die wir als Realisationen von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen

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1 Kapitel 8 Schätzung von Parametern 8.1 Schätzmethoden Gegeben seien Beobachtungen Ü Ü ¾ Ü Ò die wir als Realisationen von unabhängig und identisch verteilten Zufallsvariablen ¾ Ò auffassen. Die Verteilung der hänge von einem oder mehreren unbekannten Parametern ab. Die Parameter sollen aufgrund der vorliegenden Beobachtungen geschätzt werden. Wir werden zwei allgemeine Schätzmethoden besprechen Die Methode der Momente Definition 8.1 Das -te Stichprobenmoment ist definiert als Ñ ¼ Ò Ò Ü Das erste Stichprobenmoment ist z.b. Ñ ¼ Ò Ò Ü Ü Die Methode der Momente beruht darauf, dass man a) zunächst die Parameter einer Verteilung durch die Momente ¼ der Verteilung ausdrückt. b) anschließend in dem in a) entstandenen Ausdruck die Momente ¼ durch die entsprechenden Stichprobenmomente Ñ ¼ ersetzt. 142

2 8.1. SCHÄTZMETHODEN 143 Beispiel 8.1 Die Exponentialverteilung hat einen Parameter und es gilt ¼ oder ¼ Daher schätzt man durch Ñ ¼ Ü Beispiel 8.2 Für eine normalverteilte Zufallsvariable Æ ¾ µ gilt ¼ Daher verwendet man Ñ ¼ Ü Ò als Schätzer von. Für die Varianz von gilt Ò Ü Var ¾ ¾ µ ¾ ¼ ¾ ¼ µ¾ Daher schätzt man ¾ durch Es gilt ¾ Ñ ¼ ¾ Ѽ µ¾ ¾ Ñ ¼ ¾ Ѽ µ¾ Ò Ò Ò Ò Ü Üµ ¾ ¾ Ü ¾ ܵ¾ Beispiel 8.3 Die Gammaverteilung hat zwei Parameter und, und es gilt Daraus folgt und und Var ¾ Var ¼ ¼ ¾ ¼ µ¾ µ¾ Var ¼ µ ¾ ¼ ¾ ¼ µ¾ Daher sind die Schätzer von und nach der Methode der Momente und Ñ ¼ µ¾ ܾ Ñ ¼ ¾ Ѽ µ¾ ¾ Ñ ¼ Ñ ¼ ¾ Ѽ µ¾ Ü ¾ Beispiel 8.4 Die Poissonverteilung hat einen Parameter und es gilt ¼ Daher schätzt man durch Ñ ¼ Ü

3 144 KAPITEL 8. SCHÄTZUNG VON PARAMETERN Beispiel 8.5 Die Bernoulli-Verteilung hat einen Parameter und es gilt ¼ Daher schätzt man durch Ñ ¼ Ü Die Maximum-Likelihood-Methode Von dem Philosophen Rudolph Hermann Lotze ( ), der von in Göttingen lebte und nach dem die Lotzestraße benannt ist, stammt das folgende Zitat: Wenn gegebene Thatsachen aus mehreren verschiedenen Ursachen ableitbar sind, so ist diejenige Ursache die wahrscheinlichste, unter deren Voraussetzung die aus ihr berechnete Wahrscheinlichkeit der gegebenen Thatsachen die größte ist. Das ist eine sehr treffende Beschreibung der Maximum-Likelihood-Schätzmethode, die allgemein Fisher (1912) zugeschrieben wird, obwohl es sogar Quellen aus dem 18. Jahrhundert für diese Methode gibt. Definition 8.2 Der Maximum-Likelihood-Schätzer eines Parameters ist der Wert des Parameters, der den Beobachtungen die größte Wahrscheinlichkeit zuordnet. Beispiel 8.6 Es soll die Wahrscheinlichkeit È ÃÓÔµ mit der eine Münze mit,,kopf auftrifft, geschätzt werden. Dazu werde die Münze sechsmal geworfen. Sei ¼ wenn das Ergebnis im i-ten Wurf,,Kopf ist, wenn das Ergebnis im i-ten Wurf,,Zahl ist. Die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion von ¾ ist È ¾ Ü Ü ¾ Ü µ È Ü ¾ Ü ¾ Ü µ Wenn man annimmt, dass die Versuche unabhängig sind, gilt È ¾ Ü Ü ¾ Ü µ È Ü µ È ¾ Ü ¾ µ È Ü µ Die Beobachtungen in Würfen seien Die Wahrscheinlichkeit dieser Beobachtungen ist ¼ ¼ È ¾ ¼ ¼ µ µ µ µ ¾

4 8.1. SCHÄTZMETHODEN 145 Sie hängt vom Parameter ab. Deshalb sollte man schreiben È ¾ ¼ ¼ µ Die Likelihoodfunktion ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion an der Stelle der Beobachtungen Ü Ü ¾ Ü Ò. Sie wird jedoch als Funktion des Parameters betrachtet. Um das zu betonen, schreibt man Ä ¼ ¼ µ statt È ¾ ¼ ¼ µ Wir können die Likelihoodfunktion für verschiedene Werte von bestimmen. Das Maximum liegt zwischen ¼ und ¼. Ä ¼ ¼ µ µ ¾ Abbildung 8.1 zeigt die Likelihoodfunktion als Funktion von. Der Wert ¼ maximiert die Wahrscheinlichkeit dieser Beobachtungen. Wir können die Likelhoodfunktion analytisch maximieren. Dabei benutzen wir den folgenden Satz: 25 Likelihood * π Abbildung 8.1: Graphische Darstellung der Likelihoodfunktion Satz 8.1 Der Wert ¼ maximiert die Funktion Ä µ genau dann, wenn er die Funktion ÐÓ Ä µµ maximiert.

5 146 KAPITEL 8. SCHÄTZUNG VON PARAMETERN Abbildung 8.2 zeigt für das obige Beispiel die Likelihoodfunktion und die Loglikelihoodfunktion. Likelihood * π Loglikelihood π Abbildung 8.2: Likelihoodfunktion und Loglikelihoodfunktion Es ist oft einfacher den Logarithmus der Likelihoodfunktion zu maximieren. In unserem Beispiel ist ÐÓ Ä ¼ ¼ µ ÐÓ µ ¾ ÐÓ µ Um das Maximum der Loglikelihoodfunktion zu bestimmen, bilden wir die Ableitung nach. Diese Ableitung ist gleich null zu setzen. ÐÓ Ä µµ ¾ ¾ ¼ Der Maximum-Likelihood-Schätzer von ist also µ µ ¾ µ µ ¾ ¾ Streng genommen, müsste jetzt noch überprüft werden, ob die zweite Ableitung der Loglikelihoodfunktion nach an der Stelle negativ ist, um sicher zu gehen, dass tatsächlich ein Maximum und kein Minimum vorliegt. Beispiel 8.7 An die folgenden ¼ Beobachtungen soll eine Poissonverteilung angepasst werden. Für die Poissonverteilung gilt ¾¼ ¾ ¾ ¾ È Üµ Ü Ü Ü ¼ ¾

6 8.1. SCHÄTZMETHODEN 147 Die Likelihoodfunktion ist Ä ¾¼ ¾ ¾ ¾ µ È ¾ ¼ µ ¼ È Ü µ Loglikelihood λ Abbildung 8.3: Loglikelihoodfunktion Abbildung 8.3 zeigt den Graphen der Loglikelihoodfunktion.Die Loglikelihoodfunktion hat ihr Maximum an der Stelle. Die Loglikelihoodfunktion ist: ÐÓ Ä µµ ÐÓ µ ÐÓ µ ÐÓ µ ÐÓ µ ÐÓ µ ÐÓ µ µ ÐÓ µ ¼ ÐÓ µ ÐÓ µ ÐÓ µµ ÐÓ µ ¼ Dabei steht für eine Konstante, die nicht vom Parameter abhängt. Durch Differenzieren nach und Nullsetzen der Ableitung ergibt sich ¼ ¼ Daraus folgt ¼ Allgemein gilt bei gegebenen Beobachtungen Ü Ü ¾ Ü Ò für die Likelihoodfunktion Ä Ü Ü ¾ Ü Ò µ Die Loglikelihoodfunktion ist dann ÐÓ Ä Ü Ü ¾ Ü Ò µµ Ò ÐÓ µ Ò Ü Ü Ü ÐÓ µ ÐÓ Ü µµ Ò Ü Ò Ò ÐÓ Ü µ

7 148 KAPITEL 8. SCHÄTZUNG VON PARAMETERN Die Ableitung der Loglikelihoodfunktion nach ist Nullsetzen ergibt ÐÓ Ä µµ ÒÈ Ü ÒÈ Ü Ò Daraus folgt als Maximum-Likelihood-Schätzer des Parameters der Poissonverteilung ÒÈ Ü Ò Ü Ò Beispiel 8.8 Die Zufallsvariable sei normalverteilt mit dem Parameter und ¾ d.h. ܵ Ô ¾ ÜÔ Ü µ ¾ Ü ¾ ¾ ¾ Dann ist die Likelihoodfunktion Ä ¾ µ Ò Ô ¾ ÜÔ ¾ ¾µ Ò¾ ¾ µ Ò¾ ÜÔ Ü µ ¾ ¾ ¾ ¾ ¾ Ò Ü µ ¾ und die Loglikelihoodfunktion ist ÐÓ Ä ¾ µ Ò¾µ ÐÓ ¾µ Ò¾µ ÐÓ ¾ ¾ ¾ Die partiellen Ableitungen sind Ò Ü µ ¾ ÐÓ Ä ¾ µ ¾ Ò Ü µ und ÐÓ Ä ¾ µ ¾ Ò ¾ ¾ ¾ ¾ µ ¾ Ò Ü µ ¾ Nullsetzen der partiellen Ableitungen und Multiplikation mit ¾ bzw. 2 ¾ ergibt und Ò Ò ¾ Die Lösungen der beiden Gleichungen sind Ü µ ¼ Ò Ü µ ¾ ¼ Ü

8 log(l) 8.1. SCHÄTZMETHODEN 149 und ¾ Ò Ò Ü µ ¾ Ò Ò Ü Üµ ¾ ¾ An die folgenden Beobachtungen soll eine Normalverteilung angepasst werden: Abbildung 8.4 zeigt die Loglikelihoodfunktion als Funktion von und ¾ σ µ Abbildung 8.4: Loglikelihoodfunktion für anzupassende Normalverteilung Es ergeben sich als Schätzer ¾ Beispiel 8.9 Wir wollen die Maximum-Likelihood-Schätzer für eine Rechteckverteilung ( Í µ) bestimmen. Gegeben seien die drei Beobachtungen ¾ ¾ Die Likelihoodfunktion ist allgemein bei Beobachtungen Ü Ü ¾ Ü Ò Ò Ä Ü Ü ¾ Ü Ò µ für Ü Ü ¾ Ü Ò Um Ä zu maximieren, muss µ minimiert werden, d.h. muss so klein wie möglich (bei den obigen Beobachtungen ¾) und so groß wie möglich sein ( ). Allgemein ist ÑÒ Ü Ü ¾ Ü Ò µ und ÑÜ Ü Ü ¾ Ü Ò µ

9 150 KAPITEL 8. SCHÄTZUNG VON PARAMETERN 8.2 Einige Eigenschaften von Schätzern Meistens gibt es mehrere Möglichkeiten, um einen Parameter zu schätzen, und man muss sich zwischen verschiedenen Schätzern (oder auch Schätzfunktionen) entscheiden. Um die Wahl zu erleichtern, geben wir einige Eigenschaften von Schätzern an, die wir zur Beurteilung ihrer Qualität heranziehen werden. Man wählt dann den Schätzer aus, der die besten Eigenschaften hat oder der die Eigenschaften hat, die in der jeweiligen praktischen Situation von Bedeutung sind. Zunächst ist festzustellen, dass ein Schätzer eine Zufallsvariable ist, also eine Verteilung hat und insbesondere Momente, die wir gleich zur Beurteilung der Güte des Schätzers heranziehen werden. Mit wollen wir den zu schätzenden Parameter bezeichnen, mit den Schätzer (oder die Schätzfunktion) Erwartungstreue, Bias Die Abbildungen sollen jeweils zehn Realisationen von verschiedenen Schätzern ¾ und zeigen. Der Schätzer überschätzt in den meisten Fällen, ¾ unterschätzt den zu schätzenden Parameter, während im Mittel weder überschätzt noch unterschätzt. Solch ein Schätzer heißt erwartungstreu. Abbildung 8.5: Typische Realisationen des Schätzers Abbildung 8.6: Typische Realisationen des Schätzers ¾ Abbildung 8.7: Typische Realisationen des Schätzers Definition 8.3 Ein Schätzer heißt erwartungstreu, wenn gilt

10 8.2. EINIGE EIGENSCHAFTEN VON SCHÄTZERN 151 Definition 8.4 Der Bias eines Schätzers ist definiert als Bias µ Offensichtlich ist ein Schätzer genau dann erwartungstreu, wenn Bias µ ¼ gilt. Beispiel 8.10 Die Beobachtungen Ü Ü ¾ Ü Ò seien Realisierungen von unabhängigen Æ ¾ µ-verteilten Zufallsvariablen. Als Schätzer von betrachten wir Es ist Ò Ò Ò d.h. ist ein erwartungstreuer Schätzer von. Ò Ò Ò Eine abgeschwächte Forderung an den Schätzer ist die asymptotische Erwartungstreue: Definition 8.5 Ein Schätzer heißt asymptotisch erwartungstreu, wenn gilt ÐÑ Ò Asymptotische Erwartungstreue ist gleichbedeutend damit, dass der Bias (auch Verzerrung genannt), mit wachsendem Stichprobenumfang Ò verschwindet. Beispiel 8.11 Die Beobachtungen Ü Ü ¾ Ü Ò seien wieder Realisierungen von unabhängigen Æ ¾ µ-verteilten Zufallsvariablen. Wir betrachten den Schätzer der Varianz ¾, Es ist bekannt, dass Dann gilt nach Satz 3.13 ¾ Ë ¾ Ò Ë ¾ ¾ Ò ¾ Ò Ò µ ¾ ÒË ¾ ¾ ¾ Ò µ µµ ¾ Ò Ò µ

11 152 KAPITEL 8. SCHÄTZUNG VON PARAMETERN Somit ist Ë ¾ kein erwartungstreuer Schätzer von ¾. Für den Bias gilt Würde man anstelle Ë ¾ den Schätzer verwenden, so hätte man wegen Bias Ë ¾ µ ¾ Ò Ò µ ¾ ¾ Ò Ë ¾ Ò Ò Ë¾ Ë ¾ Ò Ò Ò Ò Ë¾ ¾ µ ¾ einen erwartungstreuen Schätzer. Das ist der Grund, weshalb Ë ¾ häufig als Schätzer der Varianz ¾ verwendet wird. Für den Bias von Ë ¾ gilt Damit ist Ë ¾ asymptotisch erwartungstreu. Bias Ë ¾ µ ¾ Ò Ò ¼ Asymptotische Erwartungstreue ist eine Eigenschaft des Schätzers für große Stichprobenumfänge Ò. Ein asymptotisch erwartungstreuer Schätzer kann für kleine Stichprobenumfänge erhebliche Verzerrungen liefern. So gilt z.b. für Ò ¾ für den Schätzer Ë ¾ Ë ¾ µ ¾ ¾, d.h. ¾ wird im Durchschnitt erheblich unterschätzt Standardfehler Definition 8.6 Der Fehler eines Schätzers ist definiert als Die Abbildungen 8.8 und 8.9 zeigen typische Realisationen von zwei jeweils erwartungstreuen Schätzern. Der Schätzer zeichnet sich durch eine kleinere Streuung aus und ist deshalb vorzuziehen. Das entsprechende Maß für die Streuung eines Schätzers ist seine Standardabweichung, d.h. die Wurzel aus seiner Varianz. Definition 8.7 Der Standardfehler eines Schätzers ist seine Standardabweichung, d.h. Õ SF µ Var µ

12 8.2. EINIGE EIGENSCHAFTEN VON SCHÄTZERN 153 Abbildung 8.8: Typische Realisationen des Schätzers Abbildung 8.9: Typische Realisationen des Schätzers ¾ Beispiel 8.12 Wie in Beispiel 8.10 seien die Beobachtungen Ü Ü ¾ Ü Ò Realisierungen von unabhängigen Æ ¾ µ-verteilten Zufallsvariablen, und wir betrachten wieder den Schätzer Ò Ò Es ist und damit Var µ Var Ò Ò SF µ Ô Ò ¾ Ò Beispiel 8.13 Wir beziehen uns auf Beispiel 8.11 und die dort betrachteten Schätzer Ë ¾ und Ë ¾. Der Schätzer Ë ¾ war nicht erwartungstreu, sondern nur asymptotisch erwartungstreu, während Ë ¾ erwartungstreu ist. Es ist die Frage offen, was für die Verwendung von Ë ¾, also eines nicht erwartungstreuen Schätzers spricht. Aus diesem Grunde untersuchen wir jetzt, wie sich beide Schätzer hinsichtlich ihres Standardfehlers verhalten. Es gilt ¾ VarË ¾ Var Ò ¾ Ò µ ¾ Ò µ Ò¾ und damit Für Ë ¾ gilt und damit VarË ¾ Var Ò Ò Ë¾ Õ Ë Ë ¾ µ ¾ ¾ Ò µ Ò Ò ¾ Ò µ ¾ Var˾ ¾ Ò Ë Ë ¾ µ ¾ ¾ Ò Ò Ò Ë Ë¾ µ Ë Ë ¾ µ Die Erwartungstreue wird also mit einem größeren Standardfehler erkauft.

13 154 KAPITEL 8. SCHÄTZUNG VON PARAMETERN Mittlerer quadratischer Fehler Zur Beurteilung der Güte eines Schätzers muss man sowohl den Bias als auch den Standardfehler berücksichtigen. Wir definieren jetzt ein Maß, das beide Größen zusammenfasst. Definition 8.8 Der mittlere quadratische Fehler eines Schätzers ist definiert als MQF µ µ ¾ Der mittlere quadratische Fehler misst also die zu erwartende quadratische Abweichung zwischen dem Schätzer und dem zu schätzenden Parameter. Satz 8.2 Für den mittleren quadratischen Fehler eines Schätzers gilt MQF µ Var µ Bias µµ ¾ Beweis: MQF µ µ ¾ µ ¾ µ µµ ¾ µ ¾ ¾ µ µ µ ¾ µ µ ¾ ¾ µ µ µ ¾ Î Ö µ ¾ µ µ µ ¾ ßÞ Ð ¼ Var µ Bias µµ ¾ ßÞ Ð Bias µµ ¾ Die zu erwartende quadratische Abweichung ist somit die Summe aus der Varianz von und dem quadrierten Bias von. Ð Beispiel 8.14 Wie in den früheren Beispielen seien die Beobachtungen Ü Ü ¾ Ü Ò Realisierungen von unabhängigen Æ ¾ µ-verteilten Zufallsvariablen. Wir betrachten zunächst den Schätzer Ò Ò

14 8.2. EINIGE EIGENSCHAFTEN VON SCHÄTZERN 155 Da erwartungstreu ist, gilt MQF µ Var µ ¾ Ò Für den Schätzer Ë ¾ gilt MQF Ë ¾ µ Var Ë ¾ µ Bias Ë ¾ µµ ¾ ¾ ¾ Ò ¾ Ò µ ¾ Ò Ò ¾Ò ¾ µ Der Schätzer Ë ¾ ist erwartungstreu. Daher gilt Es ist MQF Ë ¾ µ ¾ Ò MQF Ë ¾ µ Var ˾ µ ¾ Ò Ò ¾ ¾ Ò ¾ Ò ÅÉ Ë¾ µ Beurteilt man also einen Schätzer nach dem mittleren quadratischen Fehler, so ist Ë ¾ gegenüber Ë ¾ vorzuziehen. Satz 8.3 Für einen erwartungstreuen Schätzer gilt MQF µ Var µ Beweis: Für einen erwartungstreuen Schätzer gilt Bias µ ¼ und daher MQF µ Var µ Bias µµ ¾ Var µ Ð Konsistenz Die Varianz eines Schätzers als alleiniges Kriterium ist also nur für erwartungstreue Schätzer sinnvoll. Bei asymptotisch erwartungstreuen Schätzern geht mit wachsendem Stichprobenumfang der Bias gegen Null. Geht gleichzeitig auch die Varianz gegen Null, so konvergiert auch der mittlere quadratische Fehler gegen Null. Man spricht dann von Konsistenz, genauer: Konsistenz im quadratischen Mittel. Definition 8.9 Ein Schätzer heißt konsistent im quadratischen Mittel, wenn gilt ÐÑ ÅÉ µ ¼ Ò

15 156 KAPITEL 8. SCHÄTZUNG VON PARAMETERN Die Konsistenz ist eine asymptotische Eigenschaft, die nur für große Stichprobenumfänge gilt. Eine konsistente Schätzfunktion kann für endliche Stichprobenumfänge eine große Varianz und eine erhebliche Verzerrung besitzen. Die Konsistenz im quadratischen Mittel wird auch als starke Konsistenz bezeichnet. Eine alternative Form der Konsistenz ist die schwache Konsistenz, bei der verlangt wird, dass die Wahrscheinlichkeit, mit der die Schätzfunktion Werte in einem beliebig kleinen Intervall um den wahren Parameter annimmt, mit wachsendem Stichprobenumfang gegen Eins konvergiert. Anschaulich bedeutet dies, dass der Schätzwert für große Ò in unmittelbarer Nähe des wahren Parameters liegt. Definition 8.10 Ein Schätzer heißt schwach konsistent, wenn für beliebiges ¼ gilt ÐÑ È Ò µ oder gleichbedeutend ÐÑ È Ò µ ¼ Aus der Konsistenz im quadratischen Mittel (oder der starken Konsistenz) folgt die schwache Konsistenz. Beispiel 8.15 Wie im vorigen Beispiel seien die Beobachtungen Ü Ü ¾ Ü Ò Realisierungen von unabhängigen Æ ¾ µ-verteilten Zufallsvariablen. Wir wissen, dass der Schätzer Ò erwartungstreu ist und den folgenden mittleren quadratischen Fehler besitzt: Ò MQF µ Var µ ¾ Ò Der mittlere quadratische Fehler konvergiert offensichtlich gegen Null, d.h. der Schätzer ist konsistent im quadratischen Mittel. Die schwache Konsistenz folgt aus der starken. Man könnte sie auch so beweisen: È µ È Ô Ò Ô Ò Ô Ô Ò Ò Ò ¼ Diese Wahrscheinlichkeit ist in Abbildung 8.10 grafisch dargestellt. Mit wachsendem Stichprobenumfang liegt die gesamte Verteilung innerhalb der senkrechten Striche bei und.

16 8.2. EINIGE EIGENSCHAFTEN VON SCHÄTZERN 157 n 3 = 20 n 2 = 10 n 1 = 2 µ ε µ µ + ε µ für bei Stichprobe- Abbildung 8.10: Wahrscheinlichkeiten È numfängen Ò ¾ Ò ¾ ¼ Ò ¾¼ Ein erwartungstreuer Schätzer ist offensichtlich genau dann konsistent im quadratischen Mittel, wenn die Varianz gegen Null konvergiert. Dasselbe läßt sich auch für die schwache Konsistenz zeigen. Dazu brauchen wir die Tschebyscheffsche Ungleichung: Satz 8.4 (Ungleichung von Tschebyscheff) Sei eine Zufallsvariable mit µ und Var µ ¾. Dann gilt die folgende Ungleichung für beliebiges ¼: È µ ¾ ¾ Diese Ungleichung besagt, dass bei festem die Wahrscheinlichkeit, dass um mindestens von abweicht desto geringer ist, je kleiner die Varianz ist. Da È µ È µ folgt daraus sofort eine zweite Ungleichung: È µ ¾ ¾ Die Tschebyscheffsche Ungleichung lässt sich so beweisen: Wir definieren eine diskrete Zufallsvariable durch ¼ falls ¾ falls Dann gilt: È ¼µ È µ und È ¾ µ È µ. Also ist: µ ¾ È µ Nach Definition von gilt immer ¾ und somit µ µ ¾ Var µ ¾

17 158 KAPITEL 8. SCHÄTZUNG VON PARAMETERN Also haben wir und damit È µ ¾ ¾. ¾ È µ ¾ Für einen Schätzer folgt aus der Tschebyscheffschen Ungleichung È µ Var µ Daraus folgt, dass jeder erwartungstreue Schätzer schwach konsistent ist, wenn Var µ Ò ¼. ¾ Beispiel 8.16 Der Erwartungswert µ einer Zufallsvariablen mit Var µ ¾ wird durch das arithmetische Mittel geschätzt. Da µ µ ist ein erwartungstreuer Schätzer. Für die Varianz von gilt Var µ ¾ Ò Ò ¼. Demnach ist konsistent im quadratischen Mittel und auch schwach konsistent Effizienz Der mittlere quadratische Fehler (MQF) ist ein Maß für die Güte eines Schätzers, das sowohl die Verzerrung als auch die Varianz des Schätzers berücksichtigt. Demnach ist von zwei Schätzern und ¾ derjenige vorzuziehen, der den kleineren mittleren quadratischen Fehler besitzt. Man sagt dann, dass MQF-wirksamer ist als ¾, wenn ÅÉ µ ÅÉ ¾ µ Hierbei muss man jedoch den Bereich der zugelassenen Verteilungen einschränken, z.b. auf alle Poissonverteilungen, wenn es um die Schätzung des Parameters der Poissonverteilung geht oder auf alle Verteilungen mit endlicher Varianz, wenn es um die Schätzung des Erwartungswertes geht. Betrachtet man nur erwartungstreue Schätzer, d.h. Schätzer ohne Bias, so reduziert sich die Betrachtung der Wirksamkeit auf den Vergleich der Varianzen: Definition 8.11 Ein erwartungstreuer Schätzer heißt wirksamer oder effizienter als der ebenfalls erwartungstreue Schätzer ¾, wenn Var µ Var ¾ µ für alle zugelassenen Verteilungen gilt. Ein erwartungstreuer Schätzer heißt wirksamst oder effizient, wenn seine Varianz für alle zugelassenen Verteilungen den kleinsten möglichen Wert annimmt, d.h. wenn für alle anderen erwartungstreuen Schätzer gilt: Var µ Var µ

18 8.2. EINIGE EIGENSCHAFTEN VON SCHÄTZERN 159 Es gibt eine untere Schranke für die Varianz einer erwartungstreuen Schätzfunktion, die sogenannte Cramér-Rao-Schranke, die wir jedoch im Rahmen dieser Vorlesung nicht angeben können. Diese Schranke wird von wirksamsten Schätzern angenommen. Effiziente Schätzfunktionen sind u.a. für den Erwartungswert, wenn alle Verteilungen mit endlicher Varianz zugelassen sind, für den Erwartungswert, wenn alle Normalverteilungen zugelassen sind, für den Anteilswert, wenn alle Bernoulli-Verteilungen zugelassen sind, für den Parameter, wenn alle Poisson-Verteilungen È Ó µ zugelassen sind, für µ, wenn alle Exponentialverteilungen ÜÔ µ zugelassen sind, die mittlere quadratische Abweichung bzgl., d.h. Ò µ ¾ für die Varianz ¾, wenn alle Normalverteilungen mit Erwartungswert zugelassen sind, ÒÈ die Stichprobenvarianz Ë ¾ Ò µ ¾ für die Varianz ¾ einer Æ ¾ µ- verteilten Grundgesamtheit, wenn unbekannt ist. Als Literatur zu diesem Kapitel sei Fahrmeir u.a. (1997), Bamberg und Baur (1996), Schlittgen (1996a, 1996b) genannt. ÒÈ

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