Übungsbeispiel 1: Quadratische Modellierung

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1 Übungsbeispiel 1: Quadratische Modellierung Ein Uhrenhersteller möchte den Preis für sein neues Modell festlegen und führt dazu eine Marktanalyse durch. Das Ergebnis lautet: Bei einem Preis von 60 ist der jährliche Gewinn 50000, bei einem Preis von 90 ist der Gewinn und bei einem Preis von 130 liegt der Gewinn bei Aufgrund dieser Daten vermutet er, dass sich der Zusammenhang Preis p einer Uhr Jahresgewinn G näherungsweise durch ein quadratisches Modell beschreiben lässt. Erklären Sie, wie man eine Termdarstellung der entsprechenden quadratischen Funktion erhalten kann! Aufstellen eines linearen Gleichungssystems aus den ermittelten Daten durch Einsetzen in die allgemeine Termdarstellung G(p) = ap 2 + bp + c: G(60) = a p + c = G(90) = a p + c = G(130) = a p + c = Durch Lösen des Gleichungssystems (Taschenrechner oder Computer) erhält man die Werte der Koeffizienten a, b und c. Diese braucht man dann nur mehr in die allgemeine Termdarstellung G(p) = ap 2 + bp + c einzusetzen. Die Abbildung zeigt die Daten aus der Marktanalyse und den Graph der daraus ermittelten quadratischen Funktion G: p 7! G(p) Erklären Sie, welche Größen auf der x-achse und der y-achse aufgetragen wurden! Auf der x-achse ist der Preis p in aufgetragen, auf der y-achse, der Jahresgewinn G(p) ebenfalls in. Begründen Sie, warum der Gewinn bei Erhöhung des Preises nicht ständig weiter wächst, sondern ab einem bestimmten Preis wieder geringer wird! Durch den höheren Preis wird die Nachfrage geringer, es werden also weniger Uhren verkauft. Könnte man aufgrund der durch die Marktanalyse erhobenen Daten auch ein lineares Modell als geeignete Annahme vermuten? Begründen Sie Ihre Antwort! Nein, der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade und die durch die Daten festgelegten Punkte (in der Zeichnung orange dargestellt) liegen offensichtlich nicht auf einer Geraden.

2 Lesen Sie aus der Grafik die ungefähren Koordinaten des Scheitels der Parabel ab und erklären Sie, welche Bedeutung sie für den Uhrenhersteller haben! Der Scheitel liegt etwa bei (105 j ). Das bedeutet, dass bei einem Verkaufspreis von 105 der größte Jahresgewinn nämlich erzielt werden kann. Erklären Sie eine Methode, wie man rechnerisch die x-koordinate des Scheitels ermitteln kann, wenn die Termdarstellung der Funktion bekannt ist! Man ermittelt zunächst die Nullstellen der x 1 und x 2 der Funktion (Lösen der Gleichung ap 2 + bp + c = 0). Die x-koordinate des Scheitels ist das arithmetische Mittel dieser beiden Werte: x S = x 1+x 2 2 Schätzen Sie aus der Grafik die Nullstellen der Funktion und erklären Sie, welche Bedeutung sie für den Uhrenhersteller haben! Die Nullstellen liegen bei ca. 45 und 160. Das bedeutet, dass der Verkaufspreis der Uhr unbedingt zwischen 45 und 160 liegen sollte, da nur dann Gewinn erzielt werden kann. Bei genau 45 bzw. 160 wird kein Gewinn gemacht, bei einem Preis von weniger als 45 bzw. mehr als 160 wird sogar Verlust gemacht. Welche der folgenden Termdarstellung könnte der dargestellten Funktion zugrunde liegen? Begründen Sie Ihre Antwort! G(p) = 50p p G(p) = -50p p G(p) = -50p p G(p) = 50p p G(p) = -50p p Es handelt sich um eine quadratische Funktion, die allgemein die Termdarstellung G(p) = ap 2 + bp + c hat. Wir sehen, dass die Parabel nach unten offen ist, deshalb muss a < 0 gelten. Außerdem sieht man, dass der Funktionswert an der Stelle null jedenfalls negativ ist: G(0) = c < 0. Der einzige Term, der diese beiden Bedingungen erfüllt, ist der zweite. Wie viele Nullstellen kann eine quadratische Funktion haben? Skizzieren Sie zu jeder Möglichkeit einen typischen Graphen! Eine quadratische Funktion kann null, eine oder zwei Nullstellen haben: keine Nullstelle eine Nullstelle zwei Nullstellen Geben Sie eine (einfache) quadratische Gleichung an, die sicher keine reelle Lösung besitzt und eine weitere, die sicher zwei verschiedene reelle Lösungen besitzt!

3 Es gibt viele Möglichkeiten, z. B.: Die Gleichung x 2 = -1 hat keine reelle Lösung, weil keine Wurzeln aus negativen Zahlen existieren (in den reellen Zahlen). Die Gleichung x 2 = 4 hat die Lösungen x 1 = 2 und x 2 = -2. Geben Sie eine quadratische Gleichung an, die die Lösungen 3 und -1 besitzt! Die Gleichung (x - 3) (x + 1) = 0 besitzt die gewünschten Lösungen (Produkt-Null- Satz).

4 Übungsbeispiel 2: Lineare Optimierung Eine Autofirma erzeugt mehrere Typen von Personenkraftwagen in zwei Fabriken F 1 und F 2 und ist an einem optimalen Gewinn interessiert. Für die Herstellung eines PKW vom Typ I werden in F 1 40 Stunden in F 2 80 Stunden benötigt und für Typ II in F 1 60 Stunden und in F 2 60 Stunden. Insgesamt kann man in F Stunden arbeiten, in F Stunden. Vom Typ I können höchstens 120, vom Typ II höchstens 100 Stück produziert werden. Der Gewinn je PKW Typ I beträgt 4 000;- und bei Typ II 5 000;-. Stellen Sie das zu diesem Sachverhalt gehörende Ungleichungssystem sowie die Zielfunktion auf. x Anzahl der PKWs vom Typ I y Anzahl der PKWs vom Typ II Nebenbedingungen: Zielfunktion: x > 0, y > 0 (Nichtnegativitätsbedingungen) 40x + 60y x + 60y x y z = 4000x y

5 Übungsbeispiel 3: Lineare Optimierung Interpretieren Sie die Grafik als Maximierungsaufgabe, lesen Sie die einschränkenden Bedingungen und die Zielfunktion ungefähr ab und zeigen Sie die einzelnen Schritte des graphischen Lösens von Optimierungsproblemen. Nebenbedingungen: Zielfunktion: x > 0, y > 0 (Nichtnegativitätsbedingungen) y 6 5-0;7x y 6 7-1;3x x 6 4 y = -2;3x Nach dem Einzeichnen des durch die Nebenbedingungen festgelegten Lösungsbereichs und der Zielfunktion verschiebt man die Zielfunktion so lange parallel, bis sie den Lösungsbereich von oben (bei Maximierungsproblemen) zum ersten Mal berührt. Ablesen der Koordinaten des Berührpunktes. Im obigen Beispiel liegt dieser ca. bei (4 j 2), das bedeutet also 4 Stück von x und 2 Stück von y.

6 Übungsbeispiel 4: Lineare Optimierung Eine Autofirma erzeugt mehrere Typen von Personenkraftwagen in zwei Fabriken F 1 und F 2 und ist an einem optimalen Gewinn interessiert. Bei der Herstellung von Fahrzeugen von Typ III mit x Stück und Typ IV mit y Stück ergibt sich folgendes lineares Ungleichungssystem x > 0 y > 0 x y x + 40y x + 20y sowie die Zielfunktion für den Gewinn: G = 5 000x y Ermitteln Sie unter Zuhilfenahme von GeoGebra, wie viele Stück von beiden Fahrzeugen produziert werden sollen, damit der Gewinn so hoch wie möglich ausfällt und geben Sie an, wie hoch der Gewinn ist. Eingeben der Ungleichungen einzeln oder alle gemeinsam: (x 0) (y 0) (x 120) (y 100) (20x + 40y 5200) (40x + 20y 5600) Der Schnitt aller Halbebenen ist der Lösungsbereich. Umformen der Zielfunktion nach y: y = -2;5x G Einzeichnen der Zielfunktion durch den Ursprung: y=-2.5x Verschieben der Zielfunktion, bis sie den Lösungsbereich zum ersten Mal von oben berührt: Der Berührpunkt liegt bei (120 j 40). Um maximalen Gewinn zu erzielen, sollten also 120 PKWs vom Typ III und 40 PKWs vom Typ IV hergestellt werden.

7 Die Höhe des Gewinns erhält man durch Einsetzen in die Zielfunktion: =

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