 1 2 x 1 + x 2 2 = c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

46 Kapitel XVII: Geraden Aufgabe XVII-2 Aufstellen der Geradengleichung für die Gerade durch P 1 und P 2 ergibt x 2 = 1 2 x 1. Durch Umstellen ergibt sich die gesuchte Koordinatenform: Einsetzen von P 3 ergibt 1 2 x 1 + x 2 = , 5 = 0, P 3 liegt also nicht auf der Geraden. Folglich liegen P 1, P 2 und P 3 nicht auf derselben Geraden. 46 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

47 Kapitel XVII: Geraden Aufgabe XVII-3 Als Parameterform ergibt sich sofort x = ) 0P1 + t (P 2 P 1 = ( 2 3 ) + t ( ) 2 1 (t R). Aus dem Richtungsvektor ( ) der Parameterdarstellung lässt sich der 1 Normalenvektor direkt ablesen. Für die Normalenform ergibt 2 sich folglich ( ) ( 1 x 2 ( )) 2 = c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

48 Kapitel XVIII: Ebenen Aufgabe XVIII-1 Als Parameterform ergibt sich sofort x = ( ) ( ) A+s B A +t C A = 4 +s 5 +t (s, t R). Aus den beiden Spannvektoren ermittelt man mittels Kreuzprodukt einen Normalenvektor der Ebene: n = = Hieraus folgt die Normalenform der Ebene: x 4 = c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

49 Kapitel XVIII: Ebenen Aufgabe XVIII-2 Es lassen sich leicht 3 Punkte der Ebene bestimmen, beispielsweise P 1 = (0, 0, 4), P 2 = (0, 4, 0) und P 3 = ( 2, 0, 0). Hieraus ergibt sich die folgende Parameterform der Ebene (mit s, t R): x = ) ) 0P1 + s (P 2 P 1 + t (P 3 P 1 = s t Die Normalenform kann man direkt aus der Koordinatenform ablesen: 2 1 x + 4 = c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

50 Kapitel XVIII: Ebenen Aufgabe XVIII-3 Zunächst erstellt man die Koordinatenform der Ebene: x 1 2x 2 4 = 0. Hieraus lassen sich leicht 3 Punkte der Ebene bestimmen, beispielsweise P 1 = (8, 2, 0), P 2 = (0, 2, 0) und P 3 = (4, 0, 0). Dies ergibt zum Beispiel die folgende Parameterform der Ebene (für s, t R): x = ) ) P1 +s (P 1 P 2 +t (P 1 P 3 = 2 +s 4 +t c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

51 Kapitel XIX: Wiederholungen Aufgabe XIX-1 a-b ( a ) log = log a log (2b) 2b = log a log b log 2 ( a ) log log ( b 1) ( ) a 2 + log = log a 2 log b + log b + 2 log a + log b b 2 b 1 = 3 log a 51 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

52 Kapitel XIX: Wiederholungen Aufgabe XIX-1 c ( ) ( ) 3 log a 2 1 log a + 2 log 7 a = 23 ( ( ) ) 1 log a log a + 2 log + log a 7 = 5 log a 2 log c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

53 Kapitel XIX: Wiederholungen Aufgabe XIX-2 a 3 a 3 a 1 = a 1 (x 4 z 3 ) 2 x 6 z 2 = x 8 z 6 x 6 z 2 = x 2 z 4 7a 4 b 6 b 3 49a 8 = b 3 7a 4 = 1 7 a 4 b 3 53 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

54 Kapitel XIX: Wiederholungen Aufgabe XIX-3 ( (1 ) ) 0,5 x = Setzt man x = 6 ein, erhält man: 2 ( ) = ( 1 2 ( ) x 2 ) 3 = 1 8 Analog erhält man für b) x = 2 sowie für c) x = c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

55 Kapitel XIX: Wiederholungen Aufgabe XIX-4 Eine Funktion ist periodisch, wenn sie sich auf dem gesamten Definitionsbereich in regelmäßigen Abständen wiederholt. Periode von sin x: 2π Periode von cos 2x: π Periode von sin 1 3x: 6π 55 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

56 Kapitel XIX: Wiederholungen Aufgabe XIX-5 a) x 1 = b) keine Lösung sowie x 2 = c) Durch Ausprobieren erhält man die erste Nullstelle x 1 = 1. Anschließende Polynomdivision und pq-formel ergibt die restlichen Nullstellen: x 2 = 1 sowie x 3 = c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

57 Kapitel XIX: Wiederholungen Aufgabe XIX-6 Zunächst bestimmt man das Skalarprodukt von a und b und setzt dieses gleich 0. 0 = x. Umstellen nach x ergibt: x = 2 3. Für x = 2 3 sind die beiden Vektoren senkrecht zueinander. 57 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Steven Köhler, Anja Moldenhauer, Marcel Morisse

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Steven Köhler, Anja Moldenhauer, Marcel Morisse Vorkurs: Mathematik für Informatiker Steven Köhler, Anja Moldenhauer, Marcel Morisse Wintersemester 2014/15 Aufgaben I-1. Es seien die folgenden Mengen A = {5,7,9}, B = {5,6,7} und C = {1,3,5,7,9} gegeben.

Mehr

Vorkurs: Mathematik für Informatiker

Vorkurs: Mathematik für Informatiker Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 3 Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil

Mehr

Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen

Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen Michael Goerz 8. April 006 Inhalt Vektoren, Geraden und Ebenen. Länge eines Vektors.......................... Skalarprodukt..............................

Mehr

Basistext Geraden und Ebenen

Basistext Geraden und Ebenen Basistext Geraden und Ebenen Parameterdarstellung Geraden Eine Gerade ist durch zwei Punkte P und Q, die auf der Geraden liegen, eindeutig festgelegt. Man benötigt zur Darstellung den Vektor. Dieser wird

Mehr

Mathematik Analytische Geometrie

Mathematik Analytische Geometrie Mathematik Analytische Geometrie Grundlagen:. Das -Dimensionale kartesische Koordinatensystem: x x x. Vektoren und Ortsvektoren: a x = x x ist ein Vektor, der eine Verschiebung um x -Einheiten in x-richtung,

Mehr

Übungen Mathematik I, M

Übungen Mathematik I, M Übungen Mathematik I, M Übungsblatt, Lösungen (Stoff aus Mathematik 0) 09.0.0. Kommissar K hat 3 Tatverdächtige P, Q und R. Er weiß: (a) Wenn sich Q oder R als Täter herausstellen, dann ist P unschuldig.

Mehr

ELEMENTAR-MATHEMATIK

ELEMENTAR-MATHEMATIK WILLERS ELEMENTAR-MATHEMATIK Ein Vorkurs zur Höheren Mathematik 13., durchgesehene Auflage von Dr.-Ing. G. Opitz und Dr. phil. H. Wilson Mit 189 Abbildungen VERLAG THEODOR STEINKOPFF DRESDEN 1968 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Zusammenfassung der Analytischen Geometrie

Zusammenfassung der Analytischen Geometrie Zusammenfassung der Analytischen Geometrie 1. Rechnen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, S-Multiplikation, Linearkombinationen) 1. Gegeben sind die Punkte A(2-6 ) und B(-1 14-4), 4 4 sowie die Vektoren

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume

Mehr

Donnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl.

Donnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl. Unterräume und Lineare Hülle 59 3. Unterräume und Lineare Hülle Definition.1 Eine Teilmenge U eines R-Vektorraums V heißt von V, wenn gilt: Unterraum (U 1) 0 U. (U ) U + U U, d.h. x, y U x + y U. (U )

Mehr

Gleichungen und Ungleichungen

Gleichungen und Ungleichungen Gleichung Eine Gleichung erhalten wir durch Gleichsetzen zweier Terme. Kapitel 3 Gleichungen und Ungleichungen linke Seite = rechte Seite Grundmenge: Menge aller Zahlen, die wir als Lösung der Gleichung

Mehr

Elementare Beweismethoden

Elementare Beweismethoden Elementare Beweismethoden Christian Hensel 404015 Inhaltsverzeichnis Vortrag zum Thema Elementare Beweismethoden im Rahmen des Proseminars Mathematisches Problemlösen 1 Einführung und wichtige Begriffe

Mehr

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den Fachbereich Mathematik Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Mittwoch den 8.9.011 Vorkurs Mathematik WS 011/1 Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwerer. Dort braucht

Mehr

Abiturprüfung Mathematik 0 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f() = ( sin() + 7) 5. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie eine Stammfunktion

Mehr

2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z).

2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z). 17 Wir setzen in diesem Buch die reellen Zahlen als gegeben voraus. Um auf sicherem Boden zu stehen, werden wir in diesem und den folgenden Paragraphen einige Axiome formulieren, aus denen sich alle Eigenschaften

Mehr

Themen: Kubische Gleichungen, Ungleichungen, Induktion

Themen: Kubische Gleichungen, Ungleichungen, Induktion Lo sungen zu U bungsblatt Mathematik fu r Ingenieure Maschinenbauer und Sicherheitstechniker), 1. Semester, bei Prof. Dr. G. Herbort im WiSe1/14 Dipl.-Math. T. Pawlaschyk, 05.11.1 Themen: Kubische Gleichungen,

Mehr

Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag

Brückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag Brückenkurs Mathematik Dienstag 29.09. - Freitag 9.10.2015 Vorlesung 2 Mengen, Zahlen, Logik Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Mittwoch 30.09.2015 Mengen.................................

Mehr

Mathematik Zusammenfassung JII.1 #1

Mathematik Zusammenfassung JII.1 #1 Mathematik Zusammenfassung JII.1 #1 Ableiten Definition Eine Ableitung zeigt die Steigung einer Funktion an einer bestimmten Stelle x an. Hier sind die Funktion und ihre Ableitung dargestellt. Möchte ich

Mehr

Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg

Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz wwwmathe-aufgabencom September 6 Abituraufgaben (Haupttermin) Aufgabe

Mehr

Analytische Geometrie II

Analytische Geometrie II Analytische Geometrie II Rainer Hauser März 212 1 Einleitung 1.1 Geradengleichungen in Parameterform Jede Gerade g in der Ebene oder im Raum lässt sich durch einen festen Punkt auf g, dessen Ortsvektor

Mehr

Analytische Geometrie I

Analytische Geometrie I Analytische Geometrie I Rainer Hauser Januar 202 Einleitung. Geometrie und Algebra Geometrie und Algebra sind historisch zwei unabhängige Teilgebiete der Mathematik und werden bis heute von Laien weitgehend

Mehr

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den x > 1 3x > 3 3x + 3 > 6 6x + 3 > 3x + 6.

Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den x > 1 3x > 3 3x + 3 > 6 6x + 3 > 3x + 6. Fachbereich Mathematik Aufgaben und Lösungen zum Vorkurs Mathematik: Beweismethoden Für Donnerstag den 7.9.01 Vorkurs Mathematik WS 01/13 Die mit * gekennzeichneten Aufgaben sind etwas schwerer. Dort braucht

Mehr

Arbeitsblatt Gleichungen höheren Grades

Arbeitsblatt Gleichungen höheren Grades Mathematik-Service Dr. Fritsch www.math-service.de Tel. 061/776 Arbeitsblatt Gleichungen höheren Grades 1. Lösen Sie folgenden quadratischen Gleichungen mittels quadratischer Ergänzung! (a) x x + = 0 (b)

Mehr

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56

5.1 Drei wichtige Beweistechniken... 55 5.2 Erklärungen zu den Beweistechniken... 56 5 Beweistechniken Übersicht 5.1 Drei wichtige Beweistechniken................................. 55 5. Erklärungen zu den Beweistechniken............................ 56 Dieses Kapitel ist den drei wichtigsten

Mehr

Faktorisierung bei Brüchen und Bruchtermen

Faktorisierung bei Brüchen und Bruchtermen Faktorisierung bei Brüchen und Bruchtermen Rainer Hauser Mai 2016 1 Einleitung 1.1 Rationale Zahlen Teilt man einen Gegenstand in eine Anzahl gleich grosse Stücke, so bekommt man gebrochene Zahlen, die

Mehr

Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5

Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5 Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 5 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester 2012 c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe 1: Berechnen Sie den Abstand d der Punkte P 1 und

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 20

Aufgaben zu Kapitel 20 Aufgaben zu Kapitel 20 Aufgaben zu Kapitel 20 Verständnisfragen Aufgabe 20 Sind die folgenden Produkte Skalarprodukte? (( R ) 2 ( R 2 )) R : v w,, v v 2 w w 2 (( R ) 2 ( R 2 )) R : v w, 3 v v 2 w w + v

Mehr

Induktion und Rekursion

Induktion und Rekursion Induktion und Rekursion Induktion und Rekursion Vorkurs Informatik Theoretischer Teil WS 013/14. Oktober 013 Vorkurs Informatik WS 013/14 1/1 Vollständige Induktion Vorkurs Informatik WS 013/14 /1 Ziel

Mehr

Aufgaben mit Ebenen. Parameterform Normalenform Koordinatenform. Darstellung = + r + s =0 ax 1 + bx 2 + cx 3 = d. Beispiel

Aufgaben mit Ebenen. Parameterform Normalenform Koordinatenform. Darstellung = + r + s =0 ax 1 + bx 2 + cx 3 = d. Beispiel Aufgaben mit Ebenen Parameterform Normalenform Koordinatenform Spurpunkte Zur grafischen Darstellung der Ebene die Spurpunkt berechnen. Zwei Koordinaten gleich 0 setzen und jeweils die dritte ausrechnen.

Mehr

Fachwissenschaftliche Grundlagen

Fachwissenschaftliche Grundlagen Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 9. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 9. Vorlesung 1 / 17 Themen

Mehr

Übungen zu Zahlentheorie für TM, SS 2013

Übungen zu Zahlentheorie für TM, SS 2013 Übungen zu Zahlentheorie für TM, SS 2013 zusammengestellt von Johannes Morgenbesser Übungsmodus: Ausarbeitung von 10 der Beisiele 1 38, 5 der Beisiele A O und 15 der Beisiele i xxxi. 1. Zeigen Sie, dass

Mehr

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8 2. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN

Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8 2. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 8. Semester ARBEITSBLATT 8 DIE REELLEN ZAHLEN Bisher kennen wir bereits folgende Zahlenbereiche: N Natürliche Zahlen Z Ganze Zahlen Q Rationale Zahlen Bei

Mehr

$Id: integral.tex,v /05/05 14:57:29 hk Exp hk $ ln(1 + t) 2 = ln 2 ln 3 + ln 2 = ln

$Id: integral.tex,v /05/05 14:57:29 hk Exp hk $ ln(1 + t) 2 = ln 2 ln 3 + ln 2 = ln $Id: integral.tex,v.5 2009/05/05 4:57:29 hk Exp hk $ 2 Integralrechnung 2.3 Die Integrationsregeln Wir wollen noch eine letzte kleine Anmerkung zur Substitutionsregel machen. Der letzte Schritt bei der

Mehr

Gruber I Neumann. Erfolg in VERA-8. Vergleichsarbeit Mathematik Klasse 8 Gymnasium

Gruber I Neumann. Erfolg in VERA-8. Vergleichsarbeit Mathematik Klasse 8 Gymnasium Gruber I Neumann Erfolg in VERA-8 Vergleichsarbeit Mathematik Klasse 8 Gymnasium . Zahlen Zahlen Tipps ab Seite, Lösungen ab Seite 0. Zahlen und Zahlenmengen Es gibt verschiedene Zahlenarten, z.b. ganze

Mehr

1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt

1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt Version vom 4. Januar 2007 Gleichungen von Geraden in der Ebene 1999 Peter Senn * 1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt In dieser Form lautet die Gleichung der Geraden wie folgt: g:

Mehr

Aufgabensammlung Vorkurs Mathematik für Studierende technischer Fächer und für Studierende der Chemie

Aufgabensammlung Vorkurs Mathematik für Studierende technischer Fächer und für Studierende der Chemie Dr. Michael Stiglmayr Teresa Schnepper, M.Sc. WS 014/015 Bergische Universität Wuppertal Aufgabensammlung Vorkurs Mathematik für Studierende technischer Fächer und für Studierende der Chemie Aufgabe 1

Mehr

Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010

Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2010, Version vom 7. Mai 2010 Aufgabensammlung aus Mathematik 2 UMIT, SS 2, Version vom 7. Mai 2 I Aufgabe I Teschl / K 3 Zerlegen Sie die Zahl 8 N in ihre Primfaktoren. Aufgabe II Teschl / K 3 Gegeben sind die natürliche Zahl 7 und

Mehr

Analytische Geometrie - Schnittwinkel. u 1, u 2 Richtungsvektoren der Geraden

Analytische Geometrie - Schnittwinkel. u 1, u 2 Richtungsvektoren der Geraden Analytische Geometrie - Schnittwinkel. Möglichkeiten und Formeln Gerade / Gerade: cos( ) = u u 2 u u 2 Gerade / Ebene: sin( ) = n u n u Ebene / Ebene: cos( ) = n n 2 n n 2 u, u 2 Richtungsvektoren der

Mehr

Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen

Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch. Januar Inhaltsverzeichnis Punkte:Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt. Aufgaben....................................................

Mehr

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen mit Hilfe der Normalenform

Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen mit Hilfe der Normalenform Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen mit Hilfe der Normalenform Bernhard Scheideler Albrecht-Dürer-Gymnasium Hagen Hilfen zur Analytischen Geometrie (). Dezember 0 Inhalt: Die Lagebeziehungen zwischen

Mehr

Reihen/Partialsummenfolgen und vollständige Induktion. Robert Klinzmann

Reihen/Partialsummenfolgen und vollständige Induktion. Robert Klinzmann Reihen/Partialsummenfolgen und vollständige Induktion Robert Klinzmann 3. Mai 00 Reihen / Partialsummen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Vorwort Das Prinzip der vollständigen Induktion 3 3 Herleitung der Gauß schen

Mehr

Wiederholung Vorlesungen 1 bis 8

Wiederholung Vorlesungen 1 bis 8 Wiederholung Vorlesungen 1 bis 8 Aufgabe 1 a) Sind die im Folgenden gegebenen Ausdrücke als Folge interpretierbar? Wenn ja, wie? i) 1,,4,8,16,3,64,..., ii)... 5, 3, 1,1,3,5,..., iii) 3,10,π,4, 1 7,10,1,14,16,18,...

Mehr

Zahlen und Funktionen

Zahlen und Funktionen Kapitel Zahlen und Funktionen. Mengen und etwas Logik Aufgabe. : Kreuzen Sie an, ob die Aussagen wahr oder falsch sind:. Alle ganzen Zahlen sind auch rationale Zahlen.. R beschreibt die Menge aller natürlichen

Mehr

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:

Aufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt: Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an

Mehr

Vorkurs Mathematik 2016

Vorkurs Mathematik 2016 Vorkurs Mathematik 2016 Natürliche Zahlen Der grundlegende Zahlenbereich ist die Menge der natürlichen Zahlen N = {1, 2, 3,...}. In vielen Fällen ist es sinnvoll die Zahl 0 mit einzubeziehen: N 0 = N [

Mehr

Wiwi-Vorkurs Mathematik (Uni Leipzig, Fabricius)

Wiwi-Vorkurs Mathematik (Uni Leipzig, Fabricius) Wiwi-Vorkurs Mathematik (Uni Leipzig, Fabricius) 1 Grundregeln des Rechnens 1.1 Zahlbereiche......... Zahlen N {1, 2, 3,...}......... Zahlen Z {..., 2, 1, 0, 1, 2,...}......... Zahlen Q { a b a Z, b N}.........

Mehr

Terme und Aussagen und

Terme und Aussagen und 1 Grundlagen Dieses einführende Kapitel besteht aus den beiden Abschnitten Terme und Aussagen und Bruchrechnung. Die Erfahrung zeigt, dass diese Dinge zwar in der Schule gelehrt und gelernt werden, dass

Mehr

Induktion und Rekursion

Induktion und Rekursion Mathematische Beweistechniken Vorkurs Informatik SoSe13 10. April 013 Mathematische Beweistechniken Ziel Mathematische Beweistechniken Ziel beweise, dass eine Aussage A(n) für alle n N gilt. Beispiel Für

Mehr

Übungen Mathematik I, M

Übungen Mathematik I, M Übungen Mathematik I, M Übungsblatt, Lösungen (Stoff aus Mathematik 0).0.0. Berechnen Sie unter Verwendung des binomischen Lehrsatzes ( x + y) 7 Lösung: Nach dem binomischen Lehrsatz ist ( x + y) 7 = 7

Mehr

Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik

Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik UNIVERSITÄT ULM Institut für Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik Prof. Dr. Helmut Maier, Hans- Peter Reck Gesamtpunktzahl: 100

Mehr

Zahlentheorie I - Tipps & Lösungen. Aktualisiert: 15. Oktober 2016 vers Teilbarkeit

Zahlentheorie I - Tipps & Lösungen. Aktualisiert: 15. Oktober 2016 vers Teilbarkeit Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Zahlentheorie I - Tipps & Lösungen Aktualisiert: 15. Oktober 2016 vers. 1.2.0 1 Teilbarkeit Einstieg 1.1 Zeige, dass 900 ein Teiler von 10! ist. Tipp: Schreibe 900

Mehr

Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt)

Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) Name: Seite: 1 Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Lösungen Serie 6 (Vektorräume, Skalarprodukt) Dozent: R. Burkhardt Büro: 4.613 Klasse: 1. Studienjahr Semester: 1 Datum: HS 28/9

Mehr

Download. Basics Mathe Gleichungen mit Klammern und Binomen. Einfach und einprägsam mathematische Grundfertigkeiten wiederholen.

Download. Basics Mathe Gleichungen mit Klammern und Binomen. Einfach und einprägsam mathematische Grundfertigkeiten wiederholen. Download Michael Franck Basics Mathe Gleichungen mit Klammern und Binomen Einfach und einprägsam mathematische Grundfertigkeiten wiederholen Downloadauszug aus dem Originaltitel: Basics Mathe Gleichungen

Mehr

Ergänzungen zur Analysis I

Ergänzungen zur Analysis I 537. Ergänzungsstunde Logik, Mengen Ergänzungen zur Analysis I Die Behauptungen in Satz 0.2 über die Verknüpfung von Mengen werden auf die entsprechenden Regelnfür die Verknüpfung von Aussagen zurückgeführt.

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengang Bauingenieurwesen Dresden 2005 . Mengen Kenntnisse

Mehr

Abitur Mathematik Baden-Württemberg 2012

Abitur Mathematik Baden-Württemberg 2012 Abitur Mathematik: Baden-Württemberg 2012 Im sind keine Hilfsmittel zugelassen. Aufgabe 1 1. SCHRITT: STRUKTUR DER FUNKTION BESCHREIBEN Der Funktionsterm von f ist die Verkettung der Potenzfunktion g(x)

Mehr

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger. April Lennéstraße 43, 1. OG

Vorkurs Mathematik. JProf. Dr. Pia Pinger. April Lennéstraße 43, 1. OG Vorkurs Mathematik JProf. Dr. Pia Pinger Lennéstraße 43, 1. OG pinger@uni-bonn.de April 2017 JProf. Dr. Pia Pinger Vorkurs Mathematik April 2017 1 / 74 Ein paar Tipps vorab Be gritty : Perseverance and

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker II (Sommersemester 2004) Lösungen zu Aufgabenblatt

Mehr

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium

Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Hochschule für Technik und Wirtschaft Dresden (FH) Fachbereich Informatik/Mathematik Mathematikaufgaben zur Vorbereitung auf das Studium Studiengänge Allgemeiner Maschinenbau Fahrzeugtechnik Dresden 2002

Mehr

Zuammenfassung: Reelle Funktionen

Zuammenfassung: Reelle Funktionen Zuammenfassung: Reelle Funktionen 1 Grundlegendes a) Zahlenmengen IN = {1; 2; 3; 4;...} Natürliche Zahlen IN 0 = IN {0} Natürliche Zahlen mit 0 ZZ = {... ; 2; 1; 0; 1; 2;...} Ganze Zahlen Q = { z z ZZ,

Mehr

2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen

2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen 2. Spezielle anwendungsrelevante Funktionen (1) Affin-lineare Funktionen Eine Funktion f : R R heißt konstant, wenn ein c R mit f (x) = c für alle x R existiert linear, wenn es ein a R mit f (x) = ax für

Mehr

Mengen und Abbildungen

Mengen und Abbildungen Mengen und Abbildungen Der Mengenbegriff Durchschnitt, Vereinigung, Differenzmenge Kartesisches Produkt Abbildungen Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Vollständige Induktion Mengen und Abbildungen

Mehr

Kapitel 2 Algebra und Arithmetik. Inhalt

Kapitel 2 Algebra und Arithmetik. Inhalt Kapitel 2 Algebra und Arithmetik Seite 1 Inhalt 2.1 Zahlbereiche N, Z, Q, R 2.2 Terme und (Un-) Gleichungen Lineare und quadratische Gleichungen, Nullstellen von Polynomen und gebrochenrationalen Funktionen,

Mehr

00. Einiges zum Vektorraum R n

00. Einiges zum Vektorraum R n 00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker I (Wintersemester 2003/2004) Aufgabenblatt 9

Mehr

Mathematik und Logik

Mathematik und Logik Mathematik und Logik 5. Übungsaufgaben 2006-11-21 1. Beweisen Sie, daß die Aussage allgemeingültig ist. A = A Beweis. Dies ist ein Spezialfall von (((A = B) = B) = B) = (A = B), was wir wie folgt beweisen.

Mehr

Analytische Geometrie mit dem Voyage 1

Analytische Geometrie mit dem Voyage 1 Analytische Geometrie mit dem Voyage. Vektoren Vektoren lassen sich definieren in eckigen Klammern. Setzt man ein Semikolon zwischen die einzelnen Komponenten, so ergibt sich ein Spaltenvektor. Ein Spaltenvektor

Mehr

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Zentrum Mathematik PROF. DR.DR. JÜRGEN RICHTER-GEBERT, VANESSA KRUMMECK, MICHAEL PRÄHOFER Höhere Mathematik für Informatiker I Wintersemester 3/ Aufgabenblatt 6. Januar Präsenzaufgaben

Mehr

Lernzettel 2 für die Mathematikarbeit. 1. Erstellen einer Parametergleichung mit Hilfe von 3 Punkten:

Lernzettel 2 für die Mathematikarbeit. 1. Erstellen einer Parametergleichung mit Hilfe von 3 Punkten: Die Ebenenformen 1. Erstellen einer Parametergleichung mit Hilfe von 3 Punkten: P (4/7/3); Q(1/1/1); R(2/-2/) Ein Punkt dient als Stützvektor, die anderen beiden werden von diesem abgezogen und dienen

Mehr

Termumformungen. 2. Kapitel aus meinem Lehrgang ALGEBRA. Ronald Balestra CH St. Peter

Termumformungen. 2. Kapitel aus meinem Lehrgang ALGEBRA. Ronald Balestra CH St. Peter Termumformungen 2. Kapitel aus meinem Lehrgang ALGEBRA Ronald Balestra CH - 7028 St. Peter www.ronaldbalestra.ch e-mail: theorie@ronaldbalestra.ch 11. Oktober 2009 Überblick über die bisherigen ALGEBRA

Mehr

1 Übungen zu Mengen. Aufgaben zum Vorkurs B S. 1. Aufgabe 1: Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an:

1 Übungen zu Mengen. Aufgaben zum Vorkurs B S. 1. Aufgabe 1: Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an: Aufgaben zum Vorkurs B S. 1 1 Übungen zu Mengen Geben Sie folgende Mengen durch Aufzählen ihrer Elemente an: A = {x N 0 < x < 4, 8} B = {t N t ist Teiler von 4} C = {z Z z ist positiv, durch 3 teilbar

Mehr

Kapitel VI. Euklidische Geometrie

Kapitel VI. Euklidische Geometrie Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und

Mehr

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016

Aussagenlogik. Lehrstuhl für BWL, insb. Mathematik und Statistik Prof. Dr. Michael Merz Mathematik für Betriebswirte I Wintersemester 2015/2016 Aussagenlogik 1. Gegeben seien folgende Aussagen: A: 7 ist eine ungerade Zahl B: a + b < a + b, a, b R C: 2 ist eine Primzahl D: 7 7 E: a + 1 b, a, b R F: 3 ist Teiler von 9 Bestimmen Sie den Wahrheitswert

Mehr

Vorbereitungskurs Mathematik

Vorbereitungskurs Mathematik Vorbereitungskurs Mathematik Grundlagen für das Unterrichtsfach Mathematik für die Fachhochschulreifeprüfung Zweijährige Höhere Berufsfachschule Berufsoberschule I Duale Berufsoberschule Inhalt 0. Vorwort...

Mehr

1. Vereinfache wie im Beispiel: 3. Vereinfache wie im Beispiel: 4. Schreibe ohne Wurzel wie im Beispiel:

1. Vereinfache wie im Beispiel: 3. Vereinfache wie im Beispiel: 4. Schreibe ohne Wurzel wie im Beispiel: 1. Zahlenmengen Wissensgrundlage Aufgabenbeispiele Gib die jeweils kleinstmögliche Zahlenmenge an, welche die Zahl enthält? R Q Q oder All diejenigen Zahlen, die sich nicht mehr durch Brüche darstellen

Mehr

Tutorium: Diskrete Mathematik. Matrizen

Tutorium: Diskrete Mathematik. Matrizen Tutorium: Diskrete Mathematik Matrizen Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de Definition I Eine Matrix ist eine rechteckige Anordnung (Tabelle) von Elementen, mit denen man in bestimmter

Mehr

4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau

4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS /..-7.. Aufgabe G (Geraden im R ) Bestimmen

Mehr

1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen

1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen 3 Zahlentheorie. Kongruenzen Der letzte Abschnitt zeigte, daß es sinnvoll ist, mit großen Zahlen möglichst einfach rechnen zu können. Oft kommt es nicht darauf, an eine Zahl im Detail zu kennen, sondern

Mehr

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante

Serie 10: Inverse Matrix und Determinante D-ERDW, D-HEST, D-USYS Mathematik I HS 5 Dr Ana Cannas Serie 0: Inverse Matrix und Determinante Bemerkung: Die Aufgaben dieser Serie bilden den Fokus der Übungsgruppen vom und 5 November Gegeben sind die

Mehr

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?

Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt

Mehr

II. Wissenschaftliche Argumentation

II. Wissenschaftliche Argumentation Gliederung I. Motivation II. Wissenschaftliche Argumentation i. Direkter Beweis ii. iii. Indirekter Beweis Beweis durch vollständige Induktion Seite 35 II. Wissenschaftliche Argumentation Ein Beweis ist

Mehr

(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2

(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2 Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit

Mehr

WURZEL Werkstatt Mathematik Polynome Teil III oder Probleme lösen mit Quadratfunktionen

WURZEL Werkstatt Mathematik Polynome Teil III oder Probleme lösen mit Quadratfunktionen Die WURZEL Werkstatt Mathematik Polynome Teil III oder Probleme lösen mit Quadratfunktionen Es passiert im Alltagsgeschehen oft, dass mit Kanonen auf Spatzen geschossen wird. Auch in der Mathematik vor

Mehr

Schnupperkurs: Ausgewählte Methoden zur Aufgabenlösung

Schnupperkurs: Ausgewählte Methoden zur Aufgabenlösung Mathematisches Institut II.06.004 Universität Karlsruhe Priv.-Doz. Dr. N. Grinberg SS 05 Schnupperkurs: Ausgewählte Methoden zur Aufgabenlösung Vorlesung 3: Elementare Beweismethoden: Direkter Beweis,

Mehr

Grundwissen Mathematik

Grundwissen Mathematik Grundwissen Mathematik Algebra Terme und Gleichungen Jeder Abschnitt weist einen und einen teil auf. Der teil sollte gleichzeitig mit dem bearbeitet werden. Während die bearbeitet werden, sollte man den

Mehr

Addition, Subtraktion und Multiplikation von komplexen Zahlen z 1 = (a 1, b 1 ) und z 2 = (a 2, b 2 ):

Addition, Subtraktion und Multiplikation von komplexen Zahlen z 1 = (a 1, b 1 ) und z 2 = (a 2, b 2 ): Komplexe Zahlen Definition 1. Eine komplexe Zahl z ist ein geordnetes Paar reeller Zahlen (a, b). Wir nennen a den Realteil von z und b den Imaginärteil von z, geschrieben a = Re z, b = Im z. Komplexe

Mehr

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth

Lineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter

Mehr

Wiederholung Winkel. Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren

Wiederholung Winkel. Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren Wiederholung Winkel Das entscheidende Mittel zur Bestimmung von Winkeln ist das Skalarprodukt. Das Skalarprodukt lässt sich nämlich sehr komfortabel koordinatenweise berechnen, zugleich hängt es aber mit

Mehr

Fachwissenschaftliche Grundlagen

Fachwissenschaftliche Grundlagen Fachwissenschaftliche Grundlagen Vorlesung im Wintersemester 2011/2012, Universität Landau Roland Gunesch 8. Vorlesung Roland Gunesch (Mathematik) Fachwissenschaftliche Grundlagen 8. Vorlesung 1 / 25 Themen

Mehr

Dezimaldarstellung ganzer Zahlen (Division mit Rest) 1 Division mit Rest in der Hochschule

Dezimaldarstellung ganzer Zahlen (Division mit Rest) 1 Division mit Rest in der Hochschule Berufsfeldbezogenes Fachseminar - Zahlentheorie Lisa Laudan Prof. Dr. Jürg Kramer Wintersemester 2014/2015 Dezimaldarstellung ganzer Zahlen (Division mit Rest) 1 Division mit Rest in der Hochschule 1.1

Mehr

Polynomgleichungen. Gesetzmäßigkeiten

Polynomgleichungen. Gesetzmäßigkeiten Polynomgleichungen Gesetzmäßigkeiten Werden zwei Terme durch ein Gleichheitszeichen miteinander verbunden, so entsteht eine Gleichung. Enthält die Gleichung die Variable x nur in der 1. Potenz, so spricht

Mehr

2 Rationale und reelle Zahlen

2 Rationale und reelle Zahlen 2 Rationale und reelle Zahlen 2.1 Körper Ein Körper ist eine Struktur der Form à = (K,0,1,+, mit einer Grundmenge K, zwei zweistelligen Operationen + und, für die die Körperaxiome gelten: (K1 (K, 0, +

Mehr

Klausur HM I H 2005 HM I : 1

Klausur HM I H 2005 HM I : 1 Klausur HM I H 5 HM I : 1 Aufgabe 1 4 Punkte): Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion: n 1 1 + 1 ) k nn k n! für n. Lösung: Beweis mittels Induktion nach n: Induktionsanfang: n : 1 ) 1 + 1 k

Mehr

Quadrate und Wurzelziehen modulo p

Quadrate und Wurzelziehen modulo p Quadrate und Wurzelziehen modulo p Sei im Folgenden p eine Primzahl größer als. Wir möchten im Körper Z p Quadratwurzeln ziehen. Die Quadrierabbildung Q :Z p Z p ist aber nicht surjektiv, daher gibt es

Mehr

Terme und Formeln Grundoperationen

Terme und Formeln Grundoperationen Terme und Formeln Grundoperationen Die Vollständige Anleitung zur Algebra vom Mathematiker Leonhard Euler (*1707 in Basel, 1783 in Petersburg) prägte den Unterricht und die Lehrmittel für lange Zeit. Euler

Mehr

Komplexe Zahlen. Allgemeines. Definition. Darstellungsformen. Umrechnungen

Komplexe Zahlen. Allgemeines. Definition. Darstellungsformen. Umrechnungen Komplexe Zahlen Allgemeines Definition Eine komplexe Zahl z x + y i besteht aus einem Realteil Re(z) x und einem Imaginärteil Im(z) y. Der Imaginärteil wird mit der Imaginären-Einheit i multipliziert.

Mehr

Brückenkurs Mathematik

Brückenkurs Mathematik Brückenkurs Mathematik Von Dr. Karl Bosch Professor für angewandte Mathematik und Statistik an der Universität Stuttgart-Hohenheim 10., verbesserte Auflage R. Oldenbourg Verlag München Wien Inhaltsverzeichnis

Mehr

Rechenregeln für Summen

Rechenregeln für Summen Rechenregeln für Summen Im Umgang mit Summen sind gewisse Regeln zu beachten. 1 Summe gleicher Summanden Betrachten wir folgende Summe: x Hier enthält x keinen Summationsindex, d.h. es wird x einfach n-mal

Mehr

3 Zahlen und Arithmetik

3 Zahlen und Arithmetik In diesem Kapitel werden Zahlen und einzelne Elemente aus dem Bereich der Arithmetik rekapituliert. Insbesondere werden die reellen Zahlen eingeführt und einige Rechenregeln wie Potenzrechnung und Logarithmieren

Mehr

Grundlagen Algebra Aufgaben und Lösungen

Grundlagen Algebra Aufgaben und Lösungen Grundlagen Algebra Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. Januar 201 Inhaltsverzeichnis 1 Primfaktoren - ggt - kgv 2 1.1 ggt (a, b) kgv (a, b)...............................................

Mehr