SCHWINGUNGEN UND WELLEN

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1 SCHWINGUNGEN UND WELLEN Interferenz von Wellen Beugung von Wellen Beugung am Spalt und am Gitter GEOMETRISCHE OPTIK WELLENOPTIK

2 Wellen Wellen sind zeitlich und räumlich periodische Prozesse Wir unterscheiden zwischen Eindimensionalen Wellen, Zweidimensionalen Wellen und Dreidimensionalen Wellen Transversal Longitudinal

3 Typen von Wellen Wasserwellen Schallwellen Elektromagnetische Wellen Wellenlänge, Frequenz: Schwingungsdauer: Phasengeschwindigkeit: Brechungsgesetz: λ T c [ ] [ ] m ; f s ph = λ c = ph λ sin α = sin β [] s f c c 2 m s

4 Interferenz von Wellen Die Gegenseitige Verstärkung oder Auslöschung von Wellen nennt man konstruktive, bzw. destruktive Interferenz. 2 Punktquellen mit unterschiedlichen Abständen:

5 Beugung von Wellen Beugung ist die Ablenkung von Wellen um Hindernisse oder Kanten von Öffnungen. Tritt eine Welle auf eine Öffnung so ergeben die Kugelwellen nach dem passieren dieser Öffnung je nach ihrer Größe diverse Formen der Wellenfläche. Ebene Welle d d Die Beugung wird bemerkbar wenn die Größe d von Öffnungen (Hindernissen) vergleichbar mit der Wellenlänge ist λ. Wie kann diese Beobachtung quantifiziert werden? Viele Kugelwellen Wenige Kugelwellen

6 Beugung am Spalt d Im Punkt P herrscht Dunkelheit wenn die Strahlen, die sich unter dem Winkel α ausbreiten so große Phasendifferenzen haben, dass je zwei von Ihnen die Phasendifferenz π (=λ/2) haben. d/2 Dann ergibt sich die Bedingung für die Auslöschung: d sin α = n λ = d 2 sinα = λ 2

7 Beugungsmuster in Abhängigkeit von der Spaltbreite Was passiert beim Durchgang einer Welle durch mehrere sehr schmale Spalten? Wir nennen solche Anordnung ein Gitter.

8 Beugung am Gitter Anzahl von Spalten und Beugungsmuster

9 Beugung an Gitter d sinϕ = nλ Gitter große Anzahl von parallelen sehr schmalen Spalten im Abstand d (Gitterkonstante). n ist ganze Zahl und wird als Ordnung der Interferenz bezeichnet. Bei bekannter Gitterkonstante kann die Wellenlänge des einfallenden Lichtes aus der Lage der Maxima (Messung des Winkels ϕ) bestimmt werden Beziehung für Maxima Kleine Gitterkonstante d => Großer Abstand der Peaks Große Strichzahl N => schmale Peaks

10 Geometrische Optik Die Erfahrung zeigt, dass sich Licht in einem homogenen Medium geradlinig ausbreitet. An den Grenzschichten zu anderen Medien kann Licht reflektiert, gebrochen oder aufgespalten werden. Da aber Lichtbeugung, oder Streuung beobachtet wird muss angenommen werden, dass Licht eine Wellennatur hat. Die Phasengeschwindigkeit, die Lichtgeschwindigkeit c ist so groß, dass für viele Situationen die Lichtausbreitung scheinbar augenblicklich erfolgt. Die geometrische Optik ist eine Näherung der Optik, in der die Welleneigenschaften des Lichtes vernachlässigt werden, weil die mit dem Licht wechselwirkenden Strukturen (Spiegel, Linsen, Platte,...) groß im Verhältnis zur Wellenlänge des Lichtes sind. Sichtbares Licht hat eine Wellenlänge von ca nm, und ist somit wesentlich kleiner als Alltagsgegenstände.

11 Lichtgeschwindigkeit - Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes. Sie hat im Vakuum den Wert m/s und trägt als physikalisches Symbol den Buchstaben c (lat. Celeritas - Schnelligkeit). Die vielfach bestätigte Konstanz der Vakuumlichtgeschwindigkeit ist eines der grundlegenden physikalischen Prinzipien. Geschichte der Lichtgeschwindigkeitsmessung 667 Galileo: mindestens 0 mal schneller als der Schall 675 Ole Roemer: 200,000 km/sec 728 James Bradley: 30,000 km/s 849 Hippolyte Louis Fizeau: 33,300 km/s 926 Leon Foucault 299,796 km/s

12 Wie schnell ist das Licht? m/s mehr als km/h km/s in Sekunde 7 mal um die Erde Wie misst man eine so große Geschwindigkeit? s Wegstrecke, die in einer bestimmten Zeit durchlaufen wird v = t Zeit für das Durchlaufen einer bestimmten Wegstrecke Falls unsere Wegstrecke 30 m wäre - welche Zeit braucht das Licht dafür? s 3 0 m 7 t = = = 0 s = 00ns 8 v 3 0 m / s Für 0 km ergibt sich eine Zeit von 33 µs. Wie messe ich so kurze Zeiten? s t

13 Messung der Lichtgeschwindigkeit c Diese Methode hat nicht ganz funktioniert

14 Zahnradmethode nach Fizeau Zahnrad mit 720 Zähnen und Lücken Zahlenbeispiel: Für eine Umdrehung braucht das Rad /2,6 s = 0,0793 s. In dieser Zeit drehen sich am Lichtstrahl 720 Zähne und 720 Lücken vorbei. Beobachtung des Hell- Dunkel-Wechsels: das rücklaufende Licht trifft gerade auf den Zahn, der neben der Lücke ist, durch welche das Licht hingelaufen ist. Das Zahnrad hat sich also in der Zeit in der das Licht zum entfernten Spiegel und von diesem wieder zurückgelaufen ist, um /440 seines Umfanges gedreht. Dazu ist die Zeit t = 0,0793 s : 440 = 5,5 0-5 s nötig. Somit gilt für die Lichtgeschwindigkeit:

15 Reelle und virtuelle Bilder Bei Betrachtung eines Gegenstandes (mit optischen Gerät, Spiegelbild) treffen die Lichtstahlen das Auge und erzeugen ein Bild auf der Netzhaut Informationsverarbeitung im Gehirn liefert den Eindruck, dass sich ein Gegenstand an einer bestimmten Stelle befindet, was der Realität nicht entsprechen muss (etwa Spiegelbild). α α a. Reguläre Reflexion a. b. b. Diffuse Reflexion

16 Spiegelung

17 Teildurchlässige Spiegel Transmittierter Strahl Einfallender Strahl Spezialbeschichtung Reflektierter Strahl

18 Wirkung eines Hohlspiegels Ebene Welle Brennpunkt (Fokus)

19 Reflexion an gekrümmten Spiegeln (paraxiale Strahlen) Bei einem gekrümmten Spiegel wird der Gegenstand G in das Bild B abgebildet. C ist der Krümmungsmittelpunkt des Spiegels, deshalb sind die Winkel der einfallenden und reflektierten Strahlen zu dieser Linie gleich. Es gilt: () 2β = γ + α β = Θ + α und γ = 2Θ + α α G B (2) Für kleine Winkel ( ) (paraxiale Näherung) gilt: h g α; h r β; h s h b γ (2) eingesetzt in () ergibt: g Gegenstandsweite b. Bildweite r. Krümmungsradius des Spiegels h. Abstand der Strahlen von der optischen Achse g + b = 2 r = f Für g = gilt, dass b = f = r / 2

20 Für die Hauptstrahlen gilt folgendes: Parallelstrahlen werden gehen durch den Brennpunkt Brennstahlen werden parallel reflektiert Mittelpunktstrahlen werden in sich reflektiert Nun kann die Abbildungskonstruktion bei einem konkaven Hohlspiegel durchgeführt werden:

21 Abbildung durch Hohlspiegel - Strahlengang Gegenstand r f Bild

22 Abbildungseigenschaften Objekt außerhalb 2f 2 Objekt in 2f 3 Objekt außerhalb f, innerhalb 2f 4 Objekt in f -> Lupe 5 Objekt innerhalb f -> Lupe G Gegenstand B Bild F Brenpunkt M Krümmumgs -mittelpunkt

23 Abbildungsfehler sphärischer Spiegel Sphärischer Spiegel 2 Parabolspiegel Bei einem konvexen Spiegel (Wölbspiegel) existiert ein virtuelles Bild hinter dem Spiegel. Die Abbildung zeigt die Bildkonstruktion. b + g = 2 r

24 Brechung des Lichtes Für alle Wellen gilt beim Übergang von Medium in Medium 2 das Brechungsgesetz: n n 2 sinα = sin β c c ; 2 Brechzahl n 2 = c c 2 n 2 n Die Brechzahl (Verhältnis der Lichtgeschwindigkeiten) hängt somit von beiden Medien ab. Medium in dem das Licht geringere Phasengeschwindigkeit hat nennt man optisch dichter. Die größte Geschwindigkeit hat das Licht im Vakuum. Materialien (Medien) werden oft durch einen Brechungsindex relativ zu Vakuum charakterisiert: n = c c VAKUUM MEDIUM c c LUFT MEDIUM

25 Brechungsgesetz α α n n 2 β β α sin α = c = n 2 β sin β c 2 n Keine Brechung weil Einfallswinkel = 0

26 Brechnugsindex ist im allg. von der Wellenlänge abhängig. Die Werte werden oft für eine bestimmte Wellenlänge angegeben. Aufgrund des Brechungsindex von.333 für Wasser ergibt sich die Phasengeschwindigkeit (c = λ f) des Lichtes im Wasser zu: Material Vakuum Luft NaCl Wasser Menschl. Augenlinse Glas (je nach Sorte) Diamant Brechungsindex.0 (exakt) c Wasser = cvakuum.333 = m s Beim Übergang in ein anderes Medium ändert sich nicht die Frequenz, also muss sich die Wellenlänge des Lichts ändern. Für grünes Licht (λ=550 nm) ergibt sich: λ Vakuum Wasser = = λ.333 Sind n und n 2 Brechungsindices der Medien und 2, so sind die entsprechenden Phasengeschwindigkeiten c = c / n und c 2 = c / n 2 : c c n 2 n 2 = = = n 2 n 2 nm

27 Totalreflexion beim Übergang von einem optisch dichterem in ein optisch dünneres Medium ist n 2 >/n und somit kleiner. Der Austrittswinkel β > Eintrittswinkel α. Luft Wasser α sinα = sin β sinαg sin 90 n = n Luft Wasser.333 =.333 = 0.75 α G = 48.6 Anwendung Faseroptik, Lichtleiter < n 2

28 Planparallele Glasplatte Der Lichtstrahl tritt unter einem Winkel α auf die Glasplatte und wird gebrochen. Da die Glasplatte ein optisch dichteres Medium als die umgebende Luft ist, wird der Lichtstrahl zum Einfallslot hin gebrochen. Der Winkel β ist also kleiner als der Eintrittswinkel α. Nach der Durchquerung trifft der Lichtstrahl unter dem Winkel β auf die untere Grenzfläche. Beim Austritt aus der Glasplatte wird der Lichtstrahl wird vom Lot weggebrochen. Der Lichtstrahl tritt also unter demselben Winkel wieder aus wie er eingetreten ist. Das bedeutet, dass der Lichtstrahl seine Richtung beim Durchgang durch die planparallele Glasplatte nicht ändert. Es erfolgt aber eine Parallelverschiebung des Lichtstrahls.

29 Bilder beim Übertritt in ein anderes Medium Chopstick in einem leeren Glas Nach dem Füllen mit Wasser erscheint der Chopstick etwas abgeknickt Überlagerung beider Bilder Erklärung des Effekts Die ovale Form der Sonne hier ist auf die Brechung in den Luftschichten zurückzuführen. Die Lichtstrahlen, die vom "unteren" Teil der Sonne kommen haben einen größeren Einfallswinkel auf die Luftschichten als die Strahlen, die vom "oberen" Teil der Sonne zu uns kommen. Der untere Teil der Sonne wird daher "stärker angehoben" und es entsteht der Eindruck Abplattung der Sonne.

30 Lichtbrechung am Prisma Unter einem Prisma versteht man in der Optik einen Körper, der zwei nicht planparallele Oberflächen und die Form eines Keils besitzt. Die geometrischen Eigenschaften eines Prismas werden durch die Kantenlängen und Winkel der Grundfläche, der Winkel der Seitenfläche zur Grundfläche und der Höhe des Prismas bestimmt. Das Material besitzt eine andere Brechzahl als die Umgebung. Dadurch treten verschiedene Effekte auf: Lichtstrahlen treten an einer Seite in das Prisma ein und werden beim Durchgang durch das Prisma abgelenkt - gebrochen. Prismenwinkel n LUFT Diese Winkelbeziehungen eingesetzt in das Brechungsgesetz ergeben: Besonders einfach ist die Brechung beim symmetrischen Strahlverlauf. Dann gelten die Winkelbeziehungen: δ α ε = ε 2 = Θ + und Θ = 2 2 n = α + δ sin 2 α sin 2

31 Dispersion des Lichtes Da Licht unterschiedlicher Wellenlänge (Farbe) unterschiedlich stark gebrochen wird, kann man mit einem Prisma Licht verschiedener Farbe trennen. Schickt man weißes Licht durch ein Prisma, so wird es in die Spektralfarben zerlegt. Diese können nicht mehr zerlegt werden. In den üblichen optischen Gläsern wird blaues Licht stärker gebrochen als rotes Licht, welches langwelliger ist. Der physikalische Grund dafür ist die von der Wellenlänge des Lichtes abhängige Brechzahl. Dies bezeichnet man in der Optik als Dispersion.

32 Abbildung durch Linsen Strahlengang ergibt sich aus geradliniger Ausbreitung und Brechungsgesetz Richtungsablenkung einfallender Strahlen, Position bleibt näherungsweise konstant Ablenkung proportional zum Abstand zur Achse

33 LINSEN Bei den einfachsten Linsen sind die beiden optisch aktiven Flächen sphärisch. Das heißt, sie sind Oberflächenausschnitte einer Kugel. Daher kann man diesen Flächen Krümmungsradien zuordnen. Sammellinsen konvexe Linsen sind in der Mitte, im Bereich der Optischen Achse, dicker als am Rand, Zerstreuungslinsen oder konkave Linsen sind am Rand dicker als in der Mitte.

34 Linsenparameter

35 Strahlengang durch ideale, dünne Linsen Parallele Strahlenbündel werden in der Brennebene fokussiert

36 Strahlengang durch ideale, dünne Linsen Aus der Umkehrbarkeit der Strahlengänge folgt divergente Strahlenbündel können durch Linsen in parallele Bündel umgewandelt werden.

37 Abbildung mit einer Linse Hinter einer Sammellinse können sich alle Strahlen eines Punktes wieder treffen Alle Treffpunkte der Strahlen einer Ebene liegen wiederum in einer Ebene Das BILD des GEGENSTANDES kann z.b. Auf einem Schirm gesehen werden Abstand der Bildebene hängt vom Abstand der Objektebene und der Brennweite ab

38 Abbildungskonstruktion Parallelstrahl Brennpunktstrahl Mittelpunktstrahl Mittelpunktstrahl Brennpunktstrahl Parallelstrahl g b Linsengleichung: + = ( n ) = g b + r r f 2

39 Bildkonstruktion Dünne Linse (Sammellinse) f = b + g Linsengleichung γ = b = B g G Abbildungsmaßstab

40 System aus 2 Sammellinsen in Abstand d f G = f + f 2 f d f 2

41 Bildkonstruktion Dünne Linse (Zerstreuunglinse) Bei virtuellen Brennpunkten, bzw. Bildern sind die entsprechenden Parameter mit negativen Vorzeichen zu versehen.

42 Linsenfehler Astigmatismus Sphärische Abberation Chromatische Abberation Bildfeldwölbung

43 Behebung von Aberrationen Reduktion durch 2 direkt aneinander angepasste Linsen, die ein achromatisches Doppel bilden

44 Allgemeine Bemerkungen: Viele optische Instrumente, Brille, Lupe, Mikroskop und Fernrohr, dienen der Verbesserung der Abbildung durch das Auge. Das Auge ist selbst ein optisches System, das eine Linse enthält. Der Strahlengang in Linsen folgt dem Brechungsgesetz: Parallel zur optischen Achse einfallende Strahlen werden in einem Punkt, dem Fokus, zusammengeführt. Zur eindeutigen Konstruktion von Strahlengängen wählt man mindestens zwei Strahlen, die den folgenden Bedingungen genügen:! Parallel einfallende Strahlen verlaufen nach dem Durchqueren der Linse durch einen Punkt, der in der Brennebene liegt. f Brennebene! Strahlen, die von einem Punkt in der Brennebene ausgehen, verlaufen nach dem Durchqueren der Linse parallel.! Strahlen durch die Mitte der Linse verlaufen ungebrochen.

45 Die Linsengleichung Beispiel: die Lupe f = g + b ; (g, b) von der Linsenmitte gemessen Der Gegenstand befinde sich innerhalb der Brennweite (g<f) auf der Seite Strahleintritts (Normalfall) Dann ist b<0 Wir erhalten ein virtuelles Bild Angabe: b g g = 0,6 f = b f 0,6 f b = -,5 f = 0,4 0,6 f

46 Das Auge - besonderes optisches System, zusammen mit dem Gehirn werden etwa 70% aller Informationen aufgenommen - Brennweite der Augenlinse ist von der Wellenlänge abhängig: groß im roten Bereich, klein im blauen Bereich - Betrachtung eines Bildes mit roten und blauen Bereichen das Auge ermüdet Physik Physik Spectrale Auflösung: nm Das Auge als Abblidungssystem: n Linse =.45; n Hornhaut =.38 n Glaskörper =.33 Iris Helligkeitsregulierung (Faktor 5) Helligkeitsregelung - über 2 Zehnerpotenzen Abstand benachbarter Sehzellen ca. 3µm Fehlsichtigkeiten: Kurz-, Weitsichtigkeit, Astigmatismus

47 Stäbchen sehen die Farben nicht so gut, sind lichtempfindlicher als Zapfen Zapfen sind farbempflindlich. Tagessehen mit Zapfen größte Empfindlichkeit liegt bei Gelb Orange Tönen Dämmerungssehen mit Stäbchen Blau=Hellgrau, Rot=Schwarz Die Farbwahrnehmung ist ein physiologisches Phänomen. Farben existieren nur im Gehirn und nicht in der Natur

48 Das Auge als optisches System s deutliche Sehweite beträgt normalerweise 25 cm α tanα = G s

49 Die Brennweite des Auges kann durch die Muskelspannung variiert werden, dadurch kann auch die Gesamtbrechkraft des Auges angepasst werden. Um eine scharfe Abbildung zu erreichen (Auge) wird die Brennweite bei einem gegebenen Abstand verändert werden. Bei Kurzsichtigkeit kann der Abstand etwas angepasst werden, bei Weitsichtigkeit hilft meistens eine zusätzliche Linse - Brillen Kurzsichtiges Auge Weitsichtiges Auge

50 Abbildungen - Lupe ein Gegenstand wird näher an das Auge heranführt mehr Details ab einer gewissen min. Distanz gibt es keine scharfe Abbildung mit dem Auge - der Krümmungsradius der Augenlinse nicht mehr variierbar beim menschlichen Auge beträgt diese Distanz - Bezugssehweite (typische Sehweite), bei s 0 =250 mm (Durchschnittswert) wesentlich bei der Abbildung - zwei benachbarte Punkte müssen gerade noch als getrennt wahrgenommnen werden. das Maß für die Unterscheidbarkeit zweier Punkte - Auflösungsvermögen das Auge sieht den Gegenstand unter dem Sehwinkel δ ohne und unter dem Sehwinkel δ 0 mit Lupe. Die Vergrößerung ist dann: δ s0 V = 0 δ f δ 0 δ S 0 =250 mm Je geringer die Brennweite desto größer die Vergrößerung

51 δ s0 V = 0 δ f

52 Strahlengang im Mikroskop - Bildkonstruktion

53 Das Mikroskop Strahlengang und Vergrößerung Beobachtung von Objekten unter der Auflösungsgrenze des Auges Lupe müssen Objekte noch stärker vergrößert werden - zwei hintereinander geschaltete Linsen (Linsensysteme) - Objektiv und Okular das Mikroskop Virtuelles Bild des durch Okular (Lupe) betrachteten reelen Zwischenbildes t t 60 mm V M = V Ob V Ok t f s f 0 2 V M = 400 f f 2 Warum ist ein beliebiges V M nicht möglich?

54 Wellenoptik Die geometrische Optik kann nicht die Erscheinungen wie Interferenz, Beugung oder Streuung erklären. Es sind typische Welleneigenschaften. Beugungsmuster Spalt Beugungsmuster - Blende d sinφ = λ d sinφ =, 22 λ Lage des. Minimums Lage des. Minimums

55 Auflösungsvermögen - Mikroskop Abbildung unter der Auflösungsgrenze Der kleinste noch beobachtbare Abstand zweier Punkte d, nennt man das Auflösungsvermögen. Es ist beschränkt durch die Beugungseffekte. Das Auflösungsvermögen ist gegeben durch: d =,22 λ,22λ = 2 n sinα 2 NA NA numerische Apertur eines Objektives Auflösungsvermögen für ein Mikroskop mit 2α=00, bei λ=550nm in der Luft (n=):,22 550nm d = = 436nm 2 0,77

56 Das Auflösungsvermögen - Auge (Rayleigh Kriterium) Die Beugnungsbilder zweier Punkte müssen mindestens einen solchen Abstand haben, dass das Minimum des einen auf das Maximum des anderen Bildes fällt dann können diese zwei Punkte als getrennt aufgelöst werden aufgelöst Kritisch (Rayleigh) θmin =. 22 λ D Rayleigh Kriterium ( für Linse mit Durchmesser D) unaufgelöst

57 AUGE: für λ = 550 nm und eine Pupillenöffnung von 3 mm (Durchmesser) ergibt sich ein Mindestwinkel zwischen zwei noch auflösbaren Punkten von etwa,8 0-4 rad (Winkelauflösung).Dies entspricht einem Abstand auf der Netzhaut von ca. 4 µm. Tatsächlicher Abstand der Rezeptoren liegt in dieser Größenordnung. θ min FERNROHR: Das Auflösungsvermögen von einem Fernrohr mit D = 5m zur Mondbeobachtung. Mit dem Abstand Erde-Mond von x = km kann man den minimalen Abstand a von Objekten auf dem Mond abschätzen, die noch aufgelöst werden: θ min = a/x. Bei λ = 550 nm ergibt sich daraus a =.22 λx/d = 52m. Für D = 5m erhält man bei λ= 550 nm eine Winkelauflösung von rad.

58 Der Aufbau vom Octopus-Auge is dem Aufbau des menschlichen Auges ähnlich.

59 Simulation des Insektensehens in der Entfernung von etwa 2 meter So würde ein Insekt den Alber Einstein sehen Albert Einstein

60 Polarisation des Lichtes Natürliches Licht ist meistens unpolarisiert. Die Polarisation von Licht ist ein Wellenphänomen, das wie viele Welleneffekte unserer Intuition widerspricht. Anders als Schallwellen (longitudinal), die nur vorwärts und rückwärts schwingen, schwingt Licht senkrecht zur Ausbreitungsrichtung. Werden zwei gleichgerichtete Polarisationsfilter hintereinander gestellt, so geht alles Licht, das durch den ersten Filter gelangt, auch durch den zweiten. Unpolarisiert Linear polarisiert

61 Werden zwei senkrecht zueinander polarisierte Filter hintereinander gestellt, so kommt kein Licht durch. Das erstaunt vielleicht nicht speziell. Das entspricht unserer Alltagserfahrung: Je mehr Hindernisse man in den Weg stellt, desto weniger kommt durch. Stellen wir zwischen die zwei senkrecht zueinander gerichteten Polarisatoren einen dritten, der zu beiden anderen um 45 gedreht ist, so kommt wieder Licht hindurch.

62 Polarisation durch Reflexion Wird Licht unter einem geeignetem Winkel an einer Glasoberfläche reflektiert, so wird das reflektierte Licht parallel zu der Glasoberfläche polarisiert. Dieser Winkel ist vom Brechungsindex abhängig. Für n=.5 ist dieser Winkel = 57.

63 Streuung in d. Atmosphäre führt zur Polarisierung von Licht: Rayleigh Streuung (auch Erklärung von Himmelblau u. Abendrot) once in a blue moon.. Streuung bei 400nm ist etwa 0 stärker als bei 700nm bei gleicher Irradianz