3 log. 2 )+log(1/u) g) log(2ux) 1+ a. j) log

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1 Logarithmen = 125 ist gleichbedeutend mit 5 log(125) = 3. Formen Sie nach diesem Muster um. a) 2 5 = 32 b) 10 4 = c) 7 0 = 1 d) 3 2 = 1/9 e) 10 3 = f) 5 1/2 = 5 g) 6 log(216) = 3 h) 10 log 2. Berechnen Sie die Logarithmen (ohne Taschenrechner). a) 2 log(4) b) 2 log(64) c) 3 log(27) d) 5 log(125) e) log(100) f) log(10'000) g) 2 log(2) h) 5 log(1) i) 3 log(1/3) j) log(0.1) k) 5 log(1/25) l) 2 log(1/16) = Berechnen Sie die Logarithmen (ohne Taschenrechner). a) 2 log 2 b) log 10 c) 3 log 3 3 d) log 1000 e) 2 log 1 2 f) log g) 4 log(0.25) h) 2 log(0.125) 4. Lösen Sie die folgenden Exponentialgleichungen durch Logarithmieren (ohne solve()). a) 4 x = 12 b) 1.14 x = 0.7 c) 0.45 x = 1.9 d) 3.7 2x = 5 e) x = 0.8 f) 8.2 x = 4.9 g) 5.6 2x = 1.4 h) x = 2.7 i) 10 x 1 = 6 j) 5 1 2x = 17 k) 7 x+1 = 7 2x l) 5 2x = 4 1 x 5. Lösen Sie die Gleichungen durch Substitution (ohne solve()) a) 3 2x 4 3 x +3 = 0 b) 16 x 6 4 x = 8 c) 9 x +3 x = 6 d) 7 x +4 = 21 7 x 6. Vereinfachen Sie die Ausdrücke mit Hilfe der Logarithmensätze (ohne Taschenrechner). a) log(u 2 ) log(u) b) log(ab) log(a 2 b) c) log(u)+log(1/u) d) log(1/x) log(2/x) e) log(x) log x f) log(2u) 2 log(u)+log(u 2 )+log(1/u) g) log(2ux) h) 2 log(5u 3 ) i) log ax b j) log 1+ a 1 k) log x 1+ x 7. Lösen Sie die Gleichungen durch Exponieren (ohne solve()) a) log(x 4) = 2 b) log(1 3x) = 0.8 c) 2 log(x) = 1.4 d) 2 log(x 1) = 2.5 8*. Warum sind folgende Gleichungen auch mit Logarithmen nicht lösbar? a) 3 x = x 2 b) log(x) = 3x 2. a) 2, b) 6, c) 3, c) 3, d) 3, e) 2, f) 4, g) 1, h) 0, i) 1, j) 1, k) 2, l) a) 1/2, b) 1/2, c) 1/3, d) 3/2, e) 1/2, f) 1/3, g) 1, h) a) 1.79, b) 2.72, c) 0.80, d) 0.62, e) 0.20, f) 0.76, g) 0.098, h) 1.09, i) 1.78, j) 0.38, k) 1, l) a) 0, 1, b) 1, 0.5, c) 0.63, d) a) log(u), b) log(a), c) 0, d) log(2), e) 0.5 log(x), f) log(2), g) log(2)+log(u)+log(x), h) 2log5+3 2log(u), i) log(a)+log(x) log(b), j) 0.5 log(1+a), k) log(x) 0.5 log(1+x). 7. a) 104, b) 1.77, c) 2.64, d) * a) , b)

2 Logarithmentafel 1. Berechnen Sie näherungsweise die Werte mit Hilfe Ihrer Logarithmentafel. Drücken Sie mit Hilfe der Logarithmensätze den gesuchten Wert durch verfügbare Werte aus! a) ln(6) b) ln(30) c) ln(100) d) ln(0.5) e) ln(0.2) f) ln(0.1) g) ln(1.05) h) ln(1.075) i) ln(4.75) j) 2 log(5) k) 2 log(100) l) 10 log(8) 2. Bestimmen Sie bei einigen Aufgaben den relativen Fehler Ihres Wertes gegenüber dem exakten Wert von ln(x) resp a log(x). (für eine Logarithmentafel, deren Werte durch Rechtecke der Breite 0.1 erzeugt wurden, gerundet auf 3 Nachkommastellen) 1a) 1.793; b) 2.709; c) 4.608; d) 0.694; e) 1.610; f) 2.304; g) 0.049; h) 0.072; i) 1.558; j) 2.320; k) 6.640; l) 0.903

3 Logarithmus- und Exponentialfunktionen 1.* a) ! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! =? b) '000 1'000 =? 2. Ein Kapital von Fr 10'000 wird zu 6% während 10 Jahren angelegt. a) Auf welchen Betrag steigt das Kapital an? b) Welcher Zinssatz wäre nötig, damit sich das Kapital in den 10 Jahren verdoppelt? % eines Sees sind mit Algen bedeckt. Die Algenfläche verdoppelt sich in 3 Tagen. Wie lange dauert es, bis der See ganz mit Algen bedeckt ist? 4. Der Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe pro Kilometer um ca. 13% ab. Vergleichen Sie den Luftdruck auf Meereshöhe mit dem Luftdruck beim Gymnasium Liestal (383 m ü.m.) und demjenigen auf dem Mt. Everest (8'848 m ü.m.). 5. Radioaktive Stoffe zerfallen exponentiell. Die Halbwertzeit gibt an, wie lange es dauert, bis die Hälfte der radioaktiven Kerne zerfallen sind. a) Das Iodisotop 131 J hat eine Halbwertzeit von 8.02 Tagen. Wieviel mg sind nach 20 Tagen noch vorhanden, wenn es ursprünglich 65 mg waren? b) Das Plutoniumisotop 239 Pu hat eine Halbwertzeit von 24'110 Jahren. Wieviel Prozent zerfällt pro Jahr? Wie lange dauert es, bis von einer Anfangsmenge noch 1% übrig ist? 6. Eine Bakterienkultur ohne Raum und Nahrungsmangel wächst exponentiell. Annahme: Um 8 Uhr werden 124 und um 12 Uhr 832 Bakterien gezählt. Wie viele Bakterien hat es um a) 9 Uhr b) 10 Uhr c) Uhr? 7. Eine Computeranlage mit dem Neuwert Fr 2'056'900 wird nach 6 Jahren für Fr 400'000 verkauft. Wieviel Prozent beträgt die jährliche Wertabnahme? 8. Wie viele Stellen hat die Zahl 2 3' , die grösste bekannte Primzahl (Sommer 1999)? 9. Mit der Formel L = 10 log(j/j 0 ) wird die durch den menschlichen Hörsinn empfundene Lautstärke L (in Phon) näherungsweise bestimmt. Dabei bedeutet J die Schallintensität (in W/m 2 ). J 0 = W/m 2 ist die Intensität, die vom menschlichen Ohr gerade noch wahrgenommen werden kann (Hörschwelle). a) Welche Lautstärken L gehören zu den Schallintensitäten J 0, 10 J 0, 50 J 0, 200 J 0? b) Die Schmerzgrenze liegt bei 130 Phon. Drücken Sie diese Lautstärke als ein Vielfaches von J 0 aus! c) In einem Konzert erzeugt ein Sänger bei einem Hörer die Lautstärke 75 phon. Welche Lautstärke erzeugen 2 Sänger? 1a) , b) a) Fr 17'908., b) 7.18%. 3) 29 d 21.5 h. 4) 0.95p0, 0.29p0. 5a) mg, b) 160'183 a. 6a) ca. 200, b) ca. 320, c) ca ) 24%, 8) 909'526 S. 9a) 0 phon, 10 phon, 17 phon, 23 phon, b) J 0, c) 78 phon.

4 Logarithmus- und Exponentialfunktionen 2: Logarithmische Skala 1. Stellen Sie die Funktionen für x > 0, in einem Koordinatensystem dar, bei dem a) die y Achse b) die x und die y Achse lograithmisch ist. Verwenden Sie für beide Achsen den Zehnerlogarithmus. f(x) = 100 x 3 g(x) = 0.1 x 4 h(x) = x k(x) = x. 2. Das Wachstum einer Bakterienkultur soll auf Grund von Auszählungen vorhergesagt werden. Dabei wird von einer konstanten Wachstumsrate ausgegangen. Zeit (in h) Anzahl Bakterien ' a) Bestimmen Sie die zugehörige Regressionsgerade in einem x ln(y) Diagramm und daraus die exponentielle Näherungsfunktion. b) Bestimmen Sie die Näherungsfunktion direkt mit dem TI 89/92. c) Mit welcher Bakterienzahl ist nach 1 Tag zu rechnen? 2a) ln(y) = x , f(x) = x ; b) f(x) = x ; c)

5 Logarithmen: Zusatzaufgaben 1. Lösen Sie die Gleichungen nach der Variablen x auf. Benützen Sie den Taschenrechner nur zur Kontrolle. a) 1234 = x b) 12 34x = 56 78x c) x = x 2. Verfahren Sie wie in Aufgabe 1. Begründen Sie gegebenenfalls, warum eine Gleichung formal nicht lösbar ist. a) 25 x +5 x = 25 b) 25x 5 x = 2 5 c) 2log(5x) =25 3. a) Welche Eigenschaften haben Logarithmen? b) Was muss folglich für ln gelten, damit auch ln ein Logarithmus ist. c) Warum finden Sie auf dem Taschenrechner nur zwei Logarithmen? d) Wie bestimmt man die Basis eines unbekannten Logarithmus? 4. Bestimmen Sie die Logaritmenwerte näherungsweise mit Hilfe der Logarithmentafel. Geben Sie Ihren Lösungsweg an! a) ln(8) b) ln(800) c) 8log(0.8) 1. mit TR. 2a) 0.938; b) nur nummerisch: 0.538; c) a) Basis, Additionsregel, Potenzregel etc., i.a nicht rationale Werte; b) Rechenregeln nachweisen, Basis finden; c) Basiswechsel möglich (eine der Rechenregeln); d) a log(a) = 1. 4a) ln(4)+ln(2) oder 3 ln(2); b) ln(8)+ln(2)+ln(5) oder 4 ln(2)+ln(5); c) (ln(4) ln(5))/ln(8).

6 Exponentialfunktionen: Wertzunahme und Wertabnahme 1. a) Ein Kapital wächst in 8 Jahren von Fr 545. auf Fr Bestimmen Sie den jährlichen Zinsfuss. b) Wie lange benötigt ein Kapital von Fr 645. um bei einem Zinsfuss von 3.25% auf Fr 833. anzuwachsen? c) Ein Kapital wächst in 9 Jahren bei einem Zinsfuss von 4.25% auf Fr 933. an. Berechnen Sie das Anfangskapital. 2. Normalerweise wird ein Kapital jährlich verzinst. Was ändert sich, wenn die Verzinsung halbjährlich (monatlich) vorgenommen würde? Würde das Kapital schneller oder gleich schnell anwachsen? Untersuchen Sie die Frage für ein Anfangskapital von Fr 100. und einen Jahreszinssatz von 12%. Beachten Sie, dass der Halbjahreszinssatz 12%/2 = 6% beträgt. 3. Ein Auto verliert in den ersten zwei Jahren jährlich 25% an Wert, in de folgenden drei Jahren jeweils 20%, dann immer 10% jährlich. Nach wievielen Jahren ist der Wert auf 50% (10%) gefallen? 1a) 3.77%; b) 8.00 Jahre; c) Fr ) Das Kapital wächst schneller (zusätzlicher Zinseszins), jährlich verzinst auf Fr 112., halbjährlich auf Fr , monatlich (Zinsfuss 1%) auf Fr ) 2.53 Jahre (15.04 Jahre), Tipp: Bestimmen Sie zuerst den Wert nach 2 resp. 5 Jahren.