POHLsches 1 Drehpendel

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1 POHLsches 1 Drehpendel Aufgabenstellung: Charakterisieren Sie das Schwingungsverhalten eines freien sowie eines periodisch angeregten Drehpendels. Stichworte zur Vorbereitung: Schwingungen, harmonische Schwingungen, freie gedämpfte Schwingung, erzwungene Schwingung, Resonanz, Bewegungsgleichung, Wirbelstrombremse Literatur: W. Demtröder, Experimentalphysik 1 Mechanik und Wärme, Kap. 11.4, 11.5, 7. Auflage, Springer Verlag Berlin 2015 Lüders, Pohl (Hrsg.), Pohls Einführung in die Physik, Bd. 1, Kap. XI, 20. Auflage, Springer Verlag Berlin 2009 W. Schenk, F. Kremer (Hrsg.), Physikalisches Praktikum, Kap. 2.0, 2.3, 14. Auflage, Springer Verlag Berlin 2014 H. J. Eichler, H.-D. Kronfeldt, J. Sahm, Das neue Physikalische Grundpraktikum, Kap. 7, 2. Auflage, Springer Verlag Berlin Robert Wichard Pohl ( ) 29/03/2016 1/6

2 1. Theoretische Grundlagen POHLsches Drehpendel Abbildung 1 zeigt den von Pohl vorgeschlagenen Aufbau zur Untersuchung von Drehschwingungen. Es besteht aus einem horizontal spitzengelagerten Rad aus Kupfer, an dessen Achse das eine Ende einer Spiralfeder befestigt ist. Das Kupferrad kann so Drehschwingungen ausführen. Diese können frei erfolgen, wenn das andere Ende der Spiralfeder fixiert ist, oder durch eine periodische äußere Anregung erzwungen werden. Für den zweiten Fall ist die Feder über einen Übertragungshebel mit Exzenter an einem Gleichstrommotor mit variierbarer Drehzahl montiert. Ein Elektromagnet, zwischen dessen Polen sich das Rad hindurchbewegt, bestimmt durch den fließenden Strom nach dem Prinzip der Wirbelstrombremse die Dämpfung der Schwingungsbewegung. orführung erzwungener Schwingungen. Die Abb. 1: Drehpendel nach Pohl 2 Bewegungsgleichung Nach dem zweiten NEWTONschen Axiom für die Rotationsbewegung gilt für die Drehbewegung des Rades J φ = M &, (1) wobei J das Trägheitsmoment des Rades und die M & die am System angreifenden Drehmomente bezeichnen. Für das frei schwingende Drehpendel treten folgende Drehmomente als Funktion des zeitlich veränderlichen Pendelausschlages φ(t) auf: das durch die Feder ausgeübte rücktreibende Moment M F = Dφ(t), das durch die Wirbelstrombremse ausgeübte Moment M B = Bφ(t). Dabei ist D das Richtmoment der Spiralfeder, B ist ein Proportionalitätsfaktor, der im konkreten Fall die dissipativen Vorgänge charakterisiert. Im Fall einer erzwungenen Schwingung tritt dazu das durch den Erreger bewirkte antreibende Moment M E = Dφ E,1 cos (ω E t). Einsetzen in Gleichung (1) ergibt eine Differentialgleichung zweiter Ordnung, die im Fall der freien Bewegung homogen und im Fall der erzwungenen Schwingung inhomogen ist. Für die Lösung der homogenen Differentialgleichung 2 Lüders, Pohl (Hrsg.), Pohls Einführung in die Physik, Bd. 1, S. 195, 20. Auflage, Springer Verlag Berlin /03/2016 2/6

3 φ + 8 φ + : φ = 0 (2) 9 9 kann der EULERsche Ansatz φ t = φe => genutzt werden, wobei die Konstanten φ und λ durch Einsetzen des Ansatzes in (2) und anhand der Anfangsbedingungen φ(0) und φ(0) zu bestimmen sind. Für λ erhält man schließlich eine quadratische Gleichung mit den Lösungen λ = δ ± δ B ω B 1, (3) wobei die Eigenkreisfrequenz des schwingungsfähigen Systems ω 1 = :, (4) 9 und der Dämpfungsfaktor δ = 8. (5) B9 eingeführt wurden. Der Wurzelausdruck in Gleichung (3) erfordert eine Fallunterscheidung: δ > ω 1 : Gleichung (3) hat zwei reelle Lösungen und es folgt ein langsames, exponentielles Abklingen von φ(t). Diese Situation wird als Kriechfall bezeichnet. δ < ω 1 : Die Wurzel in Gleichung (3) ist negativ und man erhält im Schwingfall zwei komplexe Lösungen. Diese beschreiben exponentiell gedämpfte Schwingungsbewegungen der Form φ t = φ E sin ωt + φ B cos(ωt) e HI> = φ 1 cos ωt α e HI> (6) mit der Kreisfrequenz ω = ω B 1 δ B. (7) Die im Sinne der Integrationskonstanten auftretenden Koeffizienten φ E, φ B bzw. nach einiger Umformung φ 1, α sind aus den Anfangsbedingungen zu ermitteln. 1. Im Grenzfall δ = ω 1 entarten die beiden Lösungen zu einer einzigen. Es tritt der aperiodische Grenzfall, bei dem gerade keine Schwingung mehr möglich ist, auf. Das schwingungsfähige System kehrt vielmehr schnellstmöglich in seine Ausgangslage zurück, was diesen Fall praktisch bedeutsam macht. Die drei Lösungen sind in Abbildung 2 schematisch illustriert. Abb. 2: Schwingungsverhalten des freien gedämpften Oszillators 29/03/2016 3/6

4 Im Fall der erzwungenen Schwingung ergibt sich durch die zeitlich veränderliche äußere Einwirkung eine inhomogene Differentialgleichung: φ + 2δφ + ω 1 B φ = : 9 φ L,1 cos(ω L t). (8) Die Lösung einer Differentialgleichung dieses Typs erhält man, indem sie zunächst zu Gleichung (2) homogenisiert wird und schließlich mittels Variation der Konstanten in deren Lösung (Gleichung (6)) die sogenannte partikuläre Lösung ermittelt wird. Diese inhomogene Lösung ergibt sich für das Drehpendel zu φ M t = φ M,1 cos (ω L t α L ), (9) und die Gesamtlösung erhält man durch Addition der homogenen und der partikulären Teillösungen: φ t = φ 1 sin ωt + α e HI> + φ M,1 cos ω L t α L. (10) Die homogene Lösung zeigt einen exponentiellen Abfall der Amplitude. Wartet man also einen ausreichend lange Einschwingzeit ab, so wird die Amplitude der φ 1 e HI> der freien Schwingung viel kleiner sein als die konstant bleibende Amplitude φ M,1 der verbleibenden stationären Schwingungsbewegung mit der Erregerfrequenz ω L (vgl. Abb. 3). Abb. 3: Erzwungene Schwingung: Schwingungsverhalten während der Einschwingzeit Resonanzverhalten Durch Einsetzen des partikulären Anteils von Gleichung (10) d.h. für den stationären Zustand nach abgeschlossenem Einschwingen in Gleichung (8) ergeben sich Ausdrücke für das Amplitudenverhältnis resultierender Schwingung im System: N O,P und den Phasenwinkel α L zwischen periodischer Erregung und N O,P = R P S R P S HR O S TUI S R O, (11) tan α L = BIR O R P S HR O S. (12) 29/03/2016 4/6

5 Ux 24 V 650 ma Physikalisches Grundpraktikum Bei fester Dämpfung hängen Amplitude und Phase einer erzwungenen Schwingung also davon ab, wie stark sich Erregerfrequenz ω L und Eigenfrequenz ω 1 unterscheiden. Für Erregerkreisfrequenzen ω L,X = ω 1 B 2δ B (13) wird der Radikand in Gleichung (11) minimal und die Amplitude des Systems damit maximal. Man spricht dann von Resonanz und ω L,X ist die Resonanzkreisfrequenz. Für sehr schwach gedämpfte Systeme entspricht diese nahezu der Eigenkreisfrequenz. Im ungedämpften Fall erreicht die Amplitude dann einen unendlich hohen Wert es tritt die so genannte Resonanzkatastrophe ein. Mit wachsender Dämpfung flacht das Amplitudenmaximum ab und wird hin zu kleineren Frequenzen verschoben. Die Phasenverschiebung ist anschaulich so zu verstehen, dass für Anregungsfrequenzen ω L ω 1 Erreger und das schwingende System in Phase schwingen, bei ω L ω 1 gegenphasig. Entspricht die Erregerfrequenz der Eigenfrequenz tritt eine Phasenverschiebung von [ B auf. Im Grenzfall des ungedämpften Systems springt die Phase bei dieser Frequenz um π. 2. Versuchsdurchführung U = 24 V V A I < 1A Abb. 4: Beschaltung von Dämpfungsspule und Erregermotor am POHLschen Rad. Die Beschaltung des POHLschen Drehpendels zur elektrischen Versorgung des Erregermotors und der Dämpfungsspule ist in Abbildung 4 gezeigt. Es wird eine Mehrfachstromversorgung verwendet, deren Ausgänge separat regelbar sind. Betreiben Sie das Netzteil für die Einstellung des Spulenstroms strombegrenzend (Strom zunächst auf Null, dann Spannung auf Maximalwert, anschließend gewünschten Strom einstellen), für den Erregermotor ist spannungsbegrenzend (Spannung auf Null, dann Strom auf Maximalwert, anschließend gewünschte Spannung einstellen) zu arbeiten. Die tatsächlich am Motor anliegende Spannung kann mittels Potentiometer geregelt werden, sie ist (ebenso wie der Spulenstrom) mittels Digitalmultimeter zu bestimmen. Den Zusammenhang zwischen Motorspannung und Motorkreisfrequenz finden Sie für den jeweiligen Messplatz tabelliert. Achten Sie darauf, dass der Spulenstrom 1 A nicht überschreitet. Um unnötige Erwärmung zu vermeiden, sollte dieser in Messpausen zurückgedreht werden. 29/03/2016 5/6

6 Die Erfassung der Bewegung des POHLschen Drehpendels und des Erregermotors erfolgt mittels CASSY-Bewegungssensoren. Die Bewegungen werden mittels Schnur auf ein Speichenrad, das eine Gabellichtschranke schaltet, geführt die korrekte Schnurführung ist zu prüfen und zu überwachen. Verwenden Sie die Messoption Weg Δs = 1mm. Vor Beginn, und ggf. im Verlauf der Messungen ist die Nulllage neu zu korrigieren. Freie schwach gedämpfte Drehschwingung Nehmen Sie den Verlauf der Bewegung des Drehpendels für mindestens fünf verschiedene Ströme, darunter auch ohne zusätzliche Dämpfung, auf. Ermitteln Sie aus den Messkurven die Periodendauer (Ablesen mittels Option Differenz bilden) und den Dämpfungsfaktor (mittels Anpassung einer einhüllenden Exponentialfunktion). Resonanzverhalten Schätzen Sie zunächst aus der Periodendauer der freien Schwingung ohne zusätzliche Dämpfung durch die Magnetspule die Eigenkreisfrequenz des Drehpendels ab. Nehmen Sie den Verlauf der erzwungenen Schwingung für verschiedene Erregerkreisfrequenzen im Intervall ω 1 ± 1,2 s HE bei einem konstanten Spulenstrom I = 0,3 A auf. Fernab der Resonanz kann die Motorspannung in Schritten von 0,5V 1V variiert werden, nahe der Resonanzfrequenz sollte die Schrittweite 0,2 V nicht überschreiten. Achten Sie darauf, jeweils ausreichend lang zu messen, so dass das Pendel den Zustand der stationären erzwungenen Schwingung erreicht. Bestimmen Sie aus den Messkurven das Amplitudenverhältnis N O,P sowie den Phasenwinkel zwischen Anregung und Pendelbewegung. 3. Hinweise zur Auswertung Freie schwach gedämpfte Drehschwingung Berechnen Sie für jede Dämpfung die Kreisfrequenz. Stellen Sie den Zusammenhang ω = ω δ (siehe Gleichung (7) wie sind die Achsen zu wählen, um den Zusammenhang linear abzubilden?) geeignet graphisch dar und vergleichen Sie mit Ihren Erwartungen. Bestimmen Sie aus der Darstellung die Eigenkreisfrequenz des verwendeten Drehpendels. Resonanzverhalten Stellen Sie die Abhängigkeiten des Amplitudenverhältnisses N O,P und des Phasenwinkels von der Erregerfrequenz graphisch dar. Vergleichen Sie die gewonnenen Abbildungen mit Ihren Erwartungen. 29/03/2016 6/6

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