Rahmenbedingungen und Hinweise

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1 Gymnasium Muttenz Mathematik Matur 2013 Kandidatin/ Kandidat Name: Klasse: Die Prüfung dauert 4 Stunden. Es werden alle Aufgaben bewertet. Erlaubte Hilfsmittel: Rahmenbedingungen und Hinweise Geodreieck, Zirkel, Lineal, Taschenrechner TI-Nspire CAS (nur im 1. Teil), Formelsammlung Mathematik (A. Wetzel, 4. Auflage) Vorgehen: Teil 1: Sie erhalten die Aufgaben 1., 2. und 3., die Sie mit Hilfe des Rechners und der Formelsammlung lösen. Teil 2: Nach Abgabe des Rechners erhalten Sie die Aufgaben 4. und 5., zu deren Lösung nur noch die Formelsammlung als einziges Hilfsmittel zugelassen ist. Die Aufgaben 1., 2. und 3. dürfen Sie bei Bedarf ohne Rechner weiter bearbeiten. Am Ende der Prüfung werden alle Aufgaben zusammen abgegeben. Klasse 4IW 4LS 4MA 4SZ 4Wa 4Wb Examinator/in Aufgabe (Thema) Punkte (möglich) Punkte (erreicht) 1. (Analysis) (Kombinatorik & Wahrscheinlicheit) (Folgen & Reihen, Trigonometrie) 8 4. (Vektorgeometrie) (Analysis, Folgen & Reihen) 10 Punktsumme ( ) erreichte Punktzahl 5 Note = + 1, gerundet auf halbe Noten 40

2 Aufgabe 1 (10 Punkte) mit Rechner Die Funktion f ist gegeben durch die Gleichung Der Funktionsgraph sei K. f(x) = 1 12 x (x 9) Untersuchen Sie K auf folgende Eigenschaften: Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte. Die Nachweise sind zu erbringen. [3.5P.] 1.2. Die Gerade g mit der Gleichung g(x) = 3 4x hat drei gemeinsame Punkte mit K. Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte Berechnen Sie die Gleichung der Wendetangenten t an K im Wendepunkt W. Die Wendetangente bildet mit den beiden Koordinatenachsen im ersten Quadranten ein Dreieck OAB mit den Eckpunkten O(0/0), A(a/0) und B(0/b). Berechnen Sie a und b. [1.5P.] 1.4. Zeichnen Sie K, die Wendetangente t und die Gerade g für 1 x 12 in das gleiche Koordinatensystem. (Hinweis: 2 Häuschen = 1 Einheit) 1.5. K und g zerlegen das Dreieck OAB in drei Teilflächen. Berechnen Sie diese drei Flächeninhalte Ein Punkt P (u/v) auf K mit 0 < u < 9 bildet zusammen mit dem Ursprung O(0/0) und dem Punkt R(u/0) das Dreieck ORP. Bestimmen Sie u so, dass der Flächeninhalt dieses Dreiecks maximal wird. (Der Nachweis des Maximums ist zu erbringen.) Seite 1 von 5

3 Aufgabe 2 (10 Punkte) mit Rechner Gegeben sind drei verschiedenfarbige Würfel mit den angegebenen Netzen und Augenzahlen: rot grün blau Teil 1: Die drei Würfel werden in eine Urne gelegt; danach wird zehnmal je ein Würfel gezogen, die Farbe notiert und dann der Würfel wieder zurückgelegt Wie viele verschiedene Farbsequenzen können so notiert werden? 2.2. In wie vielen solchen Farbsequenzen kommt die Farbe Rot mindestens einmal vor? [1.5P.] Teil 2: Jemand bietet Ihnen ein Spiel an: Jeder wirft mit einem der gegebenen Würfel. Wer eine höhere Nummer hat, gewinnt Ihr Gegner wählt den roten Würfel. Welchen Würfel wählen Sie und weshalb? (Hinweis: Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen.) Teil 3: Sie ziehen aus der Urne zwei der drei Würfel und werfen diese Welche Augensummen sind insgesamt möglich? [1.5P.] 2.5. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werfen Sie die Augensumme 9? 2.6. Nehmen Sie nun an, Sie hätten den roten und den blauen Würfel gezogen. Wie oft müssen Sie die beiden Würfel werfen, um mit mindestens 99%-iger Wahrscheinlichkeit mindestens einmal die Augensumme 12 zu werfen? Seite 2 von 5

4 Aufgabe 3 (8 Punkte) mit Rechner Aufgabe 3.1 (4 Punkte) Wir betrachten die Folge (a n ) der 4-stelligen Zahlen, die durch 12 teilbar sind Berechnen Sie a 1, a 2 und a Berechnen Sie die Summe aller Glieder dieser Folge. [1.5P.] Berechnen Sie die Summe derjenigen Folgenglieder, die auch noch durch 15 teilbar sind.[1.5p.] Aufgabe 3.2 (4 Punkte) Der abgebildete regelmässige Stern besitzt einen Umkreisradius r = 8 cm. Sein Flächeninhalt ist ein Drittel so gross wie der Flächeninhalt des Umkreises. Berechnen Sie den Umfang des Sternes. Tipp: Berechnen Sie die Fläche des Dreiecks ABM. A B M r Seite 3 von 5

5 Aufgabe 4 (10 Punkte) ohne Rechner Freddy the Cat sitzt im Punkt P (0 7 2) neben der alten Hundehütte auf einem Baum. Die Hundehütte steht auf der xy-ebene. Die Punkte D( ), E(2 3 1) und F ( ) liegen auf dem Dach der Hundehütte (Skizze nicht massstabsgetreu) Die Punkte D, E und F definieren die Ebene ε. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung für die Ebene ε mit ganzzahligen, möglichst positiven Koeffizienten Die Gerade g ist die Schnittgerade von der Ebene ε mit der xy-ebene. Auf der Geraden g schleicht ein kleines Mäuschen an Freddy vorbei. Zeigen Sie dass der Punkt Q(0 9 0) ein gemeinsamer Punkt von ε und der xy-ebene ist und bestimmen Sie eine Parametergleichung von g Freddy hat ein Augenleiden, so dass er nur 3 Einheiten weit sehen kann. Berechnen Sie die exakten Koordinaten der Punkte, wo das Mäuschen in das Sichtfeld von Freddy eintritt bzw. wo es dieses wieder verlassen würde. [3P.] 4.4. Genau in dem Moment, als der Abstand von Freddy zum Mäuschen am kleinsten ist, schlägt der grausame Kater gnadenlos zu! In welchem Punkt S befindet sich dann das arme kleine Mäuschen? 4.5. Freddy hat aber eigentlich gar keinen Hunger mehr. Daher gibt er dem Mäuschen eine letzte Chance. Er stellt ihm die folgende Aufgabe: Wie gross ist der Inhalt des Dreiecks, das durch die Punkte P 1 (1 4 4), P 2 (4 1 4) und P 3 (4 4 1) gebildet wird? Mit welcher Antwort kann das Mäuschen sich retten? Seite 4 von 5

6 Aufgabe 5 (10 Punkte) ohne Rechner Aufgabe 5.1 (3 Punkte) Bestimmen Sie den Wert der drei folgenden bestimmten Integrale: A 1 = e 2 x2 dx, A 2 = 2 x 2 dx, A 1 3 = 1 x dx. Aufgabe 5.2 (4 Punkte) Die Figur zeigt, wie man sich aus unendlich vielen Halbkreisen gedanklich eine Spirale zusammensetzen kann: Man nimmt immer drei Viertel des alten Durchmessers und legt den neuen Halbkreis passend an (Einheit: 1 Häuschen = 1Einheit) Berechnen Sie die Länge der Spirale, wenn passende Halbkreise unendlich oft angefügt werden Das Zentrum der Spirale liegt im Punkt Z. Berechnen Sie die x-koordinate von Z. Aufgabe 5.3 (3 Punkte) Bestimmen Sie jeweils die Gleichungen aller senkrechten und waagrechten Asymptoten: f(x) = 4x2 12 x 2 + 4, g(x) = x (x 2 1) 2, h(x) = x + 3 x. x Seite 5 von 5