Versicherungsmathematische Analyse des Bonus Malus Systems in der KFZ Haftpflichtversicherung

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1 Versicherungsmathematische Analyse des Bonus Malus Systems in der KFZ Haftpflichtversicherung Institut für Statisti Technische Universität Graz Betreuer Ao.Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr.techn. Wolfgang Müller Autor Katharina Stangl Grubweg 15a 8580 Köflach Graz, im April 2007

2 Inhaltsverzeichnis 0 Kurze Einführung 3 1 Das österreichische Bonus-Malus System Einleitung Um- und Einstufungsregelungen Entwiclung des Bonus-Malus Systems von 1977 bis Das disrete Bonus Malus System Modellbildung Die Gesamtosten des Versicherten bei unendlicher Laufzeit Die Gesamtosten der Versicherung bei unendlicher Laufzeit Disrete stochastische dynamische Programmierung Einführung Anwendung der DSDP zur Bestimmung der Schwellenwerte 30 3 Das zeitstetige Bonus Malus System Der Poissonprozess Modellbildung Die Gesamtosten des Versicherten bei unendlicher Laufzeit Die Gesamtosten der Versicherung bei unendlicher Laufzeit Parameterschätzung Die dem österreichischen Bonus Malus System zugrunde liegende Marovette Übergangsmatrix im österreichischen Bonus Malus System Schätzung und Ergebnisse Methode der leinsten Quadrate Ergebnisse Interpretation der Ergebnisse Korretur der Arbeit von Zacs und Levison Modellannahmen und Kostengleichungen Kosten im disreten Modell

3 5.1.2 Kosten im zeitstetigen Modell Richtige Werte des in der Arbeit angeführten Beispiels Problemstellung angewandt auf das österreichische Bonus Malus System Herleitung der verschiedenen Funtionen und Gleichungssysteme Numerische Werte Schwellwerte und Risien für eine Wahl der Parameter Strategien für verschiedene Parameterwahlen Erwartete Kosten bei unendlicher Laufzeit Vergleich der Werte und Interpretation der Ergebnisse Schwellwerte, Risien und Strategien Kosten des Versicherten und der Versicherung Schlussfolgerungen 73 A Theorie der Marovetten 74 B Einige in der Diplomarbeit verwendete Verteilungen 77 B.1 Disrete Verteilungen B.1.1 Geometrische Verteilung B.1.2 Poissonverteilung B.2 Stetige Verteilungen B.2.1 Exponentialverteilung B.2.2 Gammaverteilung C Mathematica Programme 79 C.1 Programm zur Bestimmung der Schwellwerte und Risien C.2 Programm zur Bestimmung der Kosten des Versicherten und der Versicherung für das disrete Stopproblem C.3 Programm zur Bestimmung der Kosten des Versicherten und der Versicherung für das zeitstetige Stopproblem C.4 Simulationsprogramm für das disrete Modell C.5 Simualtionsprogramm für das zeitstetige Modell

4 Kapitel 0 Kurze Einführung Jeder, der schon einmal einen Unfall verursacht hat, fragt sich, ob es sich auszahlt, diesen Unfall der Versicherung zu melden und somit in eine höhere Prämienstufe eingestuft zu werden, oder ob man den Schaden lieber selber zahlen soll. Genau damit beschäftigt sich meine Diplomarbeit. Im ersten Kapitel erläre ich die Grundzüge des österreichischen Bonus Malus Systems mit den zugehörigen Ein bzw. Umstufungsregelungen. Außerdem wird die Entwiclung des Bonus Malus Systems in den letzten Jahren beschrieben. Das zweite Kapitel befasst sich mit dem disreten, das dritte Kapitel mit dem zeitstetigen Bonus Malus System. Für beide Fälle werden das Modell und die Kostenfuntion sowohl des Versicherten als auch der Versicherung beschrieben. Den wichtigsten Teil des zweiten Kapitels bildet die disrete stochastische dynamische Programmierung mit deren Hilfe die optimalen Schwellwerte bestimmt werden önnen ab denen ein Schaden der Versicherung gemeldet wird. Um die optimalen Werte für das österreichische Bonus Malus System so realistisch wie möglich angeben zu önnen, habe ich versucht, einige wichtige Parameter wie z.b. die Unfallwahrscheinlicheit zu schätzen. Wie in Kapitel 4 erläutert wird ist das mit den mir zur Verfügung stehenden Daten nicht zufriedenstellend möglich. Die Hauptquelle meiner Diplomarbeit ist eine Arbeit von Zacs und Levison [10]. Ausgehend von den in dieser Arbeit angeführten Gleichungen für die Kosten habe ich zuerst versucht das in der Arbeit angeführte Beispiel mit den entsprechend berechneten Kostenwerten nachzuvollziehen. Da ich nicht auf diese Werte geommen bin, habe ich sowohl die Kosten des Versicherten, als auch die der Versicherung mittels Simulation berechnet. Auf Grund der erhaltenen Kostenwerte bemerte ist, dass die angegebenen Kostengleichungen nicht richtig sein önnen, außer die für die Kosten des Versicherten im disreten BMS. Ich werde daher 3

5 in meiner Diplomarbeit an den entsprechenden Stellen darauf hinweisen, wo der Fehler in der Arbeit von Zacs und Levison gelegen ist. Außerdem werde ich im fünften Kapitel noch genauer auf die Fehler und deren Entdecung eingehen. Im sechsten Kapitel meiner Diplomarbeit habe ich die aus den vorhergehenden Kapiteln erhaltenen Ergebnisse auf das österreichische Bonus Malus System angewandt. Weiters habe ich für eine realitätsnahe Parameterwahl sowohl Schwellwerte, als auch erwartete Kosten des Versicherten bzw. der Versicherung bestimmt. Im Anhang sind neben einer urzen Einführung über Marov Ketten und einer Auflistung der in meiner Diplomarbeit verwendeten Verteilungen auch die Mathematica Programme zu finden, mit denen ich die Schwellwerte und die erwarteten Kosten bestimmt habe. Achtung: Leider habe ich nach dem Binden meiner Arbeit noch ein paar leine Fehler entdect. Sie wurden in dieser Version von mir orrigiert. 4

6 Kapitel 1 Das österreichische Bonus-Malus System 1.1 Einleitung Da heutzutage beinahe jeder österreichische Haushalt über mindestens ein Auto verfügt, nimmt die KFZ-Haftpflichtversicherung einen sehr großen Stellenwert in den meisten Versicherungsgesellschaften ein. Aus diesem Grund ist es den Versicherungen aber auch den Versicherten ein großes Anliegen gerechte Prämiensätze festzulegen. Das ursprüngliche österreichische BMS besteht aus 18 Prämienstufen, die mit 0 bis 17 bezeichnet werden, und 9 sogenannten Tariflassen, welche aus jeweils 2 Prämienstufen gebildet werden. Heutzutage hat jedoch jede Versicherung das Recht zusätzliche Prämienstufen einzuführen (z.b. die Prämienstufen A bis C, die als Superbonusstufen bezeichnet werden) oder aber den jeweiligen stufenabhängigen Prozentsatz (siehe nächster Abschnitt) flexibler zu gestalten. Außerdem steht es einem Versicherungsunternehmen frei Selbstbehalte bei Schadensforderungen zu verlangen. Da es somit viele verschiedene BM Systeme gibt, habe ich mich dazu entschlossen, für die in meiner Diplomarbeit durchgeführten Berechnungen das ursprüngliche BMS heranzuziehen. 1.2 Um- und Einstufungsregelungen Beruhend auf bestimmten Mermalen wie z.b der W- bzw. PS-Zahl werden die Kraftfahrzeuge in sogenannte Tarifgruppen unterteilt. Jede dieser Tarifgruppen 5

7 hat eine bestimmte Grundprämie, von der ausgehend man, je nachdem in welcher Prämienstufe man sich befindet, einen bestimmten Prozentsatz bezahlen muss. (siehe nachfolgende Tabelle) Wie aus der Tabelle ersichtlich, muss jemand, der sich in einer der beiden höchsten Stufen befindet, viermal so viel an Prämie bezahlen, wie jemand aus Stufe 0 oder 1. Ausgehend von der Grundprämie sind also im schlimmsten Fall das Doppelte, im besten Fall hingegen nur die Hälfte zu bezahlen.[8] Prämienstufe Prozentsätze 0 50% 1 50% 2 60% 3 60% 4 70% 5 70% 6 80% 7 80% 8 100% 9 100% % % % % % % % % Tabelle 1.1: Prozentsatz der Prämie in der jeweiligen Stufe des ursprünglichen BMS Die Umstufung folgt folgendem Schema:[9] Nach schadenfreiem Verlauf jedes Zeitraumes vom 1.Otober bis zum 30.September des folgenden Jahres (Beobachtungszeitraum) wird die Prämie jeweils zur nächsten Hauptfälligeit (Monat, in dem der Versicherungsvertrag abgeschlossen wurde) ab dem dem Beobachtungszeitraum folgenden 1.Jänner nach der nächst niedrigeren Prämienstufe bemessen. Ein Beobachtungszeitraum gilt als schadenfrei verlaufen, wenn ein zu berücsichtigender Versicherungsfall eingetreten ist und der Versicherungsvertrag mindestens neun Monate bestanden hat. Bei Neueinstufung in Stufe 9 erfolgt die 6

8 Umstufung bereits wenn nur 6 Monate in den ersten Beobachtungszeitraum fallen. Für jeden zu berücsichtigenden Versicherungsfall wird die Prämie zur nächsten Hauptfälligeit ab dem dem Beobachtungszeitraum folgenden 1.Jänner um drei Prämienstufen höher als zuvor bemessen, höchstens jedoch bis zur Stufe 17. Wenn man eine Malus-Einstufung verhindern will, so muss man dem Versicherer innerhalb von 6 Wochen die erbrachte Schadensleistung rücerstatten. Dies ann sich bei leineren Schäden durchaus rechnen. Drei Beispiele zur Erlärung: 1. Wird ein KFZ am angemeldet, so genügt der Zeitraum bis als Beobachtungszeitraum. Somit ommt der KFZ-Haftpflichtvertrag zur nächsten Hauptfälligeit am bei Schadensfreiheit in die B/M-Stufe 08. Bei weiterer Schadensfreiheit gilt bei der nächsten Hauptfälligeit am die B/M-Stufe Wird das KFZ am angemeldet, so genügt der Zeitraum bis NICHT als Beobachtungszeitraum. Deshalb wird der Beobachtungszeitraum bis verlängert. Bei Schadensfreiheit bis zu diesem Datum ommt der KFZ-Haftpflichtvertrag dann bei der nächsten Hauptfälligeit am (eventuell auch der ) in die B/M-Stufe 08. Bei weiterer Schadensfreiheit gilt bei der nächsten Hauptfälligeit am (eventuell ist das auch der ) die B/M-Stufe Wird das KFZ am angemeldet, so ist das Versicherungsjahr ident mit dem Beobachtungszeitraum bis Somit ommt der KFZ- Haftpflichtvertrag zur nächsten Hauptfälligeit am bei Schadensfreiheit in die B/M-Stufe 08. Bei weiterer Schadensfreiheit gilt bei der nächsten Hauptfälligeit am die B/M-Stufe 07. 7

9 1.3 Entwiclung des Bonus-Malus Systems von 1977 bis 1997 Als das Bonus Malus System 1977 in Österreich eingeführt wurde, mussten natürlich alle Versicherungsnehmer in der Stufe 9 beginnen. Im darauffolgenden Jahr waren dann auf Grund der Umstufungsregelungen lediglich die Stufen 8, 9, 12, 15 und 17 möglich. Erst 1986 war es den ersten Versicherten möglich, die Bonusstufe 0 zu erreichen. Bis 1997 wurde vom Verband der Versicherungsunternehmen Österreichs die nachfolgende Tabelle erstellt, heutzutage gibt es diese leider nicht mehr. Es wird nur mehr ungefähr ermittelt wie viele Personen in den Bonusstufen bzw. in den Malusstufen zu finden sind, wie groß der Prozentsatz in den Stufen 17 und 16, 8 und 9 bzw. 0 und 1 ist.[1] 8

10 Prämienstufe ,00 0,07 0,17 0,22 0,25 0,25 0,26 0,23 0,22 0,14 0,08 0,07 0, ,03 0,12 0,18 0,15 0,14 0,16 0,16 0,11 0,06 0,06 0, ,03 0,25 0,26 0,24 0,33 0,37 0,30 0,27 0,28 0,21 0,14 0,12 0, ,21 0,43 0,36 0,29 0,39 0,44 0,33 0,28 0,22 0,18 0,15 0, ,23 0,68 0,45 0,31 0,42 0,50 0,36 0,26 0,20 0,19 0, ,29 1,75 1,04 1,37 1,87 1,34 1,15 1,24 1,33 1,06 0,74 0,68 0, ,75 2,09 1,25 1,56 2,23 1,53 1,29 1,40 1,17 0,97 0,85 0, ,04 2,34 1,31 1,58 2,49 1,61 1,33 1,19 1,11 1,01 1, ,00 30,07 19,88 18,31 21,72 16,89 16,14 15,88 16,57 15,71 15,62 13,98 13,65 11, ,61 16,06 7,93 7,50 13,31 7,99 6,92 7,21 8,15 7,26 6,14 5,87 5, ,03 13,26 6,44 6,01 12,64 6,91 5,73 6,02 5,82 5,64 5,38 4, ,20 11,52 5,46 5,02 12,38 6,23 4,98 5,07 5,40 5,21 5, ,22 10,14 4,73 4,37 12,19 5,76 4,89 5,00 4,99 4, ,94 9,06 4,19 3,85 11,96 5,98 4,72 4,65 4, ,78 8,19 3,75 3,43 5,10 6,09 5,98 5, ,44 7,43 3,36 4,36 5,01 5,49 5, ,40 6,79 4,86 4,40 4,55 4, ,50 36,69 40,15 41,11 44,61 Tabelle 1.2: Verteilung der Versicherten auf die einzelnen Prämienstufen 9

11 Kapitel 2 Das disrete Bonus Malus System 2.1 Modellbildung Es wird von einem K+1 stufigen BMS ausgegangen, in welchem sowohl die Prämien π i, i = 0,..., K als auch die Selbstbehalte d i, i = 0,... K der einzelnen Stufen fixiert sind. Der Übergang von der einen zur anderen Stufe ann entweder zu direten Zeiten oder aber zeitstetig (siehe nächstes Kapitel) vollzogen werden. Für die Prämien π i und Selbstbehalte d i gilt Folgendes: und 0 < π 0 < π 1 < < π K (2.1) 0 d 0 d 1 d K. (2.2) Weiters sei für jede Stufe eine Zeitperiode der Länge T ( = 0,..., K) definiert. Wenn sich eine Kunde in der Stufe befindet und innerhalb der Zeitperiode T eine Forderung einreicht, so wechselt er nach Ende dieser Periode in eine niedrigere Stufe. Andererseits wechselt er in eine höhere Stufe, sobald er eine Forderung einreicht. Ein Kunde bleibt in der untersten Stufe solange er nicht fordert, und in der höchsten Stufe K solange er Forderungen einreicht. Erst wenn er nach der letzten Forderung innerhalb einer Periode der Länge T K nicht fordert, ann er in eine niedrigere Stufe wechseln. Es ann vorommen, dass sich ein Kunde in der Stufe 0 oder der Stufe K sehr lange aufhält. In den übrigen Stufen 1 bis K-1 ist die Verweildauer jedoch höchstens T 1, T 2,..., T K 1 Jahre. Im österreichischen 10

12 BMS gilt T 1 = = T K 1 = 1. Weiters ist aus dem ersten Kapitel beannt, dass, wenn man eine Forderung einreicht am Ende des Jahres um 3 Stufen hinaufsteigt, wenn man nicht fordert eine Stufe hinab. Somit erhält man für einen gegebenen Kunden eine Folge von Indizes {J n ; n 1}, welche die Prämienstufen angibt, d.h. J n {0, 1,..., K}. Im österreichischen BMS ist K = 17 und J 0 = 9 die Anfangsstufe. Aus der Strutur des BMS geht hervor, dass {J n ; n 1} eine Marov Kette mit K+1 Zuständen beschreibt. (Definition und allgemeine Eigenschaften von Marovetten siehe Anhang A.) Angenommen ein Kunde, der sich in der Stufe befindet, verursacht einen Jahresgesamtschaden in der Höhe von X Einheiten. Nun stellt sich die Frage, ob er diesen der Versicherung melden oder ihn selber bezahlen soll. Wenn X leiner als der in der Stufe festgelegte Selbstbehalt ist, dann ist es besser, wenn der Kunde den Schaden selber bezahlt. Wenn jedoch X > d, dann muss sich der Kunde überlegen, ob er fordert oder nicht. Wenn er den Schaden selber bezahlt, dann wechselt er in eine niedrigere Stufe, in der die Prämie geringer ist. Wenn er fordert, dann wechselt er in eine höhere Stufe mit einer höheren Prämie. Er muss sich somit überlegen, wie groß X d im Verhältnis zu dem erwarteten Verlust durch den Wechsel in eine niedrigere Stufe ist. Es geht nun darum, dass ein Kunde sogenannte Schwellwerte s 0, s 1,..., s K festlegt (s d für = 0,..., K). Somit wird ein Kunde in Stufe eine Forderung einreichen, wenn X > s. Der Vetor der Schwellenwerte s = (s 0,..., s K ) t wird Strategie genannt. Bemerung: Hier werden nur sehr einfache (stationäre) Strategien betrachtet. I.A. önnen die Schwellwerte von der Vertragsdauer bzw. der Zeit seit Vertragsabschluss abhängen (oder noch allgemeiner von der gesamten Geschichte bis zum gegenwärtigen Zeitpunt, vgl. Kapitel 2.4). Sei D n der totale Schaden eines Versicherten im n ten Jahr, F (x) die ummulative Verteilungsfuntion von D n. Es wird angenommen, dass F beannt und die D 0, D 1,... unabhängig identisch verteilt sind. Die Wahrscheinlicheit eines Unfalles bzw. eines Schadens innerhalb eines Jahres sei F (0) = p KU. G(x) bezeichne die totale jährliche Schadensverteilung unter der Bedingung, dass ein Schaden aufgetreten ist, G(0) = 0. Somit gilt: F (x) = p KU + (1 p KU )G(x), (x 0). (2.3) Nach einer empirischen Untersuchung von Lemaire [5] ann G als approximativ Gamma verteilt angenommen werden, d.h. 11

13 G(x ν) = (1/Γ(ν)) x 0 u ν 1 e u du. (2.4) Dabei bezeichnet ν > 0 den sogenannten Formparameter. Die Gamma Funtion ist definiert durch Γ(ν) = und erfüllt 0 t ν 1 e t dt (2.5) Γ(ν + 1) = νγ(ν), (2.6) Γ(ν + 1) = ν!, falls ν ganzzahlig ist. (2.7) Die Übergangsmatrix von {J n } hängt vom Vetor s = (s 0,..., s K ) der Schwellwerte ab. Sie wird mit P (s) bezeichnet. Im österreichischen BMS gilt: F (s i ), falls 0 i K, j = max(0, i 1) P ij (s) = 1 F (s i ), falls 0 i K, j = min(i + 3, K) 0, sonst Im Folgenden werden nun optimale Strategien und ihr Zusammenhang mit den Prämien betrachtet. Es wird von einem zufälligen Kunden einer speziellen Population ausgegangen. Deshalb werden alle Funtionen und Parameter als jene der Population betrachtet und als beannt angenommen. 2.2 Die Gesamtosten des Versicherten bei unendlicher Laufzeit Die Kosten, die sich bei einem Schaden im n ten Jahr für einen Versicherten in Stufe ergeben, sind { π + αd r (s ) = n, D n < s π + αd, D n s wobei man entweder den Schaden selbst bezahlt oder den Selbstbehalt der jeweiligen Stufe plus die Prämienrate. α bezeichnet dabei einen Disontierungsfator 12

14 (0 < α < 1). Hinter dem Disontierungsfator steht die wirtschaftliche Idee, dass Kosten, die in der Zuunft auftreten, in ihren gegenwärtigen Wert disontiert werden. Wenn z.b. Kosten im Wert von 3 Einheiten zur Zeit n auftreten, dann haben sie zum Zeitpunt 0 den Wert 3α n. Disontierte Kosten ermöglichen somit den Vergleich zu verschiedenen Zeitpunten. r (s ) sind also die Kosten, die sich im ten Jahr ergeben, disontiert auf den Jahresbeginn (an dem die Prämie π fällig ist, nicht aber die am Jahresende fälligen Kosten D bzw. d ). Die jährlich zu erwartenden disontierten Kosten eines Kunden in Stufe mit Schwellwert s sind R (s ) = E[r (s )] = π + αe[d n I {Dn <s }] + αe[d I {Dn s }] = = π + α s Aus 2.8 folgt mittels partieller Integration 0 xdf (x) + αd (1 F (s )). (2.8) s R (s ) = π + αd αd F (s ) + α 0 xdf (x) = π + αd αd F (s ) + α[xf (x) s = π + αd αd F (s ) + αs F (s ) α = π + αd αf (s )(d s ) α s 0 0 s s 0 0 F (y)dy] F (y)dy F (y)dy. (2.9) Sei R(s) der K + 1-dimensionale Vetor mit Elementen R (s ), = 0,..., K. Bezeichne C i (s) die zu erwartenden zuünftigen disontierten Gesamtosten, wenn man sich in Stufe i befindet, d.h. Dann gilt C i (s) = E[ α n R Jn (s Jn ) J 0 = i]. (2.10) n=0 C i (s) = R i (s i ) + E[ α n R Jn (s Jn ) J 0 = i] n=1 13

15 = R i (s i ) + P ij E[ α n R Jn (s Jn ) J 1 = j] j {0,...,K} = R i (s i ) + α j {0,...,K} n=1 P ij C j (s). Fasst man die C i (s) zu einem Vetor C(s) = (C 0 (s),..., C K (s)) zusammen, ist das obige Gleichungssystem äquivalent mit der Matrix Gleichung (I αp )C(s) = R(s). (2.11) Aus der nachfolgenden Proposition 2.1 folgt, dass I αp für 0 < α < 1 stets invertierbar ist. Man erhält C(s) = (I αp ) 1 R(s). (2.12) Proposition 2.1: Ist P die Matrix der Übergangswahrscheinlicheiten einer endlichen Marovette und α [0, 1), dann ist I αp stets invertierbar. Beweis: Mit P ist auch P n für jedes n 0 eine stochastische Matrix und hat daher Zeilensummennorm 1. Daraus folgt, dass für α [0, 1) R = n=0 αn P n onvergent ist. Wegen R(I αp ) = (I αp )R = I ist R zu I αp invers. q.e.d. Das Gleichungssystem (2.11) ist ident zu dem aus der Arbeit von Zacs, Levison. Es ann jedoch auch auf eine etwas andere Art hergeleitet werden. Diese im Folgenden beschriebene Methode lässt sich auf das zeitsteige BMS übertragen. Bezeichne mit S n den Schaden im n ten Jahr, X n die disontierten Gesamtosten des Versicherten ab dem Jahr n (disontiert auf den Beginn des Jahres n) und J n der Stufe des Versicherten im Jahr n. Dann werden die Kosten des sich in der -ten Stufe befindenden Versicherten wie folgt bestimmt. C = π + E[X 1 J 1 = ] = π + P (S 1 = 0 J 1 = )E[αX 2 S 1 = 0, J 1 = ] +P (S 1 > s J 1 = )E[αd + αx 2 S 1 > s, J 1 = ] +P (0 < S 1 s J 1 = )E[αS 1 + αx 2 0 < S 1 s, J 1 = ] (2.13) 14

16 Da S 1 = 0, S 1 > s und 0 < S 1 s unabhängig von J 1 = sind, folgt P (S 1 = 0 J 1 = ) = P (S 1 = 0) = F (0) (2.14) P (S 1 > s J 1 = ) = P (S 1 > s ) = 1 F (s ) (2.15) und P (0 < S 1 s J 1 = ) = F (s ) F (0). (2.16) Weiters gilt, dass die Bedingung S 1 = 0, J 1 = äquivalent mit der Bedingung J 2 = max( 1, 0), J 1 = ist und somit gilt auf Grund der Maroveigenschaft E[ S 1 = 0, J 1 = ] = E[ J 2 = max( 1, 0)]. (2.17) Ähnlich dazu überlegt man sich, dass E[ S 1 > s, J 1 = ] = E[ J 2 = min( + 3, K)] (2.18) und E[ 0 < S 1 s, J 1 = ] = E[ J 2 = max( 1, 1)]. (2.19) Somit erhält man C = π + F (0)αE[X 2 J 2 = max( 1, 0)] +(1 F (s ))(αd + αe[x 2 J 2 = min( + 3, K)] +(F (s ) F (0))(αE[S 1 0 S 1 s ] + αe[x 2 J 2 = max( 1, 0)] = π + F (0)αC ( 1) 0 + (1 F (s ))(αd + αc (+3) K ) +(F (s ) F (0))(αE[S 1 0 S 1 s ] + αc ( 1) 0 ) Als nächster Schritt muss nun noch E[S 1 0 S 1 s ] bestimmt werden. 15

17 E[S 1 0 S 1 s ] = = = = 1 S 1 dp P (S 1 (0, s ]) 0 S 1 s 1 xdp S1 (x) F (s ) F (0) (0,s ] 1 xdf (x) F (s ) F (0) (0,s ] 1 (1 p) xdg(x) F (s ) F (0) (0,s ] Zusammen ergibt sich C = F (s )αc ( 1) 0 + (1 F (s ))αc (+3) K +π + α(1 p) xdg(x) + αd (1 F (s )). (2.20) (0,s ] Wegen (2.8) folgt daraus wiederum (2.11). 2.3 Die Gesamtosten der Versicherung bei unendlicher Laufzeit Ähnlich zu der Bestimmung der Kosten des Versicherten bei unendlicher Laufzeit bezeichne auch hier S n den Schaden im n ten Jahr, X n die disontierten Gesamtosten der Versicherung ab dem Jahr n (disontiert auf das Jahr n) und J n die Stufe des Versicherten im Jahr n. Dann werden die Kosten für die Versicherung von einem sich in der -ten Stufe befindenden Versicherten wie folgt bestimmt. Mit den gleichen Überlegungen wie vorhin gilt V = E[X 1 J 1 = ] = P (S 1 s J 1 = )E[X 1 S 1 s, J 1 = ] +P (S 1 > s J 1 = )E[X 1 S 1 > s, J 1 = ] = F (s )E[αX 2 S 1 s, J 1 = ] +(1 F (s ))E[α(S 1 d + X 2 ) S 1 > s, J 1 = ] 16

18 = F (s )αe[x 2 J 2 = max( 1, 1)] +(1 F (s ))( αd + αe[x 2 J 2 = min( + 1, K)] +αe[s 1 S 1 > s, J 1 = ] = F (s )αv ( 1) 1 + α(1 F (s ))(V (+1) K d ) +(1 F (s ))αe[s 1 S 1 > s ]. Auch hier muss noch E[S 1 S 1 > s ] bestimmt werden. E[S 1 S 1 > s ] = = = 1 S 1 dp P (S 1 > s ) S 1 >s 1 xdf S1 (x) 1 F (s ) s 1 p xdg(x) 1 F (s ) s Somit erhält man für 0 K V = αf (s )V ( 1) 0 +α(1 F (s ))(V (+3) K d )+α(1 p) xdg(x) (2.21) s oder V = αf (s )V ( 1) 0 + α(1 F (s ))V (+3) K + (R (s ) π ). (2.22) In Matrixschreibweise oder (I αp )V (s) = R(s) π (2.23) V (s) = (I αp ) 1 (R(s) π). (2.24) In der Arbeit von Zacs und Levison wurde bei der Herleitung des Gleichungssystems (2.21) beim bedingten Erwartungswert E[S 1 S 1 > s ] der Fator 1 p 1 F (s ) vergessen. Welche Auswirungen dies auf die Kosten hatte, wird in Kapitel 5 besprochen. 17

19 2.4 Disrete stochastische dynamische Programmierung In diesem Kapitel wird eine Einführung in die stochastische dynamische Programmierung gegeben. Als Quelle diente das Buch von Heyman [3] Einführung Die stochastische dynamische Programmierung wird auch Marovsches Entscheidungsproblem (MEP) genannt. Zuständen: Sie werden benötigt um die atuelle Bedingung des Systems zu beschreiben. Der Zustandsraum S ist eine endliche Menge und bezeichnet die Menge aller Systemzustände. Für das BMS sind die Zustände gleich den Stufen des BMS, also S = {0..., K}. Ationen: Sie stehen dem Kunden zur Verfügung und hängen vom atuellen Zustand des Sytems ab. Bezeichne A i die Menge der im Zustand i zur Verfügung stehenden Ationen. A = i S A i bezeichne die Menge aller Ationen, D := i S {i} A i die Menge der in den Zuständen i gewählten Ationen. Im BMS gilt A i = [d i, ). Wenn die Ation a A i gewählt wird, so bedeutet dies, dass ein Schwellwert a festgelegt wird und nur Jahresgesamtschäden X mit X a gemeldet werden. Kosten: Die Kostenfuntion C : D R mit C(i, a) den Einschrittosten oder jährlichen Kosten, wenn im Zustand i die Ation a gewählt wird. Im BMS gilt C(i, a) = R i (a). (Weiters gibt es bei einem Marovschen Entscheidungsproblem sogenannte terminale Kosten u : S R, sie sind im BMS jedoch u 0.) Übergangswahrscheinlicheitsverteilung: Sie hängt sowohl vom atuellen Zustand, als auch von der gewählten Ation, nicht jedoch von der Zeit ab. Jedem (i, a) D wird die Wahrscheinlicheitsverteilung (P ij (a)) j S zugeordnet (d.h. P ij (a) 0, j S P ij(a) = 1). Im BMS sieht dies wie folgt aus (mit F der Verteilungsfuntion des Jahresgesamtschadens): P ij (a) = F (a), j = max(i 1, 0) 1 F (a), j = min(i + 3, K) (0 i, j K) 0, sonst 18

20 Entscheidungszeitpunte: Sie geben an, zu welchen Zeitpunten eine Entscheidung getroffen wird und werden mit t T bezeichnet. Wir werden uns mit dem Fall beschäftigen in dem T disret ist, also t = 1, 2,... N für endlichen Zeithorizont bzw. t = 1, 2,... für unendlichen Zeithorizont. Optimalitätsriterien: Wir werden die disontierten Gesamtosten bei eindlichem und unendlichem Zeithorizont als Optimalitätsriterien heranziehen. Zu ihrer Formulierung benötigen wir noch einige Begriffe. Definition 2.2 Betrachtet man den Verlauf der Entwiclung bis zum Zeitpunt n, dann werden nacheinander die Zustände i 0, i 1,..., i n durchlaufen und Ationen a 0,..., a n 1 ausgewählt. (i 0, a 0,..., i n 1, a n 1, i n ) (2.25) heißt Vorgeschichte zur Zeit n. Sei H n die Menge aller möglichen Vorgeschichten zur Zeit n. Die Auswahl einer Ation zum Zeitpunt n wird durch eine Entscheidungsfuntion f : H n A (2.26) beschrieben. Sei F n die Menge aller Entscheidungsfun- mit f((i 0,..., i n )) A in tionen zur Zeit n. Definition 2.3 (i) Eine (deterministische) Strategie ist eine Folge δ = (δ n ) n 0 von Entscheidungsfuntionen δ n F n. Die Menge aller Strategien wird mit bezeichnet. Für das BMS bedeutet dies, dass die Schwellwerte in Abhängigeit der Zeit und der gesamten Vorgeschichte gewählt werden. (ii) Eine Strategie heißt Marovsch, wenn die Auswahl der Ation nur vom Zeitpunt und vom gegenwärtigen Zustand abhängt, d.h. δ = (δ n ) n 0 mit mit δ n (i 0, a 0,..., i n 1, a n 1, i n ) = δ n (i n ) (2.27) δ n F 0 := {f : S A mit f(i) A i für alle i}. (2.28) Im BMS werden die Schwellwerte somit in Abhängigeit von der Zeit und dem gegenwärtigen Zustand gewählt. 19

21 (iii) Eine Strategie heißt stationär, wenn die Auswahl der Ation nur vom gegenwärtigen Zustand abhängt, d.h. δ n (i 0,..., i n ) = f(i n ) für alle n 1 mit f F 0. Für die Schwellwerte im BMS bedeutet dies, dass sie unabhängig von der Zeit nur in Abhängigeit von der gegenwärtigen Stufe gewählt werden. Sie spielen eine wichtige Rolle in der Theorie von MEP s für unendlichen Zeithorizont.[7] Angenommen das System (bzw. ein Kunde) befindet sich zur Zeit t im Zustand i S t, wobei mit S t die möglichen Zustände zur Zeit t bezeichnet werden. Wenn das System die Ation a A i wählt, so erhält das System ein unmittelbares Entgelt und die Wahrscheinlicheitsverteilung für den nächsten Zustand des Systems ist festgesetzt. Dieses Entgelt wird mit r t (i, a) bezeichnet. Ein negatives r t (i, a) wird Kosten genannt. r t (i, a) wird erwartetes Entgelt genannt, wenn das Entgelt der atuellen Periode vom Zustand des Systems zum nächsten Entscheidungszeitpunt abhängt. In diesem Fall bezeichnet r t (i, a, j) das erhaltene Entgelt zum Zeitpunt t, wenn der Zustand des Systems zur Zeit t i ist, Ation a A i gewählt wird und das System zur Zeit t + 1 im Zustand j ist. Das erwartete Entgelt zur Zeit t ist r t (i, a) = j S t+1 r t (i, a, j)p t (j i, a) (2.29) mit p t (j i, a) der Wahrscheinlicheit, dass das System im Zustand j S t+1 ist, wenn die Ation a A i,t im Zustand i zur Zeit t gewählt wurde. Im österreichischen BMS gilt j S t+1 p t (j i, a) = 1. (2.30) Wie in der Definition von stationären Strategien urz erwähnt, spielen sie eine sehr wichtige Rolle in Problemstellungen für unendlichen Zeithorizont. Das bedeutet, dass die Menge der Zustände, die Menge der für einen bestimmten Zustand erlaubten Ationen, das Entgelt, die Übergangsfuntionen und die Menge der Entscheidungsfuntionen für jeden Zustand dieselben sind. Somit ann der Index t weggelassen werden. Unter der Voraussetzung, dass alle Daten stationär sind und mit f F 0 einer zufälligen Entscheidungsfuntion, seien r f (i) = r(i, f(i)) und p f (j i) = p(j i, f(i)) die Ein Perioden Wahrscheinlicheitsfuntion bzw. das Ein Perioden Entgelt, wenn sich das System im Zustand i befindet und die mit der Entscheidungsfuntion f(i) zusammenhängende Ation gewählt wurde. Dann gilt r f (i) = a A i r(i, a)p (f(i) = a) (2.31) 20

22 und p f (j i) = a A i p(j i, a)p (f(i) = a). (2.32) Für die n Schritt Übergangswahrscheinlicheit gilt, mit X t einer Zufallsvariablen, die den Zustand des Systems zur Zeit t angibt, und f(j) = δ(i,..., j) der gewählten stationären Strategie: Pij(f) n = P i1 (f) P 1 2 (f) 1 S 2 S = P f (X n = j X 0 = i). t 1 S P t 1 j(f) Das Optimalitätsriterium der erwarteten disontierten Kosten für endlichen Zeithorizont Wir betrachten das Entscheidungsproblem nur bis zum Zeitpunt N + 1. Sei H t die Vorgeschichte zur Zeit t, t = 1,..., N + 1 und A t = i S t A i,t. Dann ist H 1 = {S 1 }, H t = {S 1, A 1, S 2,..., A t 1, S t } = {H t 1, A t 1, S t }, t = 2,... N + 1. Das bedeutet, dass H t indutiv durch Terme von H t 1 definiert werden ann und somit für h t H t, h t = (i 1, a 1, i 2,..., a t 1, i t ) = (h t 1, a t 1, i t ) mit h t 1 H t 1. Sei δ = (δ n ) n 0 eine von der Vorgeschichte abhängige Strategie, mit δ n F n. Wenn eine Strategie δ gewählt und eine Vorgeschichte realisiert wird, so bezeichne mit Ht δ die zugehörige Vorgeschichte. Sei vn δ (i) gleich dem erwarteten Gesamtentgelt über den Planungshorizont, falls die Strategie δ verwendet wurde und sich das System zum ersten Entscheidungszeitpunt im Zustand i befunden hat. Diese ist gegeben durch N vn(i) δ = E δ,i [ r t (Xt δ, f t (Ht δ )) + r N+1 (XN+1)] δ (2.33) t=1 21

23 wobei mit Xt δ der Zustand des Systems zur Zeit t unter der Strategie δ bezeichnet wird und E δ,i den Erwartungswert in Abhängigeit von der Stratgie δ und dem Zustand i beschreibt. Unter der Bedingung, dass r t (i, a) für (i, t) S t A i,t begrenzt ist, existiert vn δ (i) und ist für alle Strategien δ und jedes N < begrenzt. Im Fall von disontierten Kosten ist der Disontierungsfator in obige Summation einzuführen. Dies ändert an den weiteren Auführungen jedoch nichts. Die Aufgabe des Kunden ist es nun zum Zeitpunt 1 eine Strategie δ, mit der Menge aller Strategien, mit größtem erwarteten Entgelt festzulegen. Wenn sowohl S t als auch A s,t endlich sind, gibt es nur endlich viele Strategien. Somit ist garantiert, dass so eine Strategie existiert und gefunden werden ann. Also besteht die Aufgabe des Kunden nun darin, eine Strategie δ zu finden, sodass v δ N (i) = max δ vδ N(i) v N(i), i S 1. (2.34) Die Strategie δ wird optimale Strategie und vn (i) wird optimale Wertfuntion genannt. Besteht die Aufgabe eines Kunden nun darin, Kosten zu minimieren, wie es im österreichischen BMS der Fall ist, so überlegt man sich folgendes. Sei V δ N (i) = v δ N (i). Finde δ mit v δ N (i) = V δ N (i) = max( v δ N(i)) = min(v δ N(i)). (2.35) Sei nun δ = (δ n ) n 0 eine von der Vorgeschichte abhängige Strategie. Für jedes t definiere das erwartete, zu den Zeitpunten t, t + 1,... N + 1 erhaltene Entgelt, wenn die Vorgeschichte zur Zeit t h t H t ist, durch Man beachte, dass u δ 1 = vn δ. Sei nun N+1 u δ t(h t ) = E δ,ht [ r n (Xn, δ δ n (Hn))]. δ (2.36) n=t u t (h t ) = sup δ u δ t(h t ). (2.37) Im Fall der Minimierung von Kosten definiert man wie vorhin ein U δ t mit U δ t = u δ t, sodass 22

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